Tài liệu toán cực hay về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha Những câu hệ Huỳnh Kim Kha, Cơng phá kì thi Trung học Phổ Thông Quốc gia     x  y2 1  x   y y  x     x ( y  1)  x   x  y  17  Điều kiện: x  3  ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế) Phương trình tương đương: y2  x   x  y2 1  y x       x   y2 1  y  x   0  x   y2 1  x     y  x   y  x 3 Thay y  x  vào phương trình ta x3  x  x   x  x   ( x  1)3  ( x  1)  Xét hàm số  f (t )  t  t  x2  x   x2  x  , t  R  f '(t )  3t  Suy f ( x  1)  f  x2  6x    x   x2  x   x( x  3)( x  1)  x   y     x  3  y  x  1 y     Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  0; ;  3;0 ; 1; 2 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 (5x  4) 3x    x  (6 x  1) x  Điều kiện: ( Châu Thanh Hải- ĐHKH Huế)  x  Phương trình tương đương: (5 x  4) 3x    x  (6 x  1) x    Huỳnh Kim Kha   3x    x  x  3x   3x  2  x  3x  x    3x    x  x    3x   3x  2  x  x  x   Ta có: 3x    x  x  x   x  3x  2  x  x     x  25 13  Ta lại có: 3x   3x  2  x  3x  x    x   3x  2  x  3x  x  Suy x    3x      x    3x    x  (Vơ lí) Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  25 13 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x   2 x   ( x  1)( x  2) (Đề thi thử ĐH Vinh 2014) Điều kiện: x  1 Nhận thấy x  1 thoả mãn phương trình Xét x  1 , phương trình tương đương    x 1    x    x3  x  x  12 4( x  3) 4( x  3)   ( x  3)( x  x  4) x 1  2x   4    ( x  3)    ( x  1)    2x    x 1    Vì x  1 nên Hay x   0; x   Suy 4   3 x 1  2x   4   ( x  1)2   x 1  2x   Do phương trình tương đương: x    x  Vậy phương trình có nghiệm x  1 ; x  Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015  Huỳnh Kim Kha  x  x   x3  x  x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015)  x  1  Điều kiện: x3  x  x     1   x  Bất phương trình tương đương: ( x  x  4)  3x  x( x  x  4) 1   x  Khi đó: x2  x   0;3x  Hơn hai biểu thức không đồng thời TH1: Vì ( x  x  4)  3x   x( x  x  4) Suy TH2: 1   x  thoả mãn bất phương trình cho x  1  Khi x2  x   Đặt a  x  x   0; b  x  Bất phương trình trở thành: a2  3b2  4ab  (a  b)(a  3b)   b  a  3b  x2  x   1  17  65   x  x  2x   x    x 2  x  7x    1  17  65  ;    1   x  0  2   Vậy tập nghiệm bất phương trình S   Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha  x  x  x3  x  ( x  1)2   x (Trích đề thi thử ĐH Vinh 2015) Điều kiện:  x   2  x  2 Phương trình cho tương đương : x   x  x  x  ( x  x)  2  Ta có: x   x2   42 x Suy x   x  2,  x  4, 2 (1) với x   2;2 với x   2;2 (2) Dấu “=” (2) xảy x  0; x  2 Đặt t  x  x Điều kiện t   1;2 với x   2;2 Khi VP (1) f (t )  t  2t  2, t   1;2 t   f '(t )  3t  4t    t     22 Hơn nữa, ta lại có f (1)  1, f (0)  2, f    , f (2)    27 Suy f (t)  với t   1;2 Do đó: x  x  ( x  x)2   với x   2;2 (3) Dấu “=” xảy (3) x  0; x  2 Từ (2) (3) có nghiệm phương