Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2: Bài 1 - ThS. Đoàn Trọng Tuyến

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 1: Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số giúp các bạn nắm được các khái niệm cơ bản về hàm 1 biến; bước đầu làm quen với các mô hình hàm số trong phân tích kinh tế.

GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP CHO CÁC NHÀ KINH TẾ • Mục tiêu: Sinh viên cần nắm vững kiến thức phép tính vi phân, tích phân hàm số cách hệ thống: từ khái niệm toán học đến ý nghĩa chúng phân tích kinh tế; Có kỹ tính tốn tốt đạo hàm, vi phân, tích phân; Hơn nữa, sinh viên phải biết cách vận dụng kiến thức việc xây dựng phân tích mơ hình kinh tế • Nội dung nghiên cứu:  Bài 1: Các khái niệm hàm số biến số  Bài 2: Đạo hàm vi phân hàm số  Bài 3: Ứng dụng đạo hàm tốn học phân tích kinh tế  Bài 4: Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến  Bài 5: Cực trị hàm nhiều biến  Bài 6: Nguyên hàm tích phân bất định  Bài 7: Tích phân xác định v1.0014105206 BÀI CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ThS Đoàn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG • Một nhà sản xuất hoạt động mơi trường độc quyền, lượng cầu sản phẩm mức giá p là: Q  200  0,25p • Biết lượng chi phí cần bỏ để sản xuất Q sản phẩm là: TC  Q3  7Q  30Q  20 Hãy tính lợi nhuận nhà sản xuất theo mức sản lượng Q? v1.0014105206 MỤC TIÊU • Nắm khái niệm hàm biến: biến số, quan hệ hàm số… • Bước đầu làm quen với mơ hình hàm số phân tích kinh tế v1.0014105206 NỘI DUNG Biến số Quan hệ hàm số Các mơ hình hàm số phân tích kinh tế v1.0014105206 BIẾN SỐ 1.1 Khái niệm biến số 1.2 Các biến số kinh tế v1.0014105206 1.1 KHÁI NIỆM BIẾN SỐ • Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập hợp số X cho trước (X tập khơng rỗng tập hợp số thực R) • Ký hiệu: x  X Tập X gọi miền xác định biến số x v1.0014105206 1.2 CÁC BIẾN SỐ KINH TẾ Các biến số thường sử dụng kinh tế học: • p: Giá (price) • Qs: Lượng cung (Quantily Supplied) • Qd: Lượng cầu (Quantily Demanded) • C: Tiêu dùng (Consumption) • I: Đầu tư (Investment) • U: Lợi ích (Utility) • TC: Tổng chi phí (Total Cost) • TR: Tổng doanh thu (Total Revenue)  : Tổng doanh thu v1.0014105206 QUAN HỆ HÀM SỐ 2.1 Khái niệm hàm số 2.2 Hàm số cho dạng biểu thức 2.3 Quan hệ hàm số biến số v1.0014105206 2.1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ • • Cho X tập không rỗng tập hợp số thực R Một hàm số xác định tập X quy tắc đặt tương ứng số thực x Ỵ X với • số thực y Ký hiệu: y = f(x), x Ỵ X f :XR x  y  f(x) • • Tập X gọi miền xác định hàm số f Tập Y = {y Ỵ R: tồn x Ỵ X cho y = f(x)} gọi miền giá trị hàm số f Ký hiệu Y = f(X) v1.0014105206 10 2.2 HÀM SỐ CHO DƯỚI DẠNG BIỂU THỨC Cho hàm số dạng biểu thức chứa biến: y = f(x) VD: y = x2 + 3x + 2, y = sin4x.cosx – tan3x, • Khi đó, tập hợp số thực mà gán cho x ta biểu thức số có nghĩa gọi miền xác định tự nhiên biểu thức f(x) • Mỗi biểu thức f(x) cho ta hàm số xác định tập X khác rỗng miền xác định tự nhiên nó: Mỗi số thực x0 Ỵ X đặt tương ứng với giá trị tính tốn biểu thức gán x = x0 v1.0014105206 11 2.3 QUAN HỆ HÀM SỐ GIỮA CÁC BIẾN SỐ • Cho hai biến số x y với miền biến thiên tập hợp số thực X Y, biến x nhận giá trị tùy ý miền biến thiên X Ta gọi x biến độc lập, hay đối số • Định nghĩa: Ta nói biến số y phụ thuộc hàm số vào biến số x, hay biến y hàm số biến số x, tồn quy tắc hay quy luật f cho giá trị biến số x miền biến thiên X đặt tương ứng với giá trị biến số y v1.0014105206 12 CÁC MƠ HÌNH HÀM SỐ TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 3.1 Hàm cung hàm cầu 3.2 Hàm sản xuất ngắn hạn 3.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận 3.4 Hàm tiêu dùng hàm tiết kiệm v1.0014105206 13 3.1 HÀM CUNG VÀ HÀM CẦU Hàm cung (hàm cầu) hàm số biểu diễn phụ thuộc lượng cung (lượng cầu) người tiêu dùng vào giá hàng hóa • p = S–1(Q) Hàm cung hàm cầu có dạng:  Hàm cung: Qs = S(p)  Hàm cầu: • p Qd = D(p) p0 p = D–1(Q) Trong đó:  p: giá hàng hóa;  Qs: lượng cung – lượng hàng hóa mà người bán lòng bán mức giá Q0 Q  Qd: lượng cầu – lượng hàng hóa mà người mua lòng mua mức giá v1.0014105206 14 3.2 HÀM SẢN XUẤT NGẮN HẠN6 Hàm sản xuất ngắn hạn hàm số mô tả phụ thuộc sản lượng hàng hóa (Q) vào yếu tố đầu vào lao động (L), hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = f(L) Trong đó: • L: Lượng lao động sử dụng; • Q: Mức sản lượng tương ứng Ví dụ: Giả sử hàm sản xuất nhà sản xuất có dạng: Q  50 L Tại mức L = (đơn vị lao động), sản lượng tương ứng Q = 100 v1.0014105206 15 3.3 HÀM DOANH THU, CHI PHÍ, LỢI NHUẬN • Hàm doanh thu hàm số mô tả phụ thuộc lượng doanh thu (TR) vào lượng sản phẩm bán (Q): TR = TR(Q) • Hàm chi phí hàm số mơ tả phụ thuộc lượng chi phí (TC) vào lượng sản phẩm cần sản xuất: TC = TC (Q) • Hàm lợi nhuận hàm số mơ tả phụ thuộc lợi nhuận () vào số lượng sản phẩm (Q):  = TR(Q) – TC(Q) v1.0014105206 16 3.3 HÀM DOANH THU, CHI PHÍ, LỢI NHUẬN (tiếp theo) Ví dụ: Giả sử doanh nghiệp hoạt động thị trường cạnh tranh với hàm sản xuất ngắn hạn Q  20 L Cho biết giá đơn vị sản phẩm p = USD, giá thuê lao động WL = USD chí phí cố định C0 = 150 USD Hãy lập hàm lợi nhuận doanh nghiệp Lời giải: Hàm doanh thu là: TR  p.Q  2.20 L  40 L Hàm chi phí là: TC  WL L  C0  5L  150 Suy lợi nhuận doanh nghiệp là:   TR  TC  40 L   5L  150   40 L  5L  150 v1.0014105206 17 3.4 HÀM TIÊU DÙNG VÀ HÀM TIẾT KIỆM • Hàm tiêu dùng (tiết kiệm) hàm số mô tả phụ thuộc biến tiêu dùng (C), biến tiết kiệm (S) vào biến thu nhập (Y) • Hàm tiêu dùng: C = f(Y) • Hàm tiết kiệm: S = S(Y) v1.0014105206 18 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG • Ta có lợi nhuận = doanh thu – chi phí:  = TR – TC • Do • Nhưng theo tình này, Q = 200 – 0,25p nên ta tính mức giá p theo sản lượng Q: 200  Q p  800  4Q 0,25 • Vì vậy, hàm doanh thu tính theo mức sản lượng Q là:   TR  TC  p.Q   Q3  7Q2  30Q  20  TR  p.Q   800  4Q  Q  800Q  4Q2 • Suy lợi nhuận nhà sản xuất độc quyền theo mức sản lượng là:   800Q  4Q2   Q3  7Q2  30Q  20   Q3  3Q2  770Q  20 • Chú ý thêm rằng, sau người ta cần tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất, với mức sản lượng tính mức giá tương ứng, cách định giá sản phẩm nhà sản xuất độc quyền v1.0014105206 19 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Cho hàm số: y  ln 2x  x 1 Tập xác định hàm số là: A D = (–, ½)  (1, +) B D = (–, ½]  (1, +) C D = (1, +) D D = (–, ½) Trả lời: • • Đáp án là: A D = (–, ½)  (1, +) x  2x  0  Giải thích: Tập xác định tự nhiên tập giá trị x thỏa mãn x  x 1  v1.0014105206 20 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Miền giá trị hàm y = x2 [–3, 5] là: A Y = [9, 25] B Y = (0, +) C Y = [0, 25] D Y = [9, +) Trả lời: • Đáp án là: C Y = [0, 25] • Giải thích: Khi x  [– 3, 5] → – ≤ x ≤ → ≤ x2 ≤ 25 → Y = [0, 25] v1.0014105206 21 BÀI TẬP Tìm tập xác định của: y   x  4x  Lời giải: Điều kiện xác định: –x2 + 4x – ≥ ↔ ≤ x ≤ Tập xác định: D = [1, 3] v1.0014105206 22 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • • • • Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số x ≠ Ø cho trước Hàm số quy tắc đặt tương ứng x  X với số thực y Ta thường cho hàm số dạng biểu thức, hàm số cho dạng biểu thức – khơng nói thêm tập xác định hàm số hiểu tập xác định tự nhiên biểu thức Một số hàm số thường gặp phân tích kinh tế:  Hàm cung: Qs = S(p)  Hàm cầu: Qd = D(p)  Hàm sản xuất ngắn hạn: Q = f(L)  Hàm doanh thu: TR = TR(Q)  Hàm chi phí: TC = TC(Q)  Hàm lợi nhuận:  = TR(Q) – TC(Q)  Hàm tiêu dùng: C = f(Y)  Hàm tiết kiệm: S = S(Y) v1.0014105206 23 ... Quan hệ hàm số Các mơ hình hàm số phân tích kinh tế v1.0 014 105206 BIẾN SỐ 1. 1 Khái niệm biến số 1. 2 Các biến số kinh tế v1.0 014 105206 1. 1 KHÁI NIỆM BIẾN SỐ • Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc...BÀI CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ThS Đoàn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0 014 105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG • Một nhà sản xuất hoạt động môi... tập hợp số X cho trước (X tập khơng rỗng tập hợp số thực R) • Ký hiệu: x  X Tập X gọi miền xác định biến số x v1.0 014 105206 1. 2 CÁC BIẾN SỐ KINH TẾ Các biến số thường sử dụng kinh tế học: • p: