Tài Liệu Toán Cao Cấp A1_Giải tích 2 năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG TÀI LI U THAM KH O TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG N M H C: 2016 -2017 TRANG CH : http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG L I NịI CH U NG TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017 Chúc m ng b n b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i Vi c đ i h c m cho em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không thách th c Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mà c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch nh ng gi ng đ ng l n hàng tr m Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia làm phân mơn (hay cịn g i h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên đ c t ch c h c đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn Bài t p hoàn toàn đ c t p trung d n vào cu i ch ng ho c chuyên đ ch không theo (các bu i h c) Các t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c nên k t qu h c t p môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên ngành n m th 3, th (ho c th 5) Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k t p t i cu i h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) cu i ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c i h c, m t s video t p đ c đ a v i m c đích h ng d n em cách làm t p trình b y b c i h c Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ em có c h i ti p c n s m v i ki n k n ng làm t p t t Hy v ng v i s chu n b s m t t, em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công vi c chu n b Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo phân đo n đ n v ki n th c tu n t đ em d dàng theo dõi Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b ch ng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 T i b c Ph thơng, em h c m t ch ng trình Tốn nh t cịn đ i v i Tốn Cao C p s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng kh i ngành h c Tr ng i v i kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Cơng ngh , ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c Tốn A g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Tốn A (http://moon.vn/Pro/7/212): o Tốn A1: i s n tính o Tốn A2: Gi i tích o Tốn A3: Gi i tích o Tốn A4: Gi i tích  i v i kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c Tốn B g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Tốn B (http://moon.vn/Pro/7/213): o Tốn B1: i s n tính o Tốn B2: Gi i tích  i v i kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Tốn Cao C p đ c h c Tốn C g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Tốn C (http://moon.vn/Pro/7/214): o Tốn C1: i s n tính o Tốn C2: Gi i tích  T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đ c b trí v i n i dung chi ti t cho t ng kh i ngành thông qua h th ng video gi ng giáo trình đ y đ c ng nh tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i t p cho c Toán A, Toán B Toán C i kèm lý thuy t c b n m t kho d li u kh ng t p đ c t ng h p t thi gi a cu i H c k n m g n c a kh i ngành: Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG  Toán A1, A2, A3 A4: h n 3500 t p  Toán B1 B2: g n 2000 t p  Toán C1 C2: g n 2000 t p Các t p tr ng y u đ c quay Video kèm l i gi i giúp em ôn t p d dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng xác Th y đ i ng Supper Mods (c ng đ u Gi ng viên d y i h c) r t vui đ c trao đ i di n đàn Toán cao c p t i Moon.VN Facebook v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc em nhanh