trình (1) x  0; x  2 Vậy phương trình có nghiệm x  0; x  2 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha 2 x  30 xy  5( x  y ) xy  50 y  ( Trích Đề thi thử ĐH Hồng Quang 2015)  2 x  y  51   Điều kiện: xy  Hệ phương trình tương đương: 2  2 x  30 xy  50 y  5( x  y ) xy  2  2 x  y  51 2( x  y )  10 xy  5( x  y) xy   2  2 x  y  51 Do xy  khơng thoả mãn, từ phương trình (1) suy x  y  lại có xy  nên x  0; y  Hệ phương trình  Đặt t   x  5y xy   (1)   xy x  y  2 2 x  y  51(2) x  5y  2, (vì theo BĐT Cosi x  y  xy ) xy t Phương trình (1) trở thành t    t   x  y  5xy suy x  y Thế x  y vào (2) ta được: x  5; y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (5;1) Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 1  x 1   Huỳnh Kim Kha (*) x2  x   x 1  x x (Huỳnh Kim Kha) Điều kiện: x  Xét x  khơng nghiệm phương trình Xét x  Phương trình tương đương  x x 1 1   x2  x   x   x x  x2  x   x   x  x2  x x x Suy     x 1 1  x 1 1  x  1   x 1 1  2x2  2x   x   2x2  2x   x    x2  x   x    x    2x2  2x   x   x2  x   (1  x) x  (điều kiện x  1)  x  x   (1  x) ( x  1)  x( x  3x  1)  x  3  x x    Vậy phương trình có nghiệm x  3 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015  x3  xy 2  x  y  3x( x  1)  y 3x  y    y  x  3x  y  x   y Huỳnh Kim Kha (Bạn Bình Phương) 3x  y x   Điều kiện: 2 y  x   y  3x  y  PT (1)   x3  xy  3x( x  1)  y 3x  y  3x  y x y x3  xy  y  3x (*) x y Đặt t  x 0 y PT(*)  5t  t   3t  (t  1)2 (2t  1)   t  t 1 PT (2)  y  x  3x  y   (4) x 2 y y  x   3x  y  Mà y  x  3x  y   y  x   3x  y  2  y  x  y   y  x  y(5) Từ (4) (5), ta suy x  y Dấu “=” xảy bất đẳng thức x  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (1;1) Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015  29 x3  y x3  y    x2  y   x  xy 2 x y   x(4 y  x)  2( x  y )  x  17  Huỳnh Kim Kha ( Bình Phương) Vì x  khơng nghiệm nghiệm hệ phương trình Xét khả năng: 4 y  x   x  y    x  y  x  y   x  (Loại)  x  y  2 x  y  Với x    4 y  x   4y  x  x  4y   y  x  y  Với x    Khi ta có: 2( x  y )  ( x  y)  ( x  y)   2( x  y )  x  y ( Áp dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta lại có: 2 2 2 x3 x3  x  x y  xy  y y( x  y )2 x3  (2 x  y )      (2 x  y) x2  y x2  y x2  y x2  y Khi : PT(1)  29 x3  y  y  (2 x  y )  3( x  y )  29 x  y  (5 x  y )(6 x  xy ) x  xy  29 x3  y  30 x3  x y  x y  xy  x3  y  xy ( x  y )   ( x  y )( x  y )   x  y Thay x  y vào (2) PT (2)  x  x  x  17  x  17 17 y 6  17 17  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )   ;   6 Page PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 (2  y ) 10    x  2 x  x   xy  2 x y  xy  x  y  3xy  8x  y  2 2 Huỳnh Kim Kha (Nguyễn Thanh Tùng) Điều kiện: y  0;0  x  PT (1)   x  2(2  y )( x  1) x  2 x  xy  (3)  (2  y )( x  1)  PT (2)  ( y  2)(2 x  x 1)  ( y  2) ( x  1)  x(3  x) (4) TH1: x  1; 2  x  x   mà VP(4)   