Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 5: Cực trị của hàm nhiều biến tìm hiểu bài toán cực trị không có điều kiện (cực trị tự do); ứng dụng bài toán cực trị không có điều kiện trong phân tích kinh tế; bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc; ứng dụng bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc trong phân tích kinh tế.
BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN ThS Hoàng Văn Thắng Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG: Lựa chọn tối ưu kinh tế Trong doanh nghiệp cạnh tranh túy sản xuất loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC 3Q12 2Q1Q 2Q 22 10 Với giá thị trường sản phẩm $160 giá sản phẩm $120 Hãy chọn cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa v1.0014105206 MỤC TIÊU • Hiểu khái niệm điểm cực trị, điểm dừng hàm số • Biết cách thực hành tìm điểm cực trị tốn cực trị tự • Biết cách thực hành tìm điểm cực trị tốn cực trị có điều kiện phương pháp nhân tử Lagrange • Ứng dụng hai toán cực trị để giải số tốn tối ưu phân tích kinh tế v1.0014105206 NỘI DUNG Bài tốn cực trị khơng có điều kiện (cực trị tự do) Ứng dụng toán cực trị khơng có điều kiện phân tích kinh tế Bài tốn cực trị có điều kiện ràng buộc Ứng dụng tốn cực trị có điều kiện ràng buộc phân tích kinh tế v1.0014105206 CỰC TRỊ KHƠNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC 1.1 Khái niệm cực trị hàm số 1.2 Điều kiện cần cực trị 1.3 Điều kiện đủ cực trị v1.0014105206 1.1 KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ Xét hàm số w = f(x, y) xác định liên tục miền D M(x,y) : a x b, c y d Định nghĩa: • Ta nói hàm số w = f(x, y) = f(M) đạt giá trị cực đại điểm M0(x0, y0) thuộc D f(M) f(M0) với điểm M(x, y) D mà khoảng cách từ M đến M0 nhỏ r (r > 0, nhỏ tùy ý) • Ta nói hàm số w = f(x, y) = f(M) đạt giá trị cực tiểu điểm M0(x0, y0) thuộc D f(M) f(M0) với điểm M(x, y) D mà khoảng cách từ M đến M0 nhỏ r (r > 0, nhỏ tùy ý) • Cực đại cực tiểu gọi chung cực trị Nếu hàm số đạt cực trị M0(x0, y0) điểm M0(x0, y0) gọi điểm cực trị v1.0014105206 1.1 KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ (tiếp theo) Ví dụ: Hàm số w = x2 + y2 đạt giá trị cực tiểu điểm O(0, 0) Vì x2 + y2 > với (x, y) thuộc cận điểm (0, 0) Câu hỏi đặt ra: Với hàm số bên điểm cực trị (0, 0) cịn điểm cực trị khác? Tìm chúng nào? Rõ ràng dùng định nghĩa Vì cần có cơng cụ tốt hơn: Điều kiện cần giúp ta tập chung vào cá điểm hoài nghi, gọi điểm dừng v1.0014105206 1.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CỰC TRỊ • Hàm số w = f(x, y) = f(M) xác định, liên tục có đạo hàm riêng miền D D M(x,y) : a x b,c y d • Khi đó, điểm M0(x0, y0) điểm cực trị hàm số điểm M0(x0, y0) tất đạo hàm riêng cấp hàm số triệt tiêu w'x (x , y ) w 'y (x , y ) • (*) w'x Điểm M0(x0, y0) thỏa mãn điều kiện (*) tức nghiệm hệ gọi điểm w 'y dừng hàm w = f(x, y) v1.0014105206 1.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CỰC TRỊ (tiếp theo) • Nhận xét 1: Từ định lý ta suy ra: Hàm số đạt cực trị điểm dừng nó, nên để tìm điểm cực trị ta cần tìm số điểm dừng • Nhận xét 2: Một điểm điểm dừng hàm số chưa điểm cực trị Cho nên cần xétđiều kiện đủ để điểm dừng điểm cực trị v1.0014105206 1.