Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 78 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
78
Dung lượng
1,43 MB
Nội dung
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG TÀI LI U THAM KH O TOÁN CAO C P A4 - GI I TÍCH GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG N M H C: 2016 -2017 TRANG CH : http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG L I NịI U §TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017 Chúc m ng b n đƣ b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i Vi c đ i h c m cho em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không thách th c Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mƠ c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch nh ng gi ng đ ng l n hƠng tr m Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia làm phân môn (hay g i h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn Bài t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vào cu i §ho c chuyên đ ch không theo (các bu i h c) Các t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c nên k t qu h c t p môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên ngành n m th 3, th (ho c th 5) Tuy nhiên, §trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k t p t i cu i h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) cu i §(Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c i h c, m t s video t p đ c đ a v i m c đích h ng d n em cách làm t p trình b y b c i h c Th y thi t k §trình v i l ch phát sóng s m đ em có c h i ti p c n s m v i ki n k n ng lƠm bƠi t p t t Hy v ng v i s chu n b s m t t, em s thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công vi c chu n b Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG b n Sinh viên ti n theo dõi §trình h c, Th y thi t k §trình đƠo t o đ c đánh mƣ s chi ti t theo phơn đo n đ n v ki n th c tu n t đ em d dàng theo dõi Các em có th vƠo đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b §trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 T i b c Ph thông, em h c m t §trình Toán nh t đ i v i Toán Cao C p s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng kh i ngành h c Tr ng i v i kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh , §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212): o Toán A1: i s n tính o Toán A2: Gi i tích o Toán A3: Gi i tích o Toán A4: Gi i tích i v i kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán B g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213): o Toán B1: i s n tính o Toán B2: Gi i tích i v i kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng, Lu t ho c Qu n tr kinh doan §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán C g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán C (http://moon.vn/Pro/7/214): o Toán C1: i s n tính o Toán C2: Gi i tích T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đƣ đ c b trí v i n i dung chi ti t cho t ng kh i ngành thông qua h th ng video gi ng giáo trình đ y đ c ng nh tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i t p cho c Toán A, Toán B vƠ Toán C i kèm lỦ thuy t c b n m t kho d li u kh ng t p đ c t ng h p t thi gi a cu i H c k n m g n đơy c a kh i ngành: Toán A1, A2, A3 A4: h n 3500 bƠi t p Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Toán B1 B2: g n 2000 bƠi t p Toán C1 C2: g n 2000 bƠi t p Các t p tr ng y u đ c quay Video kèm l i gi i giúp em ôn t p d dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng xác Th y vƠ đ i ng Supper Mods (c ng đ u Gi ng viên d y i h c) r t vui đ c trao đ i di n đƠn Toán cao c p t i Moon.VN Facebook v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc em nhanh chóng thu l v n d ng sáng t o ! mđ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG M CL C PH N I PH §1 PH NG TRỊNH VI PHÂN .8 NG TRỊNH VI PHÂN C P I ic ng v ph ng trình vi phơn c p Ph ng trình phơn ly .9 Ph ng trình thu n nh t 10 Ph ng trình khuy t bi n 10 Ph ng trình n tính 12 Ph ng trình Bernoulli .14 Ph ng trình vi phơn toƠn ph n 15 §2 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI 17 ic ng v ph ng trình vi phơn c p 17 Ph ng trình khuy t .18 Ph ng trình n tính thu n nh t 19 Ph ng trình n tính không thu n nh t 21 Ph ng trình n tính có h s không đ i .23 §3 H PH ic NG TRỊNH VI PHÂN 30 ng 30 Cách gi i h ph ng trình vi phơn 30 PH N II LÝ THUY T CHU I .32 §1 IC NG V H CHU I S 32 Chu i s 32 Tính ch t 33 §2 CHU I S D NG 34 nh ngh a 34 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Các đ nh lý so sánh 34 Các tiêu chu n h i t 35 §3 CHU I S CÓ D U V I H NG T B T K .39 Chu i v i s h ng có d u b t k 39 Chu i đan d u 39 Tính ch t c a chu i h i t t đ i 40 §4 CHU I HÀM S .42 Chu i hàm s h i t 42 Chu i hàm s h i t đ u 42 Tính ch t c a chu i hàm s h i t đ u 43 §5 CHU I L Y TH A 45 nh ngh a 45 Các tính ch t c a chu i l y th a 47 Khai tri n thành chu i l y th a .48 Khai tri n m t s hàm s s c p c b n 49 §6 CHU I FOURIER .52 Chu i l ng giác chu i fourier 52 i u ki n đ hàm s khai tri n thành chu i Fourier 53 Khai tri n hàm ch n l .54 PH N III PH §1 PHÉP BI N NG PHÁP TOÁN T LAPLACE .57 I LAPLACE VÀ PHÉP BI N I LAPLACE NG C .57 Phép bi n đ i Laplace 57 nh ngh a 57 Tính ch t c a phép bi n đ i Laplace .58 Phép bi n đ i Laplace ng §2 PHÉP BI N c 60 I C A BÀI TOÁN V I GIÁ TR BAN U .64 Phép bi n đ i c a đ o hàm 64 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Nghi m c a toán giá tr ban đ u H qu Phép bi n đ i c a đ o hàm b c cao 64 H ph ng trình vi phơn n tính 66 Nh ng k thu t bi n đ i b sung .67 §3 PHÉP T NH TI N VÀ PHÂN TH C N GI N 69 M đ u .69 Quy t c phân th c đ n gi n .69 S c ng h §4 ng nhân t tích l p b c 70 O HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BI N I 72 M đ u .72 Tích ch p c a hai hàm .72 Vi phân c a phép bi n đ i .73 Tích phân c a phép bi n đ i 75 Phép bi n đ i c a hàm liên t c t ng khúc .75 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG PH N I PH NG TRÌNH VI PHÂN Ph ng trình vi phơn lƠ ph ng trình có d ng F(x, y, y', y", , y(n)) = 0, x lƠ bi n đ c l p, y = y(x) hàm ph i tìm, y', , y(n) lƠ đ o hàm c a C p cao nh t c a đ o hƠm có ph ng trình, g i c p c a ph trình Giáo trình ch xét ph ng trình c p Nghi m c a ph ng trình vi phơn lƠ m i hàm s th a mƣn ph Nghi m c a ph ng trình có th tìm đ cd i d ng t ng ng trình đƣ cho ng minh y = y(x), ho c d ng tham s x = x(t); y = y(t); ho c d ng n (x,y) = §1 PH ic ng v ph NG TRỊNH VI PHÂN C P I ng trình vi phơn c p nh ngh a Ph ng trình vi phơn c p lƠ ph ng trình d ng F(x,y,y') = N u t ph ng trình đƣ cho gi i đ c theo y' ph ng trình có d ng y' = f(x,y) Bài toán Cauchy Là toán tìm nghi m c a ph ng trình y' = f(x,y) th a mƣn u ki n y(x0) = y0, (x0, y0) giá tr cho tr c Bài toán Cauchy đ c vi t y' f x, y 1 y x x y0 i u ki n (2) g i lƠ u ki n ban đ u, hay u ki n Cauchy nh lý t n t i nh t nghi m Xét toán Cauchy (1), (2) Gi s f(x,y) liên t c D , x , y0 D Khi đó, m t lân c n nƠo c a x0, toán Cauchy (1), (2) có nghi m N u có thêm u ki n f y' x, y liên t c D, nghi m nh t Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Nghi m t ng quát Ta g i ghi m t ng quát c a ph ng trình y' = f(x,y) lƠ hƠm s y (x,C) , C lƠ h ng s tùy ý, th a mƣn u ki n sau: a) Hàm s y (x,C) th a mƣn ph ng trình đƣ cho v i m i giá tr c a C b) x , y0 D , v i D mi n mƠ u ki n t n t i nh t