chóng thu l v n d ng sáng t o ! mđ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG M CL C Ch ng 1: Hàm s nhi u bi n §1 T ng quan hàm s nhi u bi n 1.1 nh ngh a hàm nhi u bi n .9 1.1.1 nh ngh a : 1.1.2 Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s 1.2 Gi i h n c a hàm s hai bi n s 10 1.3 Tính liên t c c a hàm s hai bi n s : 10 1.3.1 Khái ni m: 10 1.3.2 Chú ý: .11 §2 o hàm riêng .12 2.1 o hàm riêng: 12 2.1.1 nh ngh a: 12 2.1.2 Ý ngh a hình h c c a đ o hàm riêng: 12 2.2 o hàm riêng c p cao: .13 2.2.1 nh ngh a : 13 2.2.2 nh lý : 14 §3: Vi phân tồn ph n vi phân c p hai 19 3.1 inh ngh a : 19 3.2 i u ki n kh vi c a hàm s nhi u bi n : .19 3.3 ng d ng c a vi phân tồn ph n vào tính g n đúng: 20 3.4 i u ki n đ bi u th c P  x, y dx  Q  x, y dy m t vi phân toàn ph n: 20 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TỐN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N 3.5 Ph C TRUNG ng trình c a ti p n, pháp di n c a đ 3.5.1 ng cong không gian 20 3.5.2 Ph ng trình c a ti p n 21 3.5.3 Pháp di n c a đ §4 ng cong : 21 o hàm c a hàm s h p 4.1 ng cong t i m t m 20 o hàm c a hàm s n .24 o hàm c a hàm s h p 24 4.1.1 nh ngh a: 24 4.1.2 nh ngh a 2: 24 4.2 o hàm c a hàm s n 24 4.2.1 nh ngh a hàm n: 25 4.2.2 o hàm c a hàm n 25 §5 C c tr 30 5.1 C c tr t c a hàm s hai bi n s : 30 5.1.1 nh ngh a 30 5.1.2 i u ki n c n c a c c tr .30 5.1.3 i u ki n đ c a c c tr : .30 5.2 C c tr có u ki n: 31 5.2.1 Khái ni m: 31 5.2.2 nh lý: 31 5.3 Giá tr l n nh t bé nh t c a hàm hai bi n s m t mi n đóng gi i n i .32 Ch ng 2: Tích phân b i 34 §1 Tích phân kép: 34 1.1 Phép đ i bi n s tích phân kép 34 1.1.1 Phép đ i bi n s t ng quát .34 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 1.1.2 Phép đ i bi n s t a đ c c 37 1.1.3 Phép đ i bi n s t a đ c c suy r ng 43 §2 Tích phân b i ba 45 2.1 nh ngh a tính ch t 45 2.2 Tính tích phân b i ba h t a đ Descartes 46 2.3 Ph ng pháp đ i bi n s tích phân b i ba 49 §3 Các ng d ng c a tích phân b i 62 3.1 Tính di n tích hình ph ng 62 3.2 Tính th tích v t th .68 Ch ng 3: Tích phân đ §1 Tích phân đ 1.1 ng 75 ng lo i I .75 nh ngh a 75 1.2 Các cơng th c tính tích phân đ §2 Tích phân đ 2.1 ng lo i I 75 ng lo i II 78 nh ngh a .78 2.2 Các công th c tính tích phân đ ng lo i II 78 2.3 Công th c Green 82 2.4 ng d ng c a tích phân đ 2.5 i u ki n đ l y tích phân đ Ch ng lo i II 88 ng không ph thu c đ ng l y tích phân .89 ng 4:Tích phân m t 92 §1 Tích phân m t lo i I 92 1.1 nh ngh a 92 1.2 Các cơng th c tính tích phân m t lo i I 92 Tích phân m t lo i II 95 2.1 nh h ng m t cong 95 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N 2.2 C TRUNG nh ngh a tích phân m t lo i II 95 2.3 Các cơng th c tính tích phân m t lo i II .95 2.4 Công th c Ostrogradsky, Stokes 98 2.5 Công th c liên h gi a tích phân m t lo i I lo i II 102 Ch ng 5: Lý thuy t tr §1 Tr ng vô h ng 105 ng .105 1.1 nh ngh a 105 1.2 o hàm theo h ng 105 1.3 Gradient .106 §2 Tr ng vecto 110 2.1 nh ngh a 110 2.2 Thông l ng, dive, tr ng ng 110 2.3 Hoàn l u, vecto xoáy .110 2.4 Tr ng th - hàm th v .111 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N Ch C TRUNG ng 1: HƠm s nhi u bi n §1 T ng quan hƠm s nhi u bi n 1.1 1.1.1 nh ngh a hƠm nhi u bi n nh ngh a : Cho D  R2 , ánh x f : D  R đ Kí hi u : c g i hàm s hai bi n s f :DR  x, y  Z  f  x, y  D mi n xác đ nh c a f ; x,y hai bi n s đ c l p  f  D   z  f  x, y /  x, y  D g i mi n giá tr c a hàm f Hàm s n bi n f  x1, x2 , , xn  đ c đ nh ngh a t ng t Mi n xác đ nh : Cho hàm s Z  f  x, y , mi n xác đ nh c a hàm f