Giáo trình toán cao cấp cho các nhà kinh tế phần 1 lê đình thúy

Chương 1: Tệp hợp, ciuan hể và L o g ỉcsu yĩu ậnc {x, y: điểm của X không kém điểm của y trong tậphợp các thí sinh dự thi tuyển sinh đại học khối A; d Quan hé cùng phương trong tập hợp

LÊ ĐINH THUÝ

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TÊ

PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

NHẨ xuất bản đại học kinh tế quốc dân

a e A (đọc ỉà: “ứ thuộc A”).

Ngược lại, nếu a không phải là phần tử cùa tập hợp A thì ta viết;

a g A (đọc là; “ơ không thuộc

y4”)-Để xác định một tâp hợp nhất định và đật tên là X, ta sử dụng một trong hai phương pháp cơ bản sau đây;

1 Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp:

x = { a , b , c , }

2 Mô tả tính chất đặc trưng của các pỉiần tử của tập hợp Theo phương pháp này, muôn xác định tập hợp X ta nói: X là tập hợp các phần tử X có tính chất T, hoặc dùng ký hiệu:

x = {x:T}

Chẳng hạn, các cách diễn đạt sau đây »ó nghĩa như nhau:

Ỳ TruờngỌại họcĩcinh ^QuỔCílân

iiiiHHiiuHìii-ii^ỉịỉỉiiinriiỉnịííịĩírịiiilílÌỊỈS

không có phần tử là lập hợp trống hay tập hợp rống và dùng ký

hiệu 0 để chỉ tập hợp đó Để khẳng định răng tập hợp X không

có phần tử la viết: X = 0 Ngược lại, để khẳng định rằng tập hợp

X có ít nhất một phần tử ta viết; 0

Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liệu khác liên quan

đến toán học từ "tập hợp" nhiều khi được gọi tắt là tập, chẳng

hạn, tập A, tập B, tập trống

b K hái niệm tập con và đẳn g thức tập hợp

Một tập hợp B được gọi là tập hợp con, hay tập con, của một tập

A nếu mọi phần tử của B đều là phần tử của A Trong trường hợp này ta dùng ký hiệu:

B e A (đọc là: “5 chứa trong y4”),

hoặc A 3 B (đọc là: “/4 bao hàm B").

Nói một cách đcm giản, tập hợp con của tập hợp A là tập họfp một bộ phận phần tử, hoặc tất cả các phần tử, của tập hợp A

Nếu B c A và đồng thời A c; B thì ta nói tập hợp B bằng tập

hợp A và viết B = A Như vậy, dẳng thức tập hợp B = A có nghĩa

là mọi phần tử của B đều là phần tử của A và ngược lại, mọi phần tử của A đều là phần tử của B Nếu tập hợp B không bằng tập hợp A thì ta viết B A Tập hợp B được gọi là tập con thiỊc

_~^OẦN CAO CẤP CHQ NHÀ KÍNH TẾ

Chuơmg 1: Tập họp, Quan hệ vồ Logic suy ỉuận

ử M ÌÊ i » t m đ Ê f m » đ ,m a i t ia a » ,» iÊ ÌÊ Ì a i à a ii it ÌÉ Ì ầ ^ Ê Ìt » ^ m a * ,ii m ,i ^ ^ « 1 Í T 1 I I — «JI r iu iTi ii É É Ì i r i r r i m ^ M i r r r n m i r i f t ' i i i t T r t i i > * M r '

.vụ'của tập h(/p A nếu B c: A nhimg B A A Chẳng han, tập hợp

dân cư của thành phố Hà Nội là lập con thực sự của tập hợp dân

cư cửa nước Việt Nam

c Biểu đ ổ Ven

Để dẽ hình dung về íập hợp và rnối liên hệ giữa các tập hợp, người ta dùng các tập hợp điểm của mặt phẳng để minh hoạ Tnông thường ta xét các tập ỉiơp phần tử của một tập hợp bao

trùm, gọi là không gian hay vũ ĩrụ Tập không gian được mô tả

bằng tập hợp các điểm của một hình chữ nhật Mỗi tập hợp trong không gian được minh hoạ bằng mộí tập hợp điểm giới hạn bcd một đường khép kín bên trong hình chữ nhật Cách minh hoạ

ước lệ như vậy được gọi là biểu đồ Ven Chẳng hạn, biểu đồ Ven

ở hình 1 mô tả hai tập hợp A và B, trong đó B là tập con của A

.Hình 1; B là tập con của A

II CÁ C P H É P T O Á N T Ậ P H Ợ P

a P hép hợp và p h ép giao

Đ ịnh nghĩa:

1 Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử

của nó là phần tử của ít nhất một trong hai tập hợp đó

2 Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp mà mỗi phần tử

của nó là phần tử của cả hai tập hợp A và B

Hợp của hai tập hợp A và B được ký hiệu là A uB :

Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân

TOÁN GAO CẤP CHO CẤC NHẨ K!NH

TỂ-A u B = jx: x e TỂ-A hoặc x e B Giao của hai táp hợp A và B được ký hiệu là A nB :

Chương 1: Tệp họp, Quan hệ và Logic suy ĩuận

■tL'V't*niirBấ^ jiu^ffgeaw>aeMei.jefct>^a>ai*gàftgáỂ»iÉB*e^

Chửng mirứv Để chứng minh một đẳng tiiức tập họp, ta cẩn chỉ

ja rằng mỗi phần lử rảíi tập hcfp ờ vế trá- đcu là phần tử của tập hợp ở vế phải và ngươc !ại, mỗt phần iử của lập hơp ở vế ph?i đều là phần tử của tập hợp ở vê' trái Chẳne hạn, đẳng thức (1.5) được chirng minh như sau:

nghĩa pỉiép hợp, điều này có nghĩa là x e A hoặc x e B n C Nếu

x e A thì x e A u B và x € A u C , do đó x e ( A u B ) n ( A u C ) Nếu

x e B n C thì x e B và x e C , suy ra x e A u B và x e A u C , do đó ta cũng có x e ( A u B ) n ( A u C )

Ngược lại, gọi X là một phần tử bất kỳ của ( A u B ) n ( A u C ) , ta có: x gAu B và x e A u C Nếu x gA thì x e A u ( B n C) Nếu x ểA thì x€B (do x e A u B ) và x e C (do x e A u C ), do đó x e B n C , suy

ra x e A u ( B n C )

