Giáo trình toán cao cấp cho các nhà kinh tế phần 2 lê đình thúy

Chương 3: Ma irận ơịnh thúb Ch TRẬN V À Đ Ị? §1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TỐN TUYẾN TÍNH ĐỐ! VỚỈ MA TRẬN I CÁC KHÁI NĨÊM C BẢN VỂ MA TR Ậ N a K h c i n iệm m a trận Trong chưcng nói đến khái niệm ma trận hệ số ma trận mớ rộng hệ phưiíng trình tuyến tmh Các bảng số cho biết tồn thơng tin giúp ta tìm ẩn số Trong nhiều lĩnh vục khác, chẳng hạn cơng tác thống kê cơng tác kế tốn, người ta thường trình bày liệu dạng bảng số, số liệu xếp theo dịng theo cột Trong toán học ta gọi bảng số ma Irận Định nghĩa: Ma trận bảng sơ' xếp theo dịng theo cột Một ma trận có in dịng n cột gọi ma trận cấp m x n Khi cho ma trận ta viết bảng số bên dấu ngoặc trịn dấu nơoặc vng Ma trận cấp mxn có dạng tổng quát sau: cl ị -) ^ 21 32n a miì í '" ^12 - a / ml • • • Ta dùng C £ C chữ in hoa: A, B, c, để đặt tên ma trận Để gán tên cho ma trận A ta viết: Trưdhg Đại học Kinh tế Quốc dân TOẢNCAO CẨP CHO CẤC NHẢKINHTỂ A= ^21 aj a In ^22 a a mí a mn ( 1) Các số ma trận gọi phần tử dạng tổng quát ( 1) phần tử nằm dòng i cột j ký hiệu a j j Để mơ tả vắn tắt, ta dùng ký hiệu A= ( 1.2 ) mxn để nói A ma trận cấp mxn mà phần tử nằm dòng i cột j ký hiệu a-ị Cách viết ( 1.2) tương đương với cách viết ( 1) dùng nói đến ma trận tổng quát Khi cấp ma trận phần tử xác định số, ta thường sử dụng cách viết dạng ( 1) Ví dụ : A = -4 -1 11 ma trận cấp 2x3 Đối chiếu với ký hiệu tổng quát phần tử A là: aji = 5, a ,2 = 3, 3)3 = -1 , 321 = ^22 ‘23 = b Đ ẳng thức ma trận Định nghĩa: Hai ma trận coi nhơu chúng cấp phần tử vị trí tương ứng chúng đơi Để nói hai ma trận A B ta viết A = B Chú ý khái niệm ma trận áp dụng cho ma trận cấp Trong tập hợp ma trận cấp mxn, đẳng thức ma trận tương đưomg với hệ m.n đẳng thức số: 106 Trưởng Đại học Kinh tế Quốc dàn Chuơng 3: Ma trận ơịnh thức , ^ m Nn u m>n c M a trận không ma trận đôi M a trận không ma trận có tất phần tử Trong tập hợp tất ma trận cấp mxn (m, n cố định) có ma trận khơng ký hiệu , o (nếu cấp ma trận xác định trước); = mxn = 0 0 0 0 Ma trận đối ma trận A ma trận cấp mà phần tử số đối phần tử tương ứng ma trận A Ma trận đối ma trận A ký hiệu -A V í dụ: Ma trận đối ma trận A= 53 - í -4 11 -5 -3 -11 0 ma trận; -A = d Hệ vectơ dòng hệ vectơ cột ma trận Lý thuyết ma trận lý thuyết khơng gian vectơ có liên hệ chặt chẽ với Để làm rõ mối quan hệ này, ta xét ma trận cấp mxn bất kỳ: Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 10^ TOÁN CAO CẮP CHO CÁC NHẢ KINHTỂ In A ^21 ^22 L^mi ^m2 Ta xem dòng ma trận A vectơ n chiéu cột vectơ m chiều ĩsTiư vậy, ma irận cấp mxn cho tương ứng hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiều hệ vectơ cột gồm n vectơ m chiều Khi sử dụng thuật ngữ hai dịng (cột) nhau, tổng dịng (cột), tích đòng (cột) với số, dòng (cột) phụ thuộc tuyến tính v.v ta hiểu thuật ngữ nói vectơ Ngược lại, ta xem xét tính chất hệ veclơ thơng qua ma trận có hệ vectơ dịng (cột) hệ vectơ Trong sách ta dùng ký hiệu A** để dòng thứ i ma trận Avà ký hiệu Aj để cột thứ j n CÁC DẠNG MA TRẬN a M a trận vng Ma trận vng ma trận có số dịng số cột Một ma trận có số dòng số cột n gọi n a trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát sau: A 106 ^11 ^12 a In ^21 ^22 a 2n a nỉ n2 a n n Trường Dại học Kinh tế Quốc dân ãỂB Chirơnq 3: Ma trận định thức Trong ma tiận vng A đườp.g chéo thứ nối góc bén trái với góc bên phái gọỊ đìừmg chéo chính, đường chéo thứ hai gọi ỉà đường cììéo phụ Vị trí phần từ ÍI;; so với đường chéo xác định theo số i, j sau: • a,j thuộc đường chéo i = j; • Hjj nằm phía đường chéo i < j; • ãịị nằm phía đường chéo i > j b M a trận tam giác M a trận tam giác ma trận vng có phần tử nằm phía đường chéo Có hai loại ma trận tam giác: j2 Ma ưận tam giác trên: Via trận tam giác dưổri: ••• ^22 (Hịị = i > j); ••• ^21 3.-j2 »nl ^n2 (âịị = i < j) c M a trậ n đ n g ch é o m a trậ n n vị M a trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử nằm đưcmg chéo chửih Ma trận đường chéo cấp n có dạng: Trường Đại học Kính tế Quốc dân ĨOẢN CAO CẤP CHO CẤC NHÀKINHTỂ a II 0 a (a,j = i a j) n n Trường hợp đặc biệt, ap, = aj = = a^, ma trận đường chéo gọi ma trận võ hướng Ma trận đưịfng chéo có tất phần tử thuộc đường chéo chúih gọi mơ trận đơn vị Mỗi cấp ma trận vuông có ma trận đơn vị ký hiệu chữ E: E= 0 0 Gọi Cy phần tử thuộc dòng i cột j ma trận đơn vị E, ta co: d M a trận dòng ma trận cột Ma ữận có dịng (ma trận cấp Ixn) gọi ma trận dòng Tương tự, ma trận có cột (ma trận cấp m x l) gọi ma trận cột Ta xem ma trận dịng ma trận cột vectơ Tuy nhiên bạn cần lưu ý xét giác độ ma trận 110 Trưcmg Đạii học Kỉnh tế Qưốc dân lli i i i l l ^ • tiịlỊinịiỊiịillilịlịlịiliHE Chíẩững 3: Ma trận đỊnh thức ??!! HỉHiH-S: a a a hai ma trận khác (do chúng không cấp), danh nghĩa vectơ dó hai dạng viết (dạng dòng dạng cốt) vectơ III CÁ C P H É P TỐN TU Y ẾN TÍN H Thuật ngữ "phép tốn tuyến tính" dùng để phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số §4 nói đến phép toán khác phép nhân ma trận với ma trận a Phép cộng ma trận phép nhán ma trận với s ố Cho hai ma trận cìmg cấp mxn: A= a m Xn , B = b7 mxn Đ ịnh nghĩa: Tổng hai ma trận A B ma trận cấp mxn, ký hiệu A + B xác định sau: A+B= mxn Tích ma trận A với số a ma trận cấp mxn, ký hiêu a A đươc xác đứứi sau: a A = aa.