t p h p c p  x, y cho f  x, y có ngh a Ký hi u D  Dđ c g i liên thông R2 n u v i M1 , M2 b t k thu c D ln có th n i v i b i đ ng cong liên t c n m hoàn toàn D  Dđ c g i m n u nh ng m biên L c a D không thu c D  Dđ c g i đóng n u m i m biên L c a D đ u thu c D  D đ c g i đ n liên n u b gi i h n b i nhi u đ t ng đôi m t ng cong kín r i 1.1.2 Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s Gi s Z  f  x, y xác đ nh mi n D c a m t ph ng xOy Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG MP // OZ MP  f  x, y  Z Khi M bi n thiên D P bi n thiên R3 sinh m t S, S g i đ th c a hàm Z  f  x, y Z  f  x, y g i ph ng trình c a m t S M i đ ng th ng song song v i tr c OZ c t m t S không m t m 1.2 Gi i h n c a hƠm s hai bi n s nh ngh a : Cho hàm s f  M   f  x, y , xác đ nh mi n D ch a m M0  x0 , y0  , có th tr m M Ta nói r ng L gi i h n c a f  x, y m M  x, y  d n t i m M0  x0 , y0  n u v i m i dãy Mn  xn , yn  thu c D d n t i M ta đ u có lim f  xn , yn   L n Kí hi u : lim  x, y x0 , y0  hay : f  x, y  L lim f  M   L M M0 1.3 Tính liên t c c a hƠm s hai bi n s : 1.3.1 Khái ni m: Cho hàm s f  M   f  x, y , xác đ nh mi n D, M0  x0 , y0  m t m thu c D Ta nói hàm s lim f  x, y lim f  x, y  f  x0 , y0   x, y x0 , y0  Hàm s f  x, y liên t c t i M n u t n t i :  x, y x0 , y0  f  x, y g i liên t c mi n D n u liên t c t i m i m thu c D Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 10 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG  P Q R   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy    x  y  z  dxdydz S V tích phân v trái l y theo h ng pháp n v trái l y theo h ng pháp n Chú ý  N u tích phân  P Q R   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy    x  y  z  dxdydz S V  N u m t cong S khơng kín, có th b sung thành m t cong S' kín đ áp d ng cơng th c Ostrogradsky, r i tr ph n b sung Ví d 2.04.6 Tính  xdydz  ydzdx  zdxdy S phía ngồi c a m t c u S x2  y2  z2  a Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 99 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG L i gi i : Áp d ng công th c Ostrogradsky ta có  xdydz  ydzdx  zdxdy   3dxdydz  3V  4 a S V Ví d 2.04.7 Tính  x dydz  y dzdx  z dxdy 3 đso S phía ngồi c a m t S c u x  y  z  R2 2 L i gi i : Xem hình v 5.6 , áp d ng cơng th c Ostrogradsky ta có : I   3 x2  y2  z2  dxdydz V  x  r sin  cos  0    2    y  r sin  sin   0     , J  r sin   z  r cos 0  r  R   đ t 2  R 0 I   d  d  r sin  dr  12 R 5 Ví d 2.04.8 Tính  y zdxdy  xzdydz  x ydxdz 2 S phía ngồi c a S mi n x  0, y  0, x  y2  1, z  x2  y2 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 100 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG L i gi i : Áp d ng công th c Ostrogradsky ta có : I    y2  z  x2  dxdydz V đ t       x  r cos      y  r sin   0  r  , J  r z  z 0  z  r     r2 0   d  dr   r  z  rdr Ví d 2.04.9 Tính  xdydz  ydzdx  zdxdy S phía ngồi c a mi n S  z  1  x2  y2 , a  z  1, a  Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 101 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG L i gi i : Áp d ng công th c Ostrogradsky ta có : I   3dxdydz  3V  Bh   1  a  V 2.5 Công th c liên h gi a tích phơn m t lo i I vƠ lo i II   P  x, y, z cos  Q  x, y, z cos   R x, y, z cos   dS S   P  x, y, z  dydz  Q  x, y, z  dzdx  R x, y, z  dxdy S cos ,cos  ,cos  c a m t S cosin ch ph ng c a vecto pháp n đ n v Ví d 2.04.10 G i S ph n m t c u x2  y2  z2  n m m t tr x2  x  z2  0, y  , h ng S phía ngồi Ch ng minh r ng   x  y dxdy   y  z dydz   z  x dxdz  S Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 