Tài liệu Toán Cao cấp C

Toán C dùng cho các ngành Đại học Trồng trọt, Chăn nuôi, Phát triển nông thôn, Bảo vệ thực vật,... Bao gồm các kiến thức về giải tích hàm một biến: Giới hạn và tính liên tục hàm một biến, Đạo hàm và vi phân hàm một biến, Phép tính tích phân hàm một biến; Hàm nhiều biến: giới hạn, tính liên tục, đạo hàm riêng và vi phân toàn phần hàm hai biến số; Phương trình vi phân và Lý thuyết chuỗi; Đại số tuyến tính: Ma trận, Định thức và Hệ phương trình tuyến tính.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TỐN C Ths DIỆP HỒNG ÂN AN GIANG, THÁNG NĂM 2016 MỤC LỤC CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN 1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.1 Hàm số: 1.2 Hàm số hợp: 1.3 Hàm số ngược: 1.4 Các loại hàm số: 1.5 Hàm số sơ cấp GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Giới hạn hàm biến 2.2 Giới hạn phía: 2.3 Các tính chất: 2.4 Một số giới hạn bản: 2.5 Vơ bé, vơ lớn: HÀM MỘT BIẾN LIÊN TỤC 3.1 Hàm số liên tục: 3.2 Hàm số liên liên tục khoảng 3.3 Các tính chất BÀI TẬP THỰC HÀNH 10 4.1 Bài tập giới hạn 10 4.2 Bài tập hàm liên tục: 16 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 20 CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 23 Đạo hàm cấp đạo hàm cấp cao 23 1.1 Đạo hàm: 23 1.2 Đạo hàm trái: 23 1.3 Đạo hàm phải: 23 1.4 Đạo hàm khoảng: 23 1.5 Đạo hàm cấp hai: 23 1.6 Đạo hàm cấp cao: 23 1.7 Quy tắc đạo hàm: 24 1.8 Các cơng thức tính đạo hàm 24 Vi phân hàm biến: 25 2.1 Vi phân hàm biến: 25 2.2 Tính chất 25 2.3 Vi phân cấp cao: 26 2.4 Các quy tắc lấy vi phân 26 i Ứng dụng đạo hàm vi phân 26 3.1 Khử dạng vơ định tình giới hạn (Quy tắc L’Hospital) 26 3.2 Tìm cực trị hàm số: 27 3.3 Cách tìm cực trị hàm số: 27 3.4 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: 28 3.5 Tính gần đúng: 28 BÀI TẬP THỰC HÀNH 28 4.1 Tính đạo hàm định nghĩa: 28 4.2 Tính đạo hàm hàm số phụ thuộc tham số: 29 4.3 Tính vi phân: 30 4.4 Tìm giới hạn quy tắc L’hospital: 30 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 31 CHƯƠNG 3: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 33 Tích phân bất định 33 1.1 Ngun hàm: 33 1.2 Tích phân bất định 33 1.3 Tính chất: 33 1.4 Tích phân số hàm sơ cấp: 33 Các Phương pháp tính tích phân 34 2.1 Phương pháp đổi biến 34 2.2 Phương pháp tích phân phần: 36 Tích phân số dạng hàm số thường gặp: 38 3.1 Tích phân hàm số hữu tỷ: 38 3.2 Tích phân hàm số lượng giác: 41 3.3 Tích phân hàm số vơ tỷ: 44 Tích phân xác định: 46 4.1 Bài tốn mở đầu: 46 4.2 Tích phân xác định: 46 4.3 Quy ước: 47 4.4 Các tính chất tích phân xác định: 47 4.5 Cơng thức đạo hàm theo cận cơng thức Newton – Leibnitz: 48 4.6 Phương pháp tính tích phân xác định: 50 BÀI TẬP THỰC HÀNH 51 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 54 CHƯƠNG 4: ĐẠO HÀM – VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 57 Khái niệm hàm số hai biến 57 1.1 Khoảng cách mặt phẳng 57 ii 1.2 Lân cận điểm 57 1.3 Hàm hai biến 57 Giới hạn hàm số hai biến 57 2.1 Giới hạn hàm hai biến 57 2.2 Tính chất 1: 58 2.3 Tính chất 2: 58 2.4 Ngun lý kẹp 58 Sự liên tục hàm hai biến: 59 3.1 Hàm hai biến liên tục điểm: 59 3.2 Hàm hai biến liên tục miền D 59 3.3 Tính chất 59 3.4 Tính chất 60 Đạo hàm riêng cấp đạo hàm riêng cấp cao: 60 4.1 Đạo hàm riêng hàm hai biến 60 4.2 Đạo hàm riêng cấp cao 61 4.3 Tính chất 63 Vi phân tồn phần hàm hai biến 63 5.1 Vi phân hàm hai biến 64 5.2 Vi phân tồn phần cấp hai 64 Ứng dụng đạo hàm vi phân hàm hai biến 64 6.1 Cực trị hàm hai biến: 65 6.2 Cực trị có điều kiện hàm hai biến: 66 6.3 Tìm giá trị lớn nhỏ nhất: 67 BÀI TẬP THỰC HÀNH 69 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 71 CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 74 Phương trình vi phân 74 1.1 Khái niệm phương trình vi phân 74 Các loại phương trình vi phân cấp 75 2.1 Phương trình có biến phân ly 75 2.2 Phương trình (đẳng cấp) 76 2.3 Phương trình vi phân hồn chỉnh 78 2.4 Phương trình tuyến tính: 81 2.5 Phương trình Bernouli: 83 Phương trình vi phân cấp 84 3.1 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp 84 3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số số 86 iii BÀI TẬP THỰC HÀNH 94 4.1 Phương trình vi phân biến số phân li sau 94 4.2 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện đầu 95 4.3 Phương trình vi phân (đẳng cấp) sau 96 4.4 Phương trình vi phân hồn chỉnh (Tồn phần): 97 4.5 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 97 4.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số 98 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 98 CHƯƠNG 6: LÝ THUYẾT CHUỖI 100 Chuỗi số 100 1.1 Khái niệm chuỗi số 100 1.2 Tính chất: 101 Chuỗi số dương 101 2.1 Dấu hiệu so sánh: 101 2.2 Dấu hiệu D’Alembert, Cauchy, Tích phân: 103 Chuỗi số có dấu 104 3.1 Chuỗi đan dấu Dấu hiệu Leibnitz: 104 3.2 Chuỗi có dấu bất kỳ: 105 3.3 Chuỗi luỹ thừa: 105 BÀI TẬP THỰC HÀNH 107 4.1 Dùng dấu hiệu so sánh, xét tính hội tụ chuỗi số 107 4.2 Dùng dấu hiệu Cơ - si Đalămbe dấu hiệu tích phân Cơ – si 108 4.3 Khảo sát hội tụ chuỗi đan dấu (hoặc chuỗi có dấu bất kỳ) sau 109 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 109 CHƯƠNG 7: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 111 Ma trận 111 1.1 Ma trận loại ma trận: 111 1.2 Các phép tốn ma trận 113 Định thức 115 2.1 Khái niệm phép 115 2.2 Định nghĩa tính chấtt định thức 116 2.3 Tính chất định thức 118 2.4 Khai triển định thức 120 2.5 Các phương pháp tính định thức 121 Hạng ma trận 123 3.1 Hạng ma trận 123 3.2 Các phương pháp tính hạng ma trận 123 iv Ma trận nghịch đảo: 124 4.1 Ma trận khả nghịch .124 4.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 125 BÀI TẬP THỰC HÀNH 126 5.1 Các phép tốn ma trận 126 5.2 Tính định thức 127 5.3 Giải phương trình, bất phương trình định thức 128 5.4 Hạng ma trận .128 5.5 Ma trận nghịch đảo 129 5.6 Giải phương trình ma trận 129 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 130 CHƯƠNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 134 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 134 1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính(hpttt) 134 1.2 Nghiệm hpttt 134 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ CĨ NGHIỆM 134 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 135 3.1 Phương pháp Crame 135 3.2 Phương pháp Gauss (phương pháp khử dần ẩn số) 135 BÀI TẬP rèn luyện 140 4.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Crame 140 4.2 Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Gauss 141 4.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau 142 v CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN KHÁI NIỆM HÀM SỐ MỘT BIẾN 1.1 Hàm số: Cho X , Y tập tập hợp số thực  , quy tắc f cho tương ứng số x  X với số y  Y gọi hàm số biến số thực Ta viết f : X Y x  y  f ( x) Tập X gọi miền xác định Tập f  X    y  Y / y  f  x  , x  X  gọi miền giá trị hàm số f Chú ý: Nếu hàm số cho cơng thức dạng y  f  x  miền xác định tập hợp tất giá trị x làm cho biểu thức f  x  có nghĩa Ví dụ 1 Hàm số y  f ( x)  x3 có miền xác định  miền giá trị    Hàm số y  x  có miền xác định X    ;   miền giá trị T   0;     1.2 Hàm số hợp: Cho hai hàm số: g :Y  Z f : X Y y  z  g ( y) x  y  f ( x) Một hàm số h : X  Z xác định z  h( x)  g ( f ( x)) gọi hàm số hợp hàm f hàm g Kí hiệu f  g Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x3 y  g ( x)  sin x hàm hợp     f  g ( x )  g  f  x    g x  sin x3 1.3 Hàm số ngược: Cho hàm số y  f  x  xác định X nhận giá trị Y , với y0  Y tồn x0  g ( y0 )  X cho y0  f ( x0 ) hàm số y  g ( x) xác định Y nhận giá trị X gọi hàm ngược hàm số y  f ( x) , kí hiệu f 1 ( x ) Ví dụ Xét hàm số f  x   x3 xác định  nhận giá trị  Khi hàm số g ( x )  x hàm ngược hàm f 1.4 Các loại hàm số: 1.4.1 Hàm đơn điệu: Cho hàm f xác định  a, b  Hàm f gọi tăng với x1 , x2 thuộc  a, b  , x1  x2  f  x1   f  x2  f gọi giảm x1  x2  f  x1   f  x2  Các hàm số tăng giảm gọi chung hàm số có tính đơn điệu 1.4.2 Hàm chẵn, hàm lẻ: Cho hàm f xác định tập X Hàm x  X   x  X , f   x   f  x  f Hàm f được gọi hàm chẵn gọi hàm lẻ x  X   x  X , f   x    f  x  Hàm chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung, hàm lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ 1.4.3 Hàm bị chặn: - Ta gọi hàm số y  f ( x) bị chặn tập D   tồn số M   cho f ( x)  M với x  D - Ta gọi hàm số y  f ( x) bị chặn tập D   tồn số N   cho f ( x)  N với x  D - Hàm số y  f ( x) gọi bị chặn tập D   vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số  M   cho f ( x)  M với x  D Ví dụ Các hàm số y  sin x, y  cos x hàm số bị chặn 1 mà | sin x | | cos x | với x   - Còn hàm số y  hàm số khơng bị chặn khoảng (0,  ) x 1.4.4 Hàm tuần hồn Giả sử hàm số f : X   xác định tập hợp số thực X Nếu tồn số dương T cho với x  X ta có: x  T  X & f ( x  T )  f ( x) (1) f gọi hàm số tuần hồn Từ đẳng thức suy ra: Với x  X f ( x)  f ( x  T )  f ( x  2T )  Nếu tập hợp số T  thỏa mãn đẳng thức (1) có số nhỏ số gọi chu kì hàm số tuần hồn f Ví dụ Các hàm số f ( x )  sin x & g ( x)  cos  x  3  hàm số tuần hồn có chu kì 2, hàm số h( x )  2sin  x  5  có chu kì  1.5 Hàm số sơ cấp Ta gọi hàm số gồm: hàm hằng, hàm luỹ thừa, hàm số mũ, hàm logarit, hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược hàm số sơ cấp Ta gọi hàm cho cơng thức nhất, có hữu hạn phép tốn hàm (tổng, hiệu, tích, thương hợp hàm) tác động lên số hữu hạn hàm sơ cấp hàm số sơ cấp Sau số hàm số sơ cấp 1.5.1 Hàm số mũ: Hàm số mũ y  a x , với  a  có miền xác định  , miền giá trị (0,  ) Nếu a 1 hàm đồng biến,  a 1 hàm nghịch biến 1.5.2 Hàm số lơgarit Hàm lơgarit y  log a x, với  a  có miền xác định (0,  ) , miền giá trị  Nếu a  hàm đồng biến  a 1 hàm nghịch biến Hàm lơgarit y  log a x hàm số ngược hàm số mũ y  a x 1.5.3 Hàm số lũy thừa: Hàm lũy thừa có dạng y  x , với    - Nếu  số hữu tỷ miền xác định hàm lũy thừa phụ thuộc vào  Chẳng hạn y  x có miền