Tài Liệu Toán Cao Cấp A1_Đại Số năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG TÀI LI U THAM KH O TOÁN CAO C P A1 - GI NG VIÊN: TS NGUY N IS C TRUNG N M H C: 2016 -2017 TRANG CH : http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG L I NịI CH U NG TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017 Chúc m ng b n b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i Vi c đ i h c m cho em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không thách th c Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mà c h i ti p xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch nh ng gi ng đ ng l n hàng tr m Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia làm phân môn (hay g i h c ph n) Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên đ c t ch c h c đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn Bài t p hoàn toàn đ c t p trung d n vào cu i ch ng ho c chuyên đ ch không theo (các bu i h c) Các t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a Sinh viên R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c nên k t qu h c t p môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên ngành n m th 3, th (ho c th 5) Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k t p t i cu i h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) cu i ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ) C ng nh m đ làm quen v i cách h c i h c, m t s video t p đ c đ a v i m c đích h ng d n em cách làm t p trình b y b c i h c Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ em có c h i ti p c n s m v i ki n k n ng làm t p t t Hy v ng v i s chu n b s m t t, em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công vi c chu n b Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo phân đo n đ n v ki n th c tu n t đ em d dàng theo dõi Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b ch ng trình: http://moon.vn/KhoaHoc/MonHoc/7 T i b c Ph thông, em h c m t ch ng trình Toán nh t đ i v i Toán Cao C p s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng kh i ngành h c Tr ng i v i kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh , ch ng trình Toán Cao C p đ c h c Toán A g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán A (http://moon.vn/Pro/7/212): o Toán A1: i s n tính o Toán A2: Gi i tích o Toán A3: Gi i tích o Toán A4: Gi i tích  i v i kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao C p đ c h c Toán B g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán B (http://moon.vn/Pro/7/213): o Toán B1: i s n tính o Toán B2: Gi i tích  i v i kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t ho c Qu n tr kinh doan ch ng trình Toán Cao C p đ c h c Toán C g m có h c ph n riêng bi t v i đ ng link cho Toán C (http://moon.vn/Pro/7/214): o Toán C1: i s n tính o Toán C2: Gi i tích  T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đ c b trí v i n i dung chi ti t cho t ng kh i ngành thông qua h th ng video gi ng giáo trình đ y đ c ng nh tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i t p cho c Toán A, Toán B Toán C i kèm lý thuy t c b n m t kho d li u kh ng t p đ c t ng h p t thi gi a cu i H c k n m g n c a kh i ngành:  Toán A1, A2, A3 A4: h n 3500 t p Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG  Toán B1 B2: g n 2000 t p  Toán C1 C2: g n 2000 t p Các t p tr ng y u đ c quay Video kèm l i gi i giúp em ôn t p d dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng xác Th y đ i ng Supper Mods (c ng đ u Gi ng viên d y i h c) r t vui đ c trao đ i di n đàn Toán cao c p t i Moon.VN Facebook v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/groups/TCC.moon/ Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i đ ng link sau: https://www.facebook.com/Thay.Trung.Toan Chúc em nhanh chóng thu l v n d ng sáng t o ! mđ c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG M CL C M C L C Ch ng 1: Ma tr n, đ nh th c h ph ng trình n tính 1.1.Ma tr n 1.1.1 nh ngh a: 1.1.2.Các khái ni m khác: 1.1.3.Các phép toán ma tr n 10 1.1.4 Ma tr n đ i x ng ma tr n ph n x ng 13 1.1.5.H ng c a ma tr n 13 1.1.6.Ma tr n ngh ch đ o 14 1.1.7 a th c ma tr n 17 1.2 nh th c 17 1.2.1 nh th c c p 17 1.2.2 nh th c c p 17 1.2.3 nh th c c p n 18 1.2.4.Các tính ch t c a đ nh th c 19 1.3.H ph ng trình n tính 19 1.3.1.Ph ng pháp Cramer: .19 1.3.2.Ph ng pháp Gauss .21 Ch ng Không gian vecto .22 2.1 Không gian vect , không gian con, không gian sinh b i m t t p h p 22 2.1.1.Không gian vecto 22 2.1.2 Không gian vecto 23 2.1.3.T p sinh-không gian vecto sinh b i m t t p h p .23 2.2 c l p n tính ph thu c n tính .23 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 2.2.1.T h p n tính 23 2.2.2 c l p n tính 24 2.2.3.Ph thu c n tính 24 2.2.4.Các tính ch t 24 2.2.5 nh lý 24 2.3.C s , s chi u c a m t không gian vecto 25 2.3.1.C s , s chi u c a không gian vecto 25 2.3.2 nh lý 26 2.4.T a đ ma tr n chuy n c s 26 2.4.1.T a đ c a vecto c s 26 2.4.2.Ma tr n chuy n c s 27 2.4.3 nh lý ma tr n chuy n c s 27 2.4.4.Công th c đ i t a đ 27 Ch ng 3: Ánh x n tính 29 3.1.Ánh x n tính .29 3.1.1 nh ngh a 29 3.1.2.Các tính ch t c b n c a ánh x n tính 29 3.2.Nhân nh c a ánh x n tính 29 3.2.1.Các đ nh ngh a .29 3.2.2.Tìm c s cho Imf Kerf 30 3.2.3.M i liên h gi a s chi u c a h t nhân nh .31 3.3.Ma tr n c a ánh x n tính .32 3.4.Toán t n tính 33 3.4.1 nh ngh a: .33 3.4.2.C ng nhân toán t n tính 34 Ch ng 4: Giá tr riêng vecto riêng .35 4.1.Ph ng trình đ c tr ng 35 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 4.2.Giá tr riêng, vecto riêng 35 4.3.Chéo hóa ma tr n .36 Ch ng 5: D ng song n tính, d ng toàn ph ng, tích vô h ng không gian Euclid 38 5.1.Ánh x song n tính, d ng song n tính 38 5.2.D ng toàn ph 5.2.1 ng 38 nh ngh a 38 5.2.2.Phân lo i d ng toàn ph ng 39 5.2.3.D ng t c c a d ng toàn ph 5.2.4 a d ng toàn ph 5.3.Tích vô h 5.3.1 ng 39 ng v d ng t c 39 ng không gian Euclid 42 nh ngh a 42 5.3.2.Tr c giao, tr c chu n 43 5.3.3.Thu t toán tr c giao hóa m t h vecto đ c l p n tính 44 Ch ng 6: B sung v s ph c 45 6.1.D ng đ i s c a s ph c 45 6.2.D ng l ng giác c a s ph c 46 6.3.D ng m c a s ph c 47 6.4.Nâng s ph c lên l y th a 47 6.5 nh lý c b n c a đ i s 47 6.6 M t s ví d 47 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG Ch ng 1: Ma tr n, đ nh th c h ph ng trình n tính 1.1.Ma tr n 1.1.1 nh ngh a: Cho m, n hai s nguyên d ng Ta g i m t ma tr n A c p m x n m t b ng   g m m.n ph n t a ij  K i  1,m; j  1,n đ c s p x p thành m dòng n c t nh sau:  a11 a12 a a 22 A   21   a m1 a m2   Kí hi u: A  a ij Các ph n t mxn a1n  a 2n     a mn  dòng th i c t th j đ c g i ph n t a ij 1.1.2.Các khái ni m khác: Ma tr n không: M t ma tr n c p m x n đ c g i ma tr n không n u m i ph n t đ u b ng Ma tr n vuông:   M t ma tr n A  a ij mxn đ c g i ma tr n vuông n u m = n Lúc ta g i A   ma tr n vuông c p n, kí hi u A  a ij n Ma tr n đ n v :   Cho ma tr n vuông A  a ij A đ n c g i ma tr n đon v n u m i ph n t n m đ ng chéo b ng ph n t khác đ u b ng Lúc A đ I n : ma tr n đ n v c p n Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 c kí hi u TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 1 0  1  ; I3    Ví d : I      0  0  Ma tr n chéo:   Cho A  a ij A đ n c g i ma tr n chéo n u m i ph n t không thu c đ ng chéo đ u b ng 1 0    Ví d : A  2 ma tr n chéo   0  Ma tr n tam giác:   Cho A  a ij A ma tr n tam giác n u m i ph n t n m d n iđ ng chéo đ u b ng A ma tr n tam giác d i n u m i ph n t n m đ ng chéo đ u b ng A m t ma tr n tam giác n u ma tr n tam giác ho c d i 1    Ví d : A  ma tr n tam giác   0   0 B    ma tr n tam giác d i    2  Ma tr n dòng, c t:   Ma tr n A  a ij 1xn  a11 a12 a1n  đ c g i ma tr n dòng  b11  b  21  đ c g i ma tr n c t Ma tr n B   bij    mx1      b m1  Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG Ma tr n b c thang: Ma tr n b c thang ma tr n b c thang có ph n t khác đ u tiên c a dòng n m v bên trái so v i ph n t khác đ u tiên c a dòng d i 3 0 Ví d : A   0  0 2 12  1  ma tr n b c thang 0 4   0 0 0   Hai ma tr n A  a ij mxn   B  bij mxn đ c g i b ng n u a ij  bij v i m i i, j   Cho ma tr n vuông A  a ij n  a11 a12 a a 22   21   a n1 a n a1n  a 2n     a nn  Các ph n t a11, a 22 , , a nn g i ph n t thu c đ Các ph n t a ij  i  j g i ph n t n m đ ng chéo ng chéo ph 1.1.3.Các phép toán ma tr n a.C ng ma tr n -   nh ngh a: Cho hai ma tr n c p A  a ij   ma tr n A, B m t ma tr n C  cij mxn mxn   B  bij mxn T ng c a hai v i cij  a ij  bij Kí hi u A  B  C    1 11 1 2  9           Ví d :  2 3    2    3   2 13         7 3  1   1   7  -Tính ch t: Cho A, B, C, ma tr n c p, đó: (i)  A  B  C  A   B  C  (tính k t h p) Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 10 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG B3: K t lu n d ng t c c n tìm Q'  y   1y12   y2    n yn v i 1,  , ,  n tr riêng c a A Ví d : Tìm d ng t c c a d ng toàn ph ng sau: x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 Ta có Q  x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 1  Ma tr n c a A  1 2   1  Ph ng trình đ c tr ng c a ma tr n A A 1  1 2   2 1  2  1    9     3  1  V y Q có d ng t c  z12  z2  2z32 đ i v i bi n m i z1, z2 , z3 2.Ph ng pháp Jacobi B1: Vi t ma tr n A c a d ng toàn ph ng B2: Tính đ nh th c c a ma tr n vuông i , i  1,n B3: K t lu n d ng t c 1     n 1 1  n Ví d : Tìm d ng t c c a d ng toàn ph ng sau: x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 Ta có Q  x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 40 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 1  Ma tr n c a A  1 2   1  Ta nh n th y 1  1, 2  1  3, 3  det  A  2 V y Q có d ng t c 2 3 y1  y2  y3 hay y12  y2  y32 đ i v i bi n 3 8 m i y1, y2 , y3 3.Ph ng pháp Lagrange B1: Ch n m t s h ng có ch a x k  a kk  0 