y  Nên  3  x  (Vơ lí) TH2: x   0;1  x  x   mà VP(4)   y   Nên (2  y)( x  1)  (5) Từ (3) (5) ta suy y  2; x  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y )  (1;2) Page 10 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 82 x2  x  x2  x    x x Huỳnh Kim Kha (Trích đề 29 ĐTN-Mathlinks) Ta thấy x  ko nghiệm phương trình PT   x2  x  1  x x  x 1 x  ( x  2) x  x   x  x   2  ( x  2) x  x   2( x  x  1)  x   a  x  Đặt  b  x  x   PT  ab  2b  a   (b  1)(a  2b  2)   x2  x   b     x 1  x  x  x   0(VN )  a  2b   Vậy phương trình có nghiệm x  83 4x  x   x 4x2  x   (Trích đề số 37 ĐTN-Mathlinks) Điều kiện: x  Ta có:  4x  x    x  4x  x  2 4x  x    x x 1   x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x  x   9(4 x  x  4) 1 4x  x   x x2  x   9(4 x  x  4)  x 4x2  x   33 x 3(4 x  x  4)  12( x  1)2   x  Vậy nghiệm bất phương trình x  0, x  Page 86 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha  4 xy  x  (2  x)( y  2)  14  2 x  y  2x 1  84  (toanhoc24h) Điều kiện: (2  x)( y  2)  Ta có: PT (2)  ( x  1)2  y    ( x  1)2   y    x   y 2  0 2 x  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:  ( x  1)2  y  2( x  1) y  y( x  1)   (3) Ta lại có: PT (1)  xy  x  4 (2  x)( y  2)  14  xy  y   (2  x)  (2  x)( y  2)  4( y  2)  4( xy  y  1)   2 x 2 y2  0  xy  y    y ( x  1)    y ( x  1)     x  2 Dấu “=” xảy    x  y     y  1 x 1  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (2; 1) Bài tập tương tự:  xy (2  x  y )  1 x 1 y     x2  y    x  y   x  y xy          (Huỳnh kim Kha) Page 87 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015  85 x    x  Huỳnh Kim Kha  x  x   3x  (Trích đề số mathlinks) Điều kiện: x   Bất phương trình tương đương: x    x  a  x    x Đặt   b  x    x 3   x  2x 1 2x 1  Bất phương trình trở thành : a  a  b3  b   (a  b)(a  ab  b  1)   ab   x    x  2x 1      x   x  2x 1 1   x 1   2 x   1  x   2 x  ( x  1)    1  x    x 1   x  Do 2 x  1  x      x 1 2x 1  2x 1 1 0  0  2x 1  2x 1 1    1 2x 1  2x 1  0 Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình S  1; 2 Page 88 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015    86 x x  x    x  x  x  Huỳnh Kim Kha (Trích đề số 22 mathlinks)  x   1;0 Điều kiện:  x    Xét TH1: x   1;0 Bất phương trình tương đương: x x  x   x  x3  x  8x  (*) Ta có: x  x3 ;4 x  x ;4  b4  VT (*)   b4  4b3  4b2  8b  Nên x   1;0 nghiệm bất phương trình Xét TH2: x  Bất phương trình tương đương: x  x   4( x  x)    ( x  x  2)    x  x2  x  x  x2  x   0  0 Dấu xảy  x2  x    x      Vậy tập nghiệm bất phương trình S   1;0   Page 89 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 87 x 8 Điều kiện: x  (2) :  8x2  1 x2   x x2 Huỳnh Kim Kha (Trích đề số 38 mathlinks) Ta chứng minh bất đẳng thức sau:  3x 3x  x  2  (3x2  x  2)2  x2 ( x2  8)   4(6 x  1)( x 1)  (3) :  6x 17 x  8x2   (17 x2  1)2  36 x2 (8x2  8)   ( x2  1)2  3 x 3x 6x  x 3x  x  17 x   x3 (17 x  1)  18 x3 (3x  x  2)  (3x  1)(3x  x  2)(17 x  1)  (4) :  (54 x3  27 x  x  2)( x  1)2  Từ (2),(3),(4)  VT(1)  VP(1) Dấu “=” xảy  x  Page 90 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 88 x   x2  x   Huỳnh Kim Kha x2  x   1   x 1 x x (Trích đề số 23 mathlinks) Điều kiện: x  1 1  BPT  x   ( x  1)  ( x  1)  1  x         1  x  x  x  x Xét hàm số: f (t )  t  t  (t  1)  t với t  1  f '(t )   2t  t  t   với t  t2  t 1  f (t ) đồng biến 1  x Suy f ( x  1)  f   Hay x   x  x2  x 1   1  1  x 2  Vậy nghiệm bất phương trình S   0;   1     Page 91 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha x2  16  x  3x   x   (Trích đề số 19 mathlinks) 89 Điều kiện: x  1   x  x  BPT  x  16       x  3x   x     1 3  3  x( x  3) x(3  x) x (3  x ) 9    ' x   x  3x  x  x  16     x     1 3  3     x(3  x)    0 2 x   x   x  x  x  16  x  36   Với x  1 3    2  x  3x  x  16  3x  36 x   3x   x  3x  3x  72 3x  3 x  16   2  x  x  x  27 x  72     x  75 x  184  (3 x  16)  x  x  2  x  3x    x  27 x  72  2 16   812 127 x   x  3x     x    0 2 2  x  x   x  27 x  72    Bất phương trình tương đương: x(3  x)  0 x3 Vậy tập nghiệm bất phương trình S   0;3 Page 92 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 90 (8x  34) x   27 x  33  3x  Huỳnh Kim Kha (Trích đề 48 mathlinks) Điều kiện: x  1   a  x  a  x  Đặt:   b  3x   3a  b  3x    Phương trình trở thành : 8(a  1)  34 a  27(a  1)  33  b  8a  27a  26a   b  8a  27a  26a   b3  b3  b  8a  27a  26a   3a   b3  b  (2a  2)3  (2a  2)  b3  b   2a   b   2a    (2a  2)b  b  1     2a   b Do  2a    (2a  2)b  b2    2a   b  2a  b  5  57 5  57   b  2b  b   3 8 3a  b  3(b  2)  4b  16 Ta có hệ phương trình:  Page 93 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 Huỳnh Kim Kha 21   x  26  (Trích đề số 43 mathlinks) 7x   3x   91 Điều kiện: x  4 Phương trình cho ta:  PT  21  7x     9 21 21 11 13   4 x  26    15   x  2 7x   3x   3x     x  26  7x 3x  x   3 x   x  26 x  12       x   x   x   3x    x  x  3    x  x  3 x 1 7x    x  x  3 x   3x    x  x  3   x  5x     3   11 13      VN x   ;    x   x  x   3x      x  37 Vậy phương trình có nghiệm  x   37 Page 94 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015    x2  y    xy (2  x  y )  92   x  y  2 xy    x  y   x  y      x, y  Điều kiện:  2 2  x  y   Kết hợp với PT(1): (Mathlinks-Đặng Thành Nam)    x, y    Ta có: PT (2)   x  Đặt a   x  y ; b  Huỳnh Kim Kha y   xy   x  y  xy  a, b; b  2; a    xy   1 a   b  a(b  1) ab   (a  1)   b  a(b  1)   ab  (a  1) b  a  a2 Ngoài ra:    PT (1)   x  y  xy (2  x  y )    x2  y xy (2  x  y )   xy  x  y     x2  y PT (2)  x  y    x  y Lấy (3)  (4)  xy    b 1  (3)   xy  (4) xy (2  x  y )  1  x  y 2   x2  y   xy   ab   a (b  1)  1 a (a  1) 4 (a  1) a(a  1)  a  a  1  a 3  a  a2  a  a2 a 1 a  a  2a  a  0 ' 1 a  a