xác định (0,   ) ; hàm số y  x  có miền xác định lại là:  \{0} - Nếu  số vơ tỷ dương ta quy ước miền xác định [0,  ) - Nếu  số vơ tỷ âm ta quy ước miền xác định (0,   ) 1.5.4 Các hàm số lượng giác - Hàm số y  sin x có miền xác định  , miền giá trị [ 1, 1] , hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ 2 - Hàm số y  cos x có miền xác định  , miền giá trị [1,1] hàm chẵn, tuần hồn với chu kỳ 2 - Hàm số y  tan x có miền xác định: x  (2k  1) 2 , k  , miền giá trị  , hàm lẻ, - tuần hồn với chu kỳ  Hàm số y  cot x có miền xác định: x  k , k  miền giá trị  , hàm lẻ, tuần hồn với chu kỳ  1.5.5 Các hàm số lượng giác ngược - Hàm y  arcsin x hàm ngược hàm số y  sin x - Hàm y  arccos x hàm ngược hàm số y  cos x - Hàm y  arctan x hàm ngược hàm số y  tan x - Hàm y  arc cot x hàm ngược hàm số y  cot x Tóm tắt định nghĩa hàm số ngược: Hàm số lượng giác ngược Miền xác định Miền giá trị y  arcsin x  x  sin y 1  x   2  y  2 y  arccos x  x  cos y 1  x   y  y  arctan x  x  sin y   x     2  y  2 y  arccot x  x  sin y   x     y  GIỚI HẠN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Giới hạn hàm biến Cho hàm số y  f  x  xác định  a, b  trừ điểm x0   a, b  Ta nói hàm số y  f  x  có giới hạn L x  x0 với   (có thể bé tùy ý) ta ln tìm số   cho với giá trị x  ( x0   ; x0   ) \  x0  ta có f  x   L   Khi ta viết lim f  x   L x x0 Nói theo cách bình thường, hàm số y  f ( x) có giới hạn L x tiến tới x0 hàm số nhận giá trị gần L x có giá trị gần x0    1    A   3, B     1      2 1  3   2  ,C   3   1   0 rankC 1   4 11 10   1   Tùy theo giá trò a tìm hạng ma trận : 14 1    A    1 a    5.5 Ma trận nghịch đảo Tìm ma trận nghòch đảo ma trận sau 15 16  7   A   ;    3    4   B   3  2     1 1 1   1 1 1 Cho ma trận B   1  1     1   1  Hãy tìm ma trận nghòch đảo B 17 1 3   Cho ma trận A    với a    2 a    a) Tìm a để A khả nghòch b) Tìm A1 hai phương pháp 5.6 Giải phương trình ma trận 129 Nếu a  rankA  Nếu a  rankA  a) Tìm ma trận X biết : 1   3      2X    1    0 18 b) Tìm ma trận Y biết :  1  1   Y    1  1   c ) Tìm ma trận Z biết :   1   3        Z      1      1       3   d ) Tìm ma trận M biết : M     1    a) Tìm ma trận X biết : 19  3  3         X  10   1  10      b) Tìm ma trận Y biết :   3  3      Y     10   1  10      BÀI TẬP RÈN LUYỆN Tìm hạng ma trận  32    1  A  1 13       10  Tìm hạng ma trận   2 A     1 2  1 3 3  1 130 Tìm giá trị m để ma trận 1  A  3  4 4  5 6  m có hạng nhỏ Tùy theo giá trị m, tìm hạng ma trận 1  A  1  2 1 4  m 4 3  1 Với giá trị a hạng ma trận 1    A   12 a    15 a  10    lớn Tìm hạng ma trận sau tùy theo giá trị a :   A  1   1  1 2  2  a 7 Tính định thức i 1 i D  i 1 i Tính định thức 131 1 2 D 3 1 Tính định thức 0 D 4 10 Chứng minh định thức: a 0 b 1 D c 1  2a  b  c  d d 1 11 Chứng minh định thức: a D b c  abcd d 0 12 Chứng minh định thức: a 1 D a 1 1 a  (a  3)( a  1)3 1 a 13 Chứng minh định thức: a bc D  b a  c  c ab 14 Chứng minh định thức: 132 1 D a a a a 1 a  2a  3a  a 1 15 Giải phương trình: x x2 a a  0, (với a , b   a  b ) b b2 16 Giải phương trình: x 1 x3 133 x  CHƯƠNG 8: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính(hpttt) Hệ phương trình tuyến tính m - phương trình n - ẩn hệ có dạng:  a11 x1  a12 x2   a1 j x j    a1n xn   a21 x1  a22 x2   a2 j x j    a2 n