Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 2 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số thông tin đến các bạn những kiến thức khái niệm đạo hàm; đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản; các quy tắc tính đạo hàm; vi phân của hàm số; đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao.

BÀI ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ ThS Đoàn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Giả sử lượng cung loại sản phẩm có dạng QS  500  p  2p2 Trong Qs lượng cung, p giá sản phẩm Qua biểu thức quan hệ lượng cung Qs giá p ta thấy hàm cung hàm đơn điệu tăng – nghĩa giá p tăng lượng cung Qs tăng theo, bạn ước lượng “tốc độ tăng tức thời” lượng cung mức giá p0? v1.0014105206 MỤC TIÊU • Trình bày khái niệm đạo hàm: đạo hàm điểm, đạo hàm miền; • Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để tính thành thạo đạo hàm hàm số cụ thể (quy tắc đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương đạo hàm hàm hợp); • Biết sử dụng phương pháp mũ hóa logarit hóa để tính đạo hàm biểu thức lũy thừa mũ; • Nắm khái niệm, cách tính vi phân điểm, biểu thức vi phân; • Tính đạo hàm vi phân cấp cao (cấp 2) v1.0014105206 NỘI DUNG Khái niệm đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp Các quy tắc tính đạo hàm Vi phân hàm số Đạo hàm cấp cao vi phân cấp cao v1.0014105206 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 1.1 Đạo hàm hàm số điểm 1.2 Đạo hàm hàm số miền v1.0014105206 1.1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM • Cho hàm số y = f(x) xác định khong (a;b); x0 ẻ(a;b) ã Hm s f(x) c gọi có đạo hàm điểm x0 tồn giới hạn hữu hạn: • f(x  x)  f(x ) k x Số thực k gọi đạo hàm hàm số f(x) điểm x0 Ký hiệu: k = f ’(x0) lim x 0 Chú ý: Ký hiệu x = x0 +x, ta có: f ' (x )  lim x 0 v1.0014105206 f(x  x)  f(x ) f(x)  f(x )  lim xx x x  x0 1.1 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) = x2 Tính f ’(x0) Giải: f(x  x)  f(x ) x (x  x)2  (x )2  lim x 0 x  lim(2x  x)  2x 0 x 0 f ' (x )  lim x 0 v1.0014105206 1.2 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT MIỀN • Hàm số f(x) gọi có đạo hàm miền D f(x) có đạo hàm điểm thuộc D • Đạo hàm f(x) miền D ký hiệu f ’(x) hàm số xác định D f' : D  R x  f ' (x ) v1.0014105206 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1) (C)'  2) (x  )'  .x 1 ; (x)'  3) (a x )'  a x lna; (e x )'  e x 1 ; (ln x)'  x.lna x 5) (sin x)'  cos x 6) (cos x)'   sin x 4) (loga x)'  cos2 x 8) (cot x)'   sin x 7) (tan x)'  v1.0014105206 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 3.1 Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương hàm số 3.2 Đạo hàm hàm hợp 3.3 Đạo hàm biểu thức lũy thừa mũ phương pháp logarit hóa v1.0014105206 10 VÍ DỤ Tính đạo hàm hàm số: y = tan62x Giải: • Sử dụng cơng thức 1) ta có: y’ = 6tan52x.