b Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.. a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C.[r]
(1)Mục lục Dạng toán khảo sát hàm số 1.1 Lý thuyết 1.1.1 Phương trình bậc hai 1.1.2 Dấu tam thức bậc hai 1.1.3 Các lý thuyết đạo hàm 1.1.4 Tính đồng biến - nghịch biến hàm số 1.1.5 Cực trị hàm số 1.1.6 Giá trị lớn - nhỏ hàm số 1.1.7 Tương giao hai đồ thị 1.1.8 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1.2 Bài tập Dạng toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình 2.1 Lý thuyết 2.1.1 Lượng giác 2.1.2 Lũy thừa 2.1.3 Logarit 2.1.4 Phương trình mũ và phương trình logarit 2.2 Bài tập 2.2.1 Dạng toán giải các phương trình lượng giác 2.2.2 Dạng toán giải các phương trình chứa thức 2.2.3 Dạng toán giải các phương trình mũ 2.2.4 Dạng toán giải các phương trình logarit 2.2.5 Dạng toán giải các bất phương trình mũ 2.2.6 Dạng toán giải các bất phương trình logarit 2.2.7 Dạng toán giải các hệ phương trình 3 3 5 5 8 9 10 10 10 11 11 11 11 11 11 Dạng toán hình học giải tích chiều 3.1 Lý thuyết 3.1.1 Hệ trục tọa độ không gian chiều 3.1.2 Phương trình mặt phẳng 3.1.3 Phương trình đường thẳng 3.1.4 Phương trình mặt cầu 3.2 Bài tập 13 13 13 14 14 15 16 Dạng toán tích phân và đại số tổ hợp 4.1 Lý thuyết 4.1.1 Các lý thuyết nguyên hàm 4.1.2 Các lý thuyết tích phân 4.1.3 Các lý thuyết đại số tổ hợp 4.2 Bài tập 4.2.1 Dạng toán tính tích phân 4.2.2 Dạng toán tổ hợp, nhị thức Newton 18 18 18 19 20 21 21 21 Các đề thi tham khảo 22 (2) Dạng toán khảo sát hàm số 1.1 1.1.1 Lý thuyết Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, (a 6= 0) Biệt thức ∆ = b2 − 4ac Kết luận Phương trình (1) có nghiệm x1,2 ∆>0 √ −b ± ∆ = 2a Phương trình (1) có nghiệm kép x = − ∆=0 b 2a Phương trình (1) vô nghiệm ∆<0 1.1.2 (1) Dấu tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0) • Nếu ∆ > thì có bảng xét dấu sau x1 −∞ x ax2 + bx + c x2 +∞ cùng dấu với a0 trái dấu với a 0cùng dấu với a • Nếu ∆ = thì có bảng xét dấu sau x1 = x2 −∞ x ax2 + bx + c +∞ cùng dấu với a0cùng dấu với a • Nếu ∆ < thì có bảng xét dấu sau −∞ x ax2 + bx + c +∞ cùng dấu với a (3) 1.1.3 Các lý thuyết đạo hàm • Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b), x0 ∈ (a, b), x0 + ∆x ∈ f (x0 + ∆x) − f (x0 ) (a, b), tồn giới hạn (hữu hạn) lim gọi là đạo hàm ∆x→0 ∆x f (x) x0 , kí hiệu là f (x0 ) hay y (x0 ), đó f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x x − x0 f (x0 ) = lim • Các qui tắc tính đạo hàm ◦[f (x) ± g(x)]0 = f (x) ± g(x) ◦[f (x).g(x)]0 = f (x)g(x) + f (x)g (x) ◦[kf = kf (x) với k ∈ R (x] f (x)g(x) − f (x)g (x) f (x) = với g(x) 6= ◦ g(x) [g(x)]2 ◦yx0 = yu0 u0x với y = y(u), u = u(x) • Bảng các đạo hàm Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) • (c)0 = với c ∈ R • (xα )0 = α.xα−1 • (uα )0 = α.uα−1 u0 0 1 • =− x x 0 u0 • =− u u √ • ( x)0 = √ x √ u0 • ( u)0 = √ u • (sin x)0 = cos x • (sin u)0 = u0 cos u • (cos x)0 = − sin x • (cos u)0 = −u0 cos u • (tan x)0 = cos2 x • (cot x)0 = − sin2 x • (tan u)0 = u0 cos2 u • (cot u)0 = −u0 sin2 u • Vi phân: Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b) và có đạo hàm x ∈ (a, b) Giả sử ∆x là số gia x cho x + ∆x ∈ (a, b) Tích f (x)∆x gọi là vi phân hàm số f (x) x, ứng với số gia ∆x, ký hiệu là df (x) hay dy Như dy = df (x) = f (x)dx (4) 1.1.4 Tính đồng biến - nghịch biến hàm số Giả sử hàm f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b), đó: • f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) thì f (x) đồng biến trên khoảng (a, b) • f (x) < 0, ∀x ∈ (a, b) thì f (x) nghịch biến trên khoảng (a, b) • f (x) đồng biến trên khoảng (a, b) thì f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b) • f (x) nghịch biến trên khoảng (a, b) thì f (x) 0, ∀x ∈ (a, b) 1.1.5 Cực trị hàm số Giả sử hàm f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b) f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0 ) • Nếu thì x0 là điểm cực đại f (x) f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 ; x0 + h) f (x) < 0, ∀x ∈ (x0 − h; x0 ) • Nếu thì x0 là điểm cực tiểu f (x) f (x) > 0, ∀x ∈ (x0 ; x0 + h) f (x0 ) = • Nếu thì x0 là điểm cực đại f (x) f 00 (x) > f (x0 ) = • Nếu thì x0 là điểm cực tiểu f (x) f 00 (x) < 1.1.6 Giá trị lớn - nhỏ hàm số • Xét trên đoạn: - Tìm xi ∈ [a, b], i = 1, 2, , n là các điểm đó có đạo hàm không xác định - Tính f (a), f (b), f (xi ) - So sánh để suy giá trị lớn và giá trị nhỏ • Xét trên khoảng : Dùng bảng biến thiên 1.1.7 Tương giao hai đồ thị Giả sử (C1 ) là đồ thị hàm số y = f (x) và (C2 ) là đồ thị hàm số y = g(x) Khi đó số nghiệm phương trình f (x) = g(x) tương ứng với số giao điểm (C1 ) và (C2 ) 1.1.8 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số Giả sử hàm số y = f (x) có đồ thị là (C) và M0 (x0 ; f (x0 )) ∈ (C) và f (x) có đạo hàm x = x0 Khi đó, phương trình tiếp tuyến (C) M0 là y − y0 = f (x0 )(x − x0 ) (5) 1.2 Bài tập 1.1 Cho hàm số y = f (x) = −x3 + 3mx2 + (m − 1)x + 3m − (Cm ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (Cm ) m = b) Tìm m cho phương trình −x3 + 3x2 − 2m = có nghiệm phân biệt c) Xác định các giá trị m để hàm số (Cm ) đồng biến trên khoảng (0; 1) d) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f (x) = −x3 + 3x2 + biết tiếp tuyến qua điểm M (0; 6) 2x + (1) 1.2 Cho hàm số y = x+2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Xác định các giá trị m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt −2x + 1.3 Cho hàm số y = x−1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b) Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt 1.4 Cho hàm số y = x4 − 2x2 − có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x4 − 2x2 − − m = 2x + có đồ thị (C) 1.5 Cho hàm số y = x−1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)đi qua điểm M (1; 8) 1.6 Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x3 −3x2 +k = x−3 1.7 Cho hàm số y = có đồ thị (C) x−2 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Tìm tất các giá trị m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt 1.8 Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)đi qua điểm M ( 14 ; −1) (6) Dạng toán phương trình, bất phương trình và hệ phương trình 2.1 2.1.1 Lý thuyết Lượng giác • Các công thức lượng giác: ◦ sin2 + cos2 = 1; + tan2 x = ; cos2 x + cot2 x = ◦ Cung đối: −α và α cos(−α) = cos α; sin(−α) = − sin α; ; sin2 x tan(−α) = − tan α; tan x cot x = cot(−α) = − cot α ◦ Cùng bù: π − α và α sin(π − α) = sin α; cos(π − α) = − cos α; tan(π − α) = − tan α; cot(π − α) = − cot α π ◦ Cung phụ: − α và α π 2 π π π sin − α = cos α; cos − α = sin α; tan − α = cot α; cot − α = tan α 2 2 ◦ Cung kém π: π + α và α sin(π + α) = − sin α; cos(π + α) = − cos α; tan(π + α) = tan α; cot(π + α) = cot α ◦ Công thức cộng: cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b; cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b; sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan a + tan b tan a − tan b ; tan(a + b) = tan(a − b) = + tan a tan b − tan a tan b ◦ Công thức nhân đôi: sin 2a = sin a cos a cos 2a = cos2 a − sin2 a = cos2 a − = − sin2 a tan a tan 2a = − tan2 a ◦ Công thức hạ bậc: − cos 2a − cos 2a + cos 2a ; sin2 a = ; tan2 a = cos2 a = 2 + cos 2a ◦ Công thức biến đổi tích thành tổng: cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] ◦ Công thức biến đổi tổng thành tích: u+v u−v cos u + cos v = cos cos 2 u+v u−v cos u − cos v = −2 sin sin 2 (7) u−v u+v cos sin u + sin v = sin u+v u−v sin u − sin v = cos sin 2 • Các phương trình lượng giác bản: u = v + k2π ◦ sin u = sin v ⇐⇒ u = π − v + k2π u = v + k2π ◦ cos u = cos v ⇐⇒ u = −v + k2π ◦ tan u = tan v ⇐⇒ u = v + kπ ◦ cot u = cot v ⇐⇒ u = v + kπ 2.1.2 Lũy thừa • Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Với a ∈ R, n ∈ N∗ ta có an = a.a a} | {z n thừa số • Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Với a 6= ta có a−n = an • Lũy thừa với số mũ 0: Với a 6= ta có a0 = m • Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: Với a > 0, m, n ∈ Z, n > 2, ta có a n = √ n am • Lũy thừa với số mũ vô tỉ: Cho a > 0, α là số vô tỉ và (rn ) là dãy số hữu tỉ cho lim rn = a, đó aα = lim arn n→+∞ n→+∞ • Các tính chất: Cho a > 0, b > 0, α, β ∈ R, đó a α aα aα α−β α α α ◦ a a = a ; β = a ; (ab) = a b ; = α ; (aα )β = aαβ a b b α β ◦ Nếu a > thì a > a ⇐⇒ α > β α β α+β ◦ Nếu < a < thì aα > aβ ⇐⇒ α < β 2.1.3 Logarit • Định nghĩa: Cho a > 0, b > 0, a 6= 1, số α thỏa đẳng thức aα = b gọi là logarit số a b và ký hiệu là loga b, α = loga b ⇐⇒ aα = b • Các tính chất: loga = 0; loga a = 1; aloga b = b; loga aα = α • Các quy tắc (8) ◦ Với các số a, b1 , b2 > 0, a 6= 1, ta có loga (b1 b2 ) = loga b1 + loga b2 b1 = loga b1 − loga b2 loga b2 ◦ Với các số a, b > 0, a 6= 1, α ∈ R, n ∈ N∗ , ta có √ 1 n loga = − loga b; loga bα = α loga b; loga b = loga b b n ◦ Với các số a, b, c > 0, a 6= 1, c 6= ta có loga b = 1 logc b ; loga b = (b 6= 1); logaα b = loga b(α 6= 0) logc a logb a α • Logarit thập phân và logarit tự nhiên: Với x > ta viết gọn log10 x = lg x log10 x = log x; loge x = ln x 2.1.4 Phương trình mũ và phương trình logarit • Phương trình mũ: có dạng ax = b (a > 0, a 6= 1) - Nếu b thì phương trình vô nghiệm - Nếu b > thì phương trình có nghiệm - Các phương pháp để biến đổi dạng bản: Đưa cùng số, đặt ẩn phụ, lấy logarit hai vế, • Phương trình logarit: có dạng loga x = b (a > 0, a 6= 1) - Phương trình logarit luôn có nghiệm x = ab - Các phương pháp để biến đổi dạng bản: Đưa cùng số, đặt ẩn phụ, mũ hóa hai vế, 2.2 2.2.1 2.1 ) 2.3 ) 2.5 ) 2.7 ) Bài tập Dạng toán giải các phương trình lượng giác sin 7x + sin 5x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x = sin2 4x + sin2 3x = sin2 2x + sin2 x cos 2x + sin 2x + sin 6x = 2.2 ) + cos 2x + cos x + cos 3x = 2.4 ) sin x cos 2x + cos 2x − − sin x = 2.6 ) sin2 2x + cos2 4x = sin2 5x + cos2 6x 2.8 ) cos x + cos 4x = sin 5x (9) 2.2.2 Dạng toán giải các phương trình chứa thức √ √ x + = x√ +2 2.10 ) √3x + = 2x 2.9 ) √ √ −3 2.11 ) √x + = √x + + 2.12 ) √3x − = √2x + −√1 √ 2.14 ) √4x + = √ x − + √2x + 2.13 ) √4x + = √ x + + √x 2.15 ) 4x + − x − = x + 2.16 ) 7x − − x − = 2x + 2.2.3 Dạng toán giải các phương trình mũ 2.17 ) 3.16x + 2.81x = 5.36x 2.19 ) 52x+1 = 5x + 13 2.21 ) 9x − 6x + 4x = √ √9 x 2.23 ) (2 + 3) + (2 − 3)x = 2.2.4 Dạng toán