xn            am1 x1  am x2   am j x j    amn xn  b1  b2   (1)  bm x1 , x2 , , xn ẩn ; aij , bi  với i  1, m, j  1, n ; j gọi hệ số ẩn x j bi (i  1, m ) gọi hạng tử tự 1.2 Nghiệm hpttt Một nghiệm hệ (1) n - số (c1 , c2 , , cn )  n cho thay x j  c j đẳng thức hệ (1) đẳng thức số Ma trận hệ số - Ma trận bổ sung hệ phương trình tuyến tính  a11   a21 A   Ma trận :    am1 a12 a22  am  a1n    a2 n  gọi ma trận hệ số hệ (1)     amn   a11 a12 a1n   a21 a22 a2 n  Ma trận: A     am1 am am n  b1   b2  gọi ma trận bổ sung hệ (1)   bm  1.4 Hệ phương trình tuyến tính tương đương Hai hệ phương trình tuyến tính gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm ĐIỀU KIỆN ĐỂ HỆ CĨ NGHIỆM Hai nhà tốn học Crơnecke Capêni chứng minh định lý tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý Crơnecke - Capêni Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm rankA = rank A Ví dụ Cho hệ phương trình tuyến tính: 134  3x1  x2  x3  x4   x  x  2x  4x   (*)   x1  x2  3x3  x4   12 x1  x2  x3  x4  10 Xét xem hệ phương trình có nghiệm hay khơng ? Vì ? Giải Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận A ta có:  11   1 36   1          12  12    10 14     A    1 36    11     10 20 28        12   10  12   10   14  35 70 118  1 3       10 14     rankA    rank A  hệ (*) vơ nghiệm 00 0 0    0 0 20  CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Phương pháp Crame Nếu hệ phương trình (1) hệ Crame áp dụng định lý Crame để giải 3.2 Phương pháp Gauss (phương pháp khử dần ẩn số) Nội dung phương pháp thực phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận :  a11 a12 a1n   a21 a22 a2 n A     am1 am am n  b1   b2    bm  ~  c11 c12 c1k c1n d1     c22 c2 k c1n d      0 ckk ckn d k   Ma trän C  Dựa vào ma trận C ta thấy hệ phương trình có nghiệm hay khơng có nghiệm có nghiệm có hay có vơ số nghiệm !  Khi hệ phương trình có dạng “bậc thang”: c11 x1  c12 x2    c1k xk  c1k 1 xk 1    c1n xn   c22 x2    c2 k xk  c2 k 1 xk 1    c2 n xn                ckk xk  ckk 1 xk 1    ckn xn  d1 d2  dk việc giải hệ phương trình tiến hành sau :  Nếu k = n việc giải x n  xn 1  xn    x1  ( x1 , x2 , , xn ) 135  Nếu k < n từ cột thứ k+1 đến cột thứ n chuyển sang phía bên phải dấu “ = ” q trình lại giải từ lên để tính xk  xk 1   x1 Ví dụ  x1  x2  x3    Giải hệ phương trình tuyến tính sau : 2 x1  x2  x3  , (*) 3x 11x  x  17  Giải  Phương pháp Crame 1 Vì: D    17   hệ phương trình (*) hệ Crame 11  75 1 1  D1     17; D2    0; D3    34 17  11  17   11 17  D D D   17 34  Hệ phương trình (*) có nghiệm nhất:  ; ;    ; ;   1; 0;    D D D   17 17 17   Phương pháp Gauss 1    15   15    x1         A         18     18    x2  x     11  17   19 38   0 17  34          Phương pháp ma trận  x1  1  4         Đặt: A      , X   x2  , B     Phương trình   11    17  x       3 (*)  AX  B  X  A1 B Nhưng từ:  1  4    1 A  2 1  A     11       52 17 11 17 17 79  17 19  17 41 17  174 17 17 52 79  17   17   11 19   X   17  17  5 4   17 17 1  4  1     2 1  0 17     2    17    11   41 17 Ví dụ  x1  x2  x3  x4   Giải hệ phương trình tuyến tính sau: 4 x1  x2  3x3  x4  2 x  x  x 1  136 Giải Thực phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận bổ sung:   1 2 1  2 2 1  1 2            13      13          13     0 0        Trong bảng cuối phương