Việc chứng minh các đẳng thức còn lại dành cho bạn đọc

c P h ép trừ tập hợp và phần bù của m ột tập hợp

Đ ịn h nghĩa: Hiệu của tập hỢỊ:) A và tập hợp B là tập hợp tất cả

các phần tử của tập hợp A không thuộc tập hợp B

Hiệu của tập hợp A và tập hợp B được ký hiệu là A \ B:

A \ B = ( x : x e A v à x ế BHình 3 là biểu đồ Ven về hiêu A \ B

Hình 3; A \B

Trường Đại học Kinh tê Quốc dân 11

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHẢ KÍNH TỂ

Đ ịnh nghĩa:

các phần tử của không gian không thuộc tập hợp X

Phần bù của tập hợp X được ký hiệu là X Theo định nghĩa, ta có:

d rới đây đều là phần tử của một không gian s

Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy luận

TOÁN CAO CẨP CHO CẤC NHẢ KINH TẾ

Các số đó được gọi là các s ố tự nhiên, hay s ố nguyên dương Tập

hợp tất cả các số tự nhiên được ký hiệu là N

b S ố nguyên

Trong phạm vi tập hợp số tự nhiên N ta có thể thực hiện hai phép toán số học cơ bản là phép cộng và phép nhân Tuy nhiên, các phép toán ngược của phép cộng và phép nhân (phép trừ và phép chia) bị hạn chế Chẳng hạn, không tồn tại số tự nhiên n sao cho 9 + n = 1 Để có thể thực hiện được phép trừ người ta

mở rộng hệ thống số tự nhiên bằng cách bổ sung thêm các số:

• Số không: 0;

• Các số đối dấu với các số tự nhiên: - 1 , - 2 , -3,. , - n , Các

số này được gọi là các s ố nguyên âm.

Các số nguyên đương, số 0 và các số nguyên âm được gọi là s ố

nguyên Tập hợp tất cả các số nguyên được ký hiệu là z ;

CtìUtữig 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuận

chia) vẫn bị hạn chế Oiãng hạn, khỏiig (.ổn tại số iiguyên m sao cho 2ni 3 Để thực hiện được phép toán ĩigược của phép nhân, người ta m ở rộne hệ thống số npuyên thành hệ thống số hữu tỷ

Sô hữu íỷ là tỳ sô của hai sò' nquyên Mỗi số hữu tỷ được viết

m

r = ( m e z , n e N )

nNếu biểu diẽn dưới dạng số thập phân thì số hữu tỷ là số thập phân hữa hạn hoặc số thập phân vô hạn tuần hoàn Chẳng hạn

- = 1,25; — = 1,8333 ; =-2,461538461538

Tập hợp tất cả các số hữu tỷ được ký hiệu là Q Số nguyên cũng

là số hữu tỷ (với mẫu số bằng 1), do đó z là một tập hợp concủa ; z c: Q

d Sô thực

Trong tập hợp số hữu íỷ ta có Ihể thực hiện cả bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia Các số hữu tỷ được sử dụng rộng rãi trong việc biểu diễn và phân tích các thông tin định lượng Tuy nhiên, tập hợp số hữu tỷ vẫn chưa đủ để đáp ứng các nhu cầu tính toán Chẳng han, độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông cân

có cạnh góc vuông bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một

số hữii tỷ Để hoàn thiện hệ thống số, người ta bổ sung thêm các

số vô tỷ Nếu biểu diễn dưód dạng số thập phân thì sô'vô tỷ là s ố

thập phân vó hạn không tuần hoàn Chảng hạn, số đo độ dài

cạnh huyền của tam giác vuông cần có cạnh góc vuông bằng 1

là sô' vô tỷ:

V 2 = 1,4142135623

Các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là sô thực Tập hợp tất cả

các số thực được ký hiệu là R và tập hợp tất cả các số vô tỷ được ký hiệu là Q Ta có;

I p ẩ n-Iì a ọ ĩXì ì h q M gI hầS ỉ n h ì^

R = Q u Q , Q n Q = 0

II BIỂU DIỄN HÌNH H Ọ C C Á C s ô THựC

a G iá trị tuyệt đối của s ố thực

Định nghía: Giâ trị tuyệt đối của một số thực X là số không âm

Bạn đọc cần ghi nhớ các tính chất cơ bản sau đây:

1 Với a là một số dương cho trước:

Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ va Logĩc suy Ịuận

• Hướng của đườníT thẳng (íheo clĩiều mui tên);

• Một điểm o cố dinh, gọi ỉà gó'c ĩoạ độ\

• Đơn vỊ đo độ dài

• AB = AB nếu hướng từ A đến B cùng hướng của trục số;

• AB = -A B nếu hướng từ A đến B ngược hướng của trục số

Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất cơ bản sau đây:

1 Với A và B là hai điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có:

ÃB I = AB, ĂB = -B Ã

2 Với A, B, c là ba điểm bất kỳ trên tnạc số ta luôn có:

ÃB + BC = Ã c

Việc chứng mmh các tính chất trên đành cho bạn đọc

c Biểu diễn s ố thực trên trục số

Trên mót trục số cho trước lấy một điểm M bất kỳ

Đ ịn h n»hĩa: Số thực X = OM được gọi là !oạ độ của điểm M

Để nói rằng điểm M trên trục số có toạ độ là số X ta viết; M(x)

N hư vẫy, mỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một

số thực X xác định, gọi là toạ độ của nó Ngược lại, mỗi số thực

X cho tưong ìnig mộĩ điểm M trôn uuc số có toa độ bầiig X Đó

là điểm mà khoảng cách đến góc loạ độ o bằng ix|, vê phía bên phải nếu X > 0, vể phííi bên ưái nếu X < 0 và trùng với gốc toạ độ

nếu X = 0.

Fnép tương ứng môl đối mội nói :rc!i giữa tấí cả các diểm của

trục số và íất cả C.Ì.: s ố thực rho phéo l a đồnặ^ nhấĩ số thực X v'órị

điẩni M(x) trên ưuc số Ta cố thể cỉùng từ "điểm x" để gọi m ổt

số thực X Mỗi tập hợp số thực X c K là một ĩâp hợp điểm của

trục số Tnic số CÒI1 được g»7Ì là dường thẳng thực.

ẩ K h o ả n g c á c h g iữ a h a i đ iểm trê n íru c s ố

Với A(a) và B(b) là h>i điểm bâi kỳ trên trục số, ta có:

ÃB = Ã Ồ + ÕB = ÕB - ÕÃ = b - 3.

