đề học sinh giỏi toán lớp 8 (có đáp án lời giải chi tiết)

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP PHỊNG GD&ĐT N ĐỊNH KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2020 - 2021 (Đề thi gồm 01 trang) Mơn: Tốn lớp – Vòng (Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài (4,0 điểm) 2x  x  2x  A   x  5x  x   x Cho a) Rút gọn A b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên WORD=> ZALO_0946 513 000 Bài (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: (x  x  1)  x  10 x  1 1 1   2   2 b) Chứng minh rằng: Nếu a b c a  b  c  abc ta có a b c Bài (4,0 điểm) 1- 2x 1- 2y + =1 x, y x y a) Cho số hữu tỉ khác thỏa mãn Chứng minh: 2 M = x + y - xy bình phương số hữu tỷ b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x ) = 4y(y - 1) Câu (6,0 điểm) A  AB  AC  AH  H �BC  Cho tam giác ABC vuông Vẽ đường cao Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH  HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P � � a) Chứng minh KAC  PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ ∽ BPC AH BC  1 c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh BH BI Câu (2,0 điểm) Cho a �b �c > Tìm GTNN biểu thức: L= a b c + + a + b b+ c c + a HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN TỐN (2020 – 2021) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP Câu Cho (4,0 điểm) A 2x  x  2x    x  5x  x   x a) Rút gọn A b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên Lời giải a) Rút gọn A A A A x    x  3  x  3   x    x   WORD=> ZALO_0946 513 000 (x  2)(x  3) x2  2x  (x  2)(x  3)  x  4  x  2 (x  2)(x  3)  x4 x 3 (ĐKXĐ: x �2;3 ) b) Tìm x để A nhận giá trị số nguyên A x4  1 x 3 x 3 Để A nguyên x  số nguyên k Đặt x  (1) với k  Z , k (1) � x  3 k �  �2 � x � � � k �۹�  � �x �3 �  �3 � k Lại có: Vậy với Câu x  3 k với k  z, k k 0;  A có giá trị số nguyên (4,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: (x  x  1)  x  10 x  1 1 1   2   2 b) Chứng minh rằng: Nếu a b c a  b  c  abc ta có a b c TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Lời giải 2 a) Giải phương trình: (x  x  1)  x  10 x  �  x  x  1   x  x  1   �  x  x   1  x0 � � x2  5x  � � x5 � Vậy tập nghiệm phương trình là: S   0;5 1 1 1 2   2�      4 a b c ab ac bc b) Ta có: a b c WORD=> ZALO_0946 513 000 � 1 2(a  b c) 1 2abc  2 2 4�    4 a b c abc a b c abc 1   2 Vậy: a b c Câu (4,0 điểm) 1- 2x 1- 2y + =1 1- y a) Cho x, y số hữu tỉ khác thỏa mãn 1- x Chứng minh: M = x + y - xy bình phương số hữu tỷ b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x ) = 4y(y - 1) Lời giải a) Ta có : 1- 2x 1- 2y + = � ( 1- 2x ) ( 1- y ) +( - 2y ) ( - x ) = ( 1- x ) (1 - y ) 1- x 1- y 3xy +1 � 1- y - 2x + 2xy +1- x - 2y + 2xy = 1- x - x + xy � x + y = 2 � � � � 3xy + 3xy 2 � � � M = x + y - xy = ( x + y) - 3xy = � � � � �- 3xy = � � � � � � � � Ta có: 3xy - Vì x, y �� nên số hữu tỷ, M bình phương số hữu tỷ b) Ta có : x(1 + x + x ) = 4y(y - 1) (1) � x+ x + x +1 = 4y - 4y +1 � ( x +1) ( x +1) = ( 2y - 1) Gọi d = ( x +1, x +1) 2 ( 2y - 1) số lẻ � d số lẻ Do x +1Md � ( x +1) ( x - 1) Md � ( x - 1) Md Ta có: Lại có: x +1Md � 2Md mà d số lẻ nên d = Do đó: x +1 x +1 hai số nguyên tố 2 2y - 1) ( x, y Với số tự nhiên số phương nên x +1 số phương 2 Lại có x +1 va x hai số phương liên tiếp � x = � x = Thay x = vào phương trình (1) ta tìm y = y = ( 0;0) ;( 0;1) Vậy cặp số tự nhiên (x, y) TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Câu (6,0 điểm) A  AB  AC  AH  H �BC  Cho tam giác ABC vuông Vẽ đường cao Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH  HA Qua A kẻ đường thẳng song song với AH , cắt đường