trình thứ ba có dạng: x1  x2  x3  x4  (**) Rõ ràng phương trình (**) vơ nghiệm  hệ cho vơ nghiệm Ví dụ  x1  x2  3x3  x4  28 3x  3x  x  x  19  Giải hệ phương trình tuyến tính sau:  69 x x x x      1 8 x1  x2  x3  x4  Giải  Cách 1 28   28   28        19 149 149    2      10  10       10  10    5 69     13  15  211   0    31  2            2  35  447   0  12  25  149       1 28   149    10  10        1; ; 2;   0    31        25  0  Cách  x1  28  x2  3x3  x4 1 28   28     19  149  149    2      10  10     9 x2  10 x3  10 x4    211  5 69     13  15  211  2 ( ) 9 x2  13x3  15 x4            2  35  447   9 x  22 x  35 x  447        x2  12  Dùng máy tính bấm tay giải hệ (+) ta được:  x3   x1  28   3.2  4.5  x       1; ; 2;  nghiệm hệ phương trình cho   Ví dụ 137  3x1  x2  x3  x4   x  x  2x  4x   , (1) Giải hệ phương trình tuyến tính:   x1  x2  3x3  x4   12 x1  x2  x3  x4  10 Giải Để biến đổi ma trận bổ sung, trước hết ta đổi dòng thứ hai cho dòng thứ nhất, sau khử dần hệ số :  11   12  1   5                   10  14   1 36    1 36     10  14        12   10  12   10   10 25  50  70  1 1 2 5   10 14   x1  x2  x3  x4   x1  x2   x3  x4     0 0 x2  x3  10 x4  14  x2  14  x3  10 x4 0    0 0 0  x1    12 a  b  x    a  5b  x1    12 x3  x4    Hệ (1) có vơ số nghiệm phụ thc hai  x x x x      a    2   x4  b   tham số Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:  x  y  z    x   y  z   , (   ), ()  x  y z  2  Giải Cách : Dùng định thức:  1 1 D    (  1) (  2); Dx      (  1)2 (  1) 1  2   1 Dy    (  1) ; 2   1 Dz     (  1) (  1) 1 2 138   1 (  1)2  , ,  Nếu D          hệ có nghiêm :     2 2 2   Nếu D         :  Khi   ta có hệ phương trình :  x yz 1 x   a b    Hệ có vơ số nghiệm phụ  x  y  z   x  y  z  1 x   y  z   y  a    x yz 1  z  b   thuộc tham số  Khi    , ta có hệ phương trình:  2 1 1  2  2 1 2  x  y  z           x  2y  z    A    2   2 1 1  0 3  3  x  y  2z   1  4  1  4  33 6        1   2      3    phương trình: x  y  z  vơ nghiệm nên hệ () vơ nghiệm 0 0 3   Cách 2: Dùng phương pháp Gauss:  1   1  2  1  2        A              1        1  2    1   1  1 2 1 3        1   2      1 1     , ()  0 (1   )(2   ) (1   )(1   )      1 (1   )  ; ;  Nếu        hệ ( ) có nghiêm :     2 2  2   Nếu   , thay   vào ma trận () ta phương trình sau: x   a b  x  y  z   x 1  y  z   y  a    Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số  z  b   Nếu   2 , ta thay   2 vào () ta hệ phương trình tuyến tính sau:  x  y  z  (1)  ()   y  3z   (2) Trong hệ (), phương trình (3) vơ nghiêm  hệ phương 0 x  y  z  (3)  trình () vơ nghiệm 139 Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau:  ax1  x2  x3    x1  bx2  x3  3; (a; b   )  x  2x  x   Giải a Ta có: D  1 b a 1 1  (1  a )(2  b), Dx1  b  1 a Dx2   (1  a ), Dx3  b  4ab  6a  4b  1 + Nếu D  (1  a )(2  b)   a  1& b  hệ phương trình cho có nghiệm  1 4ab  6a  4b   :  ; ;  (1  a )(2  b)   (1  a)(2  b )  b + Nếu a  1, thay a  vào hệ phương trình cho hệ phương trình: 1 1   1  (1)  x1  x2  x3        x1  bx2  x3  3; ( b   )   b    b    (2)  x  2x  x  1   0  (3)      Khi b  1, thay b  vào phương trình (2) ta có: x1  x2  x3   (4) phương trình (4) vơ nhiệm, nên hệ phương trình cho vơ nghiệm  y  b11   Khi b  1, từ (2) (3) ta suy ra:  (vơ lý)  Hệ phương trình cho  y  vơ nghiệm Như vậy: Nếu a 1 hệ phương trình (*) vơ nghiệm b   + Nếu b  2, thay b  vào hệ phương trình cho hệ phương trình:  ax1  x2  x3  (1)  (**)  x1  x2  x3  (2); ( a   )  x  x  x  (3)  Hai phương trình (2) & (3) hệ (**) có vế trái giống vế phải khác nên hệ phương trình (**) vơ nghiệm, a    Nếu b  hệ phương trình (*) vơ nghiệm a   BÀI TẬP RÈN LUYỆN 4.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Crame 140 ĐỀ BÀI ĐÁP SỐ 8.1  x  y  z  1  y z    x  y  z  1  (2; 4;  3) 8.2  x1  x2  x3    x1  x2  x3   3x  x  x   (7;  3;  9) 8.3  x1  x2  x3    3x1  x2  x3  11  3x  x  x  11  (3; 1; 1) 8.4  3x1  x2  x3    x1  3x2  x3   x  x  3x  11  (2;  2; 3) 4.2 Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp Gauss ĐỀ BÀI ĐÁP SỐ 8.5  x1  2x    3x1  x1  x2  3x3  x4   x2  x3  3x4   x2  x3  x4   3x2  x3  x4   (1; 2;  1;  2) 8.6  x1  x    x1  x1  x2  3x3  x4   x2  x3  3x4   x2  10 x3  x4   13x2  13x3  x4  11 (58;  15;  2; 0) 8.7  x1  2x    3x1  x1  3x2  3x3  x4   x2  x3  3x4   x2  x3  x4  12  3x1  x    x1 12 x1  x2  x3  x4   x2  x3  x4   x2  3x3  x4    x2  x3  x4  10 8.8 (18; 88 ;  8;  113 )  x2  x3  x4   x1    12 a  b  x    a  5b  2   x3  a    x4  b   141 8.9  x1  3x    x1  x1  x2  x4    x2  x3   x2  x3  x4   3x2  x3  x4  (1; 2; 0; 0) 4.3 Giải biện luận hệ phương trình tuyến tính sau 8.10  Nếu a  & a  3 hệ có nghiệm x2  x3  (a  1) x1   x1  (1  a ) x2  x3    x1  x2  (1  a) x3   1   ; ; nhất:    a 3 a 3 a 3  Nếu a  hệ vơ số nghiệm a    Nếu a  3 hệ vơ nghiệm  Nếu m  1& m  2 hệ có nghiệm 8.11 1   ; ; nhất:   m2 m2 m2  mx  y  z    x  my  z  1; (m   )  x  y  mz    Nếu m  hệ vơ số nghiệm  Nếu m  2 hệ vơ nghiệm 8.12  x1  x2  x3    x1  x2  x3  3; (a   )  x  x  3x  a   Nếu a  hệ vơ nghiệm  Nếu a  hệ vơ số nghiệm  Nếu a  3& a  hệ có nghiệm 8.13 1   ; nhất:  1;   a 3 a 3  x1  x2  x3   2 x1  3x2  ax3  3; (a   )  x  ax  3x  2   Nếu a  3 hệ vơ nghiệm  Nếu a  hệ vơ số nghiệm 142 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000) Tốn cao cấp NXB ĐHQG TPHCM [2] Nguyễn Viết Đơng, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2001) Tốn Cao Cấp T1, T2 NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Viết Đơng, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2001) Bài tập Tốn Cao Cấp T1, T2 NXB Giáo Dục [4] TS Nguyễn Huy Hồng (Chủ biên) 2014 Tốn sở cho Kinh tế NXB Giáo Dục Việt Nam [5] Nguyễn Quốc Hưng (2009) Tốn Cao cấp C1 số ứng dụng kinh doanh NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [6] Walter Rudin (1986) Real and Complex Analysis 3th McGraw-Hill, New York [7] James Stewart (2010) Single variable calculus early transcendental 7th Edition, Brooks/Code, Cengage Learning 143 [...]... điểm c c đại nếu c một khoảng I chứa x0 sao cho f  x   f  x0  , x  I \  x0  3.2.2 C c tiểu c a hàm số: Điểm x0   a, b  đư c gọi là điểm c c tiểu nếu c một khoảng I chứa x0 sao cho f  x   f  x0  , x  I \  x0  3.2.3 C c trị hàm số: C c điểm c c tiểu và c c đại c a hàm số đư c gọi là điểm c c trị hay c c trị c a hàm số 3.3 C ch tìm c c trị c a hàm số: Bư c 1 Tính f   x  ; Bư c. .. 