T ỉíđ â y ỉa S!)> ra công Chức xác Uịnh kiioảng cách giữa hai điểm

A(a) và BCo) ÍỈÌCO toạ đ ỏ của chúng:

IẤ b Ị = Ị b - a Ị

m CÁC KHOẢNG SỐ THỰC

Khi biểu điễn và phân tích các thông tin định lượng, người ta ĩhưỜỊig sử dụnậ các s ố thực trong phạm vi niột tập hợp X c R

Ta dùng từ tập so thực', \\zỵf tập sô' ăè chỉ các tâị con của R

Các khoíỉng số thực ỉà các tập số thực có cấu trúc đcTn giản nhất

Khoảng hữu hạn

Với a và b là hai sô' thực cho tiiỉớc (a < b), ta gọi íập hợp tất cả

các số ứiực X giữa a và b là một khoảng Cầc số a và b đư«ạc gọi

là các đầu mút của khoảng số đó Nếu biểu diễn trên trục số thì

một khoảng là một đoạn thẳng nối hai điểm A(a) và B(b) Khi xét một khoảng số ta có ứiê tính cả các đầu mút hoặc không Để phân biệt điề.i đó ta dung các ký hiệu như sau;

àMỈÌmÌÌÉ»ÌÌaÌÉÌÉlÉBMMMMMM^^

Chuơiig 1: Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuậiì

b Lân cận của m ột điểm

Với X qlà một số thực cho trước và r là một số dương cho trước,

ta có:

<=> - r < x - x n < r o X - X <r Như vậy, khoảng (X q - r; Xq + r) là tập hợp tất cả các điểm X có

khoảng cách đến điểm Xo nhỏ hơn r Ta gọi khoảng đó là ỉân cận

bán kính r của điểm X và ký hiệu là V/Xq):

Chú ý rằng ± 00 chỉ là các ký hiệu ước lệ, không phải là số thực

ÍMiil; Trường Đạì học Kinh tế Quốc dân 15

TOÁN CấO CẨP c h o c á c NHẦ kính t ể

9 r t l a - ML - i ^ I I m •*'M í ! t J " 9 • ‘ B - , ' 1 m u » ’J M a m

IV T Ậ ? H Ọ P Bĩ CHẶN

a K h á i n iệ m tã p h ợ p b ị c h ặ n

Một tập số thực X CI R được gọi là bị chặn irên nêu tổn tại số

thực b sao cho vói moi x e X ta iuón có: X < b Số b lược cọi l'i

cận trên của tập X.

Mộí tập số thực X c: ẩ được gọi là bị chặii dưới uếu tổn tại số

thực a sao clìO với mọi x e X ta liiOn có: X > a Sô a được gọi là

cận dưới của tí\p X.

Một tập số thực X c: s đượt; gọi ỉà hị chặn nếu nó đồng thời bị

chặn trên và bị chặn dưới, tức ìà tồn tại các số thục a và b saocho YỚi mọi x g X ta luôn có; a < X < b Nói cách khác, láp hợp X

V í dụ: Các khoảng hữu han ỉà các tập bị chặn Cic khoảng

(a; + co), )3; +CO) ià các tâp bị chặn dưới, nhmig không bị chận

trên Các khoản? {-oo; b), (~co; b] là các lập bị chặn trên, nhimg không bị chặn dưới

b Cận trên đúng ) à cận dưới đúng

Đ ịnh nghĩa: Cận trên nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của một tập

hợp bị chặn trên (tập hợp bị chặn dưới) được gọị là cận trên

đúng {cận dưới dúng) của tập ỉìỢp đó.

Cán trên đúng của tập X được ký hiệu là supX:

Cận dưới đúng của tập X được ký hiộu là in fx

Từ định nghĩa suy ra;

S u p x = b khi và chỉ khi thoả mãn hai điều kiện:

• X < b vcfi mọi X e X (b là một cận ữên của X);

• Với mọi số b ’ < b luôn tồn tại số XqG X sao cho Xo > b ’ (mọi

số b ’ < b không phải là cận trẽn rủa X)

V í dụ: Tậ p hợn X = (;a, b) có cận trên đúng là số b.

20 Trường Đaỉ học Kính ìấ Quốc dân

ll iệ i vậy, hiển nhiôn là X < b với mọi X b) Mặt khác, với

mọ! số b ’ < b thì K =■- (a; b ) o ( b ’; h) -■ 0 , do đó tồn tại X(,eK ,SỐ XyG K ìà số íhoả măn điốu kiện (a, b) va Xo > b ’ Vậy cả hai điều kiện nêu trên đều thoả mãn, do đó sup(a; b) = b

Tương tự, i n f x = a khi và chỉ khi ihoả mãrì hai điều kiện sau:

• X > a với ưiọi X G X (a là một cận dưới của-X);

• Với mọi số a ’ > a luôn tồn tại số Xg G X sao cho Xq < a’ (mọi

số a’ > a không phải là cận dưới của X )

V í dụ: Bạn đọc hãy tự kiểm ira hai điều kiện trên để khẳng định

rằng cận dưới đúng của khoảng (a; b) bằng a: inf(a; b) = a

Trong toán học người ta đã chứng minh định lý sau đây:

Định lý: Mọi tập số thực X 0 bị chặn trên (bị chặn dưới) đều

có cận írên đúng (cận dưới đúng)

c Sô cực đại và s ố cưc tiểu

Ọ n trên đúng và cận dưới đúng của rnột tâp số thực X có thể thuộc hoặc không thuộc tập hợp X Q ìẳng hạn;

V ớ i X = [ a , b ) ; supX = b ể X , infX = aeX ;

Với Y = (a; b]: supY = b e Y , iníY =

Định nghĩa: Nếu supX = b và b e X thì số b được gọi là s ố cực

dại, hay sô' lớn nhất, của tập họip X Tưcmg tự, nếu inf X = a và

a e X thì số a được gọi là s ố cực tiểu, hay sô' nhỏ nhất, của tập

• max [a; b] = b, min [a; b] = a.

ĩ o ^ Ị ì ^ Ì Ắ Ì c Ị Ị c Ị Ệ Ị hẩ k i n h ĩ ế

• Tập (a; 1)) không có số lớn nhất và số nhó nhất

§ 3 Q U A N HỆ

I TÍCH DKS C á RTES

Định n g h ĩa: Tíeii Des Cartes eủa hãi tập hợp X và Y ỉà tập hợp

tất cả các cặp có thứ tự (x, y), trong đó X là một phần tử của lập

X và y ỉà rnột phần tử của tập Y

Tích Des Cartes của X và Y được gọi tắt là lích của X và y Ta

ký hiệu tích của hai tập họfp X và Y là XxY;

XxY = {(x, a), (x, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b)};

YxX = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z ) }

Trên đây là định nghĩa tích Des Cartes của hai tập hợp Tích Des Cartes của n tập hợp được định nghĩa tưcmg tự như sau;

ký hiệu là X":

X" = {(X|, x , , x„): x ,e X , x e X , , x„eX)}

II QUAN HỆ

a K hái niệm quan hệ

Theo nghĩa thỏng thưèmg, quan hê frong một tặp hợp là một tính chất đặc trung hay một quy ước lién kết các phần tử của tộp hơp

đó Quan hệ hai ngôi Hên kết các phần lữ theo từng cặp Q iẳng hạn, quan hệ hồn nhân trong cộng đổng người liên kết hai người

có đãng ký kết hỏn; quan hệ chia hếĩ liên kết các số nguyên theo thừng cặp (p, q), trong đó p là số chia hết cho q Nói một cách khái quát, một quan hệ hai ngóỉ (p trong tập hợp X là một quy

tắc xác định những cặp phán tử (x, y) có quan hệ với nhau theo

quy tắc đó Nếu xem mỗi cặp phần tử (x, y) của tập hợp X là một phần tử của tập tích X ' thì một quan hệ (p xác định một tập hợp O c X ^ Ta có Lhê đổng nhấi quan hệ ọ với tập con O của tập tícn X^

Định nghĩa: Quan hệ hai ngôi tiong tập hợp X là một tập con

của tập hợp X^

V í dụ :

• Trong tập hợp người X, quan hệ cha con ỉà tập hỢỊỉ

(x, y): x e X , ỵ e X , X là cha của y Ị c X'

• Trong tập hợp số thực 1 , quan hệ “không nhỏ hơn” là tậphợp:

({x, y): X€ R , y e M, X > y ị c i R '

• Trong lập hợp tất cả các tam giác quan hệ “đồng dạng” làtập hợp các cặp tam giác (A, A’) mà A đồng dạng với A’

b Quan hệ tương đương

Cho O c X * là một quan hệ trong tập hợp X Nếu (x, y) € 0 thì ta

nói p h ẩ n tử X c ó q u a n h ệ <I> với p h à n (ử y và viết; xO y.

•ạpsạRBa^aạmiiỊKỊỊMạạạBỊạnKạM

ĨOẨK-lAOCẤpr.HCGẤCN;-IẢR]NHTẾ ' '

■ • ■ Ì i n ì P y i V i ^ Ỉ ẩ ^ i r T T r ĩ ^ 'T i ~ i - t r • ĩ i - - r 'i ' T r Ị M - ■ • - r-iiÉ -| • - -| -iian ^ iii» |ịj |iiỂ ii i'n r iM n Ì ^ ^

*

Đ ỉnh n g h ĩa: Một quan hệ o íroníĩ tập họp >f được gọi là quan

hẻ íiú:rĩig d ư ơ ìig P-ếu n ổ c ó c á c tíiib cỉiấi sau: •

1 l ính phản xạ: aOa, V a e X (Mọi phần tử a của tập hợp X có

quan hệ <I> với chính nó);

2 Tính ảổi xíúig: Nếiĩ a<x>b thì bOa (Nểu a có quan hệ o với b

thì b cũng có quan hệ <I) với a);

3 Tính bắc cầu: Nếu aO b và bOc thì aOc (Nếu a có quan hệ

<ĩ> với b và b có quan hệ với c Ihì ă có quan hệ o với c)

V í dụ:

• Quan hệ “x đồng dạng với y” là một quan hệ tương đương

t r o n g t ậ p h ọ p t ấ t C tì CcìC t â ĩ ĩ l

• Quan hệ “x sinh cùng năm với y” là một quan hệ tương

đương trong tập hợp sinh viên của m ội trường đại học.

• Quan hệ “x là bạn của y ” trong tậD họfp sinh viên của mộttrường đại học không phải là quan hệ tưcmg đương bởi vìquan hệ này ỉđiông có tính bắc cầu

c Q uan hệ th ứ tự

Đ ịnh n g h ĩa: Một quan hệ o trong tập hợp X được gọi là quan

hệ thứ tự nếu nó thoả mãn các tính chất sau;

1 Tính phản xạ- aOa,Va e X (Mọi phần tử a của tập hợp X có

quan hệ O với chính nó);

2 Tính bắc cầu: Nếu aO b và bOc thì aOc (Nếu a có quan hệ O

với b và b có quan hệ o với c thì a có quan hệ o với c)

3 Tính phản đối xiửig: Nếu a<I>b và bO a thì a = b (phần tử a

Phần tử y e Y tưcmg ứng với phần tử x e X qua ánh xạ f được gọi

xạ f ta viết: y = f(x)

V í dụ I: Phép đặt tưcmg ứng mỗi điểm M của một mặt phẳng p

với hình chiếu vuông góc N của nó trên một đường thẳng A c p

mãn điều kiện m < X < m + r (gọi là phần nguyên của x) là m ột

ánh xạ từ R vào z

v;' ' lwrM Lm M vAU Vrầ ri t ếấuh viMư ir^ '

con của tập không gian s, xác định một quan hệ trong S:

o = {(x, y): X€X v à y = f(x)} c S"

b Ả nỉi và nghịch ảnh của m ột tập hợp

Cho mội ánh xạ f: X i-> Y

Đ ịn h nghĩa: Ảnh của rnột tập A e X qua ánh xạ f là tập hợp ảnh

của tất cả các phần tử XG A

Ảnh của tập hợp A được ký hiệu là f(A):

f(A) = i y e Y ; Tồn tại x e A sao cho y = f(x)Ị

Đ ịnh ĩý: Vófi m ọi ánh xạ f; X 1-4 Y ta luỏn có:

1 f(A |U A2) = f ( A ,) o f ( A2), với mọi AjC X, A , c X

Chưmg ị : Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ĩuận

2 f " ‘ (B,wB2) = r ' ( B , ) u r ' ( B 2), vái mọi B ,e Y, B,c: Y

3 = r - ( B , ) n f ' ( B 2), với moi B ,c Y, BjCZ Y.

Việc chứng minh định lý này chúng tôi dành cho bạn đọc

c Đ ơn ánh, toàn ánh và song ánh

Định nghĩa:

1 Ánh xạ f; X h-> Y được gọi là dơn ánh nếu hai phần tử kliác

nhau bất kỳ của tập X luôn có ảnh khác nhau:

X, X2 => f(x,) ^ ííx.).

