Tài Liệu Toán Cao Cấp A1_Giải tích 3 năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

Ph ng trình phơn ly.. Ph ng trình tuy n tính.. Ph ng trình vi phơn toƠn ph n.. Bài toán Cauchy... Nghi m riêng, tích phân riêng.. Ph ng trình phơn ly... Ph ng trình vi phơn toƠn ph n...

TÀI LI U THAM KH O TOÁN CAO C P A4 - GI I TÍCH 3

N M H C: 2016 -2017

TRANG CH : http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

L I NịI U

§TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P

TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017

Chúc m ng các b n đƣ b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i Vi c đ

i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không kém thách

th c Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mƠ c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng gi ng đ ng l n hƠng tr m

Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x

T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn

g i là h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên

đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn

Bài t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vào cu i §ho c chuyên đ ch không

theo bài (các bu i h c) Các bài t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a

Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c nên k t

qu h c t p các môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên

ngành n m th 3, th 4 (ho c th 5)

Tuy nhiên, §trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k bài t p

t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và cu i các

§(Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c i h c, m t

s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách làm bài t p và

trình b y b c i h c

Th y thi t k §trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p c n s m

v i ki n và k n ng lƠm bƠi t p t t Hy v ng v i s chu n b s m và t t, các em s thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b

các b n Sinh viên ti n theo dõi §trình h c, Th y thi t k §trình đƠo t o

đ c đánh mƣ s chi ti t theo các phơn đo n đ n v ki n th c tu n t đ các em d

dàng theo dõi Các em có th vƠo đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b §trình:

http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7

T i b c Ph thông, các em h c m t §trình Toán duy nh t còn đ i v i Toán Cao

C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng kh i

ngành h c trong Tr ng

 i v i các kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,

§trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có 4 h c ph n riêng bi t v i

đ ng link chính cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212):

o Toán A1: i s tuy n tính

o Toán A2: Gi i tích 1

o Toán A3: Gi i tích 2

o Toán A4: Gi i tích 3

 i v i các kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, §trình Toán Cao C p đ c

h c lƠ Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán

B (http://moon.vn/Pro/7/213):

o Toán B1: i s tuy n tính

o Toán B2: Gi i tích

 i v i các kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng, Lu t

ho c Qu n tr kinh doan §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán C g m có

2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C

(http://moon.vn/Pro/7/214):

o Toán C1: i s tuy n tính

o Toán C2: Gi i tích

T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đƣ đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho

t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng

nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán

A, Toán B vƠ Toán C i kèm lỦ thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p

đ c t ng h p t các thi gi a và cu i H c k các n m g n đơy c a các kh i

ngành:

đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/

Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i

đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan

Chúc các em nhanh chóng thu l m đ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng

và v n d ng sáng t o !