B2: Tách bi u th c t a đ c a d ng toàn ph ch a x k , nhóm l i không ch a x k ng thành nhóm: m t nhóm có B3: Trong nhóm th nh t ta l p thành t ng bình ph đ B4: Quay l i b c d ng t c ng c 1, 2, cho nhóm th hai c th ti p t c cho đ n tìm Ví d : Tìm d ng t c c a d ng toàn ph ng sau: x12  x22  x32  x1x2  x1x3  x2 x3 Ta vi t l i Q  x12  x1 x2  x1 x3  x22  x32  x2 x3   x1  x2  x3   3x2  3x32  x2 x3 2   x1  x2  x3    x1  x2  x3      x2  x3   x32  3x32       x2  x3   x32   Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 41 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG t t1   x1  x2  2x  , t2  x2  x3 , t3  x3 Q có d ng t c t12  3t2  t32 đ i v i bi n m i t1, t2 , t3 *Nh n xét: M t d ng toàn ph ng có th có nhi u d ng t c Tuy nhiên d ng t c đ u có m chúng s h s d ng âm b t bi n 5.3.Tích vô h ng không gian Euclid 5.3.1 nh ngh a M t tích vô h ng , : VxV   u, v  u, v  Th a: (i) u, v m t s hoàn toàn xác đ nh (ii) u, v  v,u , u, v  V (iii) u  v, w  u, w  v, w , u, v, w  V (iv) ku, v  k u, v , k  , u, v  V (v) u,u  0, u  V u,u   u   V  u1 u2   v1 v2   , v  v v  u3 u4   4 Ví d : V i hai ma tr n M : u   Hãy ch ng minh r ng bi u th c u, v : u1v1  u2v2  u3v3  u4v4 m t tích vô h ng Ta ph i ki m tra tiên đ c a tích vô h ng Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 42 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG  u u2   v1 v2   w1 Xét ph n t b t kì c a M : u    , v , w=  v v  w u3 u4   4  w2  w4  (1) u, v : u1v1  u2v2  u3v3  u4v4 m t s hoàn toàn xác đ nh (2) u, v  v, u v, u  v1u1  v2u2  v3u3  v4u4 (3) u  w, v  u, v  w, v Vì u  w, v   u1  w1  v1  u2  w2  v2  u3  w3  v3  u4  w4  v4   u1v1  u2v2  u3v3  u4v4    wv 1  w2v2  w3v3  w4v4   u, v  w, v (4) ku, v  k u, v , k  Vì ku, v  ku1v1  ku2v2  ku3v3  ku4v4  k u1v1  u2v2  u3v3  u4v4   k u, v (5) u, u  u, u  u12  u2  u32  u4  0 0 H nn an u u u, u  02  02  02  02   0 0 Ng c l i n u u, u  t c n u u12  u22  u32  u4  0 0 u12  0, u22  0, u32  0, u42  t c u1  0, u2  0, u3  0, u4  u    0 0 V y u, v : u1v1  u2v2  u3v3  u4 v4 m t tích vô h ng M 5.3.2.Tr c giao, tr c chu n 1.Tr c giao: u, v tr c giao  u, v   u, v   u  v  2.Tr c chu n: u, v tr c chu n   Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 43 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 5.3.3.Thu t toán tr c giao hóa m t h vecto đ c l p n tính S  u1,u , ,u m  LTT B1: t v1  u1 B2: Tính v  u  u , v1 v1 v1 , v1 B3: Tính v3  u  u3 , v2 u ,v v  v1 v2 , v2 v1, v1  v1 v  , m  tr c chu n v m   v1  S'  v1, v2 , , vm  tr c giao, S''   Ví d : Trong v i tích vô h ng Euclid tr c giao sau tr c chu n h : S  u1  1,0,0  , u   3,1, 2  , u   0,1,1 t v1  u1  1,0,0  Tính v2  u  u , v1 v1   3,1, 2   31,0,0    0,1, 2  v1 , v1 Tính v3  u  u , v2 u ,v 1  3 v2  v1   0,1,1   0,1, 2     0, ,  v2 , v2 v1, v1  5     5  H vecto tr c giao xác đ nh t S S'   v1  1,0,0  , v   0,1, 2  , v3   0, ,    h vecto tr c chu n  v v  v3          0, S''  w1   1,0,0  , w    0, , , w ,    v1 v2  v3  5 5     Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 44 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG Ch ng 6: B sung v s ph c 6.1.D ng đ i s c a s ph c - c g i đ n v o, m t s cho i  1 nh ngh a s i: S i đ - nh ngh a s ph c: Cho a b hai s th c i đ n v o, z  a  bi đ c g i s ph c S th c a đ c g i ph n th c s th c b đ c g i ph n o c a s ph c z Ph n th c c a s ph c z  a  bi đ c kí hi u Re(z) Ph n o c a s ph c z  a  bi đ c kí hi u Im(z) -Khi c ng (tr ) hai s ph c ta c ng (tr ) ph n th c ph n o t ng ng -Khi nhân hai s ph c ta th c hi n gi ng nh nhân hai bi u th c đ i s v i ý i  1 -Mu n chia hai s ph c ta nhân t m u cho s ph c liên h p c a m u -S ph c z  a  bi đ c g i s ph c liên h p c a s ph c z  a  bi *Tính ch t c a s ph c liên h p: Cho z w hai s ph c, z w hai s ph c liên h p t ng ng Khi đó: (i) z  z m t s th c (ii) z.z m t s th c (iii) z  z ch z m t s th c (iv) z  w  z  w (v) z.w  z.w (vi) z  z  (vii) z n  z n v i m i n Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 45 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 6.2.D ng l ng giác c a s ph c Modun c a s ph c z  a  bi m t s th c d ng đ c đ nh ngh a nh sau mod(z)  z  a  b N u coi z  a  b2  Góc  đ s ph c z  a  bi  a  0   b  0 2 m t m có t a đ  a,b  kho ng cách t m  a,b  đ n g c t a đ c g i argument c a s ph c z đ c kí hi u arg(z)   a a  cos   r  b a  b2  ho c tan   v i    2 Tìm argument s ph c  b a sin   b   r a  b2 D ng l ng giác c a s ph c z  a  bi z  r  cos   isin  Nhân hai s ph c d ng l ng giác: modun nhân v i argument c ng l i Chia hai s ph c d ng l ng giác: modun chia cho argument tr Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 46 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 6.3.D ng m c a s ph c nh lý Euler: ei  cos   isin  6.4.Nâng s ph c lên l y th a L y th a b c n c a i: Gi s n s t nhiên, i n  i r v i r ph n d c a n chia cho Ví d : Tính z  i1987 1987  4.496   z  i3  i Công th c De-Moivre: Cho r  0, cho n s t nhiên Khi  r  cos   isin   r n  cos n  isin n n Khai n c n b c n c a s ph c   2k   2k    isin z  n r  cos   isin    z k  n r  cos  n n   6.5 nh lỦ c b n c a đ i s a th c P  z  b c n có n nghi m k c nghi m b i Ví d : Gi i ph ng trình sau z9  i  z  i  z  cos : z9  i     isin 2     k2   k2  z k  cos  isin , k  0,1, ,8 9 6.6 M t s ví d Ví d 1: Tìm s ph c z bi t z  z    i  1  i  (1) Gi i: Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 47 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG Gi s z  a  bi  z  a  bi (1)  a  bi  2(a  bi)  (23  3.22 i  3.2i  i3 )(1  i)  a  bi  2a  2bi  (8  12i   i)(1  i)  (11i  2)(1  i)  13 3a  13 a  13  3a  bi  11i  11i   2i  13  9i     z   9i b   b  9 Ví d 2: Cho z1   3i, z2   i Tính z1  3z2 ; z1  z2 ; z13  3z2 z2 Gi i: +) z1  3z2   3i   3i   6i  z1  3z2  52  62  61 +) z1  z2 49 z1  z2  4i   4i 1  i   i        z2 4 1 i  i2 z2 +) z13  3z2   36i  54i  27i3   3i  49  6i  z13  3z2  2437 (1  i 2) 1  i  Ví d 3: Tìm môđun c a z bi t z  z  (1) 2i Gi i: Gi s z  a  bi  a , b   (1  i 2) 1  2i  i  2i  2i (1)  a  bi  2a  2bi   2i 2i (2i  2)   i  i(4  2)    3a  bi    i2 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 48 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG a z 2 4  2 ;b  15 32   16  144  72  144 225  128  225 15 Ví d 4: Tìm t t c s ph c z, bi t z2  z  z (1) Gi i: Gi s z  a  bi  a , b   (1)   a  bi   a  b2  a  bi  a  b2i  2abi  a  b2  a  bi 1  ; a b     2  b a     2b  a  bi  2abi     b  0; a  b  2ab   1 1 a  ; b  2  V y z  0; z  1 1  i; z   i 2 2 Ví d 5: Tìm c