THÔNG TIN TÀI LIỆU
PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha Những câu hệ Huỳnh Kim Kha, Cơng phá kì thi Trung học Phổ Thông Quốc gia x y2 1 x y y x x ( y 1) x x y 17 Điều kiện: x 3 ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Phương trình tương đương: y2 x x y2 1 y x x y2 1 y x 0 x y2 1 x y x y x 3 Thay y x vào phương trình ta x3 x x x x ( x 1)3 ( x 1) Xét hàm số f (t ) t t x2 x x2 x , t R f '(t ) 3t Suy f ( x 1) f x2 6x x x2 x x( x 3)( x 1) x y x 3 y x 1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) 0; ; 3;0 ; 1; 2 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 (5x 4) 3x x (6 x 1) x Điều kiện: ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) x Phương trình tương đương: (5 x 4) 3x x (6 x 1) x Huỳnh Kim Kha 3x x x 3x 3x 2 x 3x x 3x x x 3x 3x 2 x x x Ta có: 3x x x x x 3x 2 x x x 25 13 Ta lại có: 3x 3x 2 x 3x x x 3x 2 x 3x x Suy x 3x x 3x x (Vơ lí) Vậy phương trình có nghiệm x 1; x 25 13 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x 2 x ( x 1)( x 2) (Đề thi thử ĐH Vinh 2014) Điều kiện: x 1 Nhận thấy x 1 thoả mãn phương trình Xét x 1 , phương trình tương đương x 1 x x3 x x 12 4( x 3) 4( x 3) ( x 3)( x x 4) x 1 2x 4 ( x 3) ( x 1) 2x x 1 Vì x 1 nên Hay x 0; x Suy 4 3 x 1 2x 4 ( x 1)2 x 1 2x Do phương trình tương đương: x x Vậy phương trình có nghiệm x 1 ; x Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x x x3 x x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) x 1 Điều kiện: x3 x x 1 x Bất phương trình tương đương: ( x x 4) 3x x( x x 4) 1 x Khi đó: x2 x 0;3x Hơn hai biểu thức không đồng thời TH1: Vì ( x x 4) 3x x( x x 4) Suy TH2: 1 x thoả mãn bất phương trình cho x 1 Khi x2 x Đặt a x x 0; b x Bất phương trình trở thành: a2 3b2 4ab (a b)(a 3b) b a 3b x2 x 1 17 65 x x 2x x x 2 x 7x 1 17 65 ; 1 x 0 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x x x3 x ( x 1)2 x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) Điều kiện: x 2 x 2 Phương trình cho tương đương : x x x x ( x x) 2 Ta có: x x2 42 x Suy x x 2, x 4, 2 (1) với x 2;2 với x 2;2 (2) Dấu “=” (2) xảy x 0; x 2 Đặt t x x Điều kiện t 1;2 với x 2;2 Khi VP (1) f (t ) t 2t 2, t 1;2 t f '(t ) 3t 4t t 22 Hơn nữa, ta lại có f (1) 1, f (0) 2, f , f (2) 27 Suy f (t) với t 1;2 Do đó: x x ( x x)2 với x 2;2 (3) Dấu “=” xảy (3) x 0; x 2 Từ (2) (3) có nghiệm phương trình (1) x 0; x 2 Vậy phương trình có nghiệm x 0; x 2 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha 2 x 30 xy 5( x y ) xy 50 y ( Trích Đề thi thử ĐH Hồng Quang 2015) 2 x y 51 Điều kiện: xy Hệ phương trình tương đương: 2 2 x 30 xy 50 y 5( x y ) xy 2 2 x y 51 2( x y ) 10 xy 5( x y) xy 2 2 x y 51 Do xy khơng thoả mãn, từ phương trình (1) suy x y lại có xy nên x 0; y Hệ phương trình Đặt t x 5y xy (1) xy x y 2 2 x y 51(2) x 5y 2, (vì theo BĐT Cosi x y xy ) xy t Phương trình (1) trở thành t t x y 5xy suy x y Thế x y vào (2) ta được: x 