Tài liệu Toán cực trị

Vận dụng hằng đẳng thức vào giảI các bài toán cực trị. + (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Vận dụng 1. Vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai. A 2 0 + (a+b) 2 0 Suy ra: + (a+b) 2 + K K ị Min[(a+b) 2 + K] = K ; khi a = -b + K - (a+b) 2 Ê K ị Max[K- (a-b) 2 ] = K ; khi a = -b + (a-b) 2 0 Suy ra: + (a-b) 2 + K K ị Min [(a-b) 2 + K] = K ; khi a = b. + K- (a-b) 2 Ê K ị Max [K- (a-b) 2 ] = K ; khi a = b. Bài toá1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2C x x= - + Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3C x x x x= + - + - = + - + + - 2 ( 2 1) 3 3x= + - - - Suy ra : Min C = -3 , khi 2 1 1x x+ = = - Bài toán.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A = (x + 2) 2 + (x-1) 2 Giải: A = x 2 +4x+4 + x 2 - 2x +1= 2(x 2 +x+5/2) = 2 ( x 2 + 2x.1/2+ 1/4+ 9/4) = 2(x+1/2) 2 + 9/2 9 2 Suy ra Min A= 9/2 khi x = -1/2. Bài toán.3. Cho biểu thức P = x 2 + xy + y 2 - 3x- 3y + 2009. Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó. Giải P = x 2 - 2x + 1+y 2 - 2y + 1 + xy- x- y + 1 + 2006 = ( x- 1) 2 + (y- 1) 2 + (x-1)(y-1) + 2006. = (x- 1) 2 + 2(x- 1). 1 2 (y- 1)+ 1 4 (y-1) 2 + 3 4 (y-1) 2 + 2006 2 2 1 3 1 ( 1) 2006 2006 2 4 y x y -ổ ử ữ ỗ = - + + - + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . Suy ra Min P= 2006 khi y = 1; x= 1. Bài toán .4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = (x- ay) 2 + 6(x-ay) +x 2 + 16y 2 - 8xy + 2x - 8y + 10 ; (x; y ; a : là các số nguyên) Giải: P = [(x-ay) 2 +6(x-ay)+9] + (x 2 - 8xy + 16y 2 )+2(x-4y)+1 = (x-ay+3) 2 + (x-4y) 2 + 2(x-4y) + 1. = (x-ay+3) 2 +(x-4y+1) 2 0 GV: Nguyn Th Hng Nhn Suy ra Min P = 0 khi và chỉ khi 3 0 4 2;(1) 4 1 0 4 1;(2) x ay ay y x y x y ỡ - + = - =ỡ ù ù ù ù ù ớ ớ ù ù - + = = - ù ù ợ ù ợ (1) (a-4)y = 2 ; do x ; y ; a là số nguyên nên ta có: (a-4;y)={(1;2),(2;1),(-1;- 2),(-2;-1) Thế vào ta có (x;y;a)={(3;1;6),(7;2;5),(-5;-1;2),(-9;-2;3)} Bài toán .5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 3 2 1M x xy y x= - + - + Giải: 2 1 2( ) 2 2M x xy y x y y y= - + + - - - + 2 1 1 ( ) 2( ) 1 2 2 2 2 x y x y y y= - - - + + - + - 2 2 1 1 1 ( 1) (2 1) 2 2 2 x y y= - - + - - - Suy ra: Min M = -1/2, khi y= 1/4 ; x = 9/4. Bài toán .6. Cho hàm số: 2 2 2 2005 ( ) x x f x x - + = ; với x khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên. Giải: 2 2 2 2 2 2005 1 1 1 1 2005 ( ) 1 2005 2. . 1 2005 2005 2005 f x x x x x ổ ử ữ ỗ = - + = - + - + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ 2 1 1 2004 2004 2005 2005 2005 2005x ổ ử ữ ỗ = - + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Suy ra Min f(x) = 2004 2005 khi x= 2005. Bài toán .7. Tìm giá trị nhỏ nhất của : 2 2 1 ( 1) x x D x + + = + . Giải: 2 2 2 2 ( 2 1) ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) x x x x x D x x + + - + + + + = = + + 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 . 