(tan2x)’ • Dùng cơng thức 6) ta được: (2x)' (tan2x)'   cos2 2x cos2 2x • Do ta được: tan5 2x y '  tan 2x  12 cos2 2x cos2 2x v1.0014105206 15 3.3 ĐẠO HÀM CỦA BIỂU THỨC LŨY THỪA MŨ VÀ PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HĨA Tính đạo hàm hàm số y = uv (lũy thừa mũ): y = elny = evlnu y ’ = evlnu.(vlnu)’=uv.(vlnu)’ Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số y = (1 + ex)sinx Giải: y  eln(1e )  esin x.ln(1e ) x sin x x y '  esin x.ln(1e ) [sin x.ln(1  e x )]' x ex   x e cos x.ln(1  e )   sin x   e x   ex  x sin x  x  (1  e ) cos x.ln(1  e )   sin x   e x   sin x.ln(1 e x ) v1.0014105206 16 3.3 ĐẠO HÀM CỦA BIỂU THỨC LŨY THỪA MŨ VÀ PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HÓA (tiếp theo) Sử dụng phương pháp logarit hóa: • ln y = v.ln u • Lấy đạo hàm hai vế: y' u' u'    v '.lnu  v  y '  uv  v.lnu  v  y u u  Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số: y = (1 + ex)sinx Giải: ln y  sin x.ln(1  e x ) y' ex    x x   sin x.ln(1  e )  cos x.ln(1  e )   sin x  y  e x   ex  x sin x  x  y '  (1  e ) cos x.ln(1  e )   sin x   e x   v1.0014105206 17 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 4.1 Khái niệm hàm khả vi vi phân 4.2 Biểu thức vi phân 4.3 Các quy tắc tính vi phân v1.0014105206 18 4.1 KHÁI NIỆM HÀM KHẢ VI VÀ VI PHÂN Định nghĩa: Hàm số f(x) gọi hàm khả vi x0 có đạo hàm điểm Tích đạo hàm f ’(x0) với số gia x biến độc lập gọi vi phân hàm số f(x) điểm x0 ký hiệu df(x0): df(x0) = f’(x0).x Ví dụ: Hàm số f(x) = x2 khả vi điểm x có đạo hàm điểm: f ’(x) = 2x, x  R Vi phân hàm số f(x) điểm x0 là: df(x0) = f ’(x0).x = 2x0.x v1.0014105206 19 4.2 BIỂU THỨC VI PHÂN • Nếu hàm số y = f(x) khả vi điểm thuộc khoảng X biểu thức vi phân df(x) = f ’(x) x hàm số đối số x, xác định khoảng X (x số gia bất kỳ, không phụ thuộc x) • Biểu thức vi phân tồn phần hàm số y = f(x) thường viết dạng: df(x) = f ’(x).dx Ví dụ: d(x  sin2x)  (x  sin2x)'.dx  (3x  2cos 2x).dx d(x.e 2 x )  (x.e 2 x )'.dx  e 2 x (1  2x).dx v1.0014105206 20 4.3 CÁC QUY TẮC TÍNH VI PHÂN • Định lý 1: Nếu hàm số u = u(x) v = v(x) khả vi điểm x điểm ta có: 1) d(u  v)  du  dv 2) d(k.u)  k.du 3) d(u.v)  vdu  u.dv  u  vdu  u.dv 4) d    v2 v • Định lý 2: (Tính bất biến) Giả sử hàm số y = f(u) khả vi biến u u = (x) hàm số khả vi theo biến x Khi đó: dy = y ’(u).du = y’(u).u’(x).dx = [y((x))]’.dx = y’x.dx Nhận xét: Biểu thức vi phân giữ nguyên dạng trường hợp x biến độc lập, mà phụ thuộc vào biến khác v1.0014105206 21 ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN CẤP CAO 5.1 Đạo hàm cấp cao 5.2 Vi phân cấp cao v1.0014105206 22 5.