Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 4 - ThS. Bùi Quốc Hoàn

Với mục tiêu giúp các bạn có thêm tư liệu phục vụ học tập, Tailieu.vn giới thiệu Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 4: Hàm số nhiều biến với các nội dung kiến thức khái niệm hàm số n biến số; đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm số 2 biến số; đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số n biến số; ứng dụng của đạo hàm trong phân tích kinh tế. Mời các bạn cùng tham khảo!

BÀI HÀM SỐ NHIỀU BIẾN ThS Bùi Quốc Hoàn Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Một doanh nghiệp sử dụng hệ thống máy để sản xuất sản phẩm Các yếu tố đầu vào chia thành hai yếu tố lao động tư Theo thiết kế, ứng với lượng kết hợp lao động tư doanh nghiệp nhận sản lượng sản phẩm tương ứng Mơ hình tốn học mơ tả quan hệ yếu tố nào? Khi yếu tố thay đổi lượng nhỏ (yếu tố lại giữ ngun) ta tìm thay đổi xấp xỉ sản lượng nào? Khi yếu tố sản xuất thay đổi lượng nhỏ ta tìm thay đổi xấp xỉ sản lượng nào? Nếu ta tăng yếu tố sản xuất thay đổi sản lượng nào? v1.0014105206 MỤC TIÊU • Phát biểu khái niệm hàm số n biến số; • Tìm biểu diễn miền xác định đường mức hàm số biến số mặt phẳng; • Tìm đạo hàm riêng hàm số điểm theo định nghĩa; • Tìm đạo hàm riêng cách sử dụng quy tắc tìm đạo hàm; • Lập biểu thức vi phần toàn phần hàm biến số; • Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số biến số; • Tìm phát biểu ý nghĩa giá trị cận biên; • Nêu biểu toán học quy luật lợi ích cận biên giảm dần v1.0014105206 NỘI DUNG Khái niệm hàm số n biến số Đạo hàm riêng vi phân toàn phần hàm số biến số Đạo hàm riêng cấp hàm số n biến số Ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế v1.0014105206 KHÁI NIỆM HÀM SỐ N BIẾN SỐ 1.1 Khái niệm hàm số biến số 1.2 Khái niệm hàm số n biến số 1.3 Một số mơ hình hàm số phân tích kinh tế v1.0014105206 1.1 HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ • Một hàm số f xác định miền D  R2 quy tắc đặt tương ứng điểm M(x;y)  D với số thực w • Ký hiệu: • Tập D gọi miền xác định hàm số f • T = {wR: tồn (x;y)D cho w = f(x;y)} gọi tập giá trị hàm số f • Khi hàm số cho biểu thức f(x; y) không cho trước miền xác định, ta thường đồng f: D  R (x; y)  w  f(x; y) miền xác định hàm số với miền xác định tự nhiên biểu thức: Df = {(x;y)R2: biểu thức f(x;y) có nghĩa} • Với w0  T, tập {(x;y)  miền xác định: f(x;y) = w0} gọi đường mức f v1.0014105206 1.1 HÀM SỐ HAI BIẾN SỐ (tiếp theo) Ví dụ 1: Cho hàm số w  f(x, y)   x  y • Miền xác định tự nhiên: Df = {(x;y)R2: x2 + y2  9} • Giá trị f điểm M(–1;2) là: f(M)  f( 1;2)   ( 1)2  22  • Tập giá trị f [0;3] • Đường mức f đường trịn có phương trình: x2 + y2 = C, với C[0;3] v1.0014105206 1.2 HÀM SỐ n BIẾN SỐ • Một hàm số f xác định miền D  Rn quy tắc đặt tương ứng điểm M(x1, x2, … , xn)  D với số thực w • Ký hiệu: f: • D   R (x1,x , ,x n )  w  f(x1,x , ,x n ) Các khái niệm miền xác định, tập giá trị, tập mức … tương tự hàm số hai biến v1.0014105206 1.3 MỘT SỐ HÀM TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ a) Hàm sản xuất • Hàm sản xuất hàm số biểu diễn phụ thuộc mức sản lượng tiềm (Q) doanh nghiệp vào mức sử dụng yếu tố sản xuất tư (K) lao động (L) • Hàm sản xuất có dạng: Q = f(K, L) • Dạng hàm sản xuất mà nhà kinh tế học hay sử dụng hàm Cobb–Douglas: Q = aK L, , , a số dương • Trong kinh tế học thuật ngữ "đường mức" hàm sản xuất có tên gọi đường đồng lượng v1.0014105206 1.3 MỘT SỐ HÀM TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ (tiếp theo) b) Hàm lợi ích • Các nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hoá cấu tiêu dùng • Hàm lợi ích có dạng tổng qt là: u = u(x1, x2, …, xn) • Trong kinh tế học thuật ngữ “tập mức" hàm lợi ích có tên gọi tập bàng quan v1.0014105206 10 2.3 VI PHÂN TỒN PHẦN CỦA HÀM SỐ BIẾN SỐ • Nếu hàm số w = f(x,y) xác định D  R2 có đạo hàm riêng liên tục điểm (x0;y0)D giá trị: df(x0; y0) = f’x(x0; y0).x + f’y(x0; y0).y với x, y cho trước đủ nhỏ, gọi vi phân toàn phần hàm số f điểm (x0;y0) • Nếu hàm số w = f(x,y) xác định D  R2 có đạo hàm riêng liên tục điểm (x; y)  D biểu thức: df = f’x.dx + f’y.dy gọi biểu thức vi phân toàn phần hàm số f miền D Chú ý: dx = x; dy = y v1.0014105206 18 2.3 VI PHÂN TOÀN PHẦN CỦA HÀM SỐ BIẾN SỐ (tiếp theo) x2 y Ví dụ 5: Tìm vi phân tồn phần hàm số: w  3x  2y điểm M0(1,–1) với x = 0,01; y = –0,02 Giải: Theo công thức vi phân điểm dw(M0 )  w x (M0 ).x  w y (M0 ).y 2x(3x  2y)  3x 3x  4xy      w x  y y w (M ) x (3x  2y)2 (3x  2y)2 w 'y  x 1.(3x  2y)  ( 2)y 3x     x w (M ) y (3x  2y)2 (3x  2y)2 49 0,13 (  0,02)   Như vậy: dw(M )   0,01  49 49 v1.0014105206 19 2.3 VI PHÂN TOÀN PHẦN CỦA HÀM SỐ BIẾN SỐ (tiếp theo) Ví dụ 6: Viết biểu thức vi phân toàn phần hàm số w  x sin(2x  3y) Giải: Ta có: w 'x  2x.sin(2x  3y)  2x cos(2x  3y) w 'y  3x cos(2x  3y) dw  2x.sin(2x  3y)  2x cos(2x  3y)dx  3x cos(2x  3y).dy v1.0014105206 20 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CỦA HÀM SỐ n BIẾN SỐ Đạo hàm riêng cấp hàm số n biến số Đạo hàm riêng hàm số biến số Ma trận Hess v1.0014105206 21 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CỦA HÀM SỐ n BIẾN SỐ • Hàm số w = f(x1, x2, , xn) xác định miền D Rn có đạo hàm riêng miền D • Đạo hàm riêng theo biến xk đạo hàm riêng theo biến xi hàm f gọi đạo hàm riêng cấp hai hàm số f theo biến xi xk • Ký hiệu: w ''x x • Chú ý: i k 2 w 2f hay ; x i x k x i x k  Các đạo hàm riêng cấp không theo biến gọi đạo hàm riêng hỗn hợp  Nếu đạo hàm riêng hỗn hợp tồn liên tục đạo hàm hỗn hợp không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm v1.0014105206 22 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CỦA HÀM SỐ n BIẾN SỐ (tiếp theo) • Ma trận Hess Sắp xếp n2 đạo hàm riêng cấp hai w = f(x1, x2, , xn) vào ma trận vuông cấp n ta ma trận Hess hàm số w  w" x x w" x x  w" x x w" x x H      w" x x w" x x • 1 2 2 n n  w" x x    w" x x       w" x x  n n n n Hàm hai biến w = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp hai sau: v1.0014105206 f ''xx  (f 'x )'x f ''xy  (f ' x )'y f ''yx  (f 'y )'x f ''yy  (f ' y )'y 23 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CỦA HÀM SỐ n BIẾN SỐ (tiếp theo) Ví dụ 7: Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số w = sin(x2 – 3y) Giải: • Trước hết ta tìm đạo hàm riêng cấp 1: w x  2x.cos(x  3y) w y  3.cos(x  3y) • Tiếp tục, tìm đạo hàm riêng để nhận đạo hàm riêng cấp 2: w xx  2cos(x  3y)  4x sin(x  3y) w xy  6x.sin(x  3y) w yx  6x.sin(x  3y) w yy  9.sin(x  3y) • Qua ví dụ ta nhận thấy w”xy = w”yx v1.0014105206 24 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 4.1 Đạo hàm riêng cấp giá trị cận biên 4.2 Đạo hàm riêng cấp quy luật lợi ích cận biên giảm dần v1.0014105206 25 4.1 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP VÀ GIÁ TRỊ CẬN BIÊN • Cho hàm số w = f(x1, x2, ,xn) biểu diễn phụ thuộc biến số kinh tế w vào n biến số kinh tế x1, x2, , xn • Trong kinh tế học đạo hàm riêng w theo biến xi điểm X(x1, x2, , xn) gọi giá trị w – cận biên xi điểm • Ý nghĩa: Tại điểm M0 ( x1 , x ,, x n ) tăng giá trị biến xi thêm đơn vị biến cịn lại khơng thay đổi giá trị giá trị w thay đổi xấp xỉ w x (M0 ) đơn vị: i = 1, 2, , n Ví dụ 8: Xét hàm sản xuất Q = f(K, L) • Giá trị sản phẩm (hiện vật) cận biên tư bản: f’K(K0,L0) = MPK(K0,L0) Ý nghĩa: mức sử dụng kết hợp K0 đơn vị tư L0 đơn vị lao động, ta sử dụng tăng thêm đơn vị tư giữ nguyên mức sử dụng lao động sản lượng tăng thêm xấp xỉ MPK(K0, L0) đơn vị • Giá trị sản phẩm (hiện vật) cận biên lao động: f’L(K0,L0) = MPL(K0,L0) Ý nghĩa: mức sử dụng kết hợp K0 đơn vị tư L0 đơn vị lao động, ta sử dụng tăng thêm đơn vị lao động giữ nguyên mức sử dụng tư sản lượng tăng thêm xấp xỉ MPL(K0, L0) đơn vị i v1.0014105206 26 4.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP VÀ QUY LUẬT LỢI ÍCH CẬN BIÊN GIẢM DẦN • Xét hàm số u = f(x1, x2, , xn) với u biến lợi ích; x1, x2, , xn yếu tố đem lại lợi ích u • Quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng, yếu tố khác khơng đổi, giá trị u – cận biên xi giảm dần xi tăng Điều thể tốn học ux x  0,i  1,2, ,n i i • Ví dụ 9: Với hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas Q = a.KαLβ Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần, ta có: Q''KK  aα(α -1)K α-2Lβ  α -1  α      α β-2   Q'' β -1  aβ(β -1)K L  β    LL v1.0014105206 27 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Mơ hình tốn học mơ tả quan hệ yếu tố nào? Khi yếu tố thay đổi nhỏ (yếu tố lại giữ nguyên) sản lượng thay đổi nào? Khi yếu tố sản xuất thay đổi sản lượng thay đổi nào? Nếu tăng yếu tố đầu vào mức thay đổi sản lượng nào? Trả lời: Ta sử dụng hàm số mô tả quan hệ yếu tố: Q  f(K,L) Khi sử dụng kêt hợp K = K0, L = L0, thay đổi sản lượng lượng tư sử dụng tăng thêm đơn vị, lượng lao động không đổi xấp xỉ giá trị đạo hàm riêng Q’K(K0,L0) Khi sử dụng kêt hợp K = K0, L = L0, sử dụng tăng thêm ΔK đơn vị tư ΔL đơn vị lao động sản lượng tăng thêm xấp xỉ dQ(K ,L )  Q 'K (K ,L ).K  Q 'L (K ,L ).L Theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần ta tăng mức sử dụng yếu tố đầu vào sản lượng cận biên giảm dần v1.0014105206 28 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Đạo hàm riêng theo biến x hàm số f(x,y)  A x (x  3y)2 B x (x  3y)2 y là: x  3y y (x  3y)2 y D (x  3y)2 C Trả lời: y (x  3y)2 • Đáp án là: C • Giải thích: Áp dụng quy tắc tính đạo hàm thương (coi y số) v1.0014105206 29 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM y Đạo hàm riêng cấp hai w xy hàm số w  xy  là: x y A y  x B x  x C  x D  x Trả lời: x2 • Đáp án là: D  • Giải thích: Đạo hàm w’x đáp án A, tiếp tục đạo hàm theo biến y ta nhận kết đáp án D v1.0014105206 30 CÂU HỎI TỰ LUẬN Cho hàm số: f(x,y)  x  3y x2  y2 Hãy tìm f(0, 1) – 2f’x(0,1) + 3f’y(0, 1) Trả lời: • Tìm f(0, 1) = • Tìm đạo hàm riêng f’x(x, y) f’y(x, y) x  y  (x  3y).2x  x  6xy  y fx(x, y)   (x  y )2 (x  y )2 3(x  y )  (x  3y).2y 3x  2xy  3y  fy(x, y)  (x  y )2 (x  y )2 • Giá trị cần tìm là: – 2.1 + 3.(–3) = –8 v1.0014105206 31 TĨM LƯỢC CUỐI BÀI • • • • • • • Hàm số nhiều biến số mô tả phụ thuộc biến số vào biến số khác Miền xác định tự nhiên biểu thức miền điểm mà thay giá trị biến số biểu thức giá trị tương ứng ta nhận giá trị xác định Khi hàm số cho biểu thức, ta thường đồng miền xác định hàm số với miền xác định tự nhiên biểu thức Đạo hàm riêng hàm số theo biến hiểu đạo hàm hàm số theo biến coi biến số cịn lại số Các quy tắc cơng thức tìm đạo hàm áp dụng tìm đạo hàm riêng Sau tính đạo hàm riêng hàm số theo biến ta nhận hàm số, hàm số lại có đạo hàm riêng đạo hàm riêng tính sau gọi đạo hàm riêng cấp hàm số ban đầu Trong kinh tế học đạo hàm riêng hàm số theo biến gọi giá trị cận biên hàm số theo biến Quy luật lợi ích cận biên khẳng định với biến số phụ thuộc biến lợi ích giá trị lợi ích cận biên theo biến giảm dần giá trị biến tăng v1.0014105206 32 ... v1.00 141 05206 24 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 4. 1 Đạo hàm riêng cấp giá trị cận biên 4. 2 Đạo hàm riêng cấp quy luật lợi ích cận biên giảm dần v1.00 141 05206 25 4. 1 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP... HÀM RIÊNG CẤP VÀ GIÁ TRỊ CẬN BIÊN • Cho hàm số w = f(x1, x2, ,xn) biểu diễn phụ thuộc biến số kinh tế w vào n biến số kinh tế x1, x2, , xn • Trong kinh tế học đạo hàm riêng w theo biến xi điểm... luật lợi ích cận biên giảm dần, ta có: Q''KK  aα(α -1 )K ? ?-2 Lβ  α -1  α      α ? ?-2   Q'' β -1  aβ(β -1 )K L  β    LL v1.00 141 05206 27 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Mơ hình tốn học mơ