Nói cách khác, f là một đơn ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y e Y hoặc là tập trống, hoặc chỉ có một phần tử duy nhất x e X

2 Ánh xạ f: X Y được gọi là toàn ánh nếu ảnh của tập hợp

X là toàn bộ tập hợp Y: f(X) = Y Nói cách khác, f là m ột toàn

ánh khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi phần tử y e Y đều không

rỗng

3 Ánh xạ f: X 1-^ Y được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn

ánh, vừa là toàn ánh

V í dụ:

y = cosx e [ - l ; 1] là một toàn ánh, nhưng không phải là đơn ánh

• Ánh xạ f; [0; 71 ] 1—> R đật tương ứng mỗi số x e [0 ; 7Ĩ ] với

số y = cosx G R là một đơn ánh, nhưng không phải là toàn ánh.

• Ánh xạ f: [0; 7ĩ ] t-> [-1; 1] đặt tương ứng mỗi số x e [ 0 ; 7t ]

với số y = cosx e f - l ; 1] là một song ánh

T c j i i i i s i i i | 0 CẮC NHA kinh Tẽ

d Á nh xạ ngược

Giả sử ánh xa f: X h> Y là iiiột song ánii Khi đó, mỗi phần tử

y e Y đều có nghịch ảnh không rỗng (do f là toàn ánh) và nghịch ảnh của nó là m ột phần tử duy nhấí x e X (do f ỉà đcni ánh)

Trong trường hợp này ta có một ánh xạ f~': Y h-»x đật tương

ứng mỗi phần tử y e Y với phần tử duy nhất X = Ánh xạ

f đ ư ợ c gọi là ánh xạ ngược của song ánh f.

V í dụ: Gọi X là tập hợp sinh viên của một lớp học và Y là danh

sách ghi tên g ọ i đầy đủ (gồm họ, tên đệm và tên) cùa các sinh

viên đó Giả sử lớp học không có hai sinh viên nào trùng tên

Khi đó, ánh xạ f: Xt-> Y đặt tương ứng mỗi sinh viên với tên gọi

của sinih viên đó trong danh sách là một song ánh Ánh xạ ngược

của song ánh f là ánh xạ đặt tương ứng mỗi tên trong danh

sách với sinh viên có tên đó

a) Quan hệ "đồng dạng" ưong tập hợp tấi cả các tam giác;

b) Quan hệ "đã hoặc đang học cùng một lớp" trong tập hợp

học sinh phổ thông;

c) {(x, y): ch iều cao của X bằng chiều cao của y } trong một

tập hợp dân cư;

d) Quan hộ {(x, y): X > y } trong tập hợp R ;

e) Quan hộ {(x, y): xy = 1) trong tập hợp K.

28 Tnrông Đại học Kinh tế Quốc dân

Chương 1: Tệp hợp, ciuan hể và L o g ỉcsu yĩu ận

c) {(x, y): điểm của X không kém điểm của y) trong tậphợp các thí sinh dự thi tuyển sinh đại học khối A;

d) Quan hé cùng phương trong tập hợp tất cả các đườngthẳng;

e) Quan hệ “cùng tuổi” trong tập hợp sinh viên của một

trường đại học;

f) Quan hệ “không ít tuổi hem" trong tập hợp sinh viên của

m ội trường đại học

8 Cho trước một đường thẳng d Trong không gian hình học, điểm A có quan hộ ọ với điểm B Ịchi và chỉ khi đoạn thẳng AB nằm ưên d hoặc song song với d Hãy chứng tỏ (p là m ột quan hệ tưcmg đương

9 Trong các ánh xạ dưới đầy, ánh xạ nào là toàn ánh, ánh xạ

nào đcm ánh, ánh xạ nào song ánh?

a) Ặnh xạ f: M -> z đặt tương ứng mỗi s ố thực X với phẩn

TOẢN CAO CẤP CHO CẤC NHẨ KINH TẾ

10, Gọi f là ánh xạ đật tương ứng mỗi điểm của mật phẳng toạ

độ với hình chiếu của nó ưên trục hoành, X| là đoạn thẳng nối hai điểm M |( l, 1), N|(2, 1), là đoạn thẳng nối hai điểm

M2 (1, 2), N2(2, 2) Hãy chứng minh;

f ( X i 0 X2) f ( Xi ) n f ( X 2)

§4 ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC SUY LUẬN

L M ỆN H Đ Ể V À CÁC PH ÉP LIÊN KẾT M ỆNH ĐÊ

a, M ện h đ ề tro n g logic toán học

Hiểu theo nghĩa rộng, mệnh đề là một câu nói chuyển tải thông

tin, mô tả một cái gì đó hoặc phát biểu một ý kiến mang tính

khẳng định Đối với các mệnh đề mang tính khẳng định, chúng

ta thường có lời bàn: nói như vậy là đúng, hoặc nói như vậy là

sai Mục đích của hoạt động khoa học là khẳng định chân lý khách quan Những lời bàn đúng sai mang tính chủ quan không

có giá trị khoa học Môn logic toán học đề cập đến cấu trúc

logic để phân định đúng sai Trong khuôn khổ của cuốn sách

này, chúng tôi chỉ đề cập đến một số khái niệm cơ bản của lôgic toán học với mục đích giúp bạn đọc nắm được cách thức suy luận để chứng minh một mệnh đề là đúng.

Trong logic toán học chúng ta chỉ xét các mệnh đề mà về nguyên tắc có thể quy vào một và chỉ một ưong hai phạm trù: mộnh đề đúng hoặc mệnh đề sai Ta gọi các mệnh đề như vậy là

mệnh đê logic Đúng và sai được gọi là các giá trị chân lý, hay

£Ìá trị logic của các mệnh đề Trong logic toán học người ta dùng các con số 1 và 0 để chỉ các giá trị logic; 1 là đúng, 0 là sai Mệnh đề logic là mệnh đề có giá trị lôgic.

Để phân biệt m ệnh đề này với mệnh đề khác, ta gọi tên mỗi

mệnh để bằng một chữ viết hoa: ăS, % .

b Phủ định

Phiủ định của một mệnh đề là mệnh để "không -t/ Mệnh để

"khiông ơ í " được ký hiêu là .nể Giá írị logic của mệnh đê ĩ ingược xới giá trị logic của mệnh đề é, tức là: ơí đúng khi sai và KỈÍ sai khi đúng Điều này có nghĩa là phủ định của cái đúmg là cái sai và phủ định của cái sai là cái đúng Liên hộ giữa hai mệnh đề và thể hiộn ở bảng giá trị logic như sau:

• Phép hội là phép liên kết các mệnh đề Ể8 thành mệnh đề

và sai trong tất cả các trường hợp còn lại Bảng sau đây biểu

diẻỉn giá trị logic của mệnh á ề tỉí /\ ẩS tuỳ theo giá trị logic của

toAní CAO CẨP CHỢCẨCNHA kinhtế

đề " t í /hoặc SB Mệnh đề '\ é hoặc ổ? " được ký hiệu là V ốổ

và đúng trong tất cả các trường hợp còn lại Bảng sau đây biểu

diễn giá trị logic của mệnh đề í/ V ^ tuỳ theo giá trị logic của

• Phép kéo theo là phép liên kết các mệnh đề ẩS thành

mệnh đề '\ đ kéo theo ổẩ Mệnh đề kéo theo " được ký

hiệu là => ổẩ M ệnh đ ề =í> Ổ5 sai khi và chỉ khi đúng, nhưng ^ sai, và đúng trong tất cả các trường hợp còn lại Khi

sai thì ^ ỔB luôn đúng, bất kể ỔB đúng hay sai Bảng sau

đây biểu diễn giá trị logic của mệnh âề âS tuỳ theo giá trị

Chương 1: Tập ỉi^ ^ ữ u a n hẹ vâ:]íỉogỉợWuyĩỉuạn

d G iá tri ỉogic của các mệnh đ ẻ phức hợp

Xuất phát từ các mệnh đề dơn giản ta có thổ lập các mệnh đề mới bằng phép phủ định và các phép licn kết mệnh dề: phép hội, phép tuyển, phép kéo theo Từ những inẹnh đề mới đó ta lại có ihể tiếp tục lập các mệnh đề mới V V Căn cứ vào các bảng giá

trị logic nêu trên ta có thể lập bảng c,ìả trị logic của các mệnh đề

phức tạp hơn Để làm ví dụ ta xét mệnh đề ( 5 / =5> ífì)ỉ\{íỉì => ,ĩđ).

Theo giá trị logic của các mệnh đề 3) ta xác định được giá trị

logic của mệnh đề (.r/ => ĨS =í> -O Bảng giá trị logic của

Mệnh đề Ụ í => á?) a ( => ,đ), tức là kéo theo ỉ£ và kéo

theo ,ĩí ", được ký hiệu là; 4 <=> ííì Nhìn vào bảng trên ta thấy

<=> 'ổ ì dứng khi -d, cố cũng giá trị logic (cùng đúng hoặc cùng sai), sai khi.<-í, àì có giá trị ỉogic ngược nhau.

II HÀM MỆNH ĐỂ

a K hái n iệ m hiến

Khi ta luận giải một vấn đề gì đó thì đối tượng luận giải là các phần tử của ìnột tập hợp nào đó Chẳng hạn, khi ta nói "hai tam giác vuông bằng nhau nếu chúng có cạnh huyền và một góc

' tqAn cao cấp cho cấc nhà K!NH 1Ế

i ^ i i ^ ' i r w ^ M l ^ r i i ẩ i i f t ' M ì É i ẩ ì i n ì f i ì i [ I ii r i ì i i i i i i r t r r ' ^ ií i ấí i iif i i r ÌTnÌÉ~nii « i ’ n r i - i n 4 i—

nhọn bằiig nhau" thì đối tương được nói đến ỉà các pỉián từ của

íập hợp tất cả các tarn giác vuỏng Khi nhắc đếii môí rìiần tử bát

kỳ của m ột tập hỢD (khôn^ nói cụ thé phần tử nào), ngưòi ta

thường dùng một ký hiệu để ám chỉ Một ký hiệu nhu vậy được xem như phần tử biến thiên trên íập h(;rp

Đinh nghĩa: Một ký hiệu mà ta có thổ gán cho nó phần tử bất

kỳ của một tập hợp X đươt iíọi ià ỉyieh Tập hợp X được gọị lá

miể/i biển thiên cùa biến dó.

Các biến thường dược ký hiộu bằng: chữ X, y, 2,

Một biến mà miền biến thiên cùa nó là một tập được ^ọj ỉà

biến số Một biến nià miển biến thiên của nó là tập hợp tấl cả

các mệnh đề được g ji là biến mệnh đề Các ký hiộu ,jíy íĩì, mà

ta sử dụng trên đâv (ỉể gọi khá! quát các mệnh dv giữ vai ĩrò các

biến rĩíệnh đế

b H àtìi m ệnh đ ề

Chúng ía thưỜHg gặp nhữĩig mệnh đề nói khái quát vể các phầii

tử của íĩiệt tập hợp X nào đố Khi phát biểu các mệnh đề như vậy người ta phải sử dụng biến Qiẳng hạn, "số X chia hết cho 3"

là m ột m ệnh đề nói về các số nguyên, trong đó X là một biến,

vói miền biến ữiiên là ĩập số nguyên z Gịá trị logic của mệnh

để này được xác định khi ía gár cho X m ội số nguyên xác đinh

Chẳng hạn, khi gán X = 6 ía đưoo một mệnh để đúng: "số 6 chid hết cho 3", còn khi gán X = 5 thì ỉa được một mêuỉi đé sai: "số 5 chia hết cho 3"

Định nghĩa: Một niệnh để cỏ chứa biên X, Víiri miền bicn thiên

X, mà khi gán cho X mỗi phầiì tử cá biệt của tâp hợp X ĨH được

mộv mệnh để có giá trỵ logic xác định, được gọi là hàm mệnh đe

xác định trên tập hợp X

Một hàm mệnh đề có thể chứa n)'i4u biến, nhưng ta có thể gộp một bộ n^ iổu biến thành một biến Chẳng hạn bộ hai biến x e X

34

ỤmitmỆ4:::^ệp-:hợp, Quan hệvầ'Ì^ọgỉcjsiỊy-jụậnllỆị

và y e Y có thể gộp thành một biên u -(x , y) với miền biến thiên

từ cụ thể của tập X thì nó có giá trị logic Hàm mệnh đề ,í/(x) phân rã miền biến thiên X thành hai tập con rcri nhau (không có

phần tử chung):

• Tập hợp tất cả các phần tử của X mà khi gán cho X mệnh đề

.J^(x) đúng Ta gọi tập này là miền đúng của hàm mệnh đề (x)

và ký hiệu là Xj.