^ iTixn Chú ý phép cộng ma trận áp dụng cho ma trận cấp (có số dịng số cột nhau) Trong tập hợp ma 'i;'"''', , ' ' ' ị ÌlÌỉÌlHlÌilllliBÌll-Ìỉ: Trưịng Đạỉ học Kinh tế Quốc dân 111 TOẤNCAO CẤP CHO CẤC NHÀKINHTẾ trận cấp, phép cộng ina trận phép nhân ma trận với số định nghĩa hồn tồn tương tự phép cơng vectơ phép nhân vectơ với số: • Cộng hai ma trận cấp cố nghĩa cộng phán lử vị trí tương ứng với nhau; • Nhân ma trận với m ột sơ' a có nghĩa nhản phẩn íử ma trận với a V í dụ Ị : Cho A= "3 - - 2’ "9 7, B = - 12 ' -4 Theo định nghĩa ta có: Tít A+B= 17 -4 - 2' -5 -3 ,7 5A = "15 20 - 10' 25 -3 V í dụ 2: Theo định nghĩa ma trận khơng ma trận đối, với A ma trận bất kỳ, ta ln có: 0A = O, - A = (-1)A b Các tính chất ph ép tốn tuyến tính Do phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số định nghĩa hoàn toàn tưcfng tự phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số nên tứih chất lặp lại hoàn toàn tưomg tự Gọi A, B, c ma trận cấp mxn (m, n cố đừih), a số bất kỳ, ta ln có: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + = A 112 Trưởng Đạl học Kính íế Quốc đân Ì HỊ : ( Ệ ÌJ ^ y : i ^ trận định thứo A + ( ~ A ) - 1A = A a(A -f B) = u A + (xB (a + P)A = a A + [5A, (ap)A = a(pA ) c Phép trừ ma trận Trong tập hợp ma trận cấp phép trừ định nghĩa tưcmg tự phép trừ vectơ Hiệu ma trận A ma trận B xác định thông qua phép cộng sau: A - B = A + (-B) Với A = a mvn 7, B = b- ta có nì n A - B = Ịa,j - b , j mxn tức phần tử A —B hiệu phần tử tương ứng A B Tương tự vectơ, ta chứng minh hệ thức sau; (A - B) + B = A; a(A - B) = a A - aB; (a - P)A = a A - pB 's IV CÁC P P E P BIẾN ĐỔI MA TRẬN a Các phép b íế ’^ đỏi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau ma trận gọi phép biến dổi sơ cấp: ! Đổi chỗ hai dòng (cột); Trư&ng Đại hợc Kinh tế Quốc dân 113 TOÁN CAOCẤP CHO CÁC NHÀ KINHĩế ■tn>aiÉBÌáitawAagaiếii'^ Nìiân dịng (cột) với niột số khác ; i Cộng vào mơt dịng (cột) tích dịng (cột) khác với sế k + 1; Ầ = - l ; e) {{X ) = Ằ' - 3Ầ - 2; Ằ, = -2, X2 = 1; f) Ỉ{Ằ) = Ằ* - 4X^ + 16X - 16; Ầ, = -2 , >^ = 2; 13 Mệnh để tổng quát: Nếu Xo giá trị riêng ma trận vng A giá trị riêng ma ừận A" 15 a) Xác định dương d) Không xác định b) Xác định âm c) Xác định dưcmg; e) Không xác định g) Xác định dương Tài íĩệu tham khảo iÌịịíịịịịỊịỊỊỊịịỊịiịỊÌịỊỊỊỊỊịi ÉMÌÌdllllÌMịÌiãMM TÀI LIỆU THAM KHẢO m 1] Alpha c ơiiang: Pundamental M ethods o f M athematical Economics, Thừd Edition, McGraw-Hill, Inc 2] Michael Hoy, John Chris McKenna, Ray Rees, Thanasis Stengos: Mathematỉcs fo r Economics, Addison-Wesley I^iblishers Limitted,1996 3] Eugene Silberberg: The Structure o f Economics, Part A: Mathematical Analysis McGraw-Hill, Inc 1978 [4] Allen, R G D; Mathematical Analysis fo r Economists MacMillan & Co, Ltd, London, 1938 [5] Edward T Dowling: Introduction to Mathematical Economics, 2/ed Schaum’s Outline Series McGraw-Hill, Inc 6] Mike Rosser: Basic M athematics fo r Economists, London and New York, 1995 7] James M Henderson and Richard E Quandt: Microeconomic Tỉieory, A M athematical Approach McGrawHill Company 3/ed, 1986 [8] Robert H Frank: M icroeconomics and Behavior, McGrawHill, Lnc, 1991 9] N Gregory Malkin and William