M C L C

PH N I PH NG TRỊNH VI PHÂN 8

§1 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P I 8

1 i c ng v ph ng trình vi phơn c p 1 8

2 Ph ng trình phơn ly 9

3 Ph ng trình thu n nh t .10

4 Ph ng trình khuy t bi n .10

5 Ph ng trình tuy n tính .12

6 Ph ng trình Bernoulli .14

7 Ph ng trình vi phơn toƠn ph n .15

§2 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI 17

1 i c ng v ph ng trình vi phơn c p 2 .17

2 Ph ng trình khuy t .18

3 Ph ng trình tuy n tính thu n nh t 19

4 Ph ng trình tuy n tính không thu n nh t .21

5 Ph ng trình tuy n tính có h s không đ i .23

§3 H PH NG TRỊNH VI PHÂN 30

1 i c ng 30

2 Cách gi i h ph ng trình vi phơn .30

PH N II LÝ THUY T CHU I 32

§1 I C NG V H CHU I S .32

1 Chu i s .32

2 Tính ch t 33

§2 CHU I S D NG 34

2 Các đ nh lý so sánh 34

3 Các tiêu chu n h i t .35

§3 CHU I S CÓ D U V I H NG T B T K .39

1 Chu i v i s h ng có d u b t k .39

2 Chu i đan d u 39

3 Tính ch t c a chu i h i t tuy t đ i 40

§4 CHU I HÀM S 42

1 Chu i hàm s h i t .42

2 Chu i hàm s h i t đ u 42

3 Tính ch t c a chu i hàm s h i t đ u 43

§5 CHU I L Y TH A 45

1 nh ngh a 45

2 Các tính ch t c a chu i l y th a 47

3 Khai tri n thành chu i l y th a 48

4 Khai tri n m t s hàm s s c p c b n 49

§6 CHU I FOURIER 52

1 Chu i l ng giác chu i fourier 52

2 i u ki n đ hàm s khai tri n thành chu i Fourier 53

3 Khai tri n hàm ch n l .54

PH N III PH NG PHÁP TOÁN T LAPLACE 57

§1 PHÉP BI N I LAPLACE VÀ PHÉP BI N I LAPLACE NG C 57

1 Phép bi n đ i Laplace 57

2 nh ngh a .57

3 Tính ch t c a phép bi n đ i Laplace 58

4 Phép bi n đ i Laplace ng c 60

§2 PHÉP BI N I C A BÀI TOÁN V I GIÁ TR BAN U 64

1 Phép bi n đ i c a đ o hàm 64

2 Nghi m c a bài toán giá tr ban đ u H qu Phép bi n đ i c a đ o hàm b c

cao 64

3 H ph ng trình vi phơn tuy n tính 66

4 Nh ng k thu t bi n đ i b sung 67

§3 PHÉP T NH TI N VÀ PHÂN TH C N GI N 69

1 M đ u 69

2 Quy t c phân th c đ n gi n 69

3 S c ng h ng và nhân t tích l p b c 2 70

§4 O HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BI N I 72

1 M đ u 72

2 Tích ch p c a hai hàm 72

3 Vi phân c a phép bi n đ i 73

4 Tích phân c a phép bi n đ i 75

5 Phép bi n đ i c a hàm liên t c t ng khúc 75

Nghi m c a ph ng trình vi phơn lƠ m i hàm s th a mƣn ph ng trình đƣ cho

Nghi m c a ph ng trình có th tìm đ c d i d ng t ng minh y = y(x),

ho c d ng tham s x = x(t); y = y(t); ho c d ng n (x,y) = 0

§ 1 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P I

1 i c ng v ph ng trình vi phơn c p 1

nh ngh a Ph ng trình vi phơn c p 1 lƠ ph ng trình d ng F(x,y,y') = 0 N u

t ph ng trình đƣ cho gi i đ c theo y' thì ph ng trình có d ng y' = f(x,y)

Bài toán Cauchy Là bài toán tìm nghi m c a ph ng trình y' = f(x,y) th a mƣn đi u ki n y(x0) = y0, trong đó (x0, y0) là các giá tr cho tr c Bài toán Cauchy

i u ki n (2) g i lƠ đi u ki n ban đ u, hay đi u ki n Cauchy

nh lý t n t i và duy nh t nghi m Xét bài toán Cauchy (1), (2) Gi s

f(x,y) liên t c trên D 2, và x , y0 0D Khi đó, trong m t lân c n nƠo đó c a

x0, bài toán Cauchy (1), (2) luôn có nghi m N u có thêm đi u ki n '  

y

f x, y liên

t c trên D, thì nghi m là duy nh t

Nghi m t ng quát Ta g i ghi m t ng quát c a ph ng trình y' = f(x,y) lƠ hƠm

s y (x,C), trong đó C lƠ h ng s tùy ý, th a mƣn các đi u ki n sau:

a) Hàm s y (x,C) th a mƣn ph ng trình đƣ cho v i m i giá tr c a C

b) x , y0 0D, v i D là mi n mƠ đi u ki n t n t i và duy nh t nghi m

đ c th a mƣn, luôn tìm đ c giá tr c a h ng s CC0, sao cho nghi m

0

y (x,C ) th a mƣn đi u ki n ban đ u (2)

