Hướng dẫn tự học môn toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 đại học kinh tế quốc dân

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu 11/2016 Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 1/7 ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN KHOA TOÁN KINH TẾ BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2/7 Thông tin học phần Tên tiếng Anh: Mathematics for Economics Số đơn vị học trình: đơn vị học trình (45 tiết) Nội dung học phần: Học phần gồm chương Chương 1, Chương đề cập đến phép tính giới hạn phép tính vi phân hàm số biến số Chương 3, Chương trình bày kiến thức hàm số nhiều biến số cực trị hàm số nhiều biến Chương trình bày phép toán tích phân chương cuối trình bày kiến thức phương trình vi phân Môn học tiên quyết: Toán cao cấp cho nhà kinh tế Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 3/7 Thông tin giảng viên Giảng viên: Họ tên giảng viên Đơn vị: môn Toán bản, khoa Toán kinh tế Văn phòng Khoa: Phòng 403 nhà 7, trường ĐH Kinh tế quốc dân - 207 đường Giải phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội Website Khoa: www.mfe.edu.vn Email: Email giảng viên Số điện thoại: Số điện thoại giảng viên (có thể có không) Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 4/7 Phân bổ thời gian giảng dạy Chương Số tiết Tuần học Chương Hàm số giới hạn 1, Chương Đạo hàm vi phân 3, 4, Chương Hàm số nhiều biến số 6, Chương Cực trị hàm nhiều biến số 8, 9, 10 Chương Phép toán tích phân 11, 12, 13 Chương Phương trình vi phân 14, 15 Chú ý Bài kiểm tra kỳ làm vào tuần thứ 10 Nội dung kiểm tra từ chương đến hết chương Bài kiểm tra tự luận, thời gian làm 60 phút Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 5/7 Cơ cấu đánh giá điểm Điểm thành phần Tỷ lệ Thang điểm Ý thức học tập 10% 10 (điểm nguyên) Kiểm tra kỳ 20% 10 (điểm nguyên) Thi kết thúc học phần 70% 10 (điểm lẻ 0,5) Sinh viên tham dự kỳ thi kết thúc học phần tham gia 80% số tiết lớp có điểm ý thức lớn Quy định cách đánh giá điểm ý thức học (10%): đánh giá dựa vào thái độ tích cực tham gia môn học sinh viên (dự buổi học lớp, làm tập nhà, làm tập lớp) Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 6/7 Tài liệu Lê Đình Thúy, Nguyễn Thị Quỳnh Lan (2016), Giáo trình Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB ĐH KTQD Alpha C Chiang (1995), Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third edition, Mc Graw-Hill, Inc Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 7/7 TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu 11/2016 Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 1/4 CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Các nội dung bản: Các khái niệm hàm số biến số: hàm số; miền xác định; miền giá trị; hàm ngược; hàm số đơn điệu; hàm số bị chặn; hàm số chẵn hàm số lẻ; phép hợp hàm; hàm số sơ cấp; số hàm số kinh tế học Dãy số giới hạn dãy số Giới hạn hàm số: khái niệm giới hạn hàm biến số quy tắc tính giới hạn Hàm số liên tục: khái niệm hàm số liên tục tính chất hàm số liên tục Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2/4 CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Học xong chương này, sinh viên có thể: Tìm miền xác định, tập giá trị hàm số Nhớ khái niệm tìm hàm ngược hàm số Nhớ phân biệt hàm số sơ cấp bản: biểu thức, miền xác định, tập giá trị Nhớ số đặc trưng hàm số: tính đơn điệu; tính bị chặn; hàm số chẵn, hàm số lẻ; tính tuần hoàn Lập hàm hợp từ hàm số Phân tích hàm số sơ cấp qua hàm số sơ cấp Nhớ số mô hình hàm số phân tích kinh tế: hàm sản xuất ngắn hạn, hàm cung - hàm cầu, hàm chi phí, hàm doanh thu hàm lợi nhuận Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 3/4 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải Phương trình Bernouilli Phương trình Bernouilli phương trình có dạng y ′ + p(x)y = q(x)y α , (4) p(x), q(x) hàm số liên tục khoảng (a, b) α = 0, α = Nhận xét - Nếu α = PT PT tuyến tính - Nếu α = PT đưa PT tách biến Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 10 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải Phương trình Bernouilli (2) Với y = 0, chia hai vế (4) cho y α ta y −α y ′ + p(x)y 1−α = q(x) Đặt z = y 1−α , ta có z ′ = (1 − α)y −α y ′ , PT trở thành z ′ + (1 − α)p(x)z = (1 − α)q(x) (5) Phương trình (5) phương trình vi phân tuyến tính cấp z mà ta biết cách giải Với α > 0, dễ thấy y = nghiệm phương