tài liệu Toán cao cấp

1 CHƯƠNG 1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa. Ma trận A cấp m n  trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được biểu diễn như sau: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a                 =   ij m n a  , 1, , 1, i m j n    Trong đó: ij a R  : là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A. m : số dòng của ma trận A. n : số cột của ma trận A.   1 2 i i in a a a : dòng thứ i của ma trận A. 1 2 j j mj a a a               : cột thứ j của ma trận A. Ký hiệu ( ) m n M R  là tập hợp các ma trận cấp m n  trên R . Ví dụ. Xét ma trận 1 0 2 1 2 0 B         . Ma trận B là ma trận cấp 2 3  . 1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận. 1) Ma trận dòng Ma trận dòng là ma trận có một dòng và n cột, ký hiệu là A =   1 2 n a a a Ví dụ.   2 8 3 A   2) Ma trận cột Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là : 1 2 m a a A a               Ví dụ. 1 2 4 0 A               3) Ma trận không: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0 0 m n   Ví dụ. 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0                     4) Ma trận vuông cấp n: Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dòng và số cột bằng n, ký hiệu là   11 12 1 21 22 2 ij 1 2 n n n n n nn a a a a a a A a a a a                  Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu : ( ) n A M R  . Đường thẳng đi qua các phần tử 11 22 33 , , , , nn a a a a được gọi là đường chéo chính của ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử 1 2( 1) 3( 2) 1 , , , , n n n n a a a a   được gọi là đường chéo phụ của ma trận A. Ví dụ. Ma trận 1 1 4 1 2 0 4 0 3 A               là một ma trận vuông. Đường thẳng đi qua các phần tử 1,2,-3 là đường chéo chính. 5) Ma trận tam giác Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ. 1 2 3 0 2 4 0 0 1 A             Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ. 1 0 0 0 2 0 5 4 1 A              6) Ma trận chéo Ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử không nằm trên đường chéo chính bằng 0 Ví dụ. 1 0 0 0 2 0 0 0 3 A             7) Ma trận đơn vị cấp n Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1. Ký hiệu là n I I  . Ví dụ. 2 3 1 0 0 1 0 ; 0 1 0 0 1 0 0 1 I I                   ; 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 I              . 8) Ma trận chuyển vị Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận A theo thứ tự thành cột, ký hiệu là A t . Ví dụ. Cho 1 1 4 1 2 1 5 2 3 A               . Khi đó 1 1 5 1 2 2 4 1 3 t A               9) Ma trận đối xứng Ma trận vuông   ij n A a  gọi là ma trận đối xứng nếu ij ji , , 1, a a i j n    , tức là t A A  Ví dụ. Ma trận 1 1 4 1 2 0 4 0 3 A               là một ma trận đối xứng. 1.1.3 Các phép toán về ma trận 1) Hai ma trận bằng nhau. Hai ma trận cùng cấp ( ) n m A M R   và ( ) n m B M R   gọi là bằng nhau nếu các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: ( , ) ij ij A B a b i j     . Ví dụ. Cho 1 2 1 2 , 2 1 A B a a b                . Tìm , a b sao cho A B  Theo định nghĩa trên giải được 2, 1 a b    . 2) Phép nhân một số với ma trận. Cho 0 c  và ma trận   ij ( ) m n m n A M R a     . Khi đó : ( ) ij m n cA ca   Ví dụ. Cho 1 2 3 2 1 0 A        . Khi đó 1 2 3 2 4 6 2 2 2 1 0 4 2 0 A                      . 1 2 3 2 1 0 A              và 3 6 9 3 6 3 0 A        3) Phép cộng hai ma trận. Cho   ij m n A a   và   ij m n B b   . Tổng của A và B là ma trận   ij m n C c   được xác định như sau:   , 1, , 1, ij ij ij c a b i m j n      Ví dụ. Với 1 2 3 2 3 1 A        và 1 1 1 0 1 0 B         , 1 3 1 0 4 0 C         . Khi đó 0 3 4 2 3 2 ; 2 2 4 1 2 4 1 A B A B C                    Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp. 4) Phép nhân một dòng với một cột Cho 1 ( ) n A M R   và 1 ( ) n B M R     1 2 n A a a a  ; 1 2 n b b B b               Khi đó AB gọi là tích (vô hướng) của một dòng với một cột: 1 1 2 2 n n AB a b a b a b     Ví dụ.   1 2 0 7 A   và 3 2 6 2 B               thì : AB  (–1).3 + 2.