Nghi m riêng, tích phân riêng N u trong công th c nghi m t ng quát ho c tích phân t ng quát, ta cho C giá tr c th C0, thì nghi m nh n đ c g i là nghi m

riêng ho c tích phân riêng

Nghi m k d Có th t n t i các nghi m không n m trong h nghi m t ng quát

Nh ng nghi m nh v y g i là nghi m k d

2 Ph ng trình phơn ly

LƠ ph ng trình d ng f(x)dx + g(y)dy = 0

Cách gi i: Tích phân hai v ph ng trình, đ c f (x)dxg(y)dyC

G i F(x) vƠ G(y) lƠ các nguyên hƠm t ng ng, thì tích phân t ng quát c a

e   x y ln y C Ngoài ra, y(x)  0 c ng lƠ nghi m Nghi m này

không n m trong h nghi m t ng quát, nên là nghi m k d

Cách gi i: t y = tx o hƠm theo x, đ c y' = xt' + t Th vƠo ph ng trình

đƣ cho,đ c xt ' f t t N u f t   0t , chia hai v cho x(f(t) - t) đ c

 

 

y x

N u f(t)t, thì y' = y/x Nghi m t ng quát là y = Cx

N u t n t i t0 sao cho f(t0) = t0 thì th tr c ti p, th y y = t0x là nghi m riêng

Gi i: T ph ng trình đƣ cho, đ c ycos t ; ysin t Do dy = y'dx

nên costdt = costdx, dt = dx, x = t + C áp s y sin t sin(x C)  

và là nghi m riêng khi C = 0

b) Gi i ph ng trình không thu n nh t y' + p(x)y = f(x)

m t nghi m riêng thì ta d dƠng tìm đ c nghi m t ng quát nh đ nh lý sau:

nh lý G i Y(x) là nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t y' + p(x)y =

0

và g i y*(x) là nghi m riêng c a ph ng trình không thu n y' + p(x)y = f(x),

thì nghi m t ng quát c a ph ng trình không thu n nh t là y = Y(x) + y*(x)

Ví d 1: Tìm nghi m riêng c a ph ng trình y 2

x

  , y(1) = 1

Gi i: Theo công th c nghi m t ng quát, đ c

7 Ph ng trình vi phơn toƠn ph n

LƠ ph ng trình d ng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,

trong đó P, Q liên t c cùng các đ o hàm riêng c a chúng trên miên D nƠo đó

Ngoài ra ' '  

P Q , x, y D Cách gi i: V i đi u ki n đƣ cho, v trái c a ph ng trình lƠ vi phơn toƠn ph n

c a hƠm u(x,y) xác đ nh b i m t trong hai công th c sau

y X

0

u x, y   P x, y dx Q x, y dy

Trong đó (x0, y0) lƠ đi m b t k trong mi n D Khi đƣ có hƠm u(x,y) nh trên

thì nghi m t ng quát là u(x,y) = C

§ 2 PH NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI

1 i c ng v ph ng trình vi phơn c p 2

nh ngh a Ph ng trình vi phơn c p 2 lƠ ph ng trình d ng F(x,y,y',y'') = 0

N u gi i đ c ph ng trình trên theo y' thì nó có d ng y'' = f(x,y,y')

Bài toán Cauchy Là bài toán tìm nghi m c a ph ng trình y' = f(x,y,y') th a mƣn đi u ki n y(x0) = y0, y'(x0) = y0' , trong đó x0, y0 ,y0' là các giá tr cho tr c BƠi toán Cauchy đ c vi t

i u ki n (4) g i lƠ đi u ki n ban đ u, hay đi u ki n Cauchy

nh lý t n t i và duy nh t nghi m Xét bài toán Cauchy (3, 4) Gi s các

x y , y V

  ,thì trong m t lân c n nƠo đó c a đi m x0, t n t i nghi m

duy nh t y = y(x) c a ph ng trình (3) th a mƣn đi u ki n ban đ u (4)

Nghi m t ng quát Ta g i nghi m t ng quát c a ph ng trình y' = f(x,y,y') lƠ

th a mƣn, luôn tìm đ c giá tr c a các h ng s C1, C2 sao cho nghi m

1 2

y (x,C ,C )th a mƣn đi u ki n ban đ u (4)

Nghi m riêng, tích phân riêng N u trong công th c nghi m t ng quát ta cho

C1, C2 các

giá tr c th thì nghi m nh n đ c g i là nghi m riêng

Nghi m k d Có th t n t i các nghi m không n m trong h nghi m t ng

quát

Nh ng nghi m nh v y g i là nghi m k d

2 Ph ng trình khuy t

a) Ph ng trình khuy t y, y' D ng ph ng trình F(x,y'') = 0

t y' = t, đ c F(x,t') = 0 ơy lƠ ph ng trình c p 1 khuy t bi n t đƣ bi t cách

Thay đi u ki n đ u đ c yx 0  D 1 ; y' x 0  C 3 Nên y = x3 + 3x +1

c) Ph ng trình khuy t x D ng ph ng trình lƠ F(y,y',y'')= 0

nh lý N u y1(x) và y2(x) là hai nghi m c a ph ng trình thu n nh t (5),

thì y x Cy x1 Dy2 x c ng lƠ nghi m c a ph ng trình nƠy

N u có thêm đi u ki n hai nghi m riêng y1(x) và y2(x) đ c l p tuy n tính thì

nghi m

y = C y1(x) + D y2(x) là nghi m t ng quát c a (5)

(Hai hàm s y1(x), y2(x) đ c g i lƠ đ c l p tuy n tính n u phân th c

y1(x)/y2(x)

không đ ng nh t b ng h ng s )

Ch ng minh: D ki m tra r ng n u y1(x) và y2(x) là các nghi m c a (5) thì y(x)

c ng lƠ nghi m c a (5) Ta s ch ng minh y(x) là nghi m t ng quát Xét đi u ki n

ơy lƠ h ph ng trình đ i s tuy n tính v i đ nh th c c a h khác 0(do gi i

thi t v tính đ c l p tuy n tính c a y1 và y2) V y, h luôn có nghi m, t c là luôn

tìm đ c các h ng s C, D đ nghi m y th a mƣn đi u ki n ban đ u FCM

nh lý trên cho th y, đ tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t, ch

vi c tìm hai nghi m riêng đ c l p tuy n tính lƠ đ c Ng i ta ch a có cách chung

đ tìm hai nghi m này Tuy nhiên, n u đƣ bi t m t nghi m riêng thì có th tìm

đ c nghi m riêng th hai b ng ph ng pháp d i đơy

b) Ph ng pháp tìm nghiêm riêng th hai

B đ N u y1(x), y2(x) là hai nghi m riêng c a ph ng trình (5) thì đ nh th c

nh lý N u y1(x)0 là m t nghi m riêng c a ph ng trình (5) thì nghi m

riêng th hai y2(x), đ c l p v i y1(x) tìm đ c theo công th c

1 x y'' 2xy' 2y   , bi t m t nghi m riêng y = x 0

Gi i: Chia hai v cho 1- x2, thì

nh lý Nghi m t ng quát c a ph ng trình tuy n tính không thu n (6) b ng

t ng c a nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t t ng ng (5) v i m t

nghi m riêng nƠo đó c a ph ng trình không thu n (6)

Nói cách khác, nghi m t ng quát c a (6) là y = Y(x) + y*(x), trong đó Y(x) lƠ

nghi m t ng quát c a (5), y*(x) là nghi m riêng c a (6)

a) Ph ng pháp bi n thiên h ng s Gi s đƣ bi t nghi m t ng quát c a

ph ng trình thu n nh t (5) là Y(x) = Cy1(x) + Dy2(x) Ch còn ph i tìm nghi m riêng c a (6) là xong Ta Coi C, D là các hàm ph thu c x, và ph i tìm các hàm s

nƠy đ bi u th c y(x) = C(x)y1(x) + D(x)y2(x) là nghi m c a ph ng trình (6)