trình Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 11 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải Phương trình Bernouilli (3) Ví dụ Giải PT: dy dx + 2y x = 3x y 4/3 Ví dụ Giải phương trình y′ + y + (x + 1)3 y = x +1 Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 12 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân a) Phương trình vi phân toàn phần Phương trình vi phân toàn phần phương trình có dạng M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0, (6) vế trái PT biểu thức vi phân hàm số Φ(x, y ) dΦ(x, y ) = M(x, y )dx + N(x, y )dy Khi đó, PT viết dạng dΦ(x, y ) = suy tích phân tổng quát PT là: Φ(x, y ) = C Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 13 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (2) Kết Với điều kiện M(x, y ), N(x, y ) hàm số xác định, liên tục có đạo hàm riêng liên tục miền: D = {(x, y ) : a < x < b; c < y < d} biểu thức M(x, y )dx + N(x, y )dy vi phân toàn phần hàm số Φ(x, y ) khi: ∂N ∂M = ∂y ∂x Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 14 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (3) Kết (tiếp) Khi đó, hàm số Φ(x, y ) xác định công thức: y x yo xo N(xo , y )dy M(t, y )dt + Φ(x, y ) = y x N(x, y )dy ; M(t, yo )dt + f (x, y ) = xo yo (xo , yo ) điểm thuộc D Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 15 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (4) Ví dụ +x y dx − x2 dy = y Ví dụ y (sin 2x − 2y )dx − 2x − cos2 x y2 dy = Ví dụ e y dx + (xe y − 1)dy = Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 16 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (5) b) Thừa số tích phân Xét phương trình M(x, y )dx + N(x, y )dy = (7) không phương trình vi phân toàn phần Nếu tồn hàm p(x, y ) ≡ cho phương trình p(x, y )M(x, y )dx + p(x, y )N(x, y )dy = 0, phương trình vi phân toàn phần, ta gọi hàm p(x, y ) thừa số tích phân phương trình (7) Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 17 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (6) Giả sử tồn thừa số tích phân p(x, y ): ∂(pN) ∂(pM) ∂p ∂N ∂p ∂N = ⇒N +p =M +p ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ⇒p ∂N ∂M − ∂y ∂x Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu =N ∂p ∂p −M ∂x ∂y TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 18 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (7) Ta xét hai trường hợp đơn giản mà thừa số tích phân tìm dễ dàng: p(x, y ) = p(x) ⇔ ∂M ∂N − N ∂y ∂x Ta chọn p(x) = e p(x, y ) = p(y ) ⇔ = F1 (x) F1 (x)dx ∂N ∂M − M ∂y ∂x Ta chọn p(y ) = e − = F2 (y ) F2 (x)dx Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 19 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (8) Ví dụ Giải phương trình (x − y )dx + (x y + x)dy = ϕ(x) = x2 Vậy Φ(x, y ) = x + y y3 + x Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 20 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải PT vi phân toàn phần Thừa số tích phân (9) Ví dụ Giải phương trình y (2xy − 1)dx + xy (xy + 1)dy = ψ(y ) = y3 Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 21 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải Xác định hàm cầu biết hệ số co dãn Ta biết công thức tính hệ số co dãn: ε= dQ p · , dp Q Khi biết ε = ε(p, Q): dQ p · = ε(p, Q) dp Q Ví dụ Q = 500 Tìm hàm cầu Q = f (p), cho biết ε = − 5p+2p Q p = 10 Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 22 / 23 Chương Phương trình vi phân Bài Một số loại PTVP phi tuyến tính cấp giải Các thuật ngữ then chốt Phương trình tách biến (phương trình phân ly biến số) Phương trình vi phân Phương trình Bernoulli Phương trình vi phân toàn phần Thừa số tích phân Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 23 / 23 ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN KHOA TOÁN KINH TẾ BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN CHÚC CÁC BẠN SINH VIÊN HỌC TẬP TỐT! Các kiến thức slide kiến thức môn học, bạn đọc kỹ giáo trình, tài liệu tham khảo tham gia buổi học lớp để đạt hiệu tốt Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 1/1 [...]... kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 4/4 Chương 1 Hàm số và giới hạn TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu 11 /20 16 Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 1 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 1 Các khái niệm cơ bản CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Bài 1 Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số Bộ môn Toán cơ... TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 17 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu 11 /20 16 Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 1 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 2 Dãy số và giới hạn của dãy số CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Bài 2 Dãy số và giới hạn của dãy số Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán. .. x 2 , g (x) = 3x Tìm f [g (x)], g [f (x)], f [f (x)], g [g (x)] Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 14 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 1 Các khái niệm cơ bản 5 Các hàm số sơ cấp (3) c) Các hàm số sơ cấp Các hàm số sơ cấp nhận được từ các hàm sơ cấp cơ bản qua một số hữu hạn phép toán sơ cấp Ví dụ y = x 3 + 2x + 5; Ví dụ y = ln(ln x) Ví dụ y = e −2x... arccot x Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 13 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 1 Các khái niệm cơ bản 5 Các hàm số sơ cấp (2) b) Các phép toán sơ cấp * Phép cộng, trừ, nhân, chia: f (x) ± g (x), f (x)g (x), f (x)/g (x) * Phép hợp hàm: g f Cho 2 hàm số X → Y → Z Nếu ∀x ∈ X , ∃h : X → Z sao cho: h(x) = g [f (x)] thì h được gọi là hợp của 2 hàm số f và... môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 5 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 2 Dãy số và giới hạn của dãy số 2 Giới hạn của dãy số (3) Định nghĩa Nếu lim xn = a ta nói {xn } hội tụ tới a Dãy có giới hạn hữu hạn n→∞ gọi là dãy hội tụ Dãy không có giới hạn hoặc có giới hạn vô hạn được gọi là dãy phân kỳ Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO. .. giá trị là [−π /2; π /2] Ví dụ arcsin 1 = π /2; arcsin √ 3 /2 = π/3 Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 8 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 1 Các khái niệm cơ bản 4 Một số đặc trưng của hàm số a) Tính đơn điệu Hàm số y = f (x) được gọi là đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) trên (a, b) nếu ∀x1 , x2 ∈ (a, b) : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) Ví dụ Xét... CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 6 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 2 Dãy số và giới hạn của dãy số 2 Giới hạn của dãy số (4) Ví dụ 1 2 3 1 1 1 = 0 vì | | < ε khi n > N = [ ] n→∞ n n ε n lim q = 0, 0 < |q| < 1 Theo định nghĩa n→∞ 0 < |q n | = |q|n < ε ⇒ n > log|q| ε lim lim n→∞ n+1 n = 1 Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 7 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 2. .. TR = TR(Q); TC = TC (Q); π = TR(Q) − TC (Q) = π(Q) Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 16 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 1 Các khái niệm cơ bản Các thuật ngữ then chốt Biến số Miền biến thiên Hàm số Miền xác định Giá trị của hàm số Hàm ngược Hàm sơ cấp Hàm hợp Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu Hàm Hàm Hàm Hàm Hàm Hàm Hàm Hàm Hàm đơn điệu... biến số - Trong giải tích toán học, biến số (biến) thường được ký hiệu bởi các chữ cái in thường: x, y , z, và miền biến thiên X thường là các khoảng số - Một số biến số kinh tế thường gặp: p, QD , QS , K , L, TC , TR, π, U Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 3 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 1 Các khái niệm cơ bản 2 Hàm số a) Khái niệm Định nghĩa... R Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2 11 / 17 Chương 1 Hàm số và giới hạn Bài 1 Các khái niệm cơ bản 4 Một số đặc trưng của hàm số (4) d) Tính tuần hoàn Hàm số y = f (x) được gọi là hàm tuần hoàn trên tập X nếu tồn tại a ∈ R, a = 0 thỏa mãn: f (x) = f (x + a), ∀x ∈ X Ví dụ Hàm f (x) = sin x tuần hoàn với chu kỳ 2 Bộ môn Toán cơ bản - Khoa Toán kinh tế - ...ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN KHOA TOÁN KINH TẾ BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 2/ 7 Thông tin học. .. TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 7/7 TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu 11 /20 16 Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 1/4 CHƯƠNG... TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ 4/4 Chương Hàm số giới hạn TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu 11 /20 16 Bộ môn Toán - Khoa Toán kinh tế - Neu TOÁN CAO CẤP CHO