bài giảng toán cao cấp, hàm số và giới hạn
05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 1 C2. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X, được cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: )x(fyx YX:f = → )x(fx a) Đơn ánh: ∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) b) Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃x ∈ X: y = f(x) c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh d) Nếu f: X→Y là song ánh thì f -1 : Y→X là ánh xạ ngược của f 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f Giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của f: )x(fmaxM Xx∈ = )x(fminm Xx∈ = , Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị hàm số y = 2x 2 - 4x + 6 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng miền xác định X: a) f(x) = g(x), ∀ x ∈ X b) (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X c) (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X d) Hàm số f/g có miền xác định X 1 = X\{x: g(x) = 0} : 1 Xx, )x(g )x(f )x)( g f ( ∈∀= e) (af)(x) = af(x), ∀x∈X Ví dụ: Cho ba hàm số f(x) = x 2 + 6, , h(x) = x + 2 x)x(g = Xác định hàm số (f – 3h)/g và miền xác định của nó. 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 4 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f(u) = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu f o g. Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên tìm g o f, g o h và tìm miền xác định. Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Y là một song ánh thì f -1 : Y→X được gọi là hàm số ngược của f. Gọi (C), (C -1 ) là đồ thị của f, f -1 thì đồ thị của nó đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x. M(x,y) ∈ (C) ⇔ y = f(x) ⇔ x = f -1 (y) ⇔ N(y,x) ∈ (C -1 ) 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 5 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 ∈ X: x 1 < x 2 => f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) • f gọi là giảm trên (a,b) nếu: x 1 ,x 2 ∈ X: x 1 < x 2 => f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) • f được gọi là bị chặn trên X nếu: ∃M: f(x)≤ M, ∀ x ∈ X Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X. 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: ∃T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X Số T 0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 = 2π. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T 0 =π. 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 7 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f có miền xác định X, với x ∈ X, -x ∈ X. a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x 2 là hàm số chẵn, )1xxlg()x(g 2 ++= là hàm số lẻ. Ghi chú: Gọi (C) là đồ thị của hàm số f. a) Nếu f là hàm số chẵn thì (C) đối xứng qua Oy: (x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (x,f(x)) ∈ (C) b) Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ: (x,f(x)) ∈ (C) ⇔ (-x,f(-x)) = (-x,-f(x)) ∈ (C) 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 8 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Hàm số luỹ thừa: y = x α , với α ∈ R Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc α. • α ∈ N: miền xác định R • α nguyên âm: miền xác định x ≠ 0. • α có dạng 1/p, p ∈ Z: miền xác định phụ thuộc vào p chẵn, lẻ • α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x α tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0 và tại mọi x > 0 nếu α < 0. Đồ thị của y = x α luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0. ξ2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 9 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Hàm số mũ: y = a x (a > 0, a ≠ 1) Hàm số mũ xác định với mọi x dương. Hàm số mũ tăng khi a > 1. Hàm số mũ giảm khi a < 1. Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 4. Hàm số logarit: y = log a x, a > 0, a ≠ 1 Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. Hàm số log a x tăng khi a > 1 Hàm số log a x giảm khi a < 1 Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị Hàm số y = log a x là hàm số ngược của hàm số y = a x 05/12/14 Hàm số và giới hạn hàm số 10 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ )x(Log)x(Log) x x (Log 2a1a 2 1 a −= blog a ab = aLog bLog bLog c c a = • Một số tính chất của log a x: Log a (x 1 x 2 ) = Log a (x 1 ) + Log a (x 2 ) Log a x α = αLog a x [...]... và lim g(x) = L2 với L1, L2 ∈ R, thì a) lim[f(x) + g(x)] = L1 + L2 b) lim[f(x)g(x)] = L1L2 c) lim C = C d) lim[Cf(x)] = CL1 e) lim[f(x)]m = L1m (L1m ∈ R) f) lim[f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0) Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.∞, ∞ - ∞, 1∞ thì phải biến đổi để khử chúng 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 19 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Tìm a ) lim x → π 3x 2 sin x 2 + x +1 x2 −1 b) lim x →1... VCB không so sánh được 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 23 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x) , g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x) Ví dụ: Chứng minh sin 2 x + arcsin 2 x − arctg 2 x lim =1 3x x →0 sin x x ~ x 2 + x 3 05/ 12/ 14 Khi... 8 c) lim x 2 x − 2 Định lý: Giả sử g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0 Nếu lim g ( x ) = lim h ( x ) = L => lim f ( x ) = L x →x 0 x →x 0 x →x 0 Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] πx 2 + 1 Ví dụ: Tìm lim sin 2 2x − x x →∞ 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 20 C1 HÀM SỐ... →0 a x −1 lim = ln a x →0 x ln(1 + x ) lim =1 x x →0 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 21 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Chứng minh: , Ví dụ: Tìm: 05/ 12/ 14 arctgx lim =1 x →0 x arcsin x lim =1 x x →0 tgx lim =1 x →0 x 3+ x lim x →∞ x x x + 2 lim x →∞ x − 1 Hàm số và giới hạn hàm số x +3 22 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 5 So sánh vô cùng bé Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là... miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2 • y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2 • y = tgx, miền xác định ∀ x ≠ (2k+1)π /2, hàm lẻ, chu kỳ π • y = cotgx, miền xác định ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 11 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 6 Hàm số lượng giác ngược: • Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-π /2, π /2] và là một hàm số tăng • Hàm số... 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 25 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G1(x) thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x) Ví dụ: Tìm 05/ 12/ 14 lim 7 x 3 − x 5 + 6x x →∞ 12 x 3 + x 2 −6 x Hàm số và giới hạn hàm số 26 C1... hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp Ví dụ: Hàm số f(x) là hàm số sơ cấp 2 sin( x 2 ) + 3 f ( x ) = log3 x2 + 2 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 13 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ3 GIỚI HẠN HÀM SỐ 1 Giới hạn hữu hạn của hàm số: Định nghĩa lân cận: x thuộc lân cận của x0 ⇔ ∃δ > 0: |x-x0|... chứng minh rằng lim = 0 x →+∞ x 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 17 lim f ( x ) = −∞ x →x 0 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2 Giới hạn vô hạn của hàm số: lim f ( x ) = +∞ x →x 0 ∀N > 0 lớn tuỳ ý, ∃δ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ f(x) > N lim f ( x ) = −∞ x →x 0 ∀N < 0 có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý, ∃δ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ f(x) < N Ví dụ: chứng minh lim 1 x →a ( x − a ) 05/ 12/ 14 2 = +∞ Hàm số và giới hạn hàm số... hàm số tăng • Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,π] • Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (-π /2, π /2) và là hàm số tăng • Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,π) là hàm số giảm 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 12 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm... 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 14 C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại) Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x →x0, nếu ∀ε > 0 cho trước, ∃δ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε Ký hiệu: lim f ( x ) = L x →x 0 Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng lim (2 x + 1) = 7 x →3 x 2 −1 . a) Đơn ánh: ∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 ≠ x 2 => f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) b) Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃x ∈ X: y = f(x) c) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh d) Nếu f: X→Y là song ánh thì f -1 :. hàm chẵn, chu kỳ 2 • y = tgx, miền xác định ∀ x ≠ (2k+1)π /2, hàm lẻ, chu kỳ π • y = cotgx, miền xác định ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 12 C1. HÀM SỐ -. cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp. + + = 2x 3)xsin (2 log)x(f 2 2 3 Ví dụ: Hàm số f(x) là hàm số sơ cấp. 05/ 12/ 14 Hàm số và giới hạn hàm số 14 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ3.