CóyCy1 C' y1Dy2D y 2 Ch n C, D sao choC' y1D' y2 0 Khi đó

Ví d : Gi i ph ng trình 1 x 2y2xy2y 1 x  2 , bi t m t nghi m riêng

c a ph ng trình thu n nh t t ng ng là y = x (xem ví d m c trên)

nghi m riêng k x 0

1

y e Nghi m t ng quát là   k x 0

y CDx e c) N u (10) có nghi m ph c k = abi Khi đó ph ng trình thu n nh t (9) có

hai nghi m riêng

riêng Chúng đ c l p tuy n tính, v y nghi m t ng quát là

y C+Dx e

Xét ph ng trình y'' + py' + qy = f(x) Trong tr ng h p t ng quát, ta đƣ bi t

cách gi i ph ng trình thu n nh t, nên có th dùng ph ng pháp bi n thiên h ng s

đ tìm m t nghi m riêng, t đó tìm đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình không

thu n nh t đƣ cho

Tr ng h p v ph i f(x) có d ng đ c bi t, chúng ta tìm đ c nghi m riêng m t cách nhanh chóng nh trình bƠy d i đơy

f (x)P(x)e , (P(x) lƠ đa th c b c n cho tr c)

Ta s xác đ nh d ng c a nghi m riêng y*(x), tùy theo các tr ng h p  có là nghi m c a ph ng trình đ c tr ng hay không

+ N u  không là nghi m c a ph ng trình đ c tr ng, y exQ(x)

+ N u  là nghi m đ n c a ph ng trình đ c tr ng, x

y xe Q(x) + N u  là nghi m kép c a ph ng trình đ c tr ng, 2 x

y x e Q(x)

Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a các ph ng trình sau

(a) y'' 3y' 2y  2x

Ta s xác đ nh d ng c a nghi m riêng Y(x), tùy theo các tr ng h p a ib có

là nghi m c a ph ng trình đ c tr ng hay không

Trong đó, U vƠ V lƠ đa th c c n tìm có b c b ng b c cao nh t c a P và Q

Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a các ph ng trình sau

(a) y'' 3y' 2y  4sin x2cos x

V y ta tìm nghi m riêng d ng y* = asinx + bcosx Tính các đ o hàm c a y*

(y*)a cos xbsin x ; (y*) a sin xbcos x

Th vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c

-a sin xbcos x3 a cos x bsin x 2 a sin xbcos x4sin x2cos x

a3b sin x b 3a cos x  4sin x2cos x  a 1 ; b 1.

 2b ax sin x 2abx cos x ax sin xbx cos x 

2bsin x 2a cos x 2cos x

Theo cách gi i c a ph n (b), tìm đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình nƠy

là Ccosx Dsinx sinx xcosx

d) Tr ng h p f(x) = f1(x) + f2(x), trong đó f1(x), f2(x) có d ng nh đƣ xét

Áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m sau đơy:

nh lý(Nguyên lý ch ng ch t nghi m) Cho ph ng trình

, , yn

0

) c a không gian Rn+1, mà đó đi u ki n

t n t i và duy nh t nghi m đ c th a mƣn, luôn tìm đ c các giá tr c a C1, , Cn

sao cho các hàm s yi(x, C1, ,Cn), i = 1, , n th a mƣn đi u ki n đ u

0

0 i

y 5y' 4z' 5y' 4 4y 5z 5y' 16y 20z  (3)

Kh z t (1), đ c z = (y' - 5y) / 4 Th vào (3), nh n đ c

 

y''5y' 16y 5 y' 5y 10y' 9y , hay y'' 10y' 9y   0(4)

Nghi m c a ph ng trình (4) lƠ y = Cex

+ De9x Th nghi m nƠy vƠo (1) đ c

z 1 Cex 9De9x 5Cex 5De9x Cex De9x

PH N II LÝ THUY T CHU I

n

q q





 , 1

n n n

n n n

§2 CHU I S D NG

1 nh ngh a

1

n n

13

n n

Ví d 2

2

1ln

n n

  và

1 n n

a b

   và

1 n n

n

a

la



-Khi l<1

1 n n

a

la

a l a



  , ch n đ bé đ l-

> 1  n 1 1 1

n n n

n n

na

n n

c, Tiêu chu n tích phân

Có m i liên h hay không gi a ( ) lim ( )

Ví d 5

2

1 ln

n n n





 h i t ch khi q >1

( 1)

2

n n n n

a a

( 1)

2

n n n n

( 1)

n n n