CHUYÊN ĐỀ PARABOL Các toán parabol thường qui việc xác định yếu tố parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình parabol vấn đề tiếp tuyến parabol Do ta cần nắm vững kiến thức sau ñaây : Parabol (P) = { M∈ (Oxy) / MF = d M ( Δ ) } F tiêu điểm ( Δ ) đường chuẩn Các dạng phương trình tắc : y y (Δ) (Δ) F O −P x F( P , 0) x O P (P) (P) (P) : y2 = 2px (Δ) :x= − (P) : y2 = –2px p (Δ) :x= p ⎛p ⎞ F ⎜ ,0⎟ ⎝2 ⎠ ⎛ p ⎞ F ⎜ − ,0⎟ ⎝ ⎠ M ∈ (P) ⇒ xM ≥ M ∈ (P) ⇒ xM ≤ vaø r = MF = xM + p vaø r = MF = –xM + p (d) : Ax + By + C = tiếp xúc với (P) ⇔ pB2 = 2AC (d) : Ax + By + C = tieáp xúc với (P) ⇔ pB2 = –2AC Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm DeThiMau.vn M0(x0, y0) có phương trình M0(x0, y0) có phương trình y0y = p(x0 + x) y0y = –p(x0 + x) y y (Δ) P x O (P) P F −P F x O (P) (Δ) (P) : x2 = –2py (P) : x2 = 2py (Δ) :y= − p (Δ) :y= p ⎛ p⎞ F ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ p⎞ ⎛ F ⎜ 0, − ⎟ 2⎠ ⎝ M ∈ (P) ⇒ yM ≥ M ∈ (P) ⇒ yM ≤ vaø r = MF = yM + p vaø r = MF = –yM + p (d) : Ax + By + C = tiếp xúc với (P) ⇔ pA2 = 2BC (d) : Ax + By + C = tiếp xúc với (P) ⇔ pA2 = –2BC Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm Tiếp tuyến với (P) tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình M0(x0, y0) có phương trình x0x = p(y0 + y) x0x = –p(y0 + y) Ví dụ1 : Cho parabol (P) : y2 – 8x = 1) Xác định tiêu điểm F đường chuẩn (Δ) (P) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) điểm M(2; –4) DeThiMau.vn 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết song song với đường thẳng (D) : 2x – y + = Suy tọa độ tiếp điểm 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết xuất phát từ điểm I(–3, 0), suy tọa độ tiếp điểm Giải 1) Tiêu điểm đường chuẩn (P) : y2 – 8x = ⇔ y2 = 8x có dạng y2 = 2px với p = ⇒ Tiêu điểm F(2, 0) đường chuẩn (Δ) : x = –2 2) Phương trình tiếp tuyến với (P) M(2; –4) Tiếp tuyến với (P) : y2 = 8x tiếp điểm M(2, –4) có phương trình cho công thức phân đôi tọa ñoä : –4(y) = 4(2 + x) ⇔ x+y+2=0 3) Phương trình tiếp tuyến với (P) song song với (D) Đường thẳng (d) // (D) với (D) : 2x – y + = ⇒ (d) : 2x – y + C = (d) tiếp xúc với (P) : y2 = 8x ⇔ = 2C = 4C ⇔ C=1 Vậy tiếp tuyến với (P) phải tìm có phương trình 2x – y + = Tiếp tuyến (d) với (P) : y2 = 8x tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình y0y = 4(x0 + x) ⇔ 4x – y0y + 4x0 = maø (d) : 2x – y + = 0, : 4x0 y = = 1 ⎧ ⎪x0 = ⇒⎨ ⎪⎩ y = ⎛1 ⎞ hay M0 ⎜ , ⎟ ⎝2 ⎠ 4) Phương trình tiếp tuyến với (P) xuất phát từ I(–3, 0) Tiếp tuyến với (P) phương với 0y x = Vậy pt