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa: Đạo hàm cấp n (n ≥ 2) f(x) miền D đạo hàm đạo hàm cấp n – f(x) D Ký hiệu: f(n)(x) Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai hàm số: y = x.e – 2x • Trước hết, đạo hàm cấp là: y’ = (1 – 2x).e – 2x • Đạo hàm cấp đạo hàm hàm y’: y” = 4(x – 1).e – 2x v1.0014105206 23 5.2 VI PHÂN CẤP CAO • Định nghĩa: Vi phân cấp n (n ≥ 2) f(x) miền D vi phân vi phân cấp n – f(x) D Ký hiệu: d(n)f(x) • Liên hệ đạo hàm vi phân cấp cao: d(n)f(x) = f(n)(x) (dx)n v1.0014105206 24 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG • Ta xét mức giá p0 lượng cung tương ứng Q(p0) • Khi giá tăng đại lượng p (nghĩa mức giá p0 + p) lượng cung tương ứng Q(p0 + p) Q  p0  p   Q  p0  Q  p0  p   Q  p0  Khi thương  p p0  p   p0 tốc độ tăng trung bình lượng cầu khoảng giá [p0, p0 + p] • • Khi lượng p đủ bé (p → 0) thương đạo hàm hàm cầu p0 tốc độ tăng tức thời hàm cầu Qs mức giá p0: Qs  p0   lim p 0 Q  p0  p   Q  p0  p 500   p0  p    p0  p    500  p0  2p0     lim p 0 p  lim p 0 v1.0014105206 p   2p0 p  p2  p  lim 1  4p0  2p    4p0 p 0 25 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Đạo hàm hàm số y  ( x  sin x ) là: A y '  x  3cos x C y '  x  x B y '  D y '  cos x x 33 x  x cos x  3cos x Trả lời: • Đáp án là: B y '  • Vì: x  x cos x 1  2 3 Ta có y '  ( x )' 3(sin x )' ( x )'  (x )'  x  x  3 3 x (sin x )'  ( x )'cos x  cos x x v1.0014105206 2 26 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vi phân y = sin36x A x0  0,3  với số gia Δx = 0,1 là: 24 2 B 0,15 C D 0,9 0,3 Trả lời: Đáp án là: C 0,9 Vì: y’ = 3sin26x.cos6x.6 = 18sin26x.cos6x  18     18 sin cos  y '      4 2  24  0,9       y ' x 0,1  dy           2  24   24  v1.0014105206 27 BÀI TẬP   3x  Tính đạo hàm cấp hàm số: y  ln    5x   Trả lời: Đạo hàm cấp là: '   3x  3(5x  1)  (2  3x)5  5x   13 (5x  1)2   y'     3x  3x (5x  1)(2  3x) 5x  5x  Đạo hàm cấp là: '   13(7  30x) 13 [(5x  1)(2  3x)]' y"   13      [(5x  1)(2  3x)]2 (5x  1)2 (2  3x)2  (5x  1)(2  3x)  v1.0014105206 28 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI f(x  x)  f(x )  k R x • Đạo hàm điểm: f ' (x )  lim x 0 • Hàm số đạo hàm (đạo hàm miền): f ' : x  f ' (x ) • Đạo hàm tổng, hiệu, tích, thương: (u ± v)’ = u’ ± v’ (u.v)’ = u’.v + u.v’ → (k.v)’ = k.v’ ' • ' '  u  u v  u.v v  v2   Đạo hàm hàm hợp: y’x = y’u.u’x • Vi phân điểm: df(x0) = f’(x0).Δx • Biểu thức vi phân: df(x) = f’(x).dx v1.0014105206 29 ... v1.001410 520 6 21 ĐẠO HÀM CẤP CAO VÀ VI PHÂN CẤP CAO 5.1 Đạo hàm cấp cao 5 .2 Vi phân cấp cao v1.001410 520 6 22 5.1 ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa: Đạo hàm cấp n (n ≥ 2) f(x) miền D đạo hàm đạo hàm cấp n... 6tan52x.(tan2x)’ • Dùng công thức 6) ta được: (2x)' (tan2x)'   cos2 2x cos2 2x • Do ta được: tan5 2x y '  tan 2x  12 cos2 2x cos2 2x v1.001410 520 6 15 3.3 ĐẠO HÀM CỦA BIỂU THỨC LŨY THỪA MŨ VÀ... hàm cấp hai hàm số: y = x.e – 2x • Trước hết, đạo hàm cấp là: y’ = (1 – 2x).e – 2x • Đạo hàm cấp đạo hàm hàm y’: y” = 4(x – 1).e – 2x v1.001410 520 6 23 5 .2 VI PHÂN CẤP CAO • Định nghĩa: Vi phân cấp