(–2) + 0.6 + 7.2  7. 5) Phép nhân hai ma trận Cho ( ) m k A M R   và ( ) k n B M R   . Gọi A 1 , A 2 , , A m là m dòng của A; (1) (2) ( ) , , , n B B B là n cột của B. Ta viết: 1 2 m A A A A               và   (1) (2) ( ) n B B B B Với   1 2 i i i ik A a a a  và 1 2 ( ) j j j kj b b B b                 . Khi đó C = AB gọi là ma trận tích của A với B và phần tử ij c của C được xác định như sau ( ) 1 1 2 2 j ij i i j i j ik kj c A B a b a b a b      Nhận xét Phép nhân hai ma trận AB chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận A là số dòng của ma trận B. Với ( ) m k A M R   và ( ) k n B M R   thì ( ) m n C M R   Nói chung AB BA  . Trường hợp AB BA  thì ta nói A và B là hai ma trận giao hoán. Ví dụ. Cho 1 0 1 1 A        và 1 2 0 1 B        . Khi đó 1 2 3 2 1 3 1 1 AB BA               . Ví dụ. Cho 1 2 3 0 2 4 A             , 1 2 3 4 2 1 0 3 B         . Ta có:       1 2 3 1 2 , 3 0 , 2 4 A A A    và (1) (2) (3) (4) 1 2 3 4 , , , 2 1 0 3 B B B B                              . Khi đó ma trận AB xác định bởi :   (1) 11 1 1 1 2 1.1 2( 2) 3 2 c A B               , tương tự 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 4, 3, 10, 3, 6, 9, 12 6, 8, 6, 20 c c c c c c c c c c c                 . Vậy 3 4 3 10 3 6 9 12 6 8 6 20 AB                  Ví dụ. 1 5 2 1 2 3 , 0 1 0 3 1 0 3 2 4 A B                      . Khi đó 8 1 14 ; 3 14 6 AB BA          không thực hiện được. 1.1.4 Các tính chất của các phép toán trên ma trận Phép cộng hai ma trận có các tính chất sau: Cho , ( ) m n A B M R   và , \{0} R    . Ta có : 1) A B B A    2)( ) ( ) A B C A B C      3) m n m n O A A O A       4) ( ) m n A A O     5)( ) ( ) A A     6) ( ) A B A B       7)( ) A A A        8)1 , 0. 0 A A A   Phép nhân hai ma trận có các tính chất sau: 1) ( ) A B C AB AC    , 2) ( ) ( ) A BC AB C  , 3) ( ) t t t AB B A  , 4) ( ) ( ) ( ) c AB cA B A cB   1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Các phép biến đổi biến ma trận A thành ma trận A’ sau được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Loại 1 : Đổi chỗ hai dòng cho nhau, ký hiệu : ' i j d d A A   Loại 2 : Biến dòng i thành c lần dòng i ( 0) c  , ký hiệu : ' i i d cd A A   Loại 3 : Biến dòng i thành dòng i cộng c lần dòng j ( 0, ) c i j   , ký hiệu : ' i i j d d cd A A    Ví dụ. Cho ma trận 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A            . Ta có 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 5 6 ' 8 10 12 7 8 9 7 8 9 d d A A                         2 2 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 6 ' 6 9 12 7 8 9 7 8 9 d d d A A                          2 1 1 2 3 4 5 6 4 5 6 ' 1 2 3 7 8 9 7 8 9 d d A A                         1.1.6 Ma trận bậc thang 1) Ma trận khác không ( ),( , 2) m n A M R m n    được gọi là ma trận bậc thang dòng, nếu có một số nguyên   (0 min , ) r r m n   , và một dãy các chỉ số cột 1 2 1 , , , r j j j n   , sao cho : ) 0 ij i a  nếu r i m   hoặc 1 1 i i r j j        1 2 1 2 ) 0 r j j rj ii a a a  Các phần tử 1 2 1 2 , , r j j rj a a a gọi là các phần tử được đánh dấu của A. Nếu ngoài i) và ii) còn có thêm: 1 2 1 2 ) 1 r j j rj iii a a a     ) 0,1 i kj iv a k i r     thì A được gọi là ma trận bậc thang dòng rút gọn. Ví dụ. Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang: 1 2 3 4 1 2 3 0 1 4 5 0 5 6 ; 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 A B                         2) Ma trận khác không ( ),( , 2) m n B M R m n    được gọi là ma trận bậc thang cột (bậc thang cột rút gọn) nếu chuyển vị t B của B là một ma trận bậc thang dòng (bậc thang dòng rút gọn). 