• Tập hợp tất cả các phần tử của X mà khi gán cho X mệnh đề

(x) sai Ta gọi tập này là miền sai của hàm mệnh đề (x) và

TOÃN CAO CẤÌÌbO CÌeÌIÌKỈỈ^H TẾ

c Lượng từ

Như đã nói ở trên, một hàm mệnh đề '\ĩđ (x), X e X ” tự nó không

có giá trị ìô g ic, nhưng khi gán cho X một phần lử xác định của

tập X thì nó trờ thành một mệnh đề có giá trị 'ogic Do giá trị logic của mệnh đề (x) được xác định cho mỗi phần tử x e X ,

ta cũng có thể nhận được một mệnh để có giá trị logic Để làm

"Có đúng ba số x e M sao cho: X '- 5x + 6 = 0"; SAI

"Với mọi X6 R , ta cỏ- x ^ - 5 x + 6 = 0": SAI

Các câu thêm vào như "Với X = 2, ta có", "Có đúng hai số x e K sao cho", "Tồn tại x e M sao cho", "Với mọi ‘X€ M, ta có" được

gọi là các lượng từ.

Cnúng tôi muốn lưu ý bạn đọc về hai lượng từ được sử dụng nhiều trong các mệnh đề toán học:

từ đổng nghĩa: "với bất cứ phần tử nào của tập X", "với x e X bất kỳ" V.V Các mệnh đề sử dụng lượng từ phổ quát có dạng: "Với mọi x e X ta có; hoặc ",xí'(x) với mọi xeX " Trong logictoán học người ta sử dụng ký hiệu V thay cho lừ "với mọi" Các

m ệnh đề sử dụng lượng lĩ' nói írên dược viêt dưới dạng:

"V xf:X .J3?(x)", hoặc W (x ),V x eX "

3$^ Tníởn^ Đạì bọc Kỉnh tế Qưốc dân

Chương 1: Tệp hợp, 0u0n hệ và Logic suy Ịuận

M ệnh đ ề " VxeX' •!-ĩ(x)'' đúng nếu miền đúng của é{x) là toàn bộ tập X và sai nếu miên sai của-^(x) khỗng rỗng.

đổng nghĩa: "với ít nhất một phần tử x eX ", "có thể tìm được

x gX ”, v.v Các mệnh đề sử dụng lưựrig từ tồn tại có dạng:

"Tồn tại x gX sao cho: ''/(x)", hoặc "Có ít nhất một x s X saocho: J5í'(x)" Trong logic toán học người ta sử dụng ký hiệu 3thay cho từ "tồn tại" Các mệnh đề sử dụng lượng từ 3 nói trên được viết dưới dạng:

”3x6 X : 4x)"

M ệnh đ ề "3xeX : >4ịx)" đúng nếu miền đúng của é(x) có ít nhất

m ột phần tử xeX , và sai nếu miền sai của rdịx) là toàn bộ tập X.

Từ định nghĩa giá trị logic của các mệiỉh đề "V x eX : <í/(x)" và

III LOGIC SUY LUẬN

ĐIÊU KIỆN CẦN VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỦ

a L uật

Mỗi lĩnh vực khoa học có những đối tượng riêng Các kết luận khoa học thường mang tính khái quát, phản ánh những mối liên

hệ mang tính quy luật trong phạm vi một tập hợp nhất định Các

rOÀN CAO CẤP CHO C^C NHÂ KÍNH ? Ế

kết iuận như vâv thưcmg được phái biểu dưới dang các hàm mện!’ dể có nìỉcn đúng ỉa toàn bộ tập hỢị) đó

Đ ịnh nghĩa: Một hàm mệnh dề - ĩ/íx), xác định trên tập X, được

gọị là một ỉuậí trên tâp hợp đó nếu micn đúng của nỏ là loàn bộ

lập X (mién sai là tập trống) Nói cách khác, - r/(x) là luật trên lập hợp X nếu mệnh đề "V xeX : ,f/(xỳ' đúng

M ột ỉuật trên tập hợp tất cả Các mệnh đề được gọi là ỉuặí ỉogic.

V í dụ :

0 Mệnh đề "Vx e K : > 0" là một luật írên tập hợp tất cảcác số thực;

0 H àm m ệnh đề '\rẩ \J 9Í " ià một luật iogic (luật trên tập hợp

tất cả các mệnh đề) Bảng giá trị logic dưới đây cho thấy

m ệnh đề đó luôn luôn đúne, bất kể ,f /là mệnh đề đúng hay

mệnh đề sai:

é ->/

biến nếu ta gộp mộl bộ n biến thành một biến X M ột luật trên tập h(/p X' (ìuật chứa n biến, nhiũig cả n hiến đó có cùng miền biến thiên X) cũng có th ể gọi là luật trén tập hợp X.

V í dụ:

0 Mệnh đc "V(x, y ) e R " ta luôn có: X + y = y + X " là một luật trên M Đó là luật giao hoán của phép còng

0 Hàm mệnh đề hai biến: " - í / V = > ( , r / A 0 ] ) " là một luật logic Bạn hãy tự lập bảng giá trị logic để khẳng định rằng với

(.< Sỉ) là một cặp mệnh đề bất kỳ, mệnh đề đó luôn luôn đúng.

Chutmg i : Tệp hợp, Quan hệ và Logic suy ỉuận

tJiiìMjểạpww«MMMM8t>ỂÌÌia««ÉiiÉ«ÉÉÌÉÉM«ịiiijiÌM

b Đ iề u k iệ n c ầ n và đ iề u k iê n đu

Khi ngbỉòn cửu các đối 'ưííng troiií; r)hạin vi nỉột tộp hợp X, các nhận định mang tính khái quát íhường được phát biểu dưới dạng

các hàm mệnh đề chứa biến x e X Các mệnh đề rnang tính chất

diễn giải Cí3 dạng'

Như ta đã biết, mệnh đế (4.1) đúng khi và chỉ khi miền đúng của

hàm mệnh đề ’\ĩí(x) p£{x)" là toàn bộ lập hợp X Tuy nhiên,

với những phần tử X e X mà ,f/(x) sai thì => 3?(x)" luôn

luôn đúng, do đó mệnh đề (4.1) đứng khi và chỉ khi miền đúng

của ,í/(x) là tập con của m iền đúng của á?(x), tức là v ớ i b ấ t c ứ

Tất cả các phát biểu nêu trên đều mang hàm ý rằng khi ,sể(x)

đúng thì íỉỳịx) cũng đúng Khi chứng minh mệnh để (4.1), iđ(x)

nghĩa chia hết ta chứng minh dược rằng X chia hết cho 3 Điểu

này được phát biểu như sau:

• Nếu X chia hết cho 6 thì X chia hết cho 3;

• X chia hết ch o 3 khi X chia hét cho 6;

« B a B w i « e s a K n « 9 K H a 5 a n ! » a s ẹ B a i Ị ạ ạ i 9 ạ ạ ạ w 9 i B Ị « ; ạ B | i ạ i « B M ^

