Đang tải... (xem toàn văn)
GV Ngô Thế Hoàng THCS Hợp Đức 1 I M A B C N E D CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 7 Bài 1 Cho Tam giác ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các ABE vuông cân ở B và ACF vuông cân tại C, Trên[.]
CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Bài 1: Cho Tam giác ABC nhọn, AH đường cao, phía ngồi tam giác vẽ ABE vuông cân B ACF vuông cân C, Trên tia đối tia AH, lấy điểm I cho AI=BC CMR: a, ABI= BEC b, BI = CE BI vng góc với CE c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt điểm Bài làm : I a, Ta có : ( IAB = 1800 − BAH = 1800 − 900 − ABC ) = 900 + ABC = EBC Và AB = BE , AI = BC = ABI = BEC (c.g.c) b, Theo câu a ta có : F ABI = BEC = BI = EC, ECB = BIA A hay ECB = BIH , Gọi M giao điểm của CE BI, Ta có : MBC + MCB = BIH + IBH = 900 => CE ⊥ BI c, Chứng minh tương tự: BF ⊥ AC , Trong BIC có AH, CE,BF đường cao Nên đồng quy điểm E M B C H Bài 2: Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ đường thẳng AB, vẽ AE vng góc với AB AE=AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vng góc với AC AD=AC a, CMR: BD=CE b, Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN=MA, CMR : ADE= CAN AD2 + IE =1 c, Gọi I giao DE AM, CMR: A DI + AE a, Chứng minh ABD = AEC ( c.g.c ) => BD=EC b, Chứng minh CMN = BMA( c.g.c ) Bài làm: E I D =>CN=AB ABC = NCM , có: DAE = DAC + BAE − BAC = 900 + 900 − BAC = 1800 − BAC (1) Và ACN = ACM + MCN = ACB + ABC = 1800 − BAC (2) Từ (1) (2) ta có: DAE = ACN CM : ADE = CAN ( c.g.c ) B C M N c, ADE = CAN ( cmt ) = ADE = CAN mà DAN + CAN = 900 = DAN + ADE = 900 Hay DAI + ADI = 900 = AI ⊥ DE Áp dụng định lý py-ta-go cho AID AIE có: AD2 + IE AD2 − DI = AE − EI = AD2 + EI = AE + DI = =1 DI + AE GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 3: Cho ABC, trung tuyến AM, vẽ tam giác các tam giác vuông cân A ABD ACE a, Trên tia đối tia MA lấy điểm F cho MF=AM, CMR: ABF = DAE b, CMR: DE = AM Bài làm: E a, Cm: AMC = FMB ( c.g.c ) = CAM = BFM = AC / / BF Do đó: ABF + BAC = 1800 (1) Và DAE + BAC = 1800 , DAB + EAC = 1800 Từ (1) (2) ta có: ABF = DAE D (2) A b, Chứng minh: ABF = DAE ( c.g.c ) = AF = CE ta có: AF = AE = DE = AM B C M Bài 4: Cho ABC có A 1200 , Dừng bên ngồi các tam giác ABD, ACE F a, Gọi giao điểm BE CD, Tính BMC b, CMR: MA+MB=MD c, CMR: AMC = BMC Bài làm : E a, Ta có : ADC = ABE ( c.g.c ) = ADC = ABE Gọi F giao điểm AB CD Xét ADF BMF có : A D D = B, AFD = BFM = BMF = FAD = BMF = 600 P => BMC = 1200 F M b, Trên tia MD lấy điểm P cho BM=MP => BMP đều=> BP = BM , MBP = 600 B C Kết hợp với ABD = 600 = MBA = PBD = PDB = MBA ( c.g.c ) => AM = DP => AM + MB = DP + PM = DM c, Từ PBD = MBA = AMB = DPB , mà BPD = 1200 = BMA = 1200 => AMC = 1200 = AMC = BMC GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 5: Cho ABC nhọn, nửa mp bờ AB khơng chứa C, dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD= AB, nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vng góc AC AE=AC, vẽ AH vng góc với BC, đường thẳng HA cắt DE K, CMR: K trung điểm DE Bài làm : Trên AK lấy điểm H cho AH=BC Ta có : H KAE = ACH Vì phụ với góc HAC Nên EHA = ABC ( c.g.c ) E K = AB = HE ( Hai cạnh tương ứng) D Và HEA = BAC , A mà : BAC + DAE = 1800 = HEA + DAE = 1800 Do : AD//HE Khi : KAD = KHE ( g.c.g ) = KD = KE B C H Bài 6: Cho ABC có góc A nhọn, phía ngồi tam giác ABC vẽ BAD vng cân A CAE vuông cân A, CMR: a, DC=BE DC vng góc với BE b, BD + CE = BC + DE c, Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC K, CMR: K trung điểm BC a, ABE = ADC =>DC=BE Tự chứng minh DC ⊥ BE Bài làm: b, ta có: CE = ME + MC = DB = MD + MB DE = MD + ME = BC = MB + MC => BD + CE = ( MD + MB ) + ( ME + MC ) E Q D A => BC + DE = ( MB + MC ) + ( MD + ME ) M => BD + CE = BC + DE c, Trên AC lấy điểm P cho AP=DE, Ta cm: ADE = CPA => CP = AD = CP = AB, Chứng minh : P = BAK = ABK = PCK => CPK = BAK = BK = KC B C K P GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức Bài 7: Cho ABC có A 900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, CMR: DC=BE DC vng góc BE D Bài làm: Ta có: E EAB = A1 + A2 = A2 + A3 = CAD => AEB = ACD ( c.g.c ) =>BE=CD A Gọi I giao CD với AB, K giao CD với BE Từ AEB = ACD ( c.g.c ) = D1 = B1 I K mà D1 + I1 = B1 + I = 900 => IK ⊥ KB = CD ⊥ BE B C Bài 8: Cho ABC có A 900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, Gọi M trung điểm DE, kẻ MA, CMR: MA vuông góc với BC Bài làm: F Gọi H giao điểm AM BC Trên AM lấy điểm F cho MA= MF AME = FMD ( c.g.c ) = AE = DF D M =>DF//AE=> FDA + DAE = 1800 Mà: DAE + BAC = 1800 = FDA = BAC E = FDA = CAB ( c.g.c ) = DAM = ABC A Mà DAM + HAB = 900 = ABH + HAB = 900 => AHB vuông H C B H Bài 9: Cho ABC có A 900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC, CMR: HA qua trung điểm DE Bài làm: D R Kẻ DR ⊥ AM , EQ ⊥ AM Chứng minh EQA = AHC = AH = EQ (1) M E Chứng minh DRA = AHB = AH = DR (2) Q Từ (1) (2) suy EQ=RD => EQM = DRM = ME = MD (đpcm) A C GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức H B Bài 10: Cho ABC có A 900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC, Gọi H trung điểm BC, CMR: HA vng góc với DE Bài làm: D Trên AH lấy N cho AH=HN => AHC = NHB ( c.g.c ) = BN = AC = AE ta có: EAD + CAB = 1800 , ABN + CAB = 1800 M E => EAD = NBA => EAD = NBA = N = E = A1 A1 Mà A1 + A2 = 900 = E + A2 = 900 = M = 900 = AM ⊥ ED C B H N Bài 11: Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, miền ngồi tam giác ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng, kẻ EM, FN vng góc với AH, (M, N thuộc AH) a, CMR: EM+HC=NH b, EN//FM Bài làm: a, Ta chứng minh NAF= HCA (Cạnh huyền góc nhọn) nên FN=AH NA=CH (1) Tương tự ta chứng minh AHB= EMA (Cạnh huyền góc nhọn) => AH=ME, F Nên EM+HC=AH+NA=NH( đpcm) b, Từ AH=FN =>ME=FN => FNI= EMI (g.c.g) => IM=IN IF=IE M I N A => FIM= EIN( c.g.c)=> F1 = E1 , lại vị trí so le nên EN//FM C GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức E B H Bài 12: Cho ABC có góc A 900 , B, C nhọn, đường cao AH, vẽ các điểm D E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE, Gọi I, K giao DE với AB, AC a, CMR: ADE cân A b, Tính số đo AIC, AKB E Bài làm: A K a, Chứng minh AD=AH, AH=AE =>AD=AE=> ADE cân A b, IHK có IB tia phân giác góc ngồi KC tia phân giác góc ngồi cắt A Nên AH tia phân giác góc trong, I G1 D J1 hay AH tia phân giác góc IHK = H1 = H Lại có: B C H H1 = H , H1 + H + KHC + CHx = 180 , H + KHC = 90 0 = KHC = CHx => HC tia phân giác góc ngồi IHK KC tia phân giác góc ngồi IHK=> IC tia phân giác góc hay I = I = I + I = 900 hay AIC = 900 Chứng minh tương tự AKB = 900 Bài 13: Cho ABC đường cao AH, vẽ tam giác tam giác vuông cân ABD, ACE cân B C a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vng góc với BE cắt HA K, CMR : DC ⊥ BK b, đường thẳng Ah, BE CD đồng quy Bài làm: a, Ta có: B1 = K1 ( Cùng phụ với BCK ) K Tương tự ta có : C1 = E ( phụ với C2 ) => ECB= CAK (g.c.g)=> AK=BC Chứng minh tương tự ta có : DBC= BAK => C3 = K2 mà : C3 + I1 = K2 = I = 900 => KM ⊥ MI hay DC ⊥ BK E A b, KBC có ba đường cao nên đồng quy D M I 1 B GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức H C Bài 14: Cho ABC có A 900 , vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc bằng AB, AE vng góc bằng AC a, CMR: DC=BE DC vng góc BE b, Gọi N trung điểm DE, tia đối tia NA, lấy M cho NA=NM, CMR: AB=ME ABC = EMA M c, CMR: MA ⊥ BC E N D A C B H Bài 15: Cho ABC cân A ba góc góc nhọn a, Về phía ngồi cảu tam giác vẽ ABE vng cân B, Gọi H trung điểm BC, tia đối tia HA lấy điểm I cho AI=BC, CMR: ABI= BEC BI ⊥ CE b, Phân giác ABC, BDC cắt AB BC D M, Phân giác BDA cắt BC N, CMR: BD = MN I HD: Xét hai AIB BCE có: AI=BC(gt) BE=BA(gt) A IAB góc ngồi ABH nên: IAB = ABH + AHB = ABH = 900 D E Ta có: EBC = EBA + ABC = ABC = 900 , Do đó: IAB = EBC Do đó: ABI= BEC(c.g.c) F C B H M Do ABI= BEC(c.g.c) nên AIB = BCE Trong IHB vng H có AIB + IBH = 900 đó: BCE + IBH = 900 CE vng góc với BI b, Do tính chất đường phân giác ta có: DM ⊥ DN Gọi F trung điểm MN, ta có: FM=FD=FN FDM cân F nên FMD = MDF FMD = MBD + BDM (Góc ) = MBD + CDM => MBD = CDF (1) ta có: MBD = CDF + CFD (2) Do ABC cân A nên MCD = 2MBD (3) Từ (1), (2) (3) suy ra: MBD = DFC hay DBF cân D, đó: BD = DF = MN GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức N Bài 16: Cho ABC Vẽ phía ngồi tam giác các ABM CAN vuông cân A, Gọi D, E, F trung điểm Mb, BC CN, CMR: a, BN=CM N b, BN vuông góc với CM c, DEF tam giác vng cân M A F I D B C E Bài 17: Cho ABC có đường cao AH, nửa mp bờ BC có chứa điểm A, lấy hai điểm D E cho ABD ACE vuông cân B C, tia đối tia AH lấy điểm K cho AK=BC, CMR: a, ABK= BDC K b, CD ⊥ BK BE ⊥ CK c, Ba đường thẳng AH, BE CD đồng quy E A N D M B C H Bài 18: Cho ABC, vẽ phía tam giác ABM ACN vng cân A, gọi D, E, F trung điểm cảu MB, BC, CN, CMR: N a, BN=CM b, BN vng góc với CM c, DEF tam giác vuông cân M A F D B GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức E C Bài 19: ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến AM, tia đối tia MA lấy điểm D Sao cho DM=MA, tia đối CD lấy I cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AH E, CMR : AE =BC Bài làm: E Đường thẳng AB cắt EI F, ABM = DCM , vì: F AM=DM(gt), MB=MC(gt) AMB = DMC (đ2) => BAM = CDM = FB / / ID = ID ⊥ AC FAI = CIA (so le) (1) I (2) IE / / AC = FAI = CIA Từ (1) (2) => CIA = FIA có AI chung => IC = AC = AF (3) A Và EFA = 90 (4) Mặt khác : EAF = BAH (đ ) M (5) BAH = ACB ( phụ ABC ) => EAF = ACB C B H Từ (3),(4) (5) ta có : AFE = CAB = AE = BC D Bài 20: Cho ABC đều, tam giác lấy điểm M cho MB=MC BMC = 900 a, CMR: AMB= AMC b, BMC lấy điểm E cho EBC = ECM = 300 , CMR: MCE cân c, Giả sử điểm M nằm tam giác ABC cho MA:MB:MC=3:4:5, Tính AMB Bài làm: a, AMB = AMC ( c.c.c ) A b, Từ câu a suy ra: BAM = CAM = 30 => CAM = EBC (1) Do MBC vuông cân nên MBC = 450 , ECB = 150 nên ECB = 15 = ECB = MCA (2) Lại có: AC=BC nên ACM = BCE ( c.g.c) N M => CE = CM , hay MCE cân C c, Vẽ MBN đều, Đặt MA=3a, MB=4a MC=5a => MN=BN=4a Ta : ABN = CBM ( c.g.c ) = AN = CM = 5a Xét AMN có AM=3a, AN=5a, MN=4a nên AMN vuông M, mà BMN = 600 = AMB = 1500 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức C B Bài 21: Cho ABC, M trung điểm BC, tia đối tia MA lấy điểm E cho ME=MA CMR: a, AC=EB AC//BE b, Gọi I điểm AC, K điểm EB cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng c, Từ E kẻ EH vng góc với BC , biết HBE = 500 , MEB = 250 , Tính HEM , BME Bài làm: A a, AMC = EMB có AM=EM(gt)=> AMC = EMB (đ ) BM=MC(gt) nên AMC = EMB ( c.g.c ) =>AC=EB I Vì AMC = EMB = MAC = MEB = AC / / BE b, Xét AMI EMK có AM=EM(gt) MAI = MEK , AI = EK ( gt ) = AMI = EMK (c.g.c) B M H C => AMI = EMK , mà AMI + IME = 1800 = EMK + IME = 1800 Vạy I, M, K thẳng hàng ( ) c, Trong BHE H = 900 , HBE = 500 = HBE = 900 − HBE = 400 K => HEM = HEB − MEB = 400 − 250 = 150 BME góc ngồi đỉnh M HEM nên BME = HEM + MHE = 150 + 900 = 1050 E Bài 22: Cho ABC cân A, cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM=MN=NC, Gọi H trung điểm BC a, CMR: AM=AN AH vng góc