Đang tải... (xem toàn văn)
Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 3 - Hàm số và giới hạn. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về bổ túc hàm số; giới hạn của hàm số; đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn; hàm số liên tục. Bài giảng phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học và những ngành có liên quan.
10/13/2012 §1. §2. §3. §4. Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Bổ túc hàm số Giới hạn hàm số Đại lượng vô bé – vô lớn Hàm số liên tục ……………………………. §1. BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Khái niệm 1.1.1. Định nghĩa hàm số • Cho X ,Y ¡ khác rỗng. Ánh xạ f : X Y với x a y f (x ) hàm số. Khi đó: – Miền xác định (MXĐ) f, ký hiệu Df, tập X. – Miền giá trị (MGT) f là: G y f (x ) x X . Ø Chương 3. Hàm số giới hạn – Nếu f (x1 ) f (x ) x1 x f đơn ánh. – Nếu f(X) = Y f toàn ánh. – Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh f song ánh. VD 1. a) Hàm số f : ¡ ¡ thỏa y f (x ) 2x đơn ánh. b) Hàm số f : ¡ [0; ) thỏa f (x ) x toàn ánh. c) Hsố f : (0; ) ¡ thỏa f (x ) ln x song ánh. • Hàm số y f (x ) gọi hàm chẵn nếu: f (x ) f (x ), x D f . • Hàm số y f (x ) gọi hàm lẻ nếu: f (x ) f (x ), x D f . Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Nhận xét – Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung. – Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.1.2. Hàm số hợp • Cho hai hàm số f g thỏa điều kiện Gg Df . Khi đó, hàm số h(x ) ( f o g )(x ) f [g(x )] gọi hàm số hợp f g. Chú ý ( f o g )(x ) (g o f )(x ). VD 2. Hàm số y 2(x 1)2 x hàm hợp f (x ) 2x x g(x ) x . Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 1.1.3. Hàm số ngược • Hàm số g gọi hàm số ngược f, ký hiệu g f 1 , x g(y ), y G f . Nhận xét – Đồ thị hàm số y f 1(x ) đối xứng với đồ thị hàm số y f (x ) qua đường thẳng y x . VD 3. Cho f (x ) 2x f 1(x ) log x , x > 0. Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 1.2. Hàm số lượng giác ngược 1.2.1. Hàm số y = arcsin x • Hàm số y sin x có hàm ngược f 1 : [1; 1] ; 2 x a y arcsin x . VD 4. arcsin ; arcsin(1) ; arcsin . ; 2 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 1.2.2. Hàm số y = arccos x • Hàm số y cos x có hàm ngược [0; ] f 1 : [1; 1] [0; ] x a y arccos x . VD 5. arccos ; arccos(1) ; arccos Chú ý 1 2 . ; arccos arcsin x arccos x , x [1; 1]. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 1.2.3. Hàm số y = arctan x • Hàm số y tan x có hàm ngược ; 2 f 1 : ¡ ; 2 x a y arctan x . VD 6. arctan ; arctan(1) ; arctan . Quy ước. arctan , arctan . 2 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 1.2.4. Hàm số y = arccot x • Hàm số y cot x có hàm ngược (0; ) f 1 : ¡ (0; ) x a y arc cot x . VD 7. arc cot ; 3 arc cot(1) ; arc cot . Quy ước. arc cot() 0, arc cot() . ……………………………………… Ø Chương 3. Hàm số giới hạn §2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa Định nghĩa • Cho hàm số f(x) xác định (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x x [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) L , cho trước ta tìm x x cho x x f (x ) L . Định nghĩa (định nghĩa theo dãy) • Cho hàm số f(x) xác định (a; b). Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x x [a ; b ], ký hiệu lim f (x ) L , dãy {xn} (a ; b ) \ {x } mà x x x n x lim f (x n ) L . Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Định nghĩa (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn L (hữu hạn) x , ký hiệu lim f (x ) L , cho trước ta tìm x N > đủ lớn cho x > N f (x ) L . • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) L , cho x trước ta tìm N < có trị tuyệt đối đủ lớn cho x < N f (x ) L . Định nghĩa (giới hạn vô cùng) • Ta nói f(x) có giới hạn x x , ký hiệu lim f (x ) , M lớn tùy ý cho trước ta x x0 tìm cho x x f (x ) M . n Ø Chương 3. Hàm số giới hạn • Tương tự, ký hiệu lim f (x ) , M có trị x x0 tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm cho x x f (x ) M . Định nghĩa (giới hạn phía) • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vô cùng) x x với x x ta nói f(x) có giới hạn phải x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) L lim f (x ) L . x x0 0 x x • Nếu f(x) có giới hạn L (có thể vô cùng) x x với x x ta nói f(x) có giới hạn trái x0 (hữu hạn), ký hiệu lim f (x ) L lim f (x ) L . x x0 0 x x Chú ý. lim f (x ) L lim f (x ) lim f (x ) L . x x0 x x x x Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 2.2. Tính chất Cho lim f (x ) a lim g (x ) b . Khi đó: x x x x 1) lim [C .f (x )] C .a (C số). x x 2) lim [ f (x ) g (x )] a b . x x 3) lim [ f (x )g (x )] ab ; x x f (x ) a , b 0; g (x ) b 5) Nếu f (x ) g (x ), x (x ; x ) a b . 6) Nếu f (x ) h (x ) g (x ), x (x ; x ) lim f (x ) lim g (x ) L lim h (x ) L . 4) lim x x x x x x x x 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Định lý Các kết cần nhớ 1 1) lim , lim . x 0 x x 0 x Nếu lim u(x ) a 0, lim v(x ) b thì: x x x x lim [u(x )]v (x ) a b . x x 2) Xét L lim x b x m m 2x x 1 2x . VD 1. Tìm giới hạn L lim x x A. L ; B. L ; C. L 1; x 2.x 1 2x Giải. Ta có: L lim x x D. L . 3) lim sin x tan x lim 1. x x x Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 4) Số e: Khi x x 1 lim 1 lim 1 x x e. x x 0 x 3x 2x 0, 2x . 2x 1 3x 3x lim 1 x 2x 2x 3x VD 2. Tìm giới hạn L lim 1 . x 2x C. L e ; , ta có: c) L n m . 22 B . x B. L e ; an bm 1x m1 . b0 n m ; bn b) L n m ; a) L Ø Chương 3. Hàm số giới hạn A. L ; an x n an 1x n 1 . a0 3x 2x 3 e L e3 B . D. L 1. 3x 2x . 2x 1 2x 1 x 3x Giải. L lim 1 . x 2x Ø Chương 3. Hàm số giới hạn VD 3. Tìm giới hạn L lim tan2 x x 0 A. L ; C. L e ; B. L 1; Giải. L lim tan2 x x 0 lim tan2 x x 0 tan tan2 x Ø Chương 3. Hàm số giới hạn . D. L e . 4x . tan x tan x . x x 4x §3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN 3.1. Đại lượng vô bé a) Định nghĩa Hàm số (x ) gọi đại lượng vô bé (VCB) x x lim (x ) ( x vô cùng). x x VD 1. (x ) tan3 sin x VCB x 1; 4e C . (x ) ln2 x VCB x . ……………………………………… 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Ø Chương 3. Hàm số giới hạn b) Tính chất VCB 1) Nếu (x ), (x ) VCB x x (x ) (x ) (x ).(x ) VCB x x . 2) Nếu (x ) VCB (x ) bị chận lân cận x (x ).(x ) VCB x x . 3) lim f (x ) a f (x ) a (x ), (x ) x x VCB x x . c) So sánh VCB • Định nghĩa (x ) Cho (x ), (x ) VCB x x , lim k. x x (x ) Khi đó: – Nếu k , ta nói (x ) VCB cấp cao (x ), ký hiệu (x ) 0((x )) . – Nếu k , ta nói (x ) VCB cấp thấp (x ). – Nếu k , ta nói (x ) (x ) VCB cấp. – Đặc biệt, k 1, ta nói (x ) (x ) VCB tương đương, ký hiệu (x ) : (x ) . Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Ø Chương 3. Hàm số giới hạn VD 2. • cos x VCB cấp với x x vì: x sin2 cos x 1. lim lim 2 x 0 x x x • Tính chất VCB tương đương x → x0 1) (x ) : (x ) (x ) (x ) 0((x )) 0((x )). 2) Nếu (x ) : (x ), (x ) : (x ) (x ) : (x ). 3) Nếu 1(x ) : 1(x ), (x ) : 2 (x ) 1(x ) (x ) : 1(x )2 (x ). 4) Nếu (x ) 0((x )) (x ) (x ) : (x ). • sin 3(x 1) : 9(x 1)2 x 1. Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Ø Chương 3. Hàm số giới hạn • Các VCB tương đương cần nhớ x → • Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao Cho (x ), (x ) tổng VCB khác cấp x x (x ) lim giới hạn tỉ số hai VCB cấp thấp x x (x ) tử mẫu. VD 3. Tìm giới hạn L lim x 0 Giải. L lim x 0 x cos x x (1 cos x ) x4 x2 x4 x2 lim x 0 x2 2) tan x : x ; 3) arcsin x : x ; x2 5) cos x : ; 4) arctan x : x 7) ln(1 x ) : x ; . cos x 1) sin x : x ; . 6) e x : x ; 8) n x : x . n Chú ý Nếu u(x ) VCB x ta thay x u(x ) công thức trên. 