5; y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (5;1) Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 1 x 1 Huỳnh Kim Kha (*) x2 x x 1 x x (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x Xét x khơng nghiệm phương trình Xét x Phương trình tương đương x x 1 1 x2 x x x x x2 x x x x2 x x x Suy x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 1 2x2 2x x 2x2 2x x x2 x x x 2x2 2x x x2 x (1 x) x (điều kiện x 1) x x (1 x) ( x 1) x( x 3x 1) x 3 x x Vậy phương trình có nghiệm x 3 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 x3 xy 2 x y 3x( x 1) y 3x y y x 3x y x y Huỳnh Kim Kha (Bạn Bình Phương) 3x y x Điều kiện: 2 y x y 3x y PT (1) x3 xy 3x( x 1) y 3x y 3x y x y x3 xy y 3x (*) x y Đặt t x 0 y PT(*) 5t t 3t (t 1)2 (2t 1) t t 1 PT (2) y x 3x y (4) x 2 y y x 3x y Mà y x 3x y y x 3x y 2 y x y y x y(5) Từ (4) (5), ta suy x y Dấu “=” xảy bất đẳng thức x y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;1) Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 29 x3 y x3 y x2 y x xy 2 x y x(4 y x) 2( x y ) x 17 Huỳnh Kim Kha ( Bình Phương) Vì x khơng nghiệm nghiệm hệ phương trình Xét khả năng: 4 y x x y x y x y x (Loại) x y 2 x y Với x 4 y x 4y x x 4y y x y Với x Khi ta có: 2( x y ) ( x y) ( x y) 2( x y ) x y ( Áp dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta lại có: 2 2 2 x3 x3 x x y xy y y( x y )2 x3 (2 x y ) (2 x y) x2 y x2 y x2 y x2 y Khi : PT(1) 29 x3 y y (2 x y ) 3( x y ) 29 x y (5 x y )(6 x xy ) x xy 29 x3 y 30 x3 x y x y xy x3 y xy ( x y ) ( x y )( x y ) x y Thay x y vào (2) PT (2) x x x 17 x 17 17 y 6 17 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ; 6 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 (2 y ) 10 x 2 x x xy 2 x y xy x y 3xy 8x y 2 2 Huỳnh Kim Kha (Nguyễn Thanh Tùng) Điều kiện: y 0;0 x PT (1) x 2(2 y )( x 1) x 2 x xy (3) (2 y )( x 1) PT (2) ( y 2)(2 x x 1) ( y 2) ( x 1) x(3 x) (4) TH1: x 1; 2 x x mà VP(4) y Nên 3 x (Vơ lí) TH2: x 0;1 x x mà VP(4) y Nên (2 y)( x 1) (5) Từ (3) (5) ta suy y 2; x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) (1;2) Page 10 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 82 x2 x x2 x x x Huỳnh Kim Kha (Trích đề 29 ĐTN-Mathlinks) Ta thấy x ko nghiệm phương trình PT x2 x 1 x x x 1 x ( x 2) x x x x 2 ( x 2) x x 2( x x 1) x a x Đặt b x x PT ab 2b a (b 1)(a 2b 2) x2 x b x 1 x x x 0(VN ) a 2b Vậy phương trình có nghiệm x 83 4x x x 4x2 x (Trích đề số 37 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: x Ta có: 4x x x 4x x 2 4x x x x 1 x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x x 9(4 x x 4) 1 4x x x x2 x 9(4 x x 4) x 4x2 x 33 x 3(4 x x 4) 12( x 1)2 x Vậy nghiệm bất phương trình x 0, x Page 86 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha 4 xy x (2 x)( y 2) 14 2 x y 2x 1 84 (toanhoc24h) Điều kiện: (2 x)( y 2) Ta có: PT (2) ( x 1)2 y ( x 1)2 y x y 2 0 2 x Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( x 1)2 y 2( x 1) y y( x 1) (3) Ta lại có: PT (1) xy x 4 (2 x)( y 2) 14 xy y (2 x) (2 x)( y 2) 4( y 2) 4( xy y 1) 2 x 2 y2 0 xy y y ( x 1) y ( x 1) x 2 Dấu “=” xảy x y y 1 x 1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (2; 1) Bài tập tương tự: xy (2 x y ) 1 x 1 y x2 y x y x y xy (Huỳnh kim Kha) Page 87 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 85 x x Huỳnh Kim Kha x x 3x (Trích đề số mathlinks) Điều kiện: x Bất phương trình tương đương: x x a x x Đặt b x x 3 x 2x 1 2x 1 Bất phương trình trở thành : a a b3 b (a b)(a ab b 1) ab x x 2x 1 x x 2x 1 1 x 1 2 x 1 x 2 x ( x 1) 1 x x 1 x Do 2 x 1 x x 1 2x 1 2x 1 1 0 0 2x 1 2x 1 1 1 2x 1 2x 1 0 Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S 1; 2 Page 88 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 86 x x x x x x Huỳnh Kim Kha (Trích đề số 22 mathlinks) x 1;0 Điều kiện: x Xét TH1: x 1;0 Bất phương trình tương đương: x x x x x3 x 8x (*) Ta có: x x3 ;4 x x ;4 b4 VT (*) b4 4b3 4b2 8b Nên x 1;0 nghiệm bất phương trình Xét TH2: x Bất phương trình tương đương: x x 4( x x) ( x x 2) x x2 x x x2 x 0 0 Dấu xảy x2 x x Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1;0 Page 89 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 87 x 8 Điều kiện: x (2) : 8x2 1 x2 x x2 Huỳnh Kim Kha (Trích đề số 38 mathlinks) Ta chứng minh bất đẳng thức sau: 3x 3x x 2 (3x2 x 2)2 x2 ( x2 8) 4(6 x 1)( x 1) (3) : 6x 17 x 8x2 (17 x2 1)2 36 x2 (8x2 8) ( x2 1)2 3 x 3x 6x x 3x x 17 x x3 (17 x 1) 18 x3 (3x x 2) (3x 1)(3x x 2)(17 x 1) (4) : (54 x3 27 x x 2)( x 1)2 Từ (2),(3),(4) VT(1) VP(1) Dấu “=” xảy x Page 90 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 88 x x2 x Huỳnh Kim Kha x2 x 1 x 1 x x (Trích đề số 23 mathlinks) Điều kiện: x 1 1 BPT x ( x 1) ( x 1) 1 x 1 x x x x Xét hàm số: f (t ) t t (t 1) t với t 1 f '(t ) 2t t t với t t2 t 1 f (t ) đồng biến 1 x Suy f ( x 1) f Hay x x x2 x 1 1 1 x 2 Vậy nghiệm bất phương trình S 0; 1 Page 91 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x2 16 x 3x x (Trích đề số 19 mathlinks) 89 Điều kiện: x 1 x x BPT x 16 x 3x x 1 3 3 x( x 3) x(3 x) x (3 x ) 9 ' x x 3x x x 16 x 1 3 3 x(3 x) 0 2 x x x x x 16 x 36 Với x 1 3 2 x 3x x 16 3x 36 x 3x x 3x 3x 72 3x 3 x 16 2 x x x 27 x 72 x 75 x 184 (3 x 16) x x 2 x 3x x 27 x 72 2 16 812 127 x x 3x x 0 2 2 x x x 27 x 72 Bất phương trình tương đương: x(3 x) 0 x3 Vậy tập nghiệm bất phương trình S 0;3 Page 92 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 90 (8x 34) x 27 x 33 3x Huỳnh Kim Kha (Trích đề 48 mathlinks) Điều kiện: x 1 a x a x Đặt: b 3x 3a b 3x Phương trình trở thành : 8(a 1) 34 a 27(a 1) 33 b 8a 27a 26a b 8a 27a 26a b3 b3 b 8a 27a 26a 3a b3 b (2a 2)3 (2a 2) b3 b 2a b 2a (2a 2)b b 1 2a b Do 2a (2a 2)b b2 2a b 2a b 5 57 5 57 b 2b b 3 8 3a b 3(b 2) 4b 16 Ta có hệ phương trình: Page 93 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha 21 x 26 (Trích đề số 43 mathlinks) 7x 3x 91 Điều kiện: x 4 Phương trình cho ta: PT 21 7x 9 21 21 11 13 4 x 26 15 x 2 7x 3x 3x x 26 7x 3x x 3 x x 26 x 12 x