a  2  x2  y   x  y 1 Với a   b     xy  Page 95 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015  x2  y  Với a   b     xy  Huỳnh Kim Kha x  x    y 1 y  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (1;1);(0;1);(1;0) Page 96 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 93 54 x3  123x  90 x   12  x  Huỳnh Kim Kha (Trích đề số 46 mathlinks) Điều kiện: 2  x  BPT  27 x3  123 x  45 x    12  x   3 x  x    12  x   3  (3x  2)3  12  x    x  x      (3 x  2)  12  x  (3x  2)  (3x  2) 12  x     (3x  2)3    5x2  x  4   (3 x  2)  (3x  2) 12  x   (3 x  2)  12  x    2  (3 x  2)  (3x  2) 12  x   5x2  x  4    (3 x  2)  12  x  Vì 12  x    27 x3     12  x 12  x 12  x 2    32 5x  x  4       32 5x  6x  4  2  3  0 2  123 x  45 x    41  61 x  123 2 Xét hàm số: f ( x)  27 x3  x  45 x   f '( x)  81x  123x  45     41  61 x   Với x   1  1  11  f '( x)   f ( x) hàm đồng biến Mà f    x    (3 x  2)  (3 x  2) 12  x  Với x    3x     (3x  2)  12  x  12  x   2   , x  0,5  3  29 x  3  29 x2 Suy x  x     Kết hợp với điều kiện đề   3  29 x    3  29  ; 3   Vậy tập nghiệm bất phương trình S   Page 97 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015  Huỳnh Kim Kha   x x  ( x  y )( x  y )  y ( y  3)  94  12 x  y  y ( x  y )  y ( x  y )      y  3 (Trích đề số mathlinks) y Điều kiện: x  y  PT (2)  12 xy  y  y    y( x  y)   y ( x  y )  y ( x  y )  y ( y  3)  x x  ( x  y )( x  y )  x  x ( x  y )( x  y )  12 xy  y  y  y( x  y)   x x x x x x     12   1        y y  y y  y  y 2 Xét hàm số: f (t )  8t  12t   8t t  3t    f '(t )  16t  12  t  3t      x    y   t 1  t  ,  t  8t (2t  3) 7   (t  1)(t  2) t  2 t  16t  24t  t   16t  12  t  3t    (t  1)(t  2) t 1 2 7 45  t     16t  25t   2  16.2  12      t   2 (t  1)(t  2) Suy f (t ) hàm đồng biến Mà f (2)  Nên phương trình có nghiệm t  x   x  2y y Thay x  y vào PT(1), ta có: PT (1)  y  ( y  3) y  4y y  y 3      y 1 y  y    y 1 x  Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (1;2) Page 98 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015  95 x  x   3 x  2x  2   x  2 Huỳnh Kim Kha  10 x  17 x  18 x  x  x2  2x    Điều kiện:  x    x  1  x2  x   PT   x  x    ( x  x)   x  x     x  2  9  x  x    ( x  x)  x  x  3  x  x     3  x  x    x  x  3  x  x    x  x     3 x2  2x  2  x2  x   x2  x  x   ( x  2)3 3   x2  x  2  x2  x  x   3 x2  2x  2  x2  x  x   x2  x x   x2  4x   x2  x x    x  x   2( x  1)  ( x  x)( x  1)   x2  2x  x    x2  2x  x    x2  2x  x   x2  x     13  x   13 Kết hợp với điều kiện Vậy tập nghiệm bất phương trình S  1  3;3  13    Page 99 PT-BPT-HPT đại dành cho kì thi THPT Quốc Gia 2015 96  x    x Huỳnh Kim Kha  x   x  x   x  14 x  28 Điều kiện: x  Ta có: x  x2    x  x2   x   x2  Dấu “=” xảy  x  2; x  0; x  2 Ta có: x  x   đạt x  2; x   VT  2( x  4)2  VP Đúng  x  Dấu “=” xảy  x  Vậy phương trình có nghiệm x  Page 100