1.1.7 Hạng của ma trận Cho ( ) m n A M R   và B là ma trận bậc thang nhận được từ A bằng một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp. Khi đó số dòng (số cột) khác không của B được gọi là hạng của A, kí hiệu là rank(A) hoặc r(A). Ví dụ .Tìm hạng của ma trận 1 2 3 4 5 6 3 3 9 A             . Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang: 3 3 2 2 2 1 3 3 1 3 4 ' 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 0 3 6 0 3 6 3 3 9 0 9 18 0 0 0 d d d d d d d d d A A                                              Ma trận bậc thang A’ có hai dòng khác 0 nên ( ) 2 rank A  Nhận xét. Ma trận bậc thang có các đặc điểm sau: 1) Phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên nằm về bên trái so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới. 2) Dòng bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới so với dòng khác 0. Ta có thể dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa một ma trận bất kỳ về dạng bậc thang. Ví dụ. Hãy đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng và bậc thang dòng rút gọn 1 2 3 4 2 4 1 10 3 6 1 15 A              Dùng phép biến đổi dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang dòng như sau: 3 3 2 2 2 1 3 3 1 8 2 7 3 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 7 2 0 0 7 2 0 0 8 3 5 0 0 0 7 d d d d d d d d d A B                                    2 2 2 2 3 1 1 2 1 1 3 3 3 1 2 3 7 7 7 4 5 1 2 3 4 1 2 3 0 1 2 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 7 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d d d d d d d d d d d d d B C                                               B là ma trận bậc thang của A, C là ma trận bậc thang rút gọn của A. 1.2 Định thức 1.2.1 Định thức cấp 2. Cho   2ij 2 ( ) A M R a  , định thức cấp 2 của ma trận A được xác định và ký hiệu như sau 11 12 11 22 21 12 21 22 det a a A A a a a a a a     Ví dụ. Cho 1 2 3 1 A         ta có : 1 2 det 1 1 2 ( 3) 7 3 1 A         . 1.2.2 Định thức cấp 3. Cho   3ij 3 ( ) A M R a  . định thức cấp 3 của ma trận A được xác định và ký hiệu như sau : 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31 12 21 33 23 32 11 31 32 33 det a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a        1.2.3 Định thức cấp n Cho ( ) n A M R  , ta ký hiệu A(i,j) là ma trận có được từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j . Ví dụ. Cho 1 3 4 4 5 6 3 2 3 A            thì 1 4 (2,2) 3 3 A        Phần phụ đại số của phần tử a ij là một số được xác định và kí hiệu như sau: ( 1) det ( , ) i j ij A A i j    Cho   ij ( ) n n A M R a  . Định thức cấp n của ma trận A được định nghĩa là: 11 12 1 21 22 2 1 1 2 det n n n pj pj j n n nn a a a a a a A a A a a a        (khai triển theo dòng p) hoặc 1 det n iq iq i A a A    (khai triển theo cột q). Ví dụ. Cho 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 A              . Tính det A . Ta khai triển theo dòng 1 ta có : 1 1 11 2 1 2 ( 1) 1 2 1 3 2 2 1 A      ; 1 2 12 1 1 2 ( 1) 2 2 1 0 2 2 1 A     ; 1 3 13 1 2 2 ( 1) 2 1 1 3 2 2 1 A     ; 1 4 14 1 2 1 ( 1) 2 1 2 0 2 2 2 A     Do đó 4 1 1 1 det 1.( 3) 1.0 2.3 2.0 3 j j j A a A          1.2.4 Các tính chất của định thức Dựa vào định nghĩa của định thức ta suy ra được các tính chất sau: 1) Nếu đổi dòng thành cột, cột thành dòng thì định thức không thay đổi , tức là det det t A A  2) Nếu đổi chỗ hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu, tức là: ' det( ) det( ') i j d d A A A A      3) Từ một dòng (một cột) ta cộng vào một dòng khác (cột khác) sau khi nhân một số 0 c  thì định thức không đổi ' i i j d d cd A A    khi đó det( ') det( ) A A  . 4) Ta có thể đưa thừa số chung 0 c  ra ngoài định thức, tức là: ' i i d cd A A   khi đó det( ') det( ) A c A  . [...]