với BC A b, Tính độ dài AM AB=5cm, BC=6cm c, CM: MAN BAM = CAN Bài làm: a, Cm: ABM = ACN = AM = AN => AHB = AHC = 900 B M H C N b, Tính AH = AB − BH = 16 = AH = Tính AM = AH + MH = 17 = AM = 17 c, Trên AM lấy điểm K cho AM=MK => AMN = KMB ( c.g.c ) K => MAN = BKM AN=AM=BK Do BA>AM=>BA>BK=> BKA BAK = MAN BAM = CAN GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 10 Bài 23: Cho ABC cần A, BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD=CE, các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M N a, CMR: DM=EN b, Đường thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c, Đướng thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi BC Bài làm: A a, Tự chứng minh b, Cứng minh IDM = IEN ( g.c.g = MI = NI ) c, Gọi H chân đường vng góc kẻ tử A xuống BC, O giao AH với đường vng góc MN I CM: OAB = OAC ( c.g.c ) , OBM = OCN ( c.c.c ) M => OBA = OCA, OBM = OCN = OCA = OCN => OCA = OCN = 900 = OC ⊥ AN => Điểm O cố định C I B D E H N O Bài 24: Cho ABC, đường trung tuyến BD, tia đối tia DB lấy điểm E cho DE=DB, gọi M,N theo thứ tự trung điểm BC CE, Gọi I, K theo thứ tự giao điểm AM, AN với BE, CMR: BI=IK=KE Bài làm : Theo ta có : I trọng tậm ABC nên BI = BD tương tự K trọng tâm ACE nên: KE = DE mà BD=DE=> BI=KE Ta lại có A E K N D I B C M 1 1 ID = BD, DK = DE = IK = BD + DE = BD = KE , Vậy BI=IK=KE 3 3 Bài 25: Cho ABC, M trung điểm AB, N trung điểm AC, tia đối tia NM, lấy điểm D cho NM=ND A a, CMR: AMN= CDN=> MB=CD b, CMR: MN//BC MN=1/2 BC c, CMR: BD qua trung điểm MC N M D I B GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức C 11 Câu 26: Cho ABC vuông A , K trung điểm BC, tia đối tia KA lấy D cho KD=KA a, CMR : CD//AB b, Gọi H trung điểm AC, BH cắt AD M, DH cắt BC N, CMR : ABH= CDH c, CMR : HMN cân B BG : a, Xét ABK DCK có : BK=CK (gt), BKA = CKD (đối đỉnh) AK=DK(gt) => ABK= DCK(c.g.c) => DCK = DBK , mà ABC = ACB = 900 = ACD = ACB + BCD = 900 D K N M A C H => ACD = 90 = BAC = AB / /CD( AB ⊥ AC, CD ⊥ AC ) b, Xét hai ABH CDH vng có: BA=CD( Do ABK= DCK) AH=CH=> ABH= CDH (c.g.c) c, Xét hai tam giác vuông ABC CDA có : AB=CD, ACD = 900 = BAC , AC cạnh chung => ABC= CDA(c.g.c) => ACB = CAD mà AH=CH(gt) MHA = NHC (Vì ABH= CDH) => AMH= CNH (g.c.g) => MH=NH Vậy HMN cân H Bài 27: Cho ABC cân A, trung tuyến AM, tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD= CE a, CMR : ADE cân A b, CM: AM phân giác DAE c, Từ B C hạ BH, CJ theo thứ tự vng góc với AD AE, CMR: AHB= AKC d, CM: HK//DE e, Gọi I giao điểm HB AM, CM: AB vng góc với DI f, CM: HB, AM CK qua điểm A K H D B M E C I GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 12 Bài 28: Cho ABC cân A, cạnh AB lấy D, tia đối tia CA lấy điểm E cho BD=CE, kẻ DH EK vng góc với đường thẳng BC ( H