102 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG L i gi i : Ta có : y   x2  y2 nên vecto pháp n c a S n     yx' ,1,  yz'  Vì  n, Oy  2 nên   x z ,1, n    yx' ,1,  yz'     2  x2  z2   1 x  z Do x2 z2 n 1  v y 2 2 2 1 x  z 1 x  z 1 x  z  cos   cos n, Ox  n1  x  n  n2  cos   cos n, Oy   y n   cos   cos n, Oz  n3  x  n        Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 103 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG Áp d ng công th c liên h gi a tích phân m t lo i I II ta có ; I    x  y  cos    y  z  cos    z  x cos   dS S    x  y  z   y  z  x   z  x ydS S 0 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 104 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG Ch ng 5: LỦ thuy t tr §1 Tr 1.1 ng vô h ng ng nh ngh a nh ngh a 6.3 Cho  m t t p m c a R3 ( ho c R2 ) M t hàm s u:  R  x, y, z  u  u  x, y, z  đ c g i m t tr ng xác đ nh  ng vô h Cho c  R , m t S   x, y, z  / u  x, y, z  c đ c g i m t m c ng v i giá tr c ( đ ng tr ) 1.2 o hƠm theo h ng nh ngh a 6.4 Cho u  u  x, y, z  m t tr ng vô h ng xác đ nh  M0  V i l m t vecto khác khơng b t kì M  x, y, z  cho M0 M ph ng v i l , đ t   x  x 2   y  y 2   z  z 2 0      x  x0 2   y  y0 2   z  z0 2  gi i h n ( n u có ) c a t s lim  0 c a tr ng vô h ng u đ u  đ c kí hi u c g i đ o hàm theo h ng l t i M u  M0  l Chú ý:  Gi i h n cơng th c có th đ c thay b ng u  x0  t cos , y0  t cos  , z0  t cos    u  x0 , y0 , z0  lim t 0 t cos ,cos  ,cos  cosin ch ph Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 ng c a l 105 TLTK: LT – TỐN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG u u  M0    M0  x l  N u l  Ox o hàm theo h  ng l t i m M c a tr t c đ bi n thiên c a tr ng vô h ng vô h ng u t i M theo h ng u th hi n ng l nh lý 6.16 N u u  u  x, y, z  kh vi t i M  x0 , y0 , z0  có đ o hàm theo m i h ng l  t i M u u u u  M0    M0 .cos   M0 .cos    M0  cos  x y z l cos ,cos  ,cos  cosin ch ph ng c a l 1.3 Gradient nh ngh a 6.5 Cho u  x, y, z  tr M0  x0 , y0 , z0  Ng ng vơ h ng có đ o hàm riêng t i i ta g i gradient c a u t i M vecto  u  u u   M0  ,  M0  ,  M0   y z  x  đ c kí hi u gradu( M0 ) nh lý 6.17 N u tr ng vô h ng u  x, y, z  kh vi t i M t a ta có: u  M0   gradu.l l Chú ý : M theo h u  M0  th hi n t c đ bi n thiên c a tr l ng vô h ng u t i ng l T công th c u  M0   gradu l.cos gradu, l l   Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 106 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG u  M0  đ t giá tr l n nh t b ng gradu l l ta có n u l có ph ng v i gradu C th :  Theo h ph  Theo h ph Ví d 2.05.1 ng l , tr ng vô h ng, h ng l , tr ng, ng ng v i gradu ng vô h ch ng u t ng nhanh nh t t i M n u l có ng u gi m nhanh nh t t i M n u l có ng v i gradu Tính đ o hàm theo h ng l c a u  x3  y3  3z3 t i A 2,0,1 , l  AB, B1,2, 1 L i gi i : Ta có : AB   1,2, 2  nên cos   cos   cos   1  AB 1 u u ,  x2   A  12 x x u u  ,  y2   A  x AB y 2 AB  2 u u ,  9 z2   A  9 x z Áp d ng cơng th c 6.2 ta có : u 1 2  A  12    9  3 l Ví d 2.05.2 Tính mondun c a gradu v i u  x3  y3  z3 t i A 2,1,1 Khi gradu  Oz , gradu  L i gi i : Ta có : Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 107 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG  u u u  gradu   , ,    3x2  yz,3 y2  3zx,3z2  3xy  x y z  nên gradu   9, 3, 3    gradu  Oz  gradu, k   u   z2  xy x  x2  yz   gradu    y2  zx  x  y  z  z2  xy  Ví d 2.05.3 Tính gradu v i u  r   ln r r  x2  y2  z2 r Ví d 2.05.4 Theo h ng s bi n thiên c a hàm s u  xsin z  y cos z t g c t a đ O  0,0  l