tiếp tuyến ( d′ ) qua I(–3, 0) có dạng: ( d′ ) : y – = k(x + 3) ⇔ kx – y + 3k = DeThiMau.vn ( d′ ) tiếp xúc với (P) : y2 = 8x ⇔ = 2k(3k) = 6k2 ⇔ k = ± = ± Vậy từ điểm I(–3, 0) có tiếp tuyến với parabol (P) là: x–y+ ⇔ =0 x–y+ hay =0 x–y– – hay 6=0 x +3 y +3 = Tiếp tuyến ( d′ ) với (P) tiếp điểm M0(x0, y0) có phương trình 4x – y0y + 4x0 = Do với ( d′ ) : x–y+ 4x0 y = = 6 =0 ⇒ ⎧ x0 = ⎪ 12 ⎨ ⎪y0 = = ⎩ ⇒ Với ( d′ ) : x + 3y + = ⇒ 4x0 −y0 = = 3 6 ⎧x0 = ⎪ ⇒ ⎨ 12 y = − = −2 ⎪ ⎩ Vậy tiếp điểm phải tìm (3; ) (3; –2 ) Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình y2 = x điểm I (0; 2) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) cho IM = IN Giải Gọi M(m2; m) ∈ (P), N(n2; n) ∈ (P) ⎯→ IM = (m2; m – 2) ⎯→ IN = (n2; n – 2) ⎯→ ⇒ IN = (4n2; 4n – 8) DeThiMau.vn 2 ⎯→ ⎯→ ⎪⎧ m = 4n Vì IM = IN ⇔ ⎨ ⎪⎩ m − = 4n − ⎧⎪m = 4n − ⎡n1 = ⇒ m1 = −2 ⇔ ⎨ ⇒⎢ ⎪⎩n − 4n + = ⎣n = ⇒ m2 = ⇒ M1(4; −2), N1(1; 1), M2(36; 6), N2(9; 3) Ví du ( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho x2 y2 elip (E): + = M(−2; 3); N(5; n) Viết phương trình đường thẳng d1, d2 qua M tiếp xúc với (E) Tìm n để số tiếp tuyến (E) qua N có tiếp tuyến song song với d1 d2 Giải 1) Viết phương trình đường thẳng qua M tiếp xúc với E x = ± tiếp tuyến thẳng đứng (E) Vậy d1 : x = −2 tiếp tuyến (E) qua M Phương trình tiếp tuyến d qua M(−2; 3) khác dường thẳng x = −2 có dạng : y – = k(x + 2) ⇔ kx – y + + 2k d tiếp xúc với (E) ⇔ 4k2 + = (3 + 2k)2 ⇔ 4k2 + = + 4k2 + 12k −8 ⇔k= =− 12 y M −2 O x d2 : 2x + 3y – = 2) dễ thấy tiếp tuyến d (E) qua N(5; n) không song song với : x = −2 Do d song song với d2 : 2x + 3y – = vaø qua N(5; n) có hệ số góc : 2 k = − Vaäy d : y = − ( x − ) + n hay 3 10 d: − x−y+ + n = ⇔ −2x – 3y + 10 + 3n = 3 d tiếp xúc với E ⇔ 4(−2)2 + 1.(−3)2 = (10 + 3n)2 ⇔ 3n2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – hay n= − n = − : loại d trùng với d1 Vậy N(5; −5) *** DeThiMau.vn ... x–y+ 4x0 y = = 6 =0 ⇒ ⎧ x0 = ⎪ 12 ⎨ ⎪y0 = = ⎩ ⇒ Với ( d′ ) : x + 3y + = ⇒ 4x0 −y0 = = 3 6 ⎧x0 = ⎪ ⇒ ⎨ 12 y = − = −2 ⎪ ⎩ Vaäy tiếp điểm phải tìm (3; ) (3; –2 ) Ví du2( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) : Trong... 4n + = ⎣n = ⇒ m2 = ⇒ M1(4; −2), N1(1; 1), M2(36; 6), N2(9; 3) Ví du ( ĐỀ DỰ TRỮKHỐI A –2003) :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho x2 y2 elip (E): + = M(−2; 3); N(5; n) Viết phương... y – = k(x + 2) ⇔ kx – y + + 2k d tiếp xúc với (E) ⇔ 4k2 + = (3 + 2k)2 ⇔ 4k2 + = + 4k2 + 12k −8 ⇔k= =− 12 y M −2 O x d2 : 2x + 3y – = 2) dễ thấy tiếp tuyến d (E) qua N(5; n) không song song với