nghi m đ c th a mƣn, tìm đ c giá tr c a h ng s C C0 , cho nghi m y (x,C0) th a mƣn u ki n ban đ u (2) Nghi m riêng, tích phân riêng N u công th c nghi m t ng quát ho c tích phân t ng quát, ta cho C giá tr c th C0, nghi m nh n đ c g i nghi m riêng ho c tích phân riêng Nghi m k d Có th t n t i nghi m không n m h nghi m t ng quát Nh ng nghi m nh v y g i nghi m k d Ph ng trình phơn ly LƠ ph ng trình d ng f(x)dx + g(y)dy = Cách gi i: Tích phân hai v ph ng trình, đ G i F(x) vƠ G(y) lƠ nguyên hƠm t ph ng c f (x)dx g(y)dy C ng ng, tích phân t ng quát c a trình F(x) + G(y) =C Ví d : Gi i ph ng trình ex ydx y 1 dy Gi i: N u y , chia hai v cho y, đ hai v ,đ 1 c e x dx 1 dy Tích phân y c ex x y ln y C Ngoài ra, y(x) c ng lƠ nghi m Nghi m không n m h nghi m t ng quát, nên nghi m k d Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Ph ng trình thu n nh t LƠ ph y ng trình có d ng y' f x Cách gi i: đƣ cho,đ t y = tx o hƠm theo x, đ c y' = xt' + t Th vƠo ph c xt ' f t t N u f t t , chia hai v cho x(f(t) - t) đ ng trình c y dt dx dt dx ln x t ln C x Ce x f t t x f t t x t N u f(t) t, y' = y/x Nghi m t ng quát y = Cx N u t n t i t0 cho f(t0) = t0 th tr c ti p, th y y = t0x nghi m riêng Ví d : Gi i ph ng trình y' xy xy Gi i: Chia t m u cho x, d th y đơy lƠ ph đ c ng trình thu n nh t t y = tx, 1 t 1 t 1 t2 dx t xt ' t xt ' t dt 1 t 1 t 1 t x t2 Tích ph n x y Ph hai v , đ c ln x arctan t ln(1 t ) + lnC V y y arctan x Ce ng trình khuy t bi n a) Ph ng trình khuy t y D ng ph + N u gi i đ ng trình lƠ F(x,y') = c y' = f(x) nghi m t ng quát y = f x dx + C Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 10 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG §2 PHÉP BI N I C A BÀI TOÁN V I GIÁ TR BAN U Phép bi n đ i c a đ o hƠm nh lý Cho f(t) liên t c vƠ tr n t ng khúc v i t≥0 vƠ lƠ b c m t +∞ , t c t n t i h ng s không âm c, M T tho mãn: f t Mect , t T Khi t n t i (2.1) f '(t ) v i s > c có: f ' t s f t f 0 sF (s) f (0) Ch ng minh: f ' t e st f ' t dt e df t e st st f (t ) | s e st f (t )dt 0 ct t s>c Do f t Me , t T e st f (t ) st T đ nh lí (bài 1) e f t dt h i t v i s>0 T f ' s s f s f 0 nh ngh a HƠm f đ c g i lƠ tr n t ng khúc [a;b] kh vi [a;b] tr h u h n m vƠ f’(t) liên t c t ng kh c [a;b] Nghi m c a bƠi toán giá tr ban đ u H qu Phép bi n đ i c a đ o hƠm b c cao ( n 1) liên t c vƠ tr n t ng khúc v i t Gi s r ng hàm s f , f ', , f b c m t Khi t n t i f t s f t s n n n 1 f t v n i s>c có f (0) s n 2 f '(0) f s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f '(0) f n 1 n 1 (0) (0) Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 64 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Ví d S d ng đ nh lý 1, ch ng minh r ng t e n at n! s a n 1 , n 1, 2,3, Ch ng minh b ng quy n p +) n=1: f (t ) teat f '(t ) ateat eat sF ( s) f (0) aF ( s) t e k at +) n=k: t +) k 1 at e k! s a k 1 ska1 t e ska1 k at Ví d Gi i ph 1 F ( s) sa s a k 1! k! k 1 s a s a k ng trình: x" x ' x v i u ki n x(0)=2,x’(0)=-1 x ' t sX(s) Ta có: x"t s X x sx(0) x '(0) s Thay vƠo ph X ( s ) 2s ng trình đƣ cho có: (s X(s) 2s 1) sX( s) X( s) s s X s 2s X(s)= Do 2s 2s 3 s s s a s s s 1 3t 2t at e nên có x t e e nghi m c a toán giá tr ban 5 s a đ u Ví d Gi i toán v i u ki n ban đ u: x" x sin 3t , x(0) x '(0) T u ki n ban đ u có: Ta có: sin 3t x"t s X(s) sx(0) x '(0) s X(s) 2 s 32 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 65 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Thay vào ta có: s X (s) X (s) As B Cs D 3 X s ( ) 2 s2 s s s 4 s 9 ng nh t h s ta có A=C=0, B=3/5, D=-3/5, X ( s) 3 10 s s sin 2t Do , s 4 sin 3t 3 x t sin 2t sin 3t nên ta có s 3 10 Nh n xét: Nh v y ph ng pháp