n nh t ? L i gi i : T công th c u  O   gradu.l  gradu l cos gradu, l l  giá tr l n nhât b ng gradu l n u l có ph Ví d 2.05.5  ta có u O  đ t l ng v i gradu  O    0, 1,0 Tính góc gi a hai vecto gradz c a hàm z  x2  y2 , z  x  y  3xy t i M  3,4  L i gi i : Ta có ;  x y  gradz1   ,  x2  y2 x2  y2   3 4  nên gradz1  M    ,   5 5  Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 108 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG  3y 3x   9  , 3  nên gradz2  M    2,   gradz2  1    x y     V y cos    gradz , gradz   gradz1 gradz2 12 145 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 109 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG §2 Tr 2.1 ng vecto nh ngh a Cho  m t mi n m R3 M t hàm vecto F :   R3 M  F  F M  : F  Fx M  i  Fy  M  j  F2  M  k 2.2 Thông l ng, dive, tr a Thông l l ng ng ng ng: Cho S m t m t đ nh h ng F m t tr ng vecto i    Fxdydz  Fydzdx  F 2dxdy đ c g i thông l b Dive : Cho F m t tr ng c a F qua m t cong S ng vecto có thành ph n Fx , Fy , Fz hàm s có đ o hàm riêng c p m t t ng Fx Fy Fz đ   x y z c g i dive c a tr ng vecto F kí hi u div F c Tr ng vecto F xác đ nh  đ c g i m t tr ng ng n u div F  M   v i m i M  l Tính ch t : N u F m t tr ng ng ng thơng l ng vào b ng thơng 2.3 HoƠn l u, vecto xốy a Hồn l u: Cho m t đ không gian i l ng ng cong ( có th kín ho c khơng kín ) Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 110 TLTK: LT – TỐN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG  Fxdx  Fydy  Fzdz C đ c g i hoàn l u c a F d c theo đ ng cong b Vecto xoáy : Vecto i j k         rot F :  x y z    Fx F y Fz    vecto xoáy ( hay vecto rota ) c a tr 2.4 Tr Tr đ c g i ng vecto F ng th - hƠm th v ng vecto F đ c goi tr ng th (  ) n u t n t a tr cho gradu  F Khi hàm y đ ng vô h ng u c g i hàm th v nh lý 6.18 i u ki n c n đ đ tr ng vecto F  F  M  m t tr ng th rot F  v i m i M  Chú ý : N u F tr ng th hàm th v u đ c tính theo công th c x y z x0 y0 z0 u   Fx x, y0 , z0  dx   Fy  x, y, z0  dy   Fz  x, y, z  dz  C Ví d 2.05.6 Trong tr ng sau, tr a a   x2  xy i   3x2  y j  k b a  yzi  xz j  xyk c a   x  y  i   x  z  j   z  x k ng tr ng th ? L i gi i : a Ta có : Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 111 TLTK: LT – TỐN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N   rota   y  Q  nên a không ph i tr C TRUNG   z , z R R   y , x P P  y Q    0,0,6 x  20 y       ng th b Ngồi cách tính rota , sinh viên có th d dàng nh n th y t n t i hàm th v u  xyz nên a hàm th c Ta có   rota   y  Q  nên a tr   y , x P P  y Q    0,0,0      ng th Cho F  xz2 i  yx j  zy2 k Tính thơng l Ví d 2.05.7 c u   z , z R R S : x2  y2  z2  h ng c a F qua m t ng L i gi i : Theo cơng th c tính thơng l ng 6.3 ta có :    xz2dydz  yx 2dxdz  zy2dxdy S Áp d ng cơng th c Ostrogradsky ta có :     x2  y2  z2  dxdydz V Th c hi n phép đ i bi n t a đ c u  x  r sin  cos  0    2    y  r sin  sin  , 0     , J  r sin   z  r cos 0  r    Ta có : Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 112 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N 2  0 C TRUNG    d  d  r 2r sin  dr  Cho F  x y  z  i  y  x  z  j  z  x  y  k L giao n Ví d 2.05.8 c a m t tr 4 x2  y2  y  n a m t c u x2  y2  z2  2, z  Ch ng minh r ng l u s c a F d c theo L b ng L i gi i : Theo công th c tính l u s 6.4 I  x y  z dx  y  z  x dy  z  x  y dz L Áp d ng cơng th c Stokes ta có : I   S  y Q   z dydz  z R R   x dzdx  y P P  z dxdy Q    z  y  dydz   x  z  dzdx   y  x dxdy S 0 Link: http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/598/7 113