thẳng AC P WORD=> ZALO_0946 513 000 � � a) Chứng minh KAC  PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ ∽ BPC AH BC  1 c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh BH BI Lời giải � � a) Chứng minh KAC  PBC � � � Hai tam giác CKP CAB có CKP  CAB  90�và ACB chung nên CKP ∽ CAB CK CA  � � Do suy CP CB Đến ta lại có CAK ∽ CBP nên KAC  PBC b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh BHQ ∽ BPC � Ta có AKH vng cân H nên AKH  90� Do từ CAK ∽ CBP ta � �  45� AKH  CPB Suy BAP vuông cân A nên BP  AB BH AB  Ta có BHA ∽ BAC nên BA AC BH AB BH AB BH BP BH BQ BQ  �  �  �   BC BP BC BP BC BC AB BC AB Suy Do BHQ ∽ BPC AH BC  1 AQ c) Tia cắt BC I Chứng minh BH BI TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP Ta có BAP vng cân A với AQ đường trung tuyến nên AQ phân giác Do AI phân giác ABC IB AB  Suy IC AC AB HB  Lại có BHA ∽ BAC nên AC HA Kết hợp kết lại ta IC HA IB  BC HA BC HA AH BC  �  �1   �  1 IB HB IB HB IB HB BH BI Câu (2 điểm) WORD=> ZALO_0946 513 000 Cho a �b �c > Tìm GTNN biểu thức: L= a b c + + a + b b+ c c + a Lời giải � � � � � � a �b 1� � c 1� A- = � - � + + � � � � � � � � � �� �� � � a+ b 2� b+ c 2� c + a 2� Ta có a- b b- c c- a = + + 2( a + b) 2( b+ c) 2( c + a) ( b- a) +( a- c) a- b c- a + + 2( a+ b) 2( b+ c) 2( c + a) � a- b� 1 � a- c � 1 � � � � = + � � � � � � � � � a+ b b+ c� � b+ c c + a� = = a- b c- a a- c a- b + ( a+ b) ( b+ c) ( b+ c) ( c + a) ( a- b) ( a- c) � - 1 � � � + � � � � � 2( b+ c) a+ b c + a� ( a- b) ( a- c) ( b- c) = �0 2( b+ c) ( b+ c) ( c + a) (Do a �b �c > 0) = Dấu " = " xảy a = b = c A= a = b = c Vậy GTNN HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHUYỆN LẬP THẠCH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Thời gian làm 150 phút Câu 1: ( 2,5 điểm) A � n3  n    36n � n �� � �M7 a) Chứng minh rằng: b) Cho P  n  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Câu 2: (2,0 điểm) 20202020  1 a  2021a    a a) Chứng minh không tồn số nguyên thỏa mãn chia hết a , b � R F x F  x   x  ax  b   Biết đa thức   chia cho  x   dư 12, b) Cho đa thức với F  x  x  1 dư 6 Tính giá trị biểu thức: chia cho B   6a  3b  11  26  5a  5b  WORD=> ZALO_0946 513 000 (1.5 điểm) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc cd d a Chứng minh A  abcd số phương Câu 4: (2 điểm) 2 a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  c  b  a  c  a  c  b Chứng minh Câu 5: (2 điểm) 2 x  y x y P   2 y 1 x 1 x y  Cho x  y  1, xy �0 Tính Câu 3: y y2 y4 y8 x     2020 x y x y Câu 6: (1,5 điểm) Cho x ��y x  y x  y Tính tỉ số y ? Câu 7: (2 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Câu 8: (1,5 điểm) 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  xy ( x  2)( y  6)  12 x  24 x  y  y  2050 Câu 9: (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD , M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 10: (1 điểm) Cho lưới ô vuông có kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗiơ lưới số -1, 0, Xét tổng số theo cột, theo hàng theo hàng chéo Chứng minh tất tổng ln tồn tổng có giá trị HẾT TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 8HUYỆN LẬP THẠCH Năm học: 2020-2021 Câu 1: ( 2,5 điểm) A � n3  n    36n �M7 n �� � � a) Chứng minh rằng: b) Cho P  n  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Lời giải 2 A � n3  n    36n �  n� n  n    62 �  n� n  7n   62 �  � � � � � � a) WORD=> ZALO_0946 513 000 A  n  n3  n    n3  7n    n  n    n  1  n  3  n  1  n  3  n   Tích số liên tiếp nên AM7 b) Cho P  n  Tìm tất số tự nhiên n để P số nguyên tố Nếu n  � P    số nguyên tố ( thỏa mãn) n  � P  54   629 số nguyên tố ( loại) Nếu n �5, n  n có dạng: n  5k  1 k �1 n  5k  � P   5k    5k    5k    5k    4 � P  n    5k  1    5k    5k    5k   4.5k  4 P số nguyên tố thừa số chia hết P chia hết cho n  5k  � P   5k    5k    5k  2   5k  23   4 � P   5k    5k    5k  2   5k  23  20 P số nguyên tố thừa số chia P hết chia hết cho 2 n  5k  � P   5k    5k    5k    5k    4 � P  n    5k  3    5k    5k    5k  32  4.5k.33  85 4 P số nguyên tố thừa số chia hết P chia hết cho n  5k  � P   5k    5k    5k    5k  43  4  4 � P   5k    5k    5k    5k  43  260 P số nguyên tố thừa số chia hết P chia hết cho Vậy n  Câu 11: (2,0 điểm)  20202020  1 chia hết  a3  2021a  a) Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn F  x   x  ax  b  a, b �R  TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP b) Cho đa thức với Biết đa thức F  x  x  1 dư 6 Tính giá trị biểu thức: chia cho B   6a  3b  11  26  5a  5b  F  x chia cho  x  2 dư 12, Lời giải  20202020  1 chia hết  a3  2021a  a) Chứng minh không tồn số nguyên a thỏa mãn Nếu a chẵn:  a  2021a   a  a  2021 �  2020  1 Ma  2020  1 số lẻ � vô lý Mà Có 2020 2020 +Nếu a lẻ  a  2021a   a  a  2021 �  2020  1 M a  2021  a  2021 số chẵn � vô lý Mà WORD=> ZALO_0946 513 000 Có 2020 2 Vậy không tồn số nguyên a  a, b �R  Biết đa thức F  x  chia cho  x   dư 12 F  x   x  1 dư 6 Tính giá trị biểu thức: B   6a  3b  11  26  5a  5b  chia cho b) Cho đa thức F  x   x3  ax  b với x3  ax  b   x    x  x  a    b   a   x3  ax  b   x  1  x  x  a  1  b   a  1 � b   a    12 a  b  5 � a 3 � � �� �� �� 2a  b  b  2 b   a  1  6 � � � B   6a  3b  11  26  5a  5b    6.3  3.2  11  26  5.3  5.2   Vậy B  Câu 12: (1.5 điểm) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn: 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc cd d a Chứng minh A  abcd số phương Lời giải 2a  b 2b  c 2c  d 2d  a    6 ab bc cd d a a b c d �    2 ab bc cd d a a b c d � 1  1  0 ab bc cd d a b  c  a d  a  c �  0  a  b  b  c  c  d   d  a  TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP � b  c  a  c  d   d  a  d  c  a  a  b  b  c  � b  c  d   d  a   d  a  b   b  c   (do a �c ) � bca  bd  db2  adc  �  b  d   ac  bd   � ac  bd � abcd   bd  Vậy A  abcd số phương Câu 13: (2 điểm) 2 a  b  c  b  c  a  c  a  b  a  b  c  b  a  c  a  c  b Chứng minh Lời giải 2  c  a  b  a  b  c   b  a  c  a  c  b WORD=> ZALO_0946 513 000 Xét a  b  c  b  c  a  ab  b  c  a   ac  b  c  a   ac  a  b  c   bc  a  b  c   ab  a  c  b   bc  a  c  b  2 2 2 2 2 2  ab �  ac �  bc �  b  c  a   a  c  b �  a  b  c   b  c  a �  a  c  b   a  b  c � � � � � � �  4abc  b  a   4abc  a  c   4abc  c  b   Câu 14: (2 điểm) 2 x  y x y P   2 y 1 x 1 x y  Cho x  y  1, xy �0 Tính Lời giải Từ giả thiết ta có y   x; x   y Khi x x x 1    2 y   y  1  y  y  1  x  y  y  1  y  y  1 y y y 1    2 x   x  1  x  x  1  y  x  x  1  x  x  1 Hơn nữa, kết hợp giả thiết x  y  ta có y  y  1  x  x  1  x y  xy  y  x y  xy  y  x  x   x2 y2  � xy  x  y   x  y  xy � � � x  y   x2 y2   x  y   x  y   x2 y  P Khi   2 x  y 1   y  y  x  x   y  y  1  x  x  1 x2  x 1 y2  y 1  2x  y  y  y  1  x2  x  1   y  x  y  x  x  y  y  x2  x  y y x x y   0 2 2 y  y  1  x  x  1  y  y  1  x  x  1  y  y  1  x  x  1  y  y  1  x  x  1 Vậy P  y y2 y4 y8 x     2020 4 8 x y x y Câu 15: (1,5 điểm) Cho x ��y x  y x  y Tính tỉ số y ? Lời giải TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP Xét y  khơng thoả mãn giả thiết Vậy y �0 y y2 y4 y8     2020 4 8 x  y x  y x  y x  y Ta có � y4 y y2 y8 � �    � � 2020 x  y x  y �x  y x8  y8 � � y  x  y   y8 � y y2 � 2020 �  � x  y x  y � x  y   x  y  � � � 4 4y  x  y  y y2 �    2020 x  y x  y  x  y   x4  y  � y y2 y4    2020 