bi n đ i Laplace cho l i gi i tr c ti p tìm nghi m c a toán giá tr ban đ u mà không c n phân bi t lƠ ph ng trình vi phân thu n nh t không thu n nh t H ph ng trình vi phơn n tính Phép bi n đ i Laplace có kh n ng bi n đ i h ph thành m t ph ng trình đ i s n tính Ví d Gi i h ph ng trình vi phơn n tính ng trình vi phơn n tính 2 x" 6 x y v i u ki n ban đ u x 0 x ' 0 y 0 y ' 0 y " x y 40sin 3t T u ki n ban đ u có: T Do ng t x"t s X(s) sx(0) x '(0) s X(s) 2 y"t s Y(s) sin 3t , thay vào h ph s 9 ng trình có h ph ng trình sau: s 3 X ( s) Y( s) 2s X ( s) 6 X ( s) 2Y( s) 120 120 s Y( s) X ( s) 2Y( s) 2 X ( s) s Y( s) s 9 s 9 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 66 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG s 3 1 s 2 1 120 s2 2 s 1 s s2 1 120 2 s 2 s 9 Do X ( s) 2 2 120 s2 120( s 3) s2 120 2 s2 4 s 9 s 1 s s s Do x t 5sin t sin 2t sin 3t T ng t có Y( s) s 120 s 3 s s 1 2 10 18 s 1 s s nên có y(t ) 10sin t 4sin 2t 6sin 3t Nh ng k thu t bi n đ i b sung nh lý Phép bi n đ i c a tích phân N u f(t) liên t c t ng khúc v i t b c m t t f d 0 s 1 Hay là: f t F s(s) F ( s) f d s 0 t t v i s>c 1 F d Ch ng minh: t +) f liên t c t ng khúc g t f d liên t c, tr n t ng khúc v i t t t 0 có g t f d M ec d M ct M ct e 1 e C C Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 67 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG g t hàm b c m t +) S d ng đ nh lý ta có Do g(0)=0 nên ta có f t g ' t s g t g (0) t f d 0 g t 1s f t Ví d Tìm ngh ch đ o c a phép bi n đ i Laplace c a G( s) Ta có 1 s s a t 1 s a s 1 s (s a ) a a d e d e 1 a s a t T vƠ ti p t c có 1 s s a t 1 s a s t 1 t a 1 (e 1)d e a d a a a s(s a ) at e at 1 a2 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 68 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG §3 PHÉP T NH TI N VÀ PHÂN TH C N GI N M đ u Ph ng trình vi phơn n tính v i h s h ng có nghi m bi n đ i Laplace ngh ch đ o c a hàm h u t R s P s Q s C n đ a k thu t cho phép tính 1 R s đ c thu n l i Quy t c phơn th c đ n gi n a) Quy t c Phân th c đ n gi n n tính N u Q(s) có (s-a)n R(s) có s h ng sau: An A1 A2 , Ai i, i 1, n n s a s a s a b) Quy t c Phân th c đ n gi n b c N u Q(s) có s a 2 b2 As B1 s a b n R(s) có d ng: A2 s B2 s a b2 2 An s Bn s a b Ai , Bi i, i 1, n n nh lý Bi n đ i tr c s N u F ( s) f t t n t i v i s>c, t n t i e f t F s a f t s a at Hay t ng đ ng v i 1 F s a e f t e at at 1 F s t Ch ng minh: Ta có: F s a e s a t f t dt e st e at f t dt e f t , s a c at Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 69 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG T k t qu có: f(t) F(s) eat t n n! s a ,s a sa eat cos(kt ) s a eat sin(kt ) k2 k2 k s a Ví d Tìm phép bi n đ i Laplace ng R( s) n 1 (2.1) ,s a (2.2) ,s a (2.3) s2 c c a R( s) s s 8s s2 A B C s s s s s s s A s s Bs ( s 4) Cs ( s 2) Thay s=0, s=-2, s=4 ta có: -8A=1, 12B=5, 24C=17 A 1 17 , B ,C 12 24 1 17 s 12 s 24 s 1 e 4t R s 81 125 e2t 17 24 R( s) S c ng h ng vƠ nhơn t tích l p b c Hay dùng hai phép bi n đ i Laplace ng tr ng h p phân tích l p b c hai c c a hàm phân th c đ n gi n Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 70 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG 1 s t sin kt ; 2 k s k 1 sin kt kt cos kt 2 s k 2k Ví d S d ng phép bi n đ i Laplace đ g i toán v i giá tr ban đ u x" 02 x F0 sin t; x(0) x '(0) 2 Tác đ ng phép bi n đ i Laplace vào có s X s 0 X (s) X ( s) N u F0 s 2 F0 F0 1 , 0 tìm đ s s 02 02 s2 02 s = ta có X ( s) c x(t) F00 F x(t ) sin 0t 0t cos 0t 2 20 s 0 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 71 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG §4 O HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BI