Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 6 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 6: Nguyên hàm và tích phân bất định tìm hiểu nguyên hàm của hàm số; tích phân bất định; các công thức tích phân cơ bản; các phương pháp tính tích phân.

BÀI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ThS Đoàn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Giả sử chi phí cận biên (MC) mức sản lượng Q là: MC = 25 – 30Q + 9Q2 chi phí cố định FC = 55 Hãy xác định hàm tổng chi phí v1.0014105206 MỤC TIÊU • Nắm vững định nghĩa tích phân bất định tính chất bản; • Hiểu, nhớ áp dụng tích phân hàm bản; • Nắm phương pháp tính tích phân; • Nhớ dạng tích phân v1.0014105206 NỘI DUNG Nguyên hàm hàm số Tích phân bất định Các cơng thức tích phân Các phương pháp tính tích phân v1.0014105206 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1.1 Khái niệm nguyên hàm 1.2 Biểu thức nguyên hàm tổng quát v1.0014105206 1.1 KHÁI NIỆM NGUYÊN HÀM Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng X F’(x) = f(x), x  X Ví dụ: Hàm số x2 nguyên hàm của hàm số 2x R (x2)’ = 2x Hàm số sin x nguyên hàm của hàm số cos x R (sin x)’ = cos x v1.0014105206 1.2 BIỂU THỨC NGUYÊN HÀM TỔNG QUÁT Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) khoảng X • Hàm số F(x) + C, với C số bất kỳ, nguyên hàm f(x) X • Ngược lại, nguyên hàm f(x) khoảng X biểu diễn dạng: F(x) + C, với C số Biểu thức F(x) + C gọi biểu thức nguyên hàm tổng quát f(x) X Ví dụ: Vì ngun hàm hàm số 2x hàm x2 nên nguyên hàm hàm số 2x có dạng F(x) = x2 + C v1.0014105206 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2.1 Định nghĩa tích phân bất định 2.2 Các tính chất tích phân bất định v1.0014105206 2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH • Định nghĩa: Tích phân bất định hàm số f(x) biểu thức nguyên hàm tổng quát F(x) + C, F(x) nguyên hàm hàm số f(x) • Ký hiệu:  f(x)dx • Theo ký hiệu ta có:  f(x)dx  F(x)  C Ví dụ: • x3  x dx   C  cos xdx  sin x  C v1.0014105206 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1)   f(x)dx  '  f(x) hay d   f(x)dx   f(x)dx 2)  F'(x)dx  F(x)  C hay  dF(x)  F(x)  C 3)   f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx 4)  k.f(x)dx  k. f(x)dx (k  const) v1.0014105206 10 VÍ DỤ Tính tích phân I3   tan x.dx Ta viết lại tích phân dạng I3   tan x.dx   d  cos x  sin x dx    cos x cos x Nhưng  dx  ln x  C x Nên I3    v1.0014105206 d  cos x  cos x   ln cos x  C 18 4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ • Đối với tích phân I = f(x)dx, ta đặt x = (t) hàm đơn điệu có đạo hàm liên tục (;) Khi I   f(x)dx   f (t)   '(t).dt   g(t).dt • Khi phép đổi biến lựa chọn phù hợp tích phân theo biến số t đơn giản Nếu ta tính g(t).dt = G(t) + C I   f(x)dx  G h(x)   C t = h(x) hàm ngược hàm số x = (t) v1.0014105206 19 4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Lưu ý tính tích phân hàm chứa ta đặt t  n n ax  b ax  b Từ tính x theo t, dx theo dt, sau thay vào tích phân khử bớt tn  b x , a v1.0014105206 n.t n1 dx  dt a 20 4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ (tiếp theo) dx Ví dụ: Tính tích phân: I1    3x  • Đặt t  3x  • Suy t  3x  • Thay vào tích phân ban đầu ta có I1  • Tính tích phân theo t ta I1  •  dx  2t dt 2t t  dt dt 1 t 3 1 t t   2     dt dt t ln  t  C     1 t  1 t 3 Suy I1  v1.0014105206  t2  x 2 3x   ln  3x   C 3 21 4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ (tiếp theo) Đối với tích phân I = f[(x)].’(x)dx, ta đặt t = (x) Khi đó:  f (x)   '(x)dx   f(t)dt  F(t)  C  F (x)   C Ví dụ: Tính tích phân: I1  1 tan  x x dx x • Đặt t  • Suy dt   • Khi I1   tan t.dt   • Vì I1  ln cos dx x  v1.0014105206 d  cos t  sin t dt   cos t  cos t  ln cos t  C C x 22 4.4 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN  udv  uv   vdu Trong u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục Một số dạng tính phương pháp tích phân phần: u  P(x) ax P(x).e dx    ax dv  e dx u  lnm x α m   x ln xdx   α dv  x dx  v1.0014105206 u  P(x) P(x).cos axdx    dv  cos axdx u  P(x)   P(x).sin axdx   dv  sin axdx  23 VÍ DỤ Tính tích phân I1   x.e 2 x dx • Ta đặt: u  x  2 x dv  e dx •  du  dx   e 2 x 2 x v   e dx  2 Theo phương pháp tích phân phần ta có e 2x 2x x.e 2x e 2x   C I1  x e dx   2  v1.0014105206 24 VÍ DỤ Tính tích phân I2  • x.ln 2x.dx Ta đặt: u  ln 2x  dv  x.dx •    du dx   x    2x  v   x.dx   Theo phương pháp tích phân phần ta có I2  v1.0014105206 2 x ln 2x   x.dx  x ln 2x  x3  C 3 25 VÍ DỤ Tính tích phân I3  •  x.cos 2x.dx Ta đặt: u  x  dv  cos 2x.dx •  du  dx   sin 2x   v cos 2x.dx   Theo phương pháp tích phân phần ta có I3  x v1.0014105206 sin 2x sin 2x cos 2x   sin 2x.dx  x  C 2 26 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG • Vì TC’(Q) = MC(Q) nên hàm tổng chi phí nguyên hàm hàm chi phí cận biên TC = (25-30Q + 9Q2)dQ = 25Q – 15Q2 + 3Q3 + C0 • Chi phí cố định phần chi phí khơng phụ thuộc sản lượng Q (chi phí mà doanh nghiệp phải bỏ kể không sản xuất sản phẩm nào), đó: FC = 55 = TC(0) = C0 → TC = 55 + 25Q – 15Q2 + 3Q3 v1.0014105206 27 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giá trị tích phân I    2x  3x  dx là: A  x  x   C 4x 9x B  3x  C 4x 9x C  3x  C  2x  3x  D 3 C 4x 9x Trả lời: Đáp án B  3x  C Giải thích: Dùng phương pháp khai triển  2x  3x   4x  12x  9x 4x 9x  3x  C I    4x  12x  9x  dx  v1.0014105206 28 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giá trị tích phân I   x.cos x.dx là: x2 A .sin x  C x2 B .cos x  C C x.sin x  C D x.sin x  cos x  C Trả lời: • Đáp án đúng: D • Giải thích: Sử dụng phương pháp tích phân phần để tính, đạo hàm kết để kiểm tra đáp án Chú ý cách thứ khơng khuyến khích tự học, bạn nên dùng cách để kiểm tra xem kết tính có hay khơng v1.0014105206 29 CÂU HỎI TỰ LUẬN Tính tích phân I    x  2cos3x  dx Giải: • Trước hết ta khai triển tích phân thành: I    x  4x.cos3x  cos2 3x  dx   x dx   x.cos3x.dx   cos2 3x.dx      I1 • I2 I3 Trong I1 tích phân hàm lũy thừa bản: x3 I1   x dx  C v1.0014105206 30 CÂU HỎI TỰ LUẬN • I3 tích phân hàm lượng giác: I3   cos 3x.dx   • 1 2 cos 3x dx  1  cos 6x  dx 2 2  1 sin 6x  x  C   I2 tích phân tính phương pháp tích phân phần: I2   x.cos 3x.dx  •  cos 3x x.sin 3x  C Do x 4x.sin 3x cos 3x sin 6x    2x  C I 3 v1.0014105206 31 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • Ngun hàm hàm số f(x) X hàm F(x) thỏa mãn: F’(x) = f(x) X • Tích phân bất định:  f(x)dx  F(x)  C với F(x) ngun hàm • Các tính chất bản:   f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx  k.f(x)dx  k  f(x)dx • Có phương pháp tính tích phân bất định: Phương pháp khai triển, phương pháp sử dụng tính bất biến biểu thức tích phân, phương pháp đổi biến, phương pháp tích phân phần v1.0014105206 32 ... phân bất định Các cơng thức tích phân Các phương pháp tính tích phân v1.00141052 06 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ 1.1 Khái niệm nguyên hàm 1.2 Biểu thức nguyên hàm tổng quát v1.00141052 06 1.1 KHÁI NIỆM... sin 6x    2x  C I 3 v1.00141052 06 31 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Nguyên hàm hàm số f(x) X hàm F(x) thỏa mãn: F’(x) = f(x) X • Tích phân bất định:  f(x)dx  F(x)  C với F(x) nguyên hàm • Các tính... v1.00141052 06 10 CÁC CƠNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN 1)  1dx  x  C 2) 3) 4) 5) x 1  C (  1)  x dx   1 dx   ln x  C x ax x  C,  e x dx  e x  C  a dx  lna  cos xdx  sin x  C  6) 