x x 3x x x 3 x x 3 x 1 7x x x 3 x 3x x x 3 x 5x 3 11 13 VN x ; x x x 3x x 37 Vậy phương trình có nghiệm x 37 Page 94 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 x2 y xy (2 x y ) 92 x y 2 xy x y x y x, y Điều kiện: 2 2 x y Kết hợp với PT(1): (Mathlinks-Đặng Thành Nam) x, y Ta có: PT (2) x Đặt a x y ; b Huỳnh Kim Kha y xy x y xy a, b; b 2; a xy 1 a b a(b 1) ab (a 1) b a(b 1) ab (a 1) b a a2 Ngoài ra: PT (1) x y xy (2 x y ) x2 y xy (2 x y ) xy x y x2 y PT (2) x y x y Lấy (3) (4) xy b 1 (3) xy (4) xy (2 x y ) 1 x y 2 x2 y xy ab a (b 1) 1 a (a 1) 4 (a 1) a(a 1) a a 1 a 3 a a2 a a2 a 1 a a 2a a 0 ' 1 a a a 2 x2 y x y 1 Với a b xy Page 95 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 x2 y Với a b xy Huỳnh Kim Kha x x y 1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1;1);(0;1);(1;0) Page 96 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 93 54 x3 123x 90 x 12 x Huỳnh Kim Kha (Trích đề số 46 mathlinks) Điều kiện: 2 x BPT 27 x3 123 x 45 x 12 x 3 x x 12 x 3 (3x 2)3 12 x x x (3 x 2) 12 x (3x 2) (3x 2) 12 x (3x 2)3 5x2 x 4 (3 x 2) (3x 2) 12 x (3 x 2) 12 x 2 (3 x 2) (3x 2) 12 x 5x2 x 4 (3 x 2) 12 x Vì 12 x 27 x3 12 x 12 x 12 x 2 32 5x x 4 32 5x 6x 4 2 3 0 2 123 x 45 x 41 61 x 123 2 Xét hàm số: f ( x) 27 x3 x 45 x f '( x) 81x 123x 45 41 61 x Với x 1 1 11 f '( x) f ( x) hàm đồng biến Mà f x (3 x 2) (3 x 2) 12 x Với x 3x (3x 2) 12 x 12 x 2 , x 0,5 3 29 x 3 29 x2 Suy x x Kết hợp với điều kiện đề 3 29 x 3 29 ; 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình S Page 97 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x x ( x y )( x y ) y ( y 3) 94 12 x y y ( x y ) y ( x y ) y 3 (Trích đề số mathlinks) y Điều kiện: x y PT (2) 12 xy y y y( x y) y ( x y ) y ( x y ) y ( y 3) x x ( x y )( x y ) x x ( x y )( x y ) 12 xy y y y( x y) x x x x x x 12 1 y y y y y y 2 Xét hàm số: f (t ) 8t 12t 8t t 3t f '(t ) 16t 12 t 3t x y t 1 t , t 8t (2t 3) 7 (t 1)(t 2) t 2 t 16t 24t t 16t 12 t 3t (t 1)(t 2) t 1 2 7 45 t 16t 25t 2 16.2 12 t 2 (t 1)(t 2) Suy f (t ) hàm đồng biến Mà f (2) Nên phương trình có nghiệm t x x 2y y Thay x y vào PT(1), ta có: PT (1) y ( y 3) y 4y y y 3 y 1 y y y 1 x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (1;2) Page 98 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 95 x x 3 x 2x 2 x 2 Huỳnh Kim Kha 10 x 17 x 18 x x x2 2x Điều kiện: x x 1 x2 x PT x x ( x x) x x x 2 9 x x ( x x) x x 3 x x 3 x x x x 3 x x x x 3 x2 2x 2 x2 x x2 x x ( x 2)3 3 x2 x 2 x2 x x 3 x2 2x 2 x2 x x x2 x x x2 4x x2 x x x x 2( x 1) ( x x)( x 1) x2 2x x x2 2x x x2 2x x x2 x 13 x 13 Kết hợp với điều kiện Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1 3;3 13 Page 99 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 96 x x Huỳnh Kim Kha x x x x 14 x 28 Điều kiện: x Ta có: x x2 x x2 x x2 Dấu “=” xảy x 2; x 0; x 2 Ta có: x x đạt x 2; x VT 2( x 4)2 VP Đúng x Dấu “=” xảy x Vậy phương trình có nghiệm x Page 100
Ngày đăng: 27/09/2016, 11:24
Xem thêm: