CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN Chương I SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC Chuyên đề TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ A Kiến thức cần nhớ Số hữu tỉ • Số hữu tỉ số viết dạng phân số • Tập hợp số hữu tỉ kí hiệu Q a với a, b Î Z, b ¹ b Biểu diễn số hữu tỉ trục số • Mọi số hữu tỉ biểu diễn trục số • Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ x gọi điểm x So sánh hai số hữu tỉ • Để so sánh hai số hữu tỉ, ta viết chúng dạng phân số so sánh hai phân số • Số hữu tỉ lớn gọi số hữu tỉ dương; • Số hữu tỉ nhỏ gọi số hữu tỉ âm; • Số hữu tỉ 0, không số hữu tỉ dương khơng số hữu tỉ âm • Số hữu tỉ a số hữu tỉ dương a b dấu, số hữu tỉ âm a, b khác dấu, b a = B Một số ví dụ Ví dụ 1: Điền kí hiệu N, Z, Q vào trống cho hợp nghĩa (điền tất khả có thể): - 9Ỵ ; 2020Ỵ ; Ỵ 205 ; - 21 Ỵ 10 Giải Tìm cách giải Khi điền vào ô trống, ta vào định nghĩa tập hợp: • N = { 0;1;2;3; } • Z = { ;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3; } • a ïì ïü Q = í x / x = ;a, b ẻ Z,b 0ý ùợù ùùỵ b Trỡnh by li gii ã - 9ẻ Z;- 9ẻ Q ã 2020ẻ N ;2020ẻ Z;2020ẻ Q ã ẻ Q 205 Trang ã - 21 ẻ Q 10 Nhn xột Chúng ta lưu ý N Ì Z Ì Q , không ý thứ ý thứ hai ví dụ dễ bị sót Ví dụ 2: Cho số hữu tỉ x = a- 10 Với giá trị a thì: 2020 a) x số dương; b) x số âm; c) x không số dương khơng số âm Giải Tìm cách giải Khi xác định dấu số hữu tỉ, ta lưu ý a số hữu tỉ dương a b dấu, b số hữu tỉ âm a, b khác dấu Chú ý 2020> 0, ta có lời giải sau: Trình bày lời giải a) x = a- 10 > Û a- 10 2020 dấu 2020 Mà 2020> nên a- 10> suy a> 10 Vậy với a> 10 x số hữu tỉ dương b) x = a- 10 > Û a- 10 2020 khác dấu 2020 Mà 2020> nên a- 10< suy a 14 Û 3y Ỵ {15;18;21;24;27} Û { 5;6;7;8;9} Vậy số hữu tỉ cần tìm 4 4 ; ; ; ; C Bài tập vận dụng 1.1 Trong phân số sau, phân số biểu diễn số hữu tỉ ? - - - 10 ; ; ; ; 10 - 12 25 - 15 - 15 Trang 1.2 Viết số hữu tỉ sau dạng phân số với mẫu số dương - 21 ; ; - - 11 - 10 1.3 Cho ba số hữu tỉ ; ; 5- 4- a) Viết ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương b) Viết ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 1.4 Cho số hữu tỉ x = m+10 Với giá trị m thì: 21 a) x số dương b) x số âm c) x không số dương không số âm 1.5 Cho số hữu tỉ x = 14m+10 Với giá trị m thì: - 2019 a) x số dương b) x số âm 1.6 Viết tập hợp số nguyên n cho số hữu tỉ sau có giá trị số nguyên a) ; n+1 b) 1.7 Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = - 2019 số nguyên a+ 1.8 Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = 1.9 Chứng tỏ số hữu tỉ x = n+ 3x- có giá trị số nguyên x- 2n+ phân số tối giản, với n Ỵ N 7n+ 31 1.10 a) Cho hai số hữu tỉ a c a c ( b> 0;d > 0) Chứng minh < ad < bc b d b d b) Áp dụng kết trên, so sánh số hữu tỉ sau: 12 22 - ; và 13 25 11 - 15 1.11 a) Cho hai số hữu tỉ a a+ c c a c a c < ( b> 0;d > 0) Chứng minh < < b b+ d d b d b d b) Hãy viết ba số hữu tỉ xen hai số hữu tỉ 1.12 Cho a, b, m số nguyên b > 0; m > a) So sánh a+1 a b+1 b c) So sánh 3- - ; 11 b) So sánh a+ m a b+ m b Trang 1.13 Cho số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn 1< a < b+ c < a+1 b < c Chứng minh b < a 1.14 Tìm số hữu tỉ: a) Có mẫu số 20, lớn b) Có tử 2, lớn - - - nhỏ ; 14 14 5 nhỏ 12 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 1.1 Những phân số biểu diễn số hữu tỉ 1.2 - - 10 ; ; - 10 25 - 15 - - - 21 21 = ; = ; = - 3 - 11 11 - 10 10 1.3 a) Ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 12 18 24 - - 14 - 21 - - - = = = ; = = = ; = = = 10 15 20 - 4 12 - 3 b) Ba số hữu tỉ số hữu tỉ có mẫu số dương 72 - 105 - 40 = ; = ; = 60 - 60 - 60 1.4 a) x > Û m+10 > Û m+10> Û m>- 10 21 Vậy với m>- 10 số hữu tỉ x số dương b) x < Û m+10 < Û m+10< Û m Û 14m+10< Û 14m- 2019 Vậy với m>- số hữu tỉ x số âm Trang 1.6 a) Ta có Ỵ Z Û n+1Ỵ Ư(5) mà Ư(5) = { 1;5;- 1;- 5} n+1 Suy bảng giá trị sau: n+1 n n+ Ỵ Z Û n+ 6M3 Û nM3Û n = 3k( k Ỵ Z) n+ Ỵ Z Vậy với n = 3k( k Ỵ Z) 1.7 -5 -6 Ỵ Z n+1 Vậy với nỴ { 0;4;- 2;- 6} b) Ta có: -1 -2 - 2019 Ỵ Z Û a + Ỵ Ư(-2019) a+ Mà Ư(-2019) = { 1;3;673;2019;- 1;- 3;- 673;- 2019} Suy bảng giá trị sau: a+ a -673 -2019 -679 -2025 - 2019 Vậy với { - 5;- 3;667;2013;- 7;- 9;- 679;- 2025} số nguyên a+ 1.8 -5 -3 673 667 2019 2013 -1 -7 -3 -9 3x- Ỵ Z Û 3x- 8Mx- 5Û 3( x- 5) + 7Mx- x- Û 7Mx- Û x- 5Ỵ Ư(7) mà Ư(7) = { 1;7;- 1;- 7} Suy bảng giá trị sau: x- x 12 -1 -7 -2 3x- Î Z Vậy với xÎ { 6;12;4;- 2} t = x- 1.9 Đặt ƯCLN ( 2n+ 9;7n+ 31) = d( d ẻ N ) ị 2n+ 9Md ị 14n+ 63Md Þ 7n+ 31Md Þ 14n+ 62Md Þ ( 14n+ 63) - ( 14n+ 62) Md Þ 1Md Þ d = Suy ra: ƯCLN ( 2n+ 9;7n+ 31) = Vậy x = 2n+ phân số tối giản với n Ỵ N 7n+ 31 1.10 a) Quy đồng mẫu hai phân số, ta có: a ad c bc = ; = Vì b> 0, d > nên bd> 0, đó: b bd d bd Trang a c ad bc < < suy ad < bc b d bd bd • Nếu • Nếu ad < bc b) Ta có: Ta có: ad bc a c < suy < bd bd b d 12 22 > 12.25> 13.22 13 25 - - - - = < Þ < Vì ( - 6) 15 b Þ ab+ a > ab+ b Û a( b+1) > b( a +1) Û a a +1 > b b+1 Trường hợp Xét a < b Þ ab+ a < ab+ b Û a( b+1) < b( a+1) Û Vậy: Nếu a > b Nếu a < b a a +1 < b b+1 a a+1 > b b+1 a a+1 < b b+1 b) Trường hợp Xét a > b Þ ab+ am> ab+ bm Trang Û a( b+ m) > b( a + m) Û a a+ m > b b+ m Trường hợp Xét a < b Þ ab+ am< ab+ bm Û a( b+ m) < b( a + m) Û a a+ m < b b+ m c) Áp dụng câu a), ta có < nên Áp dụng câu b), 7< Þ 2+1 < = 7+1 7+ - - < < hay < suy 9+ 11 11 1.13 Ta có b < c b+ c < a +1Þ 2b < a +1 Vì 1< a nên a+1< 2a Þ 2b < 2a Þ b < a 1.14 a) Gọi số hữu tỉ cần tìm Theo đầu bài, ta có: x với x Ỵ Z 20 - x - - 50 7x - 30 < < Û < < 14 20 14 140 140 140 Û - 50< 7x