1 ( 1) 1 1 2 4 4x x x x ổ ử ữ ỗ = - + = - + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + + 2 1 1 3 3 1 2 4 4x ổ ử ữ ỗ = - + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + Suy ra Min D= 3/4 khi x = 1. Bài toán 8. Tìm x ; y để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: D = 15- 10x- 10x 2 + 24xy- 16y 2 . Giải: D = - (16y 2 - 24xy + 9x 2 )- (x 2 + 10x + 25) + 35. = 35 (4y- 3x) 2 - (x+ 5) 2 Ê 35. Suy ra Max D = 35 khi x =-5 ; y = -15/4. GV: Nguyn Th Hng Nhn Bài toán 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 ( 1) x G x = + Giải: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. . ( 1) 1 ( 1) 4 ( 1) 1 2 4 x G x x x x x ổ ử + - ữ ỗ ữ = = - = - - + ỗ ữ ỗ ữ ỗ + + + + + ố ứ 2 1 1 1 1 4 1 2 4x ổ ử ữ ỗ = - - Ê ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + Suy ra Max G = 1/4 ; khi x= 1 Bài toán 10.Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho BĐT sau đây luôn đúng x R" ẻ (x+1)(x+2) 2 (x+3) m. Giải: Ta có A = (x+1)(x+2) 2 (x+3) = (x 2 +4x+3)(x 2 +4x+4). = (x 2 +4x+3) 2 +(x 2 +4x+3) +1/4- 1/4. = (x 2 +4x+3+1/2) 2 - 1/4 -1/4. Suy ra Min A =-1/4 khi x 2 +4x+3 = -1/2 x = -2+ 2 2 hoặc x = -2- 2 2 . Vì m Ê A , x R" ẻị m Ê Min A = -1/4 Suy ra giá trị nguyên lớn nhất của m là -1. Bài toán 11. Cho x + y + z =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x 2 + y 2 + z 2 Giải: Từ x + y + z = 3 ị (x+y+z) 2 = 9 Hay x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + xz) = 9; (1) Mà (x-y) 2 0 x 2 + y 2 2xy , dấu = xảy ra khi x = y. (y-z) 2 0 y 2 + z 2 2yz , dấu = xảy ra khi y = z. (z- x) 2 0 z 2 + x 2 2zx , dấu = xảy ra khi z = x. Nên : 2(x 2 + y 2 + z 2 ) 2(xy+yz+zx) hay x 2 +y 2 +z 2 xy + yz + zx; (2) Từ (1) và (2) suy ra: 9 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy+yz+zx) Ê 3(x 2 +y 2 +z 2 ) Nên x 2 +y 2 +z 2 3. Vậy Min G = 3 khi và chỉ khi x = y = z =1. Bài toán 12. Cho hai số thực x, y thoả điều kiện: x 2 + y 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y. Giải: Với x, y ẻ R ta có. (x+y) 2 + (x-y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 2(x 2 +y 2 ) = 2 Do (x-y) 2 0, với mọi x, y; dấu = xảy ra khi x = y. Suy ra (x+y) 2 Ê 2 2 2 2x y x y+ - + Ê Ê Ê Khi x = y ta có x 2 = y 2 = 1/2 2 2 x y= =ị hoặc 2 2 x y= = - Vậy Max (x+y) = 2 2 2 x y= = GV: Nguyn Th Hng Nhn Min (x+y) = 2 2 2 x y- = = -Û GV: Nguyễn Thị Hồng Nhạn . khi x = -1/2. Bài toán. 3. Cho biểu thức P = x 2 + xy + y 2 - 3x- 3y + 2009. Với giá trị nào của x ; y thì P có giá trị nhỏ nhất , tìm giá trị nhỏ nhất đó Vận dụng hằng đẳng thức vào giảI các bài toán cực trị. + (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 Vận dụng 1.