n b c hai c a s ph c z   12i Gi i: Gi s m  ni (m; n  ) c n b c hai c a z Ta có: (m  ni)2   12i  m2  2mni  n2i   12i  m2  2mni  n2   12i Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 49 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG m2  n2  5(1) m  n     12 mn   m  (2) n  2 6 Thay (2) vào (1) ta có:    n2   36  n4  5n2 n  n4  5n2  36   n2  4; n2  9(loai) n   m   n  2  m  3  V y z có hai c n b c hai  2i 3  2i Ví d 6: Tìm c n b c hai c a s ph c z  164  48 5i Gi i: Gi s m  ni (m; n  ) c n b c hai c a z Ta có: (m  ni)2  164  48 5i  m2  2mni  n2  164  48 5i m2  n  164(1) m2  n  164    24 (2) n  2mn  48 m  Thay (2) vào (1) ta có: m2  ( 24 )  164  m4  164m2  2880  m Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 50 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG m   n   m2  16; m2  180(loai)    n  4  m  6 V y z có hai c n b c hai  5i,   5i Ví d 7: Tìm t p h p m bi u di n s ph c z cho u  z   3i m t s zi thu n o Gi i: Gi s z  a  ib ( a , b  R) , u a   bi  3i (a   (b  3)i)(a  (b  1)i)  a  (b  1)i a  (b  1) T s b ng a  b2  2a  2b   2(2a  b  1)i a  b2  2a  2b   (a  1)  (b  1)   u s thu n o ch   2a  b   (a ; b)  (0;1), (2; 3) V y t p h p m bi u di n s ph c z đ b ng ng tròn tâm I (1; 1) , bán kính , khuy t m (0;1) (-2;-3) Ví d 8: Tìm t p h p m M bi u di n s ph c z th a mãn a) z 3 zi b) z  z   4i c) z  i  z  i  Gi i: a) t z  x  yi  x, y   Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 51 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG 9  Ta có: z  z  i  x  y   x   y  1   x   y       64  2 V y t p h p m M đ b) t z  x  yi  x, y  2  9 ng tròn tâm I  0;  , bán kính R   8  Ta có z  z   4i  x2  y2   x  3    y  x  y  25 V y t p h p m M đ c) t z  x  yi  x, y  ng th ng 6x  y  25  Ta có z  i  z  i   x2   y  1  x2   y  1  2  x2   y  12     x2   y  12  16  x2   y  12  x2   y  12  2  2  x   y  1  16  x   y  1  16   2 2 2 x   y  1  y  4 x  y  y   y  y  16  x2   y  12  16   x2 y2   1   y  4  1  2  3 Ta th y m n m hình tròn (1) elip (2) tung đ m n m elip th a mãn u ki n y  4 V y t p h p m M elip có ph ng trình x2 y2   Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 52 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG Ví d 9: Vi t s ph c sau d  i d ng đ i s : z  i 1  i   Gi i: + Xét z1            i   cos     isin      i  2     6  2     9  z19  29 cos       9  isin           c os isin    2        i   cos  isin   + Xét z2  1  i    4     z25   z 5 5 5  isin  cos 4      3 z19  64 cos   z2   5 5     isin    cos  4      3   isin         i   64  64i    64   2    Ví d 10: Tìm ph n th c ph n o c a s ph c sau: z    6i  2008 5     sin  isin    2009 Gi i: 2008 z   6i  2008 5     sin  isin    2009  1   2 i    2      2009     cos  isin  6  Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 53 TLTK: LT – TOÁN CAO C P A1 I SÔ (N M H C 2016 -2017) GI NG VIÊN: TS NGUY N C TRUNG           2 c os isin          3       2009       cos     isin           2008   2008   2008 os isin c            2009   2009  cos     isin        2    2  2008 2008   2008 2009 cos        669  23012 cos          2008 2009    isin          669   3012   isin      2 i    Do đó: ph n th c b ng 0; ph n o b ng -23012 Link http://moon.vn/KhoaHoc/NoiDungKhoaHoc/596/7 54