giải các phương trình logarit 2.25 ) log2 (x + 7) − log2 (x − 1) = 2.27 ) log3 x + log9 x + log27 x = 11 2.29 ) log2 (9 − 2x ) + x = 2.31 ) log23 x − log3 9x + = 2.2.5 2.26 ) log5 (3x − 11) + log5 (2x − 27) = + log5 2.28 ) log2 (3x − 1) + log2 (x + 1) = −1 2.30 ) log22 x − log2 x − = 2.32 ) + =1 − log2 x + log2 x Dạng toán giải các bất phương trình mũ 2.33 ) 3.16x + 2.81x > 5.36x 2.35 ) 52x+1 > 5x + 13 2.37 ) 9x − 6x + 4x √ √9 2.39 ) (2 + 3)x + (2 − 3)x > 2.2.6 2.18 ) 3.4x − 2.6x = 9x 2.20 ) 4x − 6.2x+1 + 32 = 21 2.22 ) 25x + 10x − 4x = p 25√ x 25p √ x 2.24 ) + 48 + − 48 = 14 2.34 ) 3.4x − 2.6x 9x 2.36 ) 4x − 6.2x+1 + 32 < 21 2.38 ) 25x + 10x − 4x > p 25√ x 25p √ x 2.40 ) + 48 + − 48 < 14 Dạng toán giải các bất phương trình logarit 2.41 ) log2 (x + 7) − log2 (x − 1) 2.43 ) log3 x + log9 x + log27 x > 11 2.45 ) log2 (9 − 2x ) + x > 2.47 ) log23 x − log3 9x + > 2.42 ) log5 (3x − 11) + log5 (2x − 27) > + log5 2.44 ) log2 (3x − 1) + log2 (x + 1) < −1 2.46 ) log22 x − log2 x − < 2.48 ) + 61 − log2 x + log2 x 2.2.7 Dạng toán giải các hệ phương trình x−y = x+y = 2.50 ) 2.49 ) 2 2 x − xy + y = x + xy − y = x + xy + y = x + xy + y = 2.51 ) 2.52 ) 2 2 = = x2 + y x2 y + xy x − (x + y) = x − (x + y) = 2.53 ) 2.54 ) y − (x + y) = y − (x + y) = (10) 2.55 ) 3x2 + 2xy + y = 11 x2 + 2xy + 5y = 25 2.56 ) 10 6x2 − xy − 2y = 56 5x2 − xy − y = 49 (11) Dạng toán hình học giải tích chiều 3.1 3.1.1 Lý thuyết Hệ trục tọa độ không gian chiều • Định nghĩa: Hệ trục tọa độ Đề - các vuông góc không gian chiều gồm trục − → − → − → x0 Ox, y Oy, z Oz vuông góc với đôi Gọi i , j , k là các vec tơ đơn vị trên các trục x0 Ox, y Oy, z Oz Điểm O gọi là gốc tọa độ Không gian gắn với hệ tọa độ Oxyz gọi là không gian Oxyz −−→ • Tọa độ điểm: Trong không gian Oxyz cho điểm M tùy ý Khi đó OM = → − → − → − x i + y j + z k và ba (x, y, z) gọi là tọa độ điểm M → − → − − − • Tọa độ vec tơ: Trong không gian Oxyz cho vec tơ → a với → a = a1 i + a2 j + → − − − − a3 k Khi đó ba (a1 , a2 , a3 ) gọi là tọa độ → a và viết → a = (a1 , a2 , a3 ) hay → a (a1 , a2 , a3 ) − • Biểu thức tọa độ các phép toán vec tơ: Trong không gian Oxyz cho → a = (a1 , a2 , a3 ), → − b = (b1 , b2 , b3 ) và số thực k Khi đó → − − ◦→ a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) → − − ◦→ a − b = (a1 − b1 , a2 − b2 , a3 − b3 ) − ◦ k→ a = (ka1 , ka2 , ka3 ) a1 = b → − − a2 = b ◦→ a = b ⇐⇒ a3 = b → − → − → − − ◦ a cùng phương với b và ∃m ∈ R cho → a =mb • Biểu thức tọa độ tích vô hướng và các ứng dụng: → − − ◦ Trong không gian Oxyz cho → a = (a1 , a2 , a3 ), b = (b1 , b2 , b3 ), đó tích vô hướng → − − → a và b là → − → − a b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 − − − ◦ Đô dài vec tơ: Cho vec tơ → a = (a1 , a2 , a3 ) thì độ dài → a là |→ a| = p 2 a1 + a2 + a3 • Liên hệ tọa độ điểm và vec tơ: Cho điểm A(xA , yA , zA ) và B(xB , yB , zB ) đó −→ ◦ Tọa độ vec tơ AB = (xB − xA , yB − yA , zB − zA ) p −→ ◦ Khoảng cách AB = |AB| = (xb − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 → − − • Góc hai vec tơ: Gọi ϕ là góc hai vec tơ → a = (a1 , a2 , a3 ) và b = (b1 , b2 , b3 ) đó → − → − → − a.b a1 b + a2 b + a3 b → − p cos ϕ = cos( a , b ) = =p → − − a1 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 |→ a |.| b | → − → − − − và → a ⊥ b ⇐⇒ → a b = ⇐⇒ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 11 (12) 3.1.2 Phương trình mặt phẳng → − − • Vec tơ pháp tuyến mặt phẳng: Vec tơ → n khác và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) gọi là vec tơ pháp tuyến hay pháp vec tơ mặt phẳng (α) • Phương trình tổng quát mặt phẳng: ◦ Nếu mặt phẳng (α) có phươn trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = thì nó có − vec tơ pháp tuyến là → n = (A, B, C) − ◦ Phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M (x0 , y0 , z0 ) và nhận vec tơ → n = → − (A, B, C) 6= làm vec tơ pháp tuyến là A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = − ◦ Nếu mặt phẳng (α) song song chứa giá hai vec tơ khác phương là → a = → − → − (a1 , a2 , a3 ) và b = (b1 , b2 , b3 ) thì mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến là n = → − → − a ∧ b (ký hiệu ∧ đọc là tích có hướng) xác định → − a2 a3 a3 a1 a1 a2 → − → − n = a ∧ b = , , b2 b3 b3 b1 b1 b2 = (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 ) → − → − − − − Chú ý : Vec tơ → n =→ a ∧ b vuông góc với → a và b • Vị trí tương đối mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α1 ) có phương trình tổng quát − A1 x + B1 y + C1 z + D1 = với vec tơ pháp tuyến → n1 = (A1 , B1 , C1 ) và mặt phẳng (α2 ) có phương trình tổng quát A2 x + B2 y + C2 z + D2 = với vec tơ − pháp tuyến → n2 = (A2 , B2 , C2 ) Khi đó − − ∃k ∈ R : → n1 = k → n2 ◦ (α1 )//(α2 ) ⇐⇒ D1 6= kD2 − − ◦ (α )⊥(α ) ⇐⇒ → n ⊥→ n 2 − − ◦ (α1 ) cắt (α2 ) ⇐⇒ → n1 6= k → n2 , ∀k ∈ R − − ∃k ∈ R : → n1 = k → n2 ◦ (α1 ) ≡ (α2 ) ⇐⇒ D1 = kD2 • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M (x0 , y0 , z0 ) đến mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = xác định bởi: d(M, (α)) = 3.1.3 |Ax0 + By0 + Cz0 + D| √ A2 + B + C Phương trình đường thẳng • Phương trình tham số và phương trình chính tắc 12 (13) → − − ◦ Cho đường thẳng (∆) qua điểm M (x0 , y0 , z0 ) và nhận vec tơ → a = (a1 , a2 , a3 ) 6= làm vec tơ phương, (∆) có phương trình tham số là x = x0 + t.a1 y = y0 + t.a2 z = z0 + t.a3 − ◦ Cho đường thẳng (∆) qua điểm M (x0 , y0 , z0 ) và nhận vec tơ → a = (a1 , a2 , a3 ) cho a1 a2 a3 6= làm vec tơ phương, (∆) có phương trình chính tắc là x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 • Vị trí tương đối đường thẳng Cho đường thẳng d1 qua điểm M1 (xM1 , yM1 , zM1 ) − và có vec tơ phương → a1 , d2 qua điểm M2 (xM2 , yM2 , zM2 ) và có vec tơ phương → − → − → − → − a2 , đặt n = a1 ∧ a2 , đó → → − − n = ◦ d1 //d2 ⇐⇒ M1 ∈ / d2 → → − − n = ◦ d1 ≡ d2 ⇐⇒ M1 ∈ d2 ( → − → − n 6= ◦ d1 cắt d2 ⇐⇒ −−−−→ → − n M1 M2 = −−−−→ − ◦ d1 và d2 chéo ⇐⇒ → n M1 M2 6= − − ◦ d ⊥ d ⇐⇒ → a → a = 2 • Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng d qua điểm − M (x0 , y0 , z0 ) và có vec tơ phương → a = (a1 , a2 , a3 ), mặt phẳng (α) có phương trình → − Ax + By + Cz + D = và nhận n = (A, B, C) làm vec tơ pháp tuyến Khi đó → − − a → n =0 ◦ d//(α) ⇐⇒ M∈ / (α) → − − a → n =0 ◦ d ⊂ (α) ⇐⇒ M ∈ (α) − − ◦ d cắt (α) ⇐⇒ → a → n 6= − − ◦ d ⊥ (α) ⇐⇒ → n = k→ a 3.1.4 Phương trình mặt cầu • Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm I(a, b, c) bán kính r có phương trình là : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 x2 + y + z − 2ax − 2by − 2cz + a2 + b2 + c2 = r2 2 • Ngược lại, phương trình x2 +y +z +2Ax+2By+2Cz +D = với √ A +B +C −D > là phương trình mặt cầu tâm I(−A, −B, −C) có bán kính r = A2 + B + C − D 13 (14) 3.2 Bài tập 3.1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) và mặt phẳng (P ) có phương trình x + 2y + z − = a) Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng (P ) b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P ) 3.2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 0; 5) và hai mặt phẳng (P ) : 2x − y + 3z + = và (Q) : x + y − z + = a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) b) Viết phương trình mặt phẳng(R) qua giao tuyến (d) (P ) và (Q) đồng thời vuông góc với mặt phẳng (T ) : 3x − y + = 3.3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) : y+1 z−3 x+3 = = và 1 mặt phẳng (P ) : x + 2y − z + = a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) và mặt phẳng (P ) b) Tính góc đường thẳng (d) và mặt phẳng (P ) c) Viết phương trình đường thẳng (∆) là hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P ) 3.4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; 1; −1), B(0; 2; −1), C(0; 3; 0), D(1; 0; 1) a) Viết phương trình đường thẳng (BC) b) Chứng minh điểm A, B, C, D không đồng phẳng c) Tính thể tích tứ diệnABCD 3.5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (∆1 ) : x = −2t y = −5 + 3t và (∆2 ) : z=4 x−1 y−2 z = = −2 −1 a) Chứng minh đường thẳng (∆1 ) và đường thẳng (∆2 ) chéo b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng (∆1 ) và song song với đường thẳng (∆2 ) 3.6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : x+2 y z+3 = = và −2 mặt phẳng (P ) : 2x + y − z − = a) Chứng minh (d) cắt (P ) A Tìm tọa độ điểm A b) Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A, nằm (P ) và vuông góc với (d) 14 (15) 3.7 Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(−1; 2; 0), B(−3; 0; 2), C(1; 2; 3), D(0; 3; −2) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa AD và song song với BC 3.8 Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7) a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính r mặt cầu (S) b) Lập phương trình mặt cầu (S) 15 (16) Dạng toán tích phân và đại số tổ hợp 4.1 4.1.1 Lý thuyết Các lý thuyết nguyên hàm • Cho hàm số f (x) xác định trên khoảng K ⊆ R Hàm số F (x) gọi là nguyên hàm hàm f (x) trên khoảng K F (x) = f (x), ∀x ∈ K • Mọi hàm số liên tục trên khoảng K ⊆ R có nguyên hàm trên đoạn đó • Nếu F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) trên khoảng K ⊆ R thì với số C, hàm số G(x) = F (x) + C là nguyên hàm f (x) trên K Ngược lại, Nếu F (x) là nguyên hàm hàm số f (x) trên K thì nguyên hàm f (x) trên K có dạng RF (x) + C với C là số Kí hiệu họ tất các nguyên hàm R hàm số f (x) là f (x)dx, đọc là tích phân bất định f (x) Khi đó f (x)dx = F (x) + C với C ∈ R • Các chất bản: R tính ◦ f (x)dx = f (x) + C với C là số thực R R ◦ R kf (x)dx = k f (x)dx R với a làRhằng số thực ◦ [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx • Phương pháp tính nguyên hàm: R ◦ Phương pháp đổi R biến số:0 Nếu f (u)du = F (u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì f (u(x))u (x)du = F (u(x)) + C ◦ Phương pháp tích phân R phần: Nếu hai hàmR số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì u(x)v (x)du = u(x)v(x) − u0 (x)v(x)du • Bảng các nguyên hàm 16 (17) Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (u = u(x)) • R 0dx = C • R 0du = C • R dx = x + C • R du = u + C • R xα dx = • R uα du = xα+1 + C (α 6= −1) α+1 R dx = ln |x| + C x R • ex dx = ex + C R du = ln |u| + C u R • eu du = eu + C • 4.1.2 • R ax dx = • R • uα+1 + C (α 6= −1) α+1 • ax + C (a 6= 1, a > 0) ln a au + C (a 6= 1, a > 0) ln a • R au du = cos