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn VD 4. Tính giới hạn L lim x 0 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn ln(1 2x sin x ) sin x . tan x . ln(1 2x sin x ) sin x . tan x : 2x sin x x .x : 2x .x x .x sin Quy tắc VCB tương đương không áp dụng cho hiệu tổng VCB chúng làm triệt tiêu tử mẫu phân thức. x 0 x2 (e x 1) (e x 1) x2 x (x ) lim (Sai!). x 0 x2 x 0 . x 1 : x 1 : x Vậy L lim . x 2x x (cấp 1). 3.2. Đại lượng vô lớn a) Định nghĩa Hàm số f (x ) gọi đại lượng vô lớn (VCL) x x lim f (x ) (x vô cùng). VD 7. x3 x3 lim (Sai!). x 0 tan x x x 0 x x cos x x x VCL x ; 2x sin x x3 x 1 VCL x . x cos 4x Nhận xét. Hàm số f (x ) VCL x x VCB x x . f (x ) lim Ø Chương 3. Hàm số giới hạn b) So sánh VCL • Định nghĩa sin x 2x Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Chú ý lim x x tan2 x tan2 x : x (cấp 2), sin x : x (cấp 3), 2 . Ø Chương 3. Hàm số giới hạn e x e x Giải. Khi x , ta có: Vậy L 2 . VD 6. lim sin x 0 Giải. Khi x , ta có: VD 5. Tính L lim Ø Chương 3. Hàm số giới hạn VD 8. Cho f (x ), g (x ) VCL x x , lim x x f (x ) k. g(x ) Khi đó: – Nếu k , ta nói f (x ) VCL cấp thấp g(x ). – Nếu k , ta nói f (x ) VCL cấp cao g(x ). – Nếu k , ta nói f (x ) g(x ) VCL cấp. • x vì: 2x x 3 x 2x x lim : lim lim . 3 x 0 x x 0 x 0 x 2x x x3 x3 VCL khác cấp với • x x : x x . – Đặc biệt, k 1, ta nói f (x ) g(x ) VCL tương đương. Ký hiệu f (x ) : g (x ) . 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn • Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Cho f (x ) g(x ) tổng VCL khác cấp x x f (x ) giới hạn tỉ số hai VCL cấp cao lim x x g(x ) tử mẫu. Ø Chương 3. Hàm số giới hạn VD 9. Tính giới hạn: x cos x x 2x A lim ; B lim . x x 3x 2x x sin2 x Giải. x3 . 3x x lim 0. B lim x x x x A lim x ………………………………………………………… Ø Chương 3. Hàm số giới hạn Ø Chương 3. Hàm số giới hạn §4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 4.2. Định lý • Tổng, hiệu, tích thương hàm số liên tục x hàm số liên tục x . • Hàm số sơ cấp xác định đâu liên tục đó. • Hàm số liên tục đoạn đạt giá trị lớn nhỏ đoạn đó. 4.1. Định nghĩa • Số x Df gọi điểm cô lập f(x) : x (x ; x ) \ {x } x Df . • Hàm số f (x ) liên tục x lim f (x ) f (x ). x x • Hàm số f (x ) liên tục tập X f (x ) liên tục điểm x X . Quy ước • Hàm số f (x ) liên tục điểm cô lập nó. Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 4.3. Hàm số liên tục phía • Định nghĩa Hàm số f (x ) gọi liên tục trái (phải) x lim f (x ) f (x ) ( lim f (x ) f (x )). x x x x 0 • Định lý Hàm số f (x ) liên tục x lim f (x ) lim f (x ) f (x ). x x 0 x x 0 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn tan2 x sin2 x ,x 0 VD 1. Cho hàm số f (x ) . 2x , x Giá trị để hàm số liên tục x là: A. ; B. ; C. 1; D. . 2 Giải. Ta có lim f (x ) f (0) . x 0 Mặt khác, x 0 ta có: tan2 x sin2 x : 2x x 2x 10/13/2012 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn lim f (x ) . x 0 Hàm số f (x ) liên tục x lim f (x ) lim f (x ) f (0) x 0 x 0 B. Ø Chương 3. Hàm số giới hạn ln(cos x ) ,x 0 VD 2. Cho hàm số f (x ) arctan2 x 2x . 3, x Giá trị để hàm số liên tục x là: 17 17 3 A. ; B. ; C. ; D. . 12 12 2 Giải. Khi x , ta có: arctan2 x 2x : 3x ; ln(cos x ) ln[1 (cos x 1)] : cos x : Ø Chương 3. Hàm số giới hạn x2 : lim f (x ) . 2 x arctan x 2x 3x ln(cos x ) Hàm số f (x ) liên tục x lim f (x ) f (0) 2 A . x 0 x2 Ø Chương 3. Hàm số giới hạn 4.4. Phân loại điểm gián đoạn • Nếu hàm số f (x ) không liên tục x x gọi điểm gián đoạn f (x ). • Nếu tồn giới hạn: lim f (x ) f (x 0 ), lim f (x ) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 ), f (x 0 ) x x 0 f (x ) không đồng thời ta nói x điểm gián đoạn loại một. Ngược lại, x điểm gián đoạn loại hai. ……………………………………………………………………………