HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN pdf

Chơng 3 Hàm số và giới hạn 3.1 Hàm số 1. Các định nghĩa a. Định nghĩa hàm số Cho tập XR, ánh xạ: f: XR đợc gọi là một hàm số xác định trên X, ký hiệu: y=f(x). - X gọi là miền xác định của f, f(X)={y=f(x)R: xX} gọi là miền giá trị của f. - Tập {(x,f(x)): xX}R 2 gọi là đồ thị của f(x). Nh vậy hàm y=f(x), xX là quy luật f cho ứng mỗi phần tử xX với một phần tử xác định yR. Khi đó x gọi là đối số còn y gọi là giá trị của hàm số. Chú ý: Hàm số không phụ thuộc vào ký hiệu của đối số mà chỉ phụ thuộc quy luật f để xác định giá trị của