... chất trên, ta có thể dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để tính định thức cấp n  1 2 5 Ví dụ Cho A   1 1 2  Khi đó :    1 2 1    1 det( A)  1 2 5 1 2 5 h2  h2  h1 1 3 h3  h3  h1 1 2  0 1 3  1   6 4 6 1 2 1 0 4 6 2) Cho A   aij  m n Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0 3) Cho A   aij  là ma trận vuông cấp n Khi đó rank ( A)  n  det A  0 n ... )1  ( A1 )t 4) (cA)1  1 1 A c 5) Nếu A khả nghịch thì det A1   det A 1 1.3.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp Người ta chứng minh được kết quả sau: Cho A  M n ( R) là ma trận khả nghịch Khi đó những phép biến đổi sơ cấp trên dòng nào biến A thành In thì chúng cũng biến In (theo thứ tự đó) thành A1 Từ đó ta có phương pháp tìm ma trận nghịch đảo như sau: Để tìm... quen một đối tượng mới là ma trận, và các vấn đề xoay quanh ma trận Trong Toán học có những vấn đề dẫn đến việc giải hệ phương trình, và để giải hệ phương trình đó đã nảy sinh ra khái niệm mới là ma trận Để thấy rõ điều đó ta sẽ nghiên cứu chương tiếp theo là Hệ phương trình tuyến tính BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1 Thực hiện các phép toán trên ma trận  4   1 a ) 1 2 3 4     0    5  1  ... biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình tuyến tính đã cho tương đương nhau Từ hai định lí trên ta đi đến phương pháp sau: 2.2.4 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính Để giải hệ (3.1) ta thực hiện các bước: Bước 1: Lập ma trận mở rộng của A:  a11  a  A B    21   a  m1 a12 a22  am 2 a1n b1   a2 n b2      amn bm   Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa... (g) 0,1 0,2 Lipit (g) 0,2 0,3 Gluxit (g) 0,6 0,4 Hãy lập phương trình ma trận cho bài toán trên Hãy cho biết các ẩn số trong phương trình ma trận trên cho biết điều gì? 3 CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ 3.1 Không gian Véc-tơ 3.1.1 Định nghĩa Tập hợp V   được gọi là một không gian vectơ trên R nếu ta định nghĩa hai phép toán cộng (+) và nhân vô hướng (.) trên V thỏa 10 tiên đề sau: u , v, w  V ;  , ... u1 , , un  là một hệ hữu hạn các vectơ thuộc V và U’ là hệ vectơ nhận được từ U sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp Khi đó ta có U  U ' Ví dụ Tìm (1,1,1); (2,3, 4) (4,5, 6) Ta lập ma trận dòng từ ba vectơ trên 1 1 1 A   2 3 4   4 5 6   Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A về ma trận bậc thang: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  2 3 4    0 1 2    0 1 2  d3  d3  d 2 d 2...    u   v 5’) 1u  u 3.1.2 Các Ví dụ về không gian Véc-tơ 1) R3 với phép cộng vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ là không gian vectơ trên R 2) Tập hợp M mn ( R ) gồm tất cả các ma trận cấp m  n trên R cùng với phép cộng các ma trận và phép nhân một số với một ma trận tạo thành một không gian vectơ 3) Tập hợp P2  x  gồm các đa thức bậc không quá 2 cùng với phép cộng hai đa thức thông... tuyến tính    3 2 2    3.3 Không gian Vectơ con 3.3.1 Định nghĩa Cho V là không gian vectơ trên R và   W  V W được gọi là không gian con của V nếu W cũng là không gian vectơ trên R với các phép toán cộng và nhân như trên V Ký hiệu W  V Định lý sau cho ta điều kiện cần và đủ để tập W là không gian con của V 3.3.2 Định lý Cho V là không gian vectơ trên R và   W  V W là không gian con của...  an1 a12 a22  an 2 a1n   a2 n     ann  Ta lập ma trận A I  n  a11  a   21    a  n1 a12 a22  an 2 a1n 1 0 0   a2 n 0 1 0       ann 0 0 1   Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đối với  A I n  để biến A thành In khi đó In biến thành A1 1 3 2  Ví dụ Tìm A với A   1 4 2    1 3 3    1 Ta có :  1 3 2 1 0 0  d d  d  1 3 2 1 0 0  2 2 1 d 2  d 2  d1... Tìm cơ sở của Im f từ một tập sinh : Lập ma trận        f  e1    1 3 2 3   f  e2    2 2 1 1     f  e3    4 0 1 3    f  e4    7 5 2 1   Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang  1 3 2 3   1 3 2 3  d 3d   d34 d34 2 d22   d d 2  d 2  2 d1  2 2 1 1    0 4 3 5   4  0 4 3 5  0 1 3       7 5 2