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA CỰC TRỊ (Chỉ xét điểm dừng) Giả sử hàm số w = f(x, y) = f(M) có điểm dừng M0(x0,y0) đạo hàm riêng cấp hàm số xác định, liên tục M0(x0,y0) a D 11 a21 Xét a11 w "xx (x , y ); a12 w "xy (x , y ) a12 với " " a22 a21 w yx (x , y ); a22 w yy (x , y ) • Nếu D < điểm M0(x0,y0) khơng phải điểm cực trị hàm số w = f(x, y) • Nếu D > điểm M0(x0,y0) điểm cực trị hàm số w = f(x, y) a11 > điểm M0(x0,y0) điểm cực tiểu hàm số a11 < điểm M0(x0,y0) điểm cực đại hàm số v1.0014105206 10 3.3 Ý NGHĨA CỦA NHÂN TỬ LAGRANGE • Khi thực giải tốn tìm cực trị hàm số w = f(x, y) với điều kiện g(x, y) = b phương pháp nhân tử Lagrange: • Ta có hàm Lagrange: • Giả sử hàm số đạt cực trị điểm dừng M(x0, y0); 0 w0 = w0(b) L = f(x,y) + [b – g(x,y)] w '0 (b) dw 0 db • Ta chứng minh được: • Do vậy, giá trị 0 giá trị w0 – cận biên b, nghĩa b tăng thêm đơn vị giá trị cực trị w0 thay đổi lượng xấp xỉ 0 v1.0014105206 34 3.3 Ý NGHĨA CỦA NHÂN TỬ LAGRANGE (tiếp theo) Ví dụ: Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị hàm số w 3x 5xy với điều kiện x + y = 16 • Ta biết: Hàm số Lagrange có điểm dừng M0(20, –4); λ0 = 100; w0 = w(20, –4) = 800 • Nếu điều kiện thay đổi thành x + y = 17 (b tăng thêm đơn vị) giá trị cực đại w0 tăng thêm xấp xỉ λ0 = 100 đơn vị v1.0014105206 35 BÀI TỐN TỐI ĐA HĨA LỢI ÍCH KHI CĨ RÀNG BUỘC NGÂN SÁCH • Xét cấu tiêu dùng có hai mặt hàng Giả sử, giá hàng hoá thứ hai p1, p2 người có số tiền b Khi đó, để tối đa hố độ thoả dụng u = u(x, y) người phép lựa chọn x y khuôn khổ ràng buộc ngân sách: p1x + p2y = b • Bài toán: Chọn (x, y) = ? để hàm lợi ích u = u(x, y) đạt cực đại với điều kiện p1x + p2y = b v1.0014105206 36 VÍ DỤ Giả sử người tiêu dùng có hàm lợi ích u = x0,4.y0,9 Trong điều kiện giá hàng hóa thứ 8USD, giá hàng hóa thứ hai 3USD thu nhập dành cho tiêu dùng 260USD Hãy xác định giỏ hàng đem lại lợi ích tối đa cho người tiêu dùng Giải: Bài toán thực chất tốn cực trị có điều kiện: Tìm (x, y) cho hàm số u = x0,4.y0,9 đạt cực đại với điều kiện 8x + 3y = 260 • Lập hàm Lagrange: L = x0,4.y0,9 + (260 – 8x – 3y) • Giải điều kiện cần: Tính đạo hàm riêng cấp 2: L' x 0,4.x 0,6 y 0,9 8 L11 L''xx 0,24.x 1,6 y 0,9 ,L12 L''xy 0,36.x 0,6 y 0,1 L' y 0,9.x 0,4 y 0,1 3 L 21 L''yx 0,36.x 0,6 y 0,1,L 22 L''yy 0,09.x 0,4 y 1,1 L' 260 8x 3y v1.0014105206 g1 g'x 8,g2 g'y 37 VÍ DỤ (tiếp theo) 0,6 0,6 0,9 0,9 L' x 0,4.x y 8 0,4.x y 8 Giải hệ: L' y 0,9.x 0,4 y 0,1 3 0,9.x 0,4 y 0,1 3 ' 8x 3y 260 8x 3y 260 L 0,4.x 0,6 y 0,9 y y 6x Chia theo vế hai phương trình đầu hệ, ta 0,9.x 0,4 y 0,1 3x Thay y = 6x vào phương trình thứ ba ta được: 8x + 3.6x = 260 → x0 = 10, y0 = 60,0 = 0,3.100,4.60–0,1 • Vậy có điểm dừng là: M(10, 60); 0 = 0,3.100,4.60–0,1 • Kiểm tra điều kiện đủ: • Tính định thức cấp g1 g2 D g1 L11 L12 L11 L12 48L12 9L11 64L 22 g2 L 21 L 22 v1.0014105206 L 21 L 22 38 VÍ DỤ (tiếp theo) Vậy D 48L12 9L11 64L 22 x,y, (Vì L12 > 0; L11 < 0; L22 < x, y, λ >0) • Tức điểm dừng M(10, 60) điểm cực đại • Kết luận: Giỏ hàng cho lợi ích tối đa (x, y) = (10, 60) v1.0014105206 39 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Xét doanh nghiệp cạnh tranh tuý sản xuất loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC 3Q12 2Q1.Q2 2Q22 10 Với giá thị trường sản phẩm $160 giá sản phẩm $120 Hãy chọn cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa Giải: Bước 1: Lập hàm tổng lợi nhuận p1Q1 p2Q2 TC(Q1,Q2 ) 160Q1 120Q2 3Q12 2Q1.Q2 2Q22 10 3Q12 2Q22 2Q1.Q2 160Q1 120Q2 10 v1.0014105206 40 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Bước 2: Bài tốn trở thành tìm (Q1, Q2) để → max Vấn đề quy tốn cực trị khơng có điều kiện ràng buộc • Giải điều kiện cần: Tìm đạo hàm riêng cấp 2: 'Q 6Q1 2Q2 160 Q'' Q 6, Q'' Q 2 1 1 Q 4Q2 2Q1 120 Q Q 2, Q Q 4 ' '' Giải hệ: '' 2 ' 6Q1 2Q2 160 6Q1 2Q2 160 Q ' Q 4Q2 2Q1 120 2Q1 4Q2 120 Giải hệ ta tìm nghiệm nhất: (Q1, Q2) = (20, 20) Hàm số có điểm