Scaith: Macroeconomics, Canadian Edition, Worth Publishers, 1995 10] A A r/iaro/ieB, Ti.B Co/iHijeBa: Kypc Bbicmí MareaTMKM, ]/Í3 A ã T e A h C T h "Bbicinaa IUKO/Ia", MocKBa -1971 nÉÉ 11] A.r Kypom: Kvpc BHCuỉí Aưireổpbi, M34are/i3C7BO "HayKa", McctCBa - 1975 [12] A lí Ma/ibueB: OcHOBbi ylMHiHOM Avirẽpbi, M3AaTe^bCTBO "HavKa", MocKBa -1970 K a/VT,aeeB II M c CoMMHCKMii: CõopHiiK 3a4aq nc Bbicmeií Avireốpe, M34aTeýibCTBO "HayKa", MocKBa - 1970 [13] [14] M B ripocKypHKOB: CõopHMK no ỳlMHíHoií A^rẽpe, IđsAaxeyibCTBO "HayKa", MocKBa - 1978 [15] Carl p Simon and Lawrence Blume: Mathematics for Economists, w w Norton & Company, Inc 1994 m m m m m ế Mục ĩục M n a M ÌÌM M M M rM k M M B H M MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẤU Chương TẬP HỢP, QUAN HỆ VÀ LOGIC SUY LUẬN §1 Tập hợp i Các khái niệm II Các phép toán tập hợp Bài tập 13 §2 Hệ thống sơ thực I Số thực 14 14 II Biểu diễn hình học số thực 16 III Các khoảng số thực 18 iV Tập hợp bị chăn 20 §3 Quan hệ I Tích Des Cartes 22 22 II Quan hệ 23 III Ánh xạ 25 Bài rập 28 §4 Đại cương !ogic suy luận 30 I Mệnh đề pbép liênkết mệnh đề 30 II Hàm mệnh đề 33 III Logic suy luận Điều kiện cần điềukiện đủ 37 IV Logic chứng minh mệnh đề 40 V Phương pháp chứng minh quy nạp 43 Bài tập 45 Trưdng |l học Kinh tế Quốc dân " 303 TOẢN CAO CẤP CHO CÁC NHÀKINHTẾ Chương KHÔNG GIAN VECTƠ s ố HỌC n CHlỂU § i , Cár khái niệm hệ phương trình tuyến tính phưoTig pháp khử ẩn liên tiếp 47 47 I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 47 II Hệ tam giác hệ hình thang 50 III Phương pháp khử ẩn liên tiếp 54 IV Hệ phương trình tuyến tính 61 Bài tập 63 §2 Vectơ n chiểu không gian vectơ I Khái niệm vectơ n chiều II Các phép tốn vectơ III Khơng gian vectơ số học n chiều Khái niệm không gian IV Tích vơ hướng hai vectơ Khái niệm khơng gian Euclide Bài tập §3 Các mối liên hệ tuyến tính khônggian vectơ I II 65 65 66 69 71 74 75 Khái niệm tổ hợp tuyến tính phép biểu diễn tuyến tính 75 Sự phụ thuộc tuyến tính 80 III Các cnnh lý phụ thuộc tuyến tính Bài tập §4 Cơ sở khịng gian vectơ 84 88 89 I Khái niệm sở không gian vectơ 89 II Toạ độ vectơ sỏ 92 III Cơ sở không gian 93 Dài lập 95 §5 Hạng hệ vectơ I Khái niệm sở hạng hệ vectơ IIIIIIIIIIIIBIB ■ i-iÌ - riiiÌ tiiS ÌiiiÌ iiiỊ iiíịíÌ l- iiỉÌ íÌ íịiÌÌ I ilí- iịírlÌ n :;:^ ^ 96 96 « M a fi5 a U M S B B a e H a 's I! Cac đinn lý vế hang ilL Cac phép biến đổi không lám thay đổi hạng Bài tập 98 100 102 Chươiĩg MA TRẬN VÀ ĐINH THỨC §1 Ma írân cac pliép tốn íuven tínhđối với ma trận 105 105 I, Các khái niệm ma trận 105 j!, Cac dạng ma trân 108 íl!, Các phép tốn tuyến tính 111 IV Các phép biến đổi ma trận 113 Bài tập 115 §2 Định thức 116 I Hoán vị n số tự nhiên đầu 116 li Dịnh nghĩa định thức cấp n 119 llí Minh hoạ định nghĩa: Tính định thức cấp 122 IV, Các tinh Chat định thức 124 Sà/ tập 133 §3 Các phương pháp tính địnhthưc 137 I Phương pháp khai triển 137 II Phương pháp biến đổi dạng tam giác 141 Bài tập 145 §4 Phép nhân ma trận ma trận nghịch đảo 148 ỉ Phép nhân ma trận với ma trận 148 II Ma trận nghịch đảo 152 IIL ứng dụng ma trận nghịch đảo 162 ỈV Tìm ma trân nghich đảo phươnq pháp biến đổi ma trặn Bài tập 167 §5 Hạng ma trận 165 Khái niệm hạng ma trận Trưdng Đại học Kinh te Qụòc dằn 173 173 305 TOẤNCAOCẤP CHO CAC NHẢKINHTỂ li Liên hệ hạng ma trận định thức 174 III Hạng tổng tích ma trận 179 IV Các phương pháp tìm hang ma trận 181 V Khảo sát hệ vectơ 187 Bài tập 189 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH §1 Phương pháp ma trận định thức 195 195 I Hệ phương trinh Cram er 195 fl Phương pháp ma trận 196 III Quy tắc Cram er 197 Bài tập 200 §2 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt I, Các dạng biểu diễn 201 201 II Điểu kiện có nghiệm 203 íll Khảo sát tổng qt hệ phương trìnhtuyến tính 204 Bài tập 211 §3 Hệ phương trình tuyến tính 213 I Điều kiện có nghiệm khơng tầm thường 213 II Cấu trúc íập hợp nghiệm 215 III Hệ nghiệm 216 IV Mối liên hệ với hệ thống 221 Bài tập 223 §4 Một sị mơ hình tuyến tính phân tích kinh tẻ 225 I Mơ hình cân thị trường 225 II Mơ hình cân kinh tế vĩ mơ 229 III Mơ hình IS-LM 231 ÍV Mơ hình Input-Output Leontief 234 240 Bái tập 306 Trường Đại học Kinh tê'Quốc dân Mục Ịục ị lị ; : ! iịi Ị Ị Ị Ị ; 111 Chương DẠNG TỒN PHƯƠNG 243 §1 Các khái nỉêm bán I Dạng toàn phương !l III 243 243 Liên hệ với ma trận 244 Dạng tồn phương tắc 246 Bài tập 246 §2 Các phép biến đổi tuyến tính không gian M“ 247 I Khái niệm biến đổi tuyến tính 247 II Liên hệ với ma trận 249 lli Biến đổi sỏ không gian L^" Bài tập 253 257 §3 Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc I II III 258 Biến đổi dạng tồn phương phép biến đổi tuyến tính 258 Phương pháp biến đổi dạng tồnphương vềdạng tắc 259 Luật qn tính 270 Bài tập 271 §4 Dạng tồn phương xác định I Khái niệm dạng toàn phương xác định liên dạng tấc 272 hệ với 272 il Giá trị riêng ma trận 275 III Nhận diện dạng toàn phương xácđịnh 278 Bài tập 284 TRẢ LỜI BÀI TẬP 287 TÀI LIÊU THAM KHẢO 301 ị (ỊỊ ịyị Ị ịị ị ị , Trtí^ngOạl học KlnÌt tếQuốc dân ] , , 3Ói ... hợp Cho ma trận vng cấp n: Trương Đạỉ học Kinh tấQ uốc dân 153 ĨOÂN CAOCẤP CHO CẤCNHẢ KINHTỂ A= ^11 ^ 12 ^21 ^22 ềếíilàấ •2n •n2 n n Trong §3 bạn đọc làm quen với khái niệm phần bù đại số phần. .. ố thành phần tương ứng với hoán vị tập hợp {1, 2, Hoán vị a „ a J, Số nghịch Thành phần tương ứng ,2 ,3 + ^11 ^22 ^33 “ T| ,3 , + ã? ?2? ?23 ^3l ~ ^2 3, ,2 3, , —313 ^22 ^31 = ~ T4 , 1,3 —ài2ã2iãjỊ =... trận cấp mxn bất kỳ: Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 10^ TOÁN CAO CẮP CHO CÁC NHẢ KINHTỂ In A ^21 ^22 L^mi ^m2 Ta xem dịng ma trận A vectơ n chiéu cột vectơ m chiều ĩsTiư vậy, ma irận cấp mxn cho