0 10 (     )   11 ( A  B  C)  A  ,  ,  là c c (VCB) khi x  a và  là (VCB) b c thấp nhất (Quy t c ngắt bỏ (VCB) b c cao) A, B, C là c c (VCL) khi x  a và A là (VCL) b c cao nhất (Quy t c ngắt bỏ (VCL) b c thấp) 3 HÀM MỘT BIẾN LIÊN T C 3.1 Hàm số liên t c: Cho hàm số y  f  x  x c định trên  a, b  , x0   a, b  Hàm f  x  đư c gọi là liên t c tại x0   a, b  nếu lim f  x ... c a f   x  thì đạo hàm này đư c gọi là đạo hàm c p hai c a f và kí hiệu là f   x  Ta c f   x    f   x   1.6 Đạo hàm c p cao:  Đạo hàm c p n c a hàm số f  x  , kí hiệu là f n  x  Ta c :  1.6.1 C ng th c tính đạo hàm b c cao c a tổng, c a tích 1)  f ( x)  g ( x)  ( n)  2)  f ( x ) g ( x ) ( n )  f ( n) ( x)  g ( n ) ( x) n n!  Cnk f (k ) ( x) g (nk ) ( x), với Cnk...  sin x c vi phân là dy  cos x.dx 2.3 Vi phân c p cao: Cho hàm số y  f ( x) c vi phân dy  f   x  dx Khi đó, dy c dạng một hàm theo biến x với tham số dx - Vi phân c p hai: ta gọi vi phân c a dy là vi phân c p hai c a hàm số y  f ( x) , kí hiệu d 2 y  f   x  dx 2 - Vi phân c p ba c a hàm số y  f ( x) là vi phân c a d 2 y , kí hiệu d 3 y  f   x  dx 3 n - Vi phân c p n c a hàm... (20)  C2 0 ( x 2 )(e x ) (19)  C2 0 ( x 2 )(e x ) (18)  C2 0 x e  C2 0 (2 x) e x 2 o 2 0 1 2 2  C2 0 2.e x  y (20) (0)  C2 0 0 e  C2 0 (2.0) e0  C2 0 2.e0  C2 0 2  20! 18! 19.20.2 2   380 b) 2!18! 18! 2 Ta c : d 10 y   x cos 2 x  (10)  o (o) dx10  C1 0 x  cos 2 x  (10) 1  C1 0 x  cos 2 x  (9 ) 2  C1 0 x  cos 2 x  (8 )  dx 10       1   210 x.cos  2 x  10   29 .C1 0 cos... vô c ng lớn b c cao so với g ( x) g ( x) f ( x)  k  0 ( k  const ) thì ta nói f ( x) và g ( x) là hai vô c ng lớn c ng g ( x) b c (iii)Nếu lim x  x0 ( x  ) f ( x)  1 thì f ( x) và g ( x) đư c gọi là hai vô c ng lớn tương đương, g ( x) ký hiệu là: f ( x)  g ( x) 2.5.5 Ứng dụng thay c c vô c ng bé, vô c ng lớn trong tính giới hạn Giả sử f ( x), F ( x), g ( x), G ( x) là c c vô c ng bé (hay c c. ..  liên t c tại x0 , hàm g  y  liên t c tại y0  f  x0  thì hàm g f  x  liên t c tại x0 3.3.4 Tính chất 4: Nếu hàm số liên t c trên đoạn  a, b  thì nó bị chặn trên đoạn đó và do đó c giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó Lưu ý: C c hàm sơ c p liên t c trên tập x c định c a nó 4 BÀI TẬP TH C HÀNH 4.1 Bài tập giới hạn 4.1.1 Chứng minh: a) lim x 6 1 4 x2 1 1  13 ; b) lim  0 , c) lim ...  0 , tìm c c điểm dừng xi ; Bư c 3 Tính f   x  Bư c 4 Nếu f   xi   0 thì xi là điểm c c tiểu Nếu f   xi   0 thì xi là điểm c c đại 3 Ví dụ: Xét hàm y  x  3 x  1 2 Ta c y '  3 x  3 x  1 y '  0  3x 2  3  0    x  1 Ta c y  6 x; y 1  6  0; y  1  6  0 27 Vậy, x  1 là c c tiểu; x  1 là c c đại 3.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất c a hàm số: Cho hàm số... ) f ( x )  1.8 C c công th c tính đạo hàm 24 Hàm số Đạo hàm Hàm số Đạo hàm cos x  sin x  x 1 tan x 1 cos 2 x a x ln a cot x x arcsin x log a x 1 x ln a arccos x ln x 1 x arctan x 1 1 x 2 sin x cos x arc cot x  c  x a x (0  a  1) e x 0 e  1 sin 2 x 1 1 x 2 1  1  x2 1 1  x2 2 VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN: 2.1 Vi phân hàm một biến: Ta nói hàm số y  f ( x) khả vi tại x0 nếu c thể viết y  A.x... x  2, liên t c trên  22 CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1 ĐẠO HÀM C P MỘT VÀ ĐẠO HÀM C P CAO 1.1 Đạo hàm: Cho hàm số y  f  x  x c định trên  a, b  , x0   a, b  , x là số gia c a đối số tại x0 y tồn tại hữu hạn thì ta nói x  0 x hàm số f c đạo hàm tại x0 và giới hạn đó đư c gọi là đạo hàm c a f tại x0 , kí hiệu là Đặt y  f  x0  x   f  x0  gọi là số gia c a hàm số Nếu