x  y x  y x4  y4 � � y2 y y4  �2  x  y �x  y x  y WORD=> ZALO_0946 513 000 � � 2020 � y2  x2  y2   y4 y �   2020 x  y  x2  y   x2  y  y y2 �   2020 x  y x2  y2 y  x  y   y2 �  2020  x  y  x  y � xy  y  2020  x  y  x  y y  2020 x y x y �  2020 y x �   2020 y x 2021 �  1  y 2020 2020 x 2021  y 2020 Vậy � Câu 16: (2 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số ngun dương số đo diện tích số đo chu vi Lời giải Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z cạnh huyền z ( x, y, z số nguyên dương) Ta có Từ xy   x  y  z   1  2 x2  y  z  2 z   x  y   xy suy , thay  1 vào ta có 10 z2   x  y    x  y  z  TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP � z  4z   x  y    x  y  � z  4z    x  y    x  y   �  z  2   x  y  2 � z   x  y  (do z  �3 , x �1, y �1 � x  y  �0 ) 2 � z  x  y  , thay vào  1 ta xy   x  y  x  y   � xy  x  y  8 �  x    y     1.8  2.4 Từ tìm giá trị x, y, z  x  5, y  12, z  13 ;  x  12, y  5, z  13  ;  x  6, y  8, z  10  ;  x  8; y  6; z  10  WORD=> ZALO_0946 513 000 Câu 17: (1,5 điểm) 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức B  xy ( x  2)( y  6)  12 x  24 x  y  18 y  2050 Lời giải Ta có: B  xy ( x  2)( y  6)  12 x  24 x  y  18 y  2050 � B   x y  xy   y    12 x  24 x  y  18 y  2050 � B  x y  x y  xy  12 xy  12 x  24 x  y  18 y  2050 � B   x y  xy  y    x y  12 xy  y    12 x  24 x  12    y  12 y  18   2020 � B  y  x  1  y  x  1  12  x  1   y  3  2020 � B   x  1 y 2 2  y  12    y    2020 2 2 � B   x  1 �  y  3  2020  y    3� � �  Vì �  x  1 �0 � �  y  3 �0 � � � �3� �y  3  3� � � B 2020  y  3 Dấu ‘=” xảy x  ; Vậy giá trị nhỏ B 2020 x  ; y  3 Câu 18: (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD , M điểm tùy ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a) Chứng minh DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Lời giải 11 TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP a) Chứng minh DE  CF Ta có ADE  DCF (c.g.c) � DE  CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy Gọi giao điểm ME , MF , CM với DC , CB, EF K , I , H WORD=> ZALO_0946 513 000 � � Có EMF  CMK (c.g.c) � MEF  MCK � � � � � � � MEF  HME  MCK  HME  MCK  KMC  90� � CM  EF � � ADE  DCF � ADE  DCF Có � � � �� ADE  DFC  DCF  DFC  90�� DE  CF Chứng minh tương tự ta có BF  CE Vậy DE , BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Gọi độ dài cạnh hình vng a độ dài ME x Ta có S AEMF  x  a  x   x  a  x �  a2 a2 a x hay M trung điểm BD Vậy diện tích AEMF lớn Câu 19: (1 điểm) Cho lưới vng có kích thước 5x5 Người ta điền vào mỗiô lưới số -1, 0, Xét tổng số theo cột, theo hàng theo hàng chéo Chứng minh tất tổng tồn tổng có giá trị Lời giải Có tất 12 tổng gồm tổng theo cột, tổng theo hàng tổng theo đường chéo Mỗi tổng gồm số hạng mà số hạng nhận số 1, -1, Nên tổng số nguyên Gọi tổng i  1, 2, 3, ,12 thỏa mãn 5 �Si �5 Si nhận 11 giá trị từ -5, -4, -3, ., 3, 4, Mà ta lại có 12 Si nên ln tồn tổng có giấ trị HẾT 12 Si với ... c Vậy GTNN HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHUYỆN LẬP THẠCH ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2020-2021 MƠN: TỐN TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP Thời gian làm 150 phút Câu 1: ( 2,5 điểm) A � n3  n ... Chứng minh tất tổng ln tồn tổng có giá trị HẾT TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 8HUYỆN LẬP THẠCH Năm học: 2020-2021 Câu 1: ( 2,5 điểm) A � n3  n    36n �M7 n �� � �... y8 x     2020 4 8 x y x y Câu 15: (1,5 điểm) Cho x ��y x  y x  y Tính tỉ số y ? Lời giải TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP Xét y  khơng thoả mãn giả thiết Vậy y �0 y y2 y4 y8     2020 4 8