Giáo trình toán cao cấp cho các nhà kinh tế phần 1 lê đình thúy

LÊ ĐINH THUÝ TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TÊ PHẦN I: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH NHẨ xuất đại học kinh tế quốc dân C h iíơ n g í TẬP HỢP, QUAN HỆ VÀ LOGĨC SUY LUẬN § i TẬP HỢP I CÁC KHÁI NIỆM C BẢN a Tập hợp phần tử Tập hợp mộ^ khái niệm nguyên thuỷ cùa toán học Ta nói đến tập hợp khác tập hợp ưong khu \Tjrờn, tập hợp học sinh mỏt lớp học, tập hợp tất số thực, tập hợp lất số hữu tỷ, Các đối iượng hợp thành tâp hợp gọi ịà phân iủ tập hợp Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp chữ in hoa A, B, c, ký hiệu phần tử chữ in thường a, b, c, Để nói a phần tử tập hợp A ta dùng ký hiệu: a e A (đọc ỉà: “ứ thuộc A”) Ngược lại, a phần tử cùa tập hợp A ta viết; a g A (đọc là; “ơ không thuộc y4”)Để xác định tâp hợp định đật tên X, ta sử dụng hai phương pháp sau đây; Liệt kê tất phần tử tập hợp: x = { a , b , c , } Mô tả tính chất đặc trưng pỉiần tử tập hợp Theo phương pháp này, muôn xác định tập hợp X ta nói: X tập hợp phần tử X có tính chất T, dùng ký hiệu: x = {x:T} Chẳng hạn, cách diễn đạt sau »ó nghĩa nhau: ỲHiiu TruờngỌại iiiiH Hìii-ii^ỉịỉỉiiinriiỉnịííịĩírịiiilílÌỊỈS họcĩcinh ^QuỔCílân _~^OẦN CAO CẤP CHQ NHÀ KÍNH TẾ » x = (1,3, 5, 7, yj • X Iri tập hơp sô ntuyi;n dưcmg lẻ inội chữ số • X == {x; X lfì số nguyên dương lẻ chữ số ® X = {x; X = 2n - 1, với n số nguyên dương nhỏ Ị niương pháp thứ hai sử dụng ta chưa biết có tồn tai hay kliòng phần tử có tính chất T Chẳng hạn, ía nói tập hợp nghiệm m ột phưcnig trình chưa giải phương trình đó- Có thể xảy trường hợp môt tập hợp mà ta nói đến khóng có phần tử Ta gọị tập hợp phần tử lập hợp trống hay tập hợp rống dùng ký hiệu để tập hợp Để khẳng định tập hợp X phần tử la viết: X = Ngược lại, để khẳng định tập hợp X có phần tử ta viết; Chú ý: Trong sách tài liệu khác liên quan đến toán học từ "tập hợp" nhiều gọi tắt tập, chẳng hạn, tập A, tập B, tập trống b K hái niệm tập đẳng thức tập hợp Một tập hợp B gọi tập hợp con, hay tập con, tập A phần tử B phần tử A Trong trường hợp ta dùng ký hiệu: B e A (đọc là: “5 chứa y4”), A B (đọc là: “/4 bao hàm B") Nói cách đcm giản, tập hợp tập hợp A tập họfp phận phần tử, tất phần tử, tập hợp A Nếu B c A đồng thời A c; B ta nói tập hợp B tập hợp A viết B = A Như vậy, dẳng thức tập hợp B = A có nghĩa phần tử B phần tử A ngược lại, phần tử A phần tử B Nếu tập hợp B không tập hợp A ta viết B A Tập hợp B gọi tập thiỊc Trường £)ạl bọc Kính tế Quốc dân Chuơmg 1: Tập họp, Quan hệ vồ Logic suy ỉuận M ÌÊ i» t m đ Ê f m » đ ,m a it ia a » ,» iÊ ÌÊ Ìa ià a iiit ÌÉ Ìầ ^ Ê Ìt » ^ m a * ,iim ,i^ ^ « Í T I I — «JI r iu iTi ii É É Ì i r i r r i m ^ M i r r r n m i r i f t ' i i i t T r t i i > * M r ' vụ'của tập h(/p A B c: A nhimg B A A Chẳng han, tập hợp dân cư thành phố Hà Nội lập thực tập hợp dân cư cửa nước Việt Nam c Biểu đ ổ Ven Để dẽ hình dung íập hợp rnối liên hệ tập hợp, người ta dùng tập hợp điểm mặt phẳng để minh hoạ Tnông thường ta xét tập ỉiơp phần tử tập hợp bao trùm, gọi không gian hay vũ ĩrụ Tập không gian mô tả tập hợp điểm hình chữ nhật Mỗi tập hợp không gian minh hoạ mộí tập hợp điểm giới hạn bcd đường khép kín bên hình chữ nhật Cách minh hoạ ước lệ gọi biểu đồ Ven Chẳng hạn, biểu đồ Ven hình mô tả hai tập hợp A B, B tập A .Hình 1; B tập A II CÁC P H É P TO Á N TẬ P H Ợ P a Phép hợp ph ép giao Đ ịnh nghĩa: Hợp hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử hai tập hợp Giao hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử hai tập hợp A B Hợp hai tập hợp A B ký hiệu A uB : Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân TOÁN GAO CẤP CHO CẤC NHẨ K!NH TỂ- A u B = jx: x e A x e B Giao hai táp hợp A B ký hiệu A nB: A n B = {x ; x e A x e B Ví dụ: Q io haị lập họp số A = { , , , Ị , B = {0.2, 4, , } Tlieo định nghĩa; A u B - {0, 1,2, ,4 , 5, , |, A n B = {2,4 Hình 2a 2b biểu đồ Ven phép hợp phép giao tập hợp Hình 2a; AuB Hình 2b; AnB h Các tính chất Phép hợp phép giao tập hợp thoả mãn tính chất sau đây; Tính chất giao hoán: A uB = BuA ; A n B -B n A 1) Tính chất kết hợp: A u (B u C) = (A u B) u c , ( 1.2) A n (B n C) = (A n B) n c (1.3) Tính chất phân phối: 10 A r,(B u C ) = (A n B )u (A o C ), (1.4) A u (B n C) = (A u B) n (A u C) (1.5) Trưòng Đại học Kinh tế Quốc dân Chương 1: Tệp họp, Quan■tL'Vhệ Logic suy ĩuận 't*niirBấ^jiu^ffgeaw>aeMei.jefct>^a>ai*gàftgáỂ»iÉB*e^ Chửng mirứv Để chứng minh đẳng tiiức tập họp, ta cẩn ja phần lử rảíi tập hcfp vế trá- đcu phần tử tập hợp vế phải ngươc !ại, mỗt phần iử lập hơp vế ph?i phần tử tập hợp vê' trái Chẳne hạn, đẳng thức (1.5) chirng minh sau: Gọi X phần tử bất kv íâp hợp A u ( B n C ) Tneo định nghĩa pỉiép hợp, điều có nghĩa x e A x e B n C Nếu x e A x e A u B x € A u C , x e ( A u B ) n ( A u C ) Nếu x e B n C x e B x e C , suy x e A u B x e A u C , ta có x e ( A u B ) n ( A u C ) Ngược lại, gọi X phần tử ( A u B ) n ( A u C ) , ta có: x g A u B x e A u C Nếu x g A x e A u ( B n C) Nếu x ể A x €B (do x e A u B ) x e C (do x e A u C ), x e B n C , suy x e A u ( B n C ) Việc chứng minh đẳng thức lại dành cho bạn đọc c P hép trừ tập hợp phần bù m ột tập hợp Đ ịnh nghĩa: Hiệu tập hỢỊ:) A tập hợp B tập hợp tất phần tử tập hợp A không thuộc tập hợp B Hiệu tập hợp A tập hợp B ký hiệu A \ B: A \B = (x : x e A v x ế B Hình biểu đồ Ven hiêu A \ B Hình 3; A \B Trường Đại học Kinh tê Quốc dân 11 TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHẢ KÍNH TỂ Ví dụ: {1,2, ,4 ,5 } \ { , 2, 4, ,3 ,5 } , ịO, 2, 4, , } \ í 1,2, 3, 4, , , ) Khi tất tập hợp dược xét đêu !à tập mộl lập hcTD s (gọi không gian S), người ta thường nói đến phần bù tập hợp X c s Đ ịnh nghĩa: Phần hù cùa tập hợp X không gian s tập hợp tất phần tử không gian không thuộc tập hợp X Phần bù tập hợp X ký hiệu X Theo định nghĩa, ta có: X =s\x V í dụ: Trong tập hợp tất số thực, tập hợp tất số vô tỷ phần bù tập hợp tất số hữu tỷ Định lý sau gọi nguyên lý đối ngẫu: Đ ịnh iý: Phần bù hợp tập hợp giao phần bù chúng: A u B = à rìB ; (1.6) Phần bù giao tập hợp hợp phần bù chúng: A nB = à uB (1.7) Chứng minh: Ta chứng minh đẳng thức (1.6), đẳng thức (1.7) chứng minh tương tự Chú ý tất cảc phần lủ nhắc đến d rới phần tử không gian s Gọi X phần tử A u B , ta có; 12 Trưdng Đại học Kinh tế Quốc dân Chương 1: Tệp hợp, Quan hệ Logic suy luận X Ể A''^B -4> XỂ A XỂ B X6 A X6 B => X € A n B N^ược lại, gọi X phần lử A B , ta có: x e A v x e B = :> xííA vàx Ể B = > x A u B = > x e A u B BÀI TẬP Hãy cho biết tập hợp A có phải tâp tập hợp B hay không? a) A = i2, l , , -3, 12, 15}, B = [l; 16] b) A = {xe K : = 3x - 2}, B = [-3; c) A = [2; + oo), B = {xe K ; 2x* - 3x + > 0} d) A = {(x, y): X e K, y e R , (x - 1)^ + y" < } , B = I (x, y): x e K , y € R x’ + < 16 Hãy cho biết A d B: a) A = [a; b], B = [c; d] b) A = [a; b], B = (c; d) c) A = [a; b], B = {X R : - 4x+ > 0} Hãy xác định Ao'B, A n B , A \ B, B \ A: a) A = { ,3 ,5 ,7 ,9 ; B = (1, 2, 3, 4, 5, , 7, , 9} b) A = (-c»;5]; B = (3; ) c) A = [-2 ;5 j; B = ( l;9 ) Chứng minh rằng, với A B hai tập hợp bất kỳ, ta cỗ a) ( A \ B ) u ( B \ A ) = ( A u B ) \ ( A n B ) b) ( A ^ B ) \ [ ( A \ B ) u ( B \ A ) l = A n B , c ) A e B A n B = A TrirònSilỌại học Kính tế Quốc đâin ia TOÁN CAO CẨP CHO CẤC NHẢ KINH TẾ lirii1■iwti,i»‘iá[...]... ịiiỊỉÌíÌiÌiÌiì:: d ỈB 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Triấởnợ Đại học Kinh tế Quốc dân Chương 1: Tập ỉi^ ^ ữ u a n hẹ vâ:]íỉogỉợWuyĩỉuạn d G iá tri ỉogic của các mệnh đẻ phức hợp Xuất phát từ các mệnh đề dơn giản ta có thổ lập các mệnh đề mới bằng phép phủ định và các phép licn kết mệnh dề: phép hội, phép tuyển, phép kéo theo Từ những inẹnh đề mới đó ta lại có ihể tiếp tục lập các mệnh đề mới V V Căn cứ vào các bảng giá... [ - 1; 1] , với f(x) = sinx; Tl 2 7t ’ 2 ^ [ - 1; 1] , với f(x) = sinx TOẢN CAO CẤP CHO CẤC NHẨKINHTẾ 10 , Gọi f là ánh xạ đật tương ứng mỗi điểm của mật phẳng toạ độ với hình chiếu của nó ưên trục hồnh, X| là đoạn thẳng nối hai điểm M |( l, 1) , N|(2, 1) , là đoạn thẳng nối hai điểm M 2 (1, 2), N 2(2 , 2) Hãy chứng minh; f(Xi 0 X2 ) f (Xi ) n f ( X 2 ) §4 ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC SUY LUẬN L M ỆNH ĐỂ V À CÁC... c,ìả trị logic của các mệnh đề phức tạp hơn Để làm ví dụ ta xét mệnh đề ( 5 / =5>ífì)ỉ\{íỉì => ,ĩđ) Theo giá trị logic của các mệnh đề 3) ta xác định được giá trị logic của hai mệnh đề {.đ => Ổ5), (-35 => ,ĩĩ), từ đó suy ra giá trị ĨS =í> -O Bảng giá trị logic của logic của mệnh đề (.r/ => mệnh đề này như sau: ■ s í= > ữ ỉ tÍ ( , r / = > ,3(?)a ( 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 = > - r í) Mệnh... ề tỉí /\ ẩS tuỳ theo giá trị logic của các- mệnh để ẩS' .V m /\ăS 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 '/V 5V Trường Đại học • tế Quốc dân 31 to Aní CAO CẨP CHỢCẨCNHA kinhtế Phép tuyển là phép liên kết các mệnh đề ^ thành mệnh đề " t í / hoặc SB Mệnh đề '\ é hoặc ổ? " được ký hiệu là V ốổ • Mệnh đ ề \/ ^ sai khi và chỉ khi cả hai mệnh đ ề iđ, dS đểu sai và đúng trong tất cả các trường hợp còn lại Bảng sau đây biểu... của các mộnh đề jế, để: 4 • Phép mệnh đề hiệu là 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 kéo theo là phép liên kết các mệnh đề ẩS thành '\ đ kéo theo ổẩ Mệnh đề kéo theo " được ký => ổẩ M ệnh đ ề =í> Ổ5 sai khi và chỉ khi đúng, nhưng ^ sai, và đúng trong tất cả các trường hợp còn lại Khi sai thì ^ ỔB ln đúng, bất kể ỔB đúng hay sai Bảng sau đây biểu diễn giá trị logic của mệnh âề âS tuỳ theo giá trị logic của các. .. dụ: • Ánh xạ f: R [ -1; 1] đặt tương ứng mỗi sơ' XG M với số y = cosx e [ - l ; 1] là một tồn ánh, nhưng khơng phải là đơn ánh • Ánh xạ f; [0; 71 ] 1 > R đật tương ứng mỗi số x e[0 ; 7Ĩ ] với số y = cosx G R là một đơn ánh, nhưng khơng phải là tồn ánh • Ánh xạ f: [0; 7ĩ ] t-> [ -1; 1] đặt tương ứng mỗi số x e [0 ; 7t ] với số y = cosx e f - l ; 1] là một song ánh Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 27 T c... xạ f là tập hợp ảnh của tất cả các phần tử XG A Ảnh của tập hợp A được ký hiệu là f(A): f(A) = iy e Y ; Tồn tại x e A sao cho y = f(x)Ị V i dụ: Cho ánh xạ f; R 1- ^ [0, + 00) đặt tương ứng mỗi số x e R với số y = x ^6 [0; + 00) Ta có: 3]) = [0; 9], f([l; 2]) = [1; 4], f([-2, -1 ]) = [1; 4J Đ ịnh nghĩa: N ghịch ảnh của một tập hợp B d Y qua ánh xạ f là tập hợp tất cả các phần tử của tập X có ảnh thuộc... luận giải là các phần tử của ìnột tập hợp nào đó Chẳng hạn, khi ta nói "hai tam giác vng bằng nhau nếu chúng có cạnh huyền và một góc Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 33 ' tqAn cao cấp cho cấc nhà K!NH 1 i ^ i i ^ ' i r w ^ M l ^ r i i ẩ i i f t 'M ì É i ẩ ì i n ì f i ì i [ Iiir iìiiiiiir tr r ' ^ ií i ấíi iif i i r ÌTnÌÉ~nii «i ’ n r i- in 4 i— nhọn bằiig nhau" thì đối tương được nói đến ỉà các pỉián... được cách thức suy luận để chứng minh một mệnh đề là đúng Trong logic tốn học chúng ta chỉ xét các mệnh đề mà về ngun tắc có thể quy vào một và chỉ một ưong hai phạm trù: mộnh đề đúng hoặc mệnh đề sai Ta gọi các mệnh đề như vậy là mệnh đê logic Đúng và sai được gọi là các giá trị chân lý, hay £Ìá trị logic của các mệnh đề Trong logic tốn học người ta dùng các con số 1 và 0 để chỉ các giá trị logic; 1. .. thời bị chặn trên và bị chặn dưới, tức ìà tồn tại các số thục a vàb sao cho YỚi mọi x g X ta ln có; a < X < b Nói cách khác, láp hợp X được gọi là bị chận nếu tổn tại doạii [a; b] sao cho X c [a; b V í dụ: Các khoảng hữu han ỉà các tập bị chặn Cic khoảng (a; + co), )3; +CO) ià các tâp bị chặn dưới, nhmig khơng bị chận trên Các khoản? {-oo; b), (~co; b] là các lập bị chặn trên, nhimg khơng bị chặn dưới ... Đạỉ học Kinh tếQuếtĩ dân ( 1. 1) 47, TOẢN CAO GẨP CH^O CÁC NHÀ KINH TẾ Ejj bj số cho trước: số gọi ỉiệ s ố ẩn Xj phương trình thứ i bj gọi sơ' hạng tự phương trình thứ i (i = 1, , m; j = 1, , ,... x^; n Jt 2 ' > M, với f(x) = sinx; d) f: M —> [ - 1; 1] , với f(x) = sinx; Tl 7t ’ ^ [ - 1; 1] , với f(x) = sinx TOẢN CAO CẤP CHO CẤC NHẨKINHTẾ 10 , Gọi f ánh xạ đật tương ứng điểm mật phẳng toạ... hiêu A B Hình 3; A B Trường Đại học Kinh tê Quốc dân 11 TỐN CAO CẤP CHO CÁC NHẢ KÍNH TỂ Ví dụ: {1, 2, ,4 ,5 } { , 2, 4, ,3 ,5 } , ịO, 2, 4, , } í 1, 2, 3, 4, , , ) Khi tất tập hợp dược xét