dừng M(20, 20) v1.0014105206 41 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Xét doanh nghiệp cạnh tranh tuý sản xuất loại sản phẩm với hàm chi phí kết hợp: TC 3Q12 2Q1.Q2 2Q22 10 Với giá thị trường sản phẩm $160 giá sản phẩm $120 Hãy chọn cấu sản lượng (Q1, Q2) để hàm lợi nhuận đạt giá trị tối đa Giải: Bước 1: Lập hàm tổng lợi nhuận p1Q1 p2Q2 TC(Q1,Q2 ) 160Q1 120Q2 3Q12 2Q1.Q2 2Q22 10 3Q12 2Q22 2Q1.Q2 160Q1 120Q2 10 v1.0014105206 42 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Điểm dừng hàm số f(x, y) = x2 +3xy + 2y2 – 5x + y – là: A (17, –23) B (1, –1) C (1, 1) D (–23, 17) Trả lời: • Đáp án đúng: D (–23, 17) • Giải thích: Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số cho đạo hàm riêng khơng Giải hệ phương trình: f 'x 2x 3y x 23 f ' 3x 4y y 17 y v1.0014105206 43 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Xét tốn tìm cưc trị hàm số f(x, y) = 2x – 3y với điều kiện x2 + 3y2 = Khi thực giảm toán phương pháp nhân tử Lagrange, ta tìm số điểm dừng hàm Lagrange là: A B C D Trả lời: • Đáp án là: C • Giải thích: Lập hàm số Lagrange, tìm đạo hàm riêng cấp Giải hệ phương trình tìm điểm dừng, hệ phương trình có nghiệm nên hàm số Lagrange có điểm dừng v1.0014105206 44 BÀI TẬP Tìm cực trị hàm số: w 3x 2xy 4y x 3y Gợi ý: • Thực bước tìm cực trị hàm số • Hàm số có đạo hàm riêng: w x 6x 2y w'y 2x 8y • Hàm số có điểm dừng M0(–7/22; 5/11) • Kiểm tra điều kiện đủ: kết luận hàm số đạt giá trị cực tiểu điểm M0 v1.0014105206 45 BÀI TẬP Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị hàm số f(x, y) = xy với điều kiện 2x – 3y = 26 Hướng dẫn: • Lập hàm Lagrange • Tìm điểm dừng hàm số Lagrange: hàm có điểm dừng M0(–6,4,2) • Kiểm tra điều kiện đủ: kết luận hàm số đạt giá trị cực tiểu M0(–6; 4) v1.0014105206 46 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Bài toán cực trị tự hàm số tốn tìm giá trị biến chọn miền xác định hàm số mà hàm số đạt giá trị lớn (nhỏ nhất) phạm vi lân cận đủ nhỏ điểm • Để tìm cực trị tự hàm số, ta tiến hành tìm điểm dừng hàm số Sau đó, sử dụng điều kiện đủ kiểm tra điểm dừng tìm có điểm cực trị hay khơng • Bài tốn tối đa hóa lợi ích nhà sản xuất giới thiệu với toán lựa chọn mức sản lượng tối ưu lựa chọn mức sử dụng yếu tố đầu vào tối ưu • Đối với cực trị có điều kiện ràng buộc ta phải tiến hành tìm cực trị hàm số biến chọn phải thỏa mãn phương trình ràng buộc v1.0014105206 47 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Phương pháp nhân tử Lagrange sử dụng để tìm cực trị có điều kiện ràng buộc Nhân tử Lagrange biến số đưa thêm vào lập hàm Lagrange.Chúng ta thực tìm cực trị hàm Lagrange sử dụng điều kiện đủ kiểm tra hàm số có đạt cực trị điểm tìm hay khơng • Trong phương pháp nhân tử Lagrange, giá trị b điều kiện ràng buộc tăng thêm đơn vị, ta khơng cần giải lại tốn mà dựa vào ý nghĩa nhân tử Lagrange để biết (xấp xỉ) giá trị cực trị tốn • Bài tốn tối đa hóa lợi ích có ràng buộc ngân sách đưa minh họa cho việc sử dụng tốn cực trị phân tích kinh tế v1.0014105206 48 ... hai toán cực trị để giải số toán tối ưu phân tích kinh tế v1.00141 052 06 NỘI DUNG Bài tốn cực trị khơng có điều kiện (cực trị tự do) Ứng dụng tốn cực trị khơng có điều kiện phân tích kinh tế Bài. .. TRONG KINH TẾ HỌC (tiếp theo) • Các kết tạo sở toán học cho việc giải toán tối ưu Bài toán tối ưu đặt mục tiêu tối đa hoá tối thiểu hoá giá trị hàm số, gọi hàm mục tiêu: w = f(x, y) • Các biến... dừng: L' x 6x 5y 6x 5y ' 5x 5x L y ' x y 16 L Từ phương trình đầu ta suy ra: 6x + 5y = 5x → x = –5y vào phương trình thứ –5y + y = 16 → y