xdx = sin x + C • R cos udx = sin u + C R sin xdx = − cos x + C • R sin udu = − cos u + C • R dx = tan x + C cos2 x • R du = tan u + C cos2 u • R dx = − cot x + C sin2 x • R du = − cot u + C sin2 u Các lý thuyết tích phân • Định nghĩa: Cho hàm số f (x) liên tục trẹn đoạn [a, b] Giả sử F (x) là nguyên hàm f (x) trên đoạn [a, b] Hiệu số F (b) − F (a) gọi là tích phân từ a đến b (hay Z b f (x)dx Khi đó tích phân xác định trên [a, b]) hàm số f (x) Ký hiệu là a Z b f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) a Z Trường hợp a = b ta định nghĩa Z b Z a f (x)dx = − f (x)dx a a f (x)dx = Trường hợp a > b ta định nghĩa a b • Các tính chất tích phân: Z b Z b ◦ kf (x)dx = k f (x)dx với k là số a Za b Z b Z b ◦ [f (x) ± g(x)]dx = f (x)dx ± g(x)dx a a a 17 (18) Z ◦ b c Z Z c a a b f (x)dx với a < c < b f (x)dx + f (x)dx = • Phương pháp tính tích phân: ◦ Phương pháp đổi biến số: - Giả sử hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn [α, β] cho ϕ(α) = Z b Z b f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0 (t)dt a, ϕ(β) = b và a ϕ(t) b, ∀t ∈ [α, β] Khi đó a a - Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] cho α u(x) , ∀x ∈ [a, b] Nếu f (x) = g(u(x))u0 (x), ∀x ∈ [a, b], đó g(u) liên tục trên đoạn [α, β] Z b Z u(b) thì f (x)dx = g(u)du a u(a) ◦ Phương pháp tích phân phần: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo Z b Z b b u0 (x)v(x)dx u(x)v (x)dx = [u(x)v(x)]|a − hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì a a 4.1.3 Các lý thuyết đại số tổ hợp • Quy tắc cộng: Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn khác và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với cách chọn đối tượng Y Khi đó có m + n cách chọn hai đối tượng Qui tắc này đúng cho nhiều đối tượng khác • Quy tắc nhân: Giả sử có hai hành động thực liên tiếp Hành động thứ có m kết Ứng với kết hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết Khi đó có m × n kết hai hành động liên tiếp đó Quy tắc này đúng cho nhiều hành động liên tiếp • Cho tập hợp A có n phần tử (n > 1) ◦ Kết xếp n phần tử A theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị tập hợp A Số các hoán vị A ký hiệu là Pn , đó Pn = n! = n.(n − 1) 2.1 ◦ Kết việc lấy k phần tử A (1 k n) và xếp theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử Số các chỉnh hợp chập k n n! phần tử ký hiệu là Akn , đó Akn = Quy ước 0! = (n − k)! ◦ Một tập gồm k phần tử A (1 k n) gọi là tổ hợp chập k n phần tử Tổ hợp chập n phần tử là tập rỗng Số các tổ hợp chập k n phần n! tử ký hiệu là Cnk , đó Cnk = k!(n − k)! • Nhị thức Newton: Khi khai triển nhị thức (a + b)n ta (a + b)n = Cn0 an + Cn1 an−1 b + + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn Trong số hạng cộng thức (2) ta có ◦ Số các hạng tử là n + 18 (2) (19) ◦ Số hạng tử thứ k + là Cnk an−k bk ◦ Số mũ a giảm dần từ n đến 0, số mũ b tăng dần từ đến n tổng các số mũ a và b hạng tử luôn n ◦ Các hạng tử cách hạng tử đầu và hạng tử cuối có hệ số 4.2 Bài tập 4.2.1 Dạng toán tính tích phân Z Z (x − 2x + 1)dx 4.1 ) Z1 x √ dx x2 + 4.3 ) Z1 e 4.5 ) e sin x cos xdx Z1 π 4.4 ) Z0 4.6 ) Z1 π 4.7 ) (2x − 1) cos xdx 4.8 ) cos2 2xdx x.ex dx ln(x + 1)dx Z π (x + 1) ln xdx 4.10 ) 4.2.2 √ x2 x3 + 2dx Z0 Z0 e 4.9 ) 4.2 ) x2 sin xdx Dạng toán tổ hợp, nhị thức Newton 4.11 Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất: a) Là số chẵn và có hai chữ số (không thiết khác nhau) b) Là số lẻ và có hai chữ số (không thiết khác nhau) c) Là số lẻ và có hai chữ số khác d) Là số chẵn và có hai chữ số khác 4.12 Một người vào cửa hàng ăn Người đó muốn chọn thực đơn gồm món ăn 10 món, loại hoa tráng miệng loại hoa và loại nước uống loại nước uống Hỏi có bao nhiêu cách chọn thực đơn cho bữa ăn 4.13 Cô giáo chia bưởi, cam và quít cho học sinh (mỗi em quả) Hỏi có bao nhiêu cách chia khác nhau? 4.14 Một đa giác lồi 20 cạnh có bao nhiêu đường chéo? 4.15 Xác định hệ số chứa x4 khai triển biểu thức A = (x − 1)10 4.16 Xác định hệ số chứa x6 khai triển biểu thức A = (2x + 1)12 4.17 Xác định hệ số chứa x8 khai triển biểu thức A = (2x + 1)12 + 3x4 (x + 2)5 6 4.18 Xác định hsố hạng không chứa x khai triển biểu thức A = 2x − x 19 (20) Các đề thi tham khảo ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐH KHXH VÀ NHÂN VĂN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC HỆ VỪA HỌC VỪA LÀM ĐỢT - 2009 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút 2x + Câu I Cho hàm số y = (1) x+2 ———- Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Xác định các giá trị m để đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Câu II Giải phương trình cos x + cos 4x = sin 5x Giải bất phương trình 4x − 6.2x+1 + 32 < Câu III Z Tính tích phân I = x(2 ln x + 1)dx Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác nhau? Câu IV Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z − = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng (P ) ———————————Hết——————————- 20 (21) ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐH KHXH VÀ NHÂN VĂN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC HỆ VỪA HỌC VỪA LÀM ĐỢT - 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút ———Câu I Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + (m − 1)x + 3m − (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định các giá trị m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (0; 1) Câu II Giải bất phương trình 2.4x − 7.6x + 6.9x < x − xy − y = y − 2y + x Giải hệ phương trình x2 + xy − y = x−1 Câu III Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − 2z + = Viết phương trình mặt cầu (C) tâm I(1, −2, 3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P ) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa các điểm A(1, 2, −1), B(2, 1, −3) và vuông góc với mặt phẳng (P ) Câu IV Z Tính tích phân I = (x + ln x)dx Xác định hệ số chứa x7 khai triển biểu thức A = (2x − 1)12 + 2x3 (x − 2)7 ———————————Hết——————————- 21 (22) ĐẠI HỌC QUỐC GIA TPHCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐH KHXH VÀ NHÂN VĂN Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC HỆ VỪA HỌC VỪA LÀM ĐỢT - 2010 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút ———Câu I Cho hàm số y = x3 + (m + 1)x2 + 3x + m − (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = 2 Xác định các giá trị m để hàm số (1) không có cực trị Câu II √ √ √ x + − − x = − 2x (x − 1)2 + xy = 2y + Giải hệ phương trình xy + 2x = 2y + Giải phương trình Câu III Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng (d) : x y+1 z+3 = = và mặt phẳng (P ) : 2x + y + 3z − = Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d) và mặt phẳng (P ) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (P ) Câu IV Z Tính tích phân I = x e + x dx e Xác định số cách chọn học sinh nam và học sinh nữ nhóm học sinh gồm 12 nam và nữ ———————————Hết——————————- 22 (23)