Trường Đạl học Kỉnh tế Quốc dân 3Ô

TOẢN CAO CẤP GKK) NHÀ KINH TỂ ,

9 Điểu kiẹri đủ dế X chia hêt cho 3 là X chia hết cho 6

Nếu ,i/(x) vựa ỉà dỉểu kiện cần, vìra ìà điều kiện đủ để ưìix) thì ta

• .f/(x ) là điều kiện cần và đủ để -‘:íỡ(x);

Để nói r ằ n g r /(x) tương đương với ổì (x) ta dùng ký hiệu:

.^ ( x ) Cí> /^(x) (4.2)

Hộ Ihức (4.2) có nghĩa là với mọi x e X hai mệnh đề -í/(x) và âỉ(x ) có eùng giá trị logic (cùng đúng hoặc cùng sai) Khi đó,

nếu m ột trong hai m ệnh đề ,d {x ) hoặc 5ií(x) có mặt trong một

mệnh đề phức họp nào đó thì ta có thể thay th ế mệnh đề này

bẳng mệnh đề kịạ m à không làm thay đổi giá trị logic của mệnh

đề |Ẵứ§ hẹfp

ấy-IV LOGIC c h ứ n g m i n h M ệ n h đ ể

Chận lý ỉầ một mệnh đề đúng nói vé các hiện tượng và các sự

vật của thê gịợị kháeh qusnh xung quanh ta Vê' nguyên tắc, mỗi

mệnh đề logic nhận một và chỉ một trong hai giá trị logic: đúng

hoặc sai Chứng m inh một mệnh đẻ cố nghĩa lả xác định được

giá trị logic của mệnh đ ề đó là đúng'.

Để chứng m inh m ột mệnh đề ta phải có căn cứ và phải sử dụng

phép suy luận đúng.

'Chúng ta chỉ cđn nói đến việc chứng rninh một mệnh đ ề là đúng V iệc chứng minh một mệnh đề là sai có thể quy vể việc chứng minh m ệnh đề phù định cùa nó là đúng.

Phép suy luận đúng là là phép suy luận dựa theo các luật logic

hoặc các luật kéo theo trên một lập hỢỊ") X Luật kéo theo trên

một tập hợp X có dạng:

trong đó X là một biến hoặc một bộ các biến với m iền biến thiên

X Xin nhắc lại rằng, hàm mệnh đề (4.3) là luật trên tập họfp X nếu nó đúng với mọi phần tử X e X, do đó khi đúng ta có

thể kết luận rằng PJỈ{\) đúng Chẳng hạn, trong tập hợp các tam

giác vuông, người ta đã chứng minh được luật nói rằng "nếu hai tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn bằng nhau thì chúng bằng nhau" Sử dụng luật đó, nếu ta chỉ ra được rằng hai tam giác vuông nào đó quả thật có cạnh huyén bằng nhau và

m ột góc nhọn bằng nhau thì ta có thể kết luận được rằng hai tam giác vuông đó bằng nhau (kết luận đó là một mệnh đề đúng)

Chú ý rằng, bản thân các luật logic và các luật trong phạm vi một tập hợp X cũng là các mệnh đề được chứng minh là đúng và thường được phát biểu dưới dạng các định lý Các định lý đó lần lượt được thiết lập xuất phát từ các định nghĩa và hệ thống tiên

đề Mỗi định lý cỊược chứng minh lại là căn cứ để chứng minh những định lý khác Đó là logic phát triển của mọi hệ thống lý thuyết trong ỉchoa học nói chung và trong toán học nói riêng

TOẢN CAO CẤP CHO CÁC NHA kinh ĩế

c M ộ t sô lu á t logic cần hni ý

Sau đâv chúng tôi liệt kê một số luật logic hay được sư dụng Bạn có thể chứng minh các luật này bằng cách lập bảng giá trị logic

1 Luật bài trung:

7 Luật phân phối;

» ( , í/ a ổ5 )v ( , ^a <ể);

,;/v (.5 ẩ A ''é ') C::>(,Vvâ?) a (.^V<<Í)

Chưcữìg 1: Tập ỉĩỌpr Quan hệ và Logic su y ỉuận

Giả sử hàm m ệnh đ ề ,đ (m ) thoả mãn hai điều kiện:

1 <íđ(m) đúng khi m = p-,

2 Nếu -9địm) đúng khi m = k e z p thỉ é ( m ) cũng đúng khi

m = k + ỉ

Khi đóưấ(m ) đúng với mọi m e Zp.

b Phương ph áp chứng minh quy nạp

Theo tiên đề quy nạp, đê chứng minh rằng một hàm mệnh đề

• Với giả thiết ,ĩ/(m ) đúng với m = k (giả thiết quy nạp) ta

bất kỳ, k > p)

Đặc biệt, để chứng minh rằng hàm m ệnh đề .tíỉ(n) đúng với mọi

số tự nhiên n = 1, 2, 3 , ta cần chỉ ra hai điều:

TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHẢ KINH TỂ

• Với giả thiết í-/(n) đúng khi n = k (giả thiết quy nap) ta

chứng minh y/(n) cũng đúng khi n = k + 1 (k là một số tự nhiên bất kỳ)

Ví dụ I : Chứng m inh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có;

Giải: Với n = 1, đẳng Ihức (4.4) đúng (cả hai vế cùng bằng — ),

Giả sử đẳng thức (4.4) đúng khi n = k, tức là:

1.3.5 3.5.7 (2k - l)(2k + l)(2k + 3) “ 2(2k + l)(2k + 3) ■Khi đó ta có:

Như vậy, đảng thức (4.4) cũng đúng khi n = k + 1 Theo tiên đé

2” > ( n + l ) - (4.5)

Giả sử bất đẳng thức (4.5) đúng với n = k > 6, tức là:

2' > ( k +Khi đó (4.5) cũng đúng với n = k + 1:

2*^"' = 2 \2 > 2(k +1)“ = (k + 2) H k ' - 2 > (k + 2 ỷ

Vậy, bất đẳng thức (2.5) đúng với mọi số tự nhiên n > 6

rằng với mọi số nguyên m > 0, là số chia hết cho 64

Gidi: Với m = 0, ta có Uq = - 64 là số chia hết cho 64.

Từ đáy suy ra rằng, nếu chia hết cho 64 thì ^ 1 cũng chia

hết cho 64 Theo tiên đề quy nạp, điều này chứng tỏ chia hếtcho 64 với mọi số nguyên m > 0