N I M đ u Phép bi n đ i Laplace c a nghi m c a m t ph c a bi n đ i c a hai hƠm đƣ bi t ng trình vi phơn lƠ tích Ch ng h n, xét toán v i giá tr ban đ u x" x cos t; x(0) x '(0) Tác đ ng phép bi n đ i Laplace ta có: s X ( s) sx(0) x '(0) X ( s) M t khác ta có Do s s X ( s) s 1 s 1 s 1 cos t sin t cos t sin t s 1 sin 2t 2 s s 12 2 s 2 cos t sin t cos t sin t Rõ ràng r ng, đ gi i đ c toán trên, ta c n tìm hàm h(t) cho h t cos t sin t Tích ch p c a hai hƠm nh ngh a Tích ch p đ i v i phép bi n đ i Laplace c a hàm f,g liên t c t ng khúc đ c đ nh ngh a v i nh sau: t f * g t f g t d , t 0 Tích ch p giao hoán Ví d Tính (cos t)*(sin t) Ta có: Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 72 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG t t sin t sin 2 t d 2 cos t * sin t cos sin t t 1 1 1 sin t cos 2 t t sin t cos t cos t t sin t 2 2 0 nh lí Gi s f(t), g(t) liên t c t ng khúc v i t 0; f t , g t b ch n b i s M,c không âm Mect t f t * g (t ) f t g t Khi ta có 1 F s G(s) f (t )* g (t ) Ch ng minh: Có G s e su u t e g (u )du s ( t ) g (t )dt Do G s e s e st g (t )dt V i g(u) uc s d d Do F '(s) e st f (t )dt (e st f (t ))dt e st tf (t ) dt ds ds 0 Ta có ch ng minh 3.3 b ng ph tf t F '(s) ng pháp quy n p toán h c th t v y, n=1, ta có: t f t 1 k Gi s n=k, t c có tf t k F k s Ta ch ng minh v i n=k+1, th t v y t k 1 f t t.t f t dsd t f t dsd 1 k t Ví d Tìm k k F k s 1 k 1 F k 1 s sin kt T 3.3 ta có d2 k d2 k d 2ks 6ks 2k t sin kt 1 ds s k2 ds s k2 ds 2 2 s k s k 2 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 74 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Tích phơn c a phép bi n đ i nh lí Cho f(t) liên t c t ng khúc đ i v i t≥0, lim t 0 t +∞, s M, c không âm có 1 f (t ) F s t 1 f (t ) , f (t ) Mect t f t F d s>c t s F d 0 4.1 4.2 Ch ng minh: st T gi thi t e f (t )dt h i t t đ i vƠ đ u, s>c t F d e f ( t ) dt Ta có : d s s0 T đ i th t l y tích phân ta có : t t e F d e f t d dt ( ) s s 0 0 t Ví d Tìm Ta có tlim 0 sinht t s s f (t )dt e st f (t ) dt t f t t sinh t t sinh t cosh t lim 1 t 0 t d 1 1 s 1 ln sinh t d d ln s 1 1 2 s s s sinh t s ln t s 1 Phép bi n đ i c a hƠm liên t c t ng khúc a) tv nđ Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 75 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG Các mô hình toán h c h c h c hay h n tr ng liên quan đ n hàm không liên t c t ng ng v i l c bên b t ng đ o chi u b t hay t t HƠm đ n gi n b t, t t hàm b c thang đ n v t i t=a (hàm Heaviside) ta 0 ua (t ) u (t a ) 1 ta b) Phép t nh ti n tr c t nh lí N u f t t n t i v i s>c, có u t a f t a e as F (s) e as f 5.1 1 e -as F (s) u t a f (t a ) u(t a ) 1 F t a s>c+a 5.2 Ch ng minh: s ( a ) f d Ta có: e F ( s) e as st a ta có e F ( s) e f (t a )dt as i bi n t= ta 0 f (t a ) Do u t a t a ta st Nên có e F (s) e u (t a ) f (t a )dt as u (t a ) f (t a ) Ví d Cho f (t ) t Tính T 5.2 có 1 e-as u (t a ) s 1 1 e-as s 1 (t a ) u (t a ) t a s Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 76 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG 0 1 t a 2 t a t a Ta có m t s b ng tra c u t ng h p t bƠi toán đƣ cho: f(t) f t s eatf(t) f t s a u(t-a)f(t-a) tnf(t) (f*g)(t) f t t f(n)(t) 1 f t d s sn f t s s n 1 1 F(s) t Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 f 0 s n2 f '(0) f n 1 (0) f t s s F(s) f t s f ( )d dn ds n n f t s g t s t f t s e e as F s t 1 F ' s t 77 TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIểN: TS NGUY N C TRUNG F(s) F(s-a) 1 t F d t s F s t eat 1 e as F (s) u(t a ) 1 F(s)G(s) F s * G s t F (s) s 1 F s t a 1 t F s d 1 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/599/7 78