K thuộc đường thẳng BC) a, CM: BDH= CEK, từ suy BC= HK b, DE cắt BC I, CM I trung điểm DE A c, So sánh BC DE d, Chứng minh chu vi ABC < chu vi ADE D B ( I H C ) K E Bài 29: Cho ABC cân A A 900 , cạnh BC lấy hai điểm D E cho BD=DE=EC Kẻ BH ⊥ AD, CK ⊥ AE ( H AD, K AE ) , BH cắt CK G, CM: a, ADE cân b, BH=CK c, Gọi M trung điểm BC, CM: A, M, G thẳng hàng d, CM: AC> AD A g, CM: DAE DAB D M E B C H K G Bài 30: Cho ABC có B C , kẻ AH vng góc với BC a, So sánh BH CH b, Lấy điểm D thuộc tia đối tia BC cho BD=BA, lấy điểm E thuộc tia đối tia CB cho CE=CA, CM: ADE AED từ so sánh AD AE c, Gọi G K trung điểm AD AE, đường BG các đường ABD? d, Gọi I giao điểm BG CK, CM AI phân giác góc BAC e, CM đường trung trực DE qua I A K G D GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức B E C H I 13 Bài 31: Cho ABC có trung tuyến AD, đường thẳng qua D song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AD E, AE cắt BD I, Gọi K trung điểm đoạn EC a, CMR : ABD = EDB b, IA=IE A c, Ba điểm A, D, K thẳng hàng B I C D K E Bài 32: Cho ABC đường trung tuyến AI, tia dối tia IA lấy điểm D cho ID=IA, Gọi M, N trung điểm AC CD, Gọi E, F giao của, BN với AD CM: AE=EF= FD A M E C I B N F D Bài 33: Cho ABC cân A, cạnh BC lấy điểm D E cho BD=CE ( D nằm B E) a, CMR: ABD= ACE b, kẻ DM ⊥ AB EN ⊥ AC, CMR : AM=AN A c, Gọi K giao điểm đường thẳng DM EN, BAC = 1200 , CMR DKE M N B D E C K GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 14 Bài 34: Cho ABC cân A, Từ A hạ AH vng góc với BC, Trên tia đối HA lấy điểm M cho HM=HA, Trên tia đối tia CB lấy điểm N cho CN=BC a, Chứng minh C trọng tâm AMN b, Gọi I trung điểm MN, CMR: A, C, I thẳng hàng A B N C H I M Bài 35: Cho ABC vuông A (AB H trùng I K trùng I Hay Ax vng góc với BC GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức D E A M N K C B H x 15 Bài 37: Cho ABC vuông cân A, M trung điểm BC, lấy điểm D bất kỳ thuộc cạnh BC, H I theo thứ tự hình chiếu B C xuống AD, đường thẳng AM cắt CI N, CMR: a, BH=AI b, BH + CI có giá trị khơng đởi c, DN vng góc với AC d, IM tia phân giác HIC Bài làm: a, Chứng minh AHB = CIA (Cạnh huyền góc nhọn) =>BH=AI B H b, Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABH vuông H ta có: BH + AH = AB = BH + IC = AB mà AB không đổi nên BH + CI không đổi D M c, Vì ABC vng cân A nên AM trung truyến đường cao ABC Xét ADC có hai đường cao IC AM cắt N Nên N trực tâm DN ⊥ AC I N d, IAM = ICM , mà ICM = HBM = HBM = IAM Chứng minh HBM = IAM ( c.g.c ) = MH = MI C A Có HMI = AMI + IMB = 900 => HMK vuông cân M=> HIM = 450 mà HIC = 900 nên IM phana giác góc HIC Bài 38: Cho ABC vng cân B, có trung tuyến BM, gọi D điểm bất kỳ thuộc cạnh AC, kẻ AH CK vng góc với BD (H, K thuộc BD), CMR: a, BH=CK b, MHK vuông cân Bài làm: a, ABH = BCK = BH = CK b, KBM = KCA , mà KCA = HAM = HAM = KBM Chứng minh HAM = KBM ( c.g.c ) = MH = MK A Có HMK = AMK + KMB = 900 => HMK vuông cân M H D M K N B GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức C 16 Bài 39: Cho ABC vuông cân A, M trung điểm BC, điểm E nằm M C, kẻ BH, CK vng góc với AE, CMR: a, BH=AK b, MBH= MAK B c, MHK vuông cân Bài làm: a, Ta có: B1 + A1 = 900 , A1 + A2 = 900 = B1 = A2 => BHA= AKC ( cạnh huyền- góc nhọn) =>BH=AK b, ABC vng cân A=>AM=MB=MC Ta có: B2 + B1 = 450 , MAH + A2 = 450 mà B1 = A2 = B2 = MAH = BMH = AMK (c.g.c) c, Theo câu b, BMH= AMK=> MH=MK => MHK cân M MHA= MKC (c.c.c) M K H A C => M1 = M ,mà M1 = M = 900 => MHK vuông cân M Bài 40: Cho ABC vuông A, M trung điểm BC, tia đối tia MA, lấy điểm D cho AM= MD, gọi I K chân đường vng góc hạ từ B C xuống AD, N chân đường vng góc hạ từ M xuống AC a, CMR : BK=CI BK//CI b, CMR : KN BK//CI M b, Chỉ AM = MC = AMC cân M => MN đường cao, trung tuyến AMC I Nên N trung điểm AC H AKC vuông K, có KN đường trung tuyến 1 C A N => KN = AC , Mặt khác MC = BC 2 Lại có ABC vng cân A 1 => BC AC = BC AC = MC KN O 2 c, Theo câu a, IM=MK mà AM=MD(gt)=>AI=KD, để AI=IM=MK=KD cần AI=IM Mặt khác BI ⊥ AM =>Khi Bi đường trung tuyến, đường cao ABM => ABM cân B (1) Mà ABC vuông A, trung tuyến AM nên ABM cân M (2) Từ (1) (2) => ABM tam giác đều=> ABM = 60 Vậy ABC cần điều kiện ABM = 600 d, Xảy TH TH1 : Nếu I thuộc AM=> H MC =>BI DH cắt MN Gọi O giao BI MN O’ giao DH MN CMR: AIO = MHO ' = MO = MO ' hay O trùng O’ => BI, DH, MN đồng quy TH2: Nếu I MD = H MB = BI , BH cắt tia đối tia MN, chứng minh tương tự TH1 Vậy BI, DH, MN đồng quy GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 17 Bài 41: Cho ABC vuông A, vẽ AH vng góc với BC, BC lấy điểm N cho BN=BA, cạnh BC lấy điểm M cho CM=CA, Tia phân giác ABC cắt AM I cắt AN D, tia phân giác ACB cắt AN K cắt AM E, gọi O giao điểm BD CE a, CMR: BD vng góc với AN, CE vng góc với AM b, BD//MK A c, IK=OA Bài làm: a, Xét ABN có BA=BN=> Cân =>BD đường phân giác, đường cao => BD ⊥ AN D E Tương tự : CAM có CA=CM=> CE đường cao K => CE ⊥ AM O I b, Vì CAM cân, có CE vừa đường cao, phân giác nên đường trung trực 1 B => KA=KM A2 = M = M1 = A1 M H N C Xét MKN có : M1 + N1 = A1 + BAN = 900 = MKN vuông => MK ⊥ MN = BD / / MK vng góc với AN c, Ta có: MAK vng cân K nên KE vừa đường cao, trung tuyến=> KE=AE=ME AIK có ID, KE hai đường cao nên AO ⊥ IK = OAI + AIK = 900 , EKI + EIK = 900 = OAI = EKI Xét AEO KEI có : AEO = KEI = 900 = AEO = KEI ( g.c.g ) = Ao = IK AE = KE OAE = EKI Bài 42: Cho ABC vuông A, đường cao AH, Trên tia đối AH lấy điểm D cho AD=AH, Gọi E trung điểm HC, F giao điểm DE AC a, CMR: H, F trung điểm M DC ba điểm thẳng hàng D b, CMR: HF = DC c, Gọi P trung điểm AH, CMR: EP vng góc AB d, CMR: BP vng góc DC CP vng góc với DB Bài làm: a, DHC , DE, CA hai đường trung tuyến cắt F A M nên F trọng tâm, nên H, F trung điểm M DC thẳng hàng b, Ta có : HF = HM F P mà DHC vuông H có HM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên HM=MD=MC=> HM = DC C B H E DC => HF = DC = 3 c, Vì PE đường trung bình AHC = PE / / AC mà AC ⊥ AB = PE ⊥ AB d, Theo câu c=> P trực tâm ABE = BP ⊥ AE, AE / / DC = BP ⊥ DC Xét DBC có AH BP hai đường cao nên Plaf trực tâm=> CP ⊥ AB GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 18 Bài 43: Cho ABC vuông A, đường cao AH, tia đối tia AH lấy điểm D cho AD=AH, Gọi E trung điểm đoạn thẳng HC, F giao điểm DE AC a, Chứng minh: điểm H, F trung điểm M đoạn CD ba điểm thẳng hàng b, CM: HF = DC c, Gọi P trung điểm đoạn thẳng AH, CM: EP ⊥ AB D d, CM: BP ⊥ DC, CP ⊥ DB M A F P B H C E Bài 44: Cho ABC vuông A, đường cao AH, tia đối tia AH lấy điểm D cho AD=AH, Gọi E trung điểm đoạn thẳng HC, F giao điểm DE AC a, CMR: H, F trung điểm M đoạn thẳng DC ba điểm thẳng hàng b, CMR: HF = DC c, Gọi P trung điểm AH, CM EP ⊥ AB, B P ⊥ DC d, Tính CA2 + DE theo DC D M A F P B GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức H E C 19 Bài 45: Cho ABC vuông cân A, vẽ tia Cx ⊥ BC cắt tia phân giác góc B F, BF cắt AC E, kẻ CD ⊥ EF , kéo dài BA CD giặp S a, CM: ABC = ACF CD tia phân giác ECF b, CM : DE=DF, SE=CF S c, CM : SE//CF AE M = 900 = DM ⊥ BC N Chứng minh tương tự: N = 900 = EN ⊥ BC = EN / / DM I c, IBA= IBM E =>IA=IM=> IAM cân O M A C D Bài 47: Cho ABC vuông A, đường cao AH, Tia phân giác HAB cắt BC D, tia phân giác HAC cắt BC E, CMR : giao điểm các đường phân giác ABC giao điểm các đường trung trực ADE Bài làm : A Theo ta có : B1 + B2 = A3 + A4 = B1 = B2 = A3 = A4 => B1 + BAP = A4 + BAP = 900 => BP ⊥ AE ABP Có BP vừa đường phân giác vừa đường cao nên tam giác cân =>BP đường trung trực AE Chứng minh tượng tự : CK đường trung trực AD, P K M 1 B D H C E mà BP cắt CK M=> M giao đường trung trực ADE GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 20 ... BI , BH cắt tia đối tia MN, chứng minh tương tự TH1 Vậy BI, DH, MN đồng quy GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 17 Bài 41: Cho ABC vng A, vẽ AH vng góc với BC, BC lấy điểm N cho BN=BA, cạnh BC... c, Vẽ MBN đều, Đặt MA=3a, MB=4a MC=5a => MN=BN=4a Ta : ABN = CBM ( c.g.c ) = AN = CM = 5a Xét AMN có AM=3a, AN=5a, MN=4a nên AMN vng M, mà BMN = 600 = AMB = 1500 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS... + MH = 17 = AM = 17 c, Trên AM lấy điểm K cho AM=MK => AMN = KMB ( c.g.c ) K => MAN = BKM AN=AM=BK Do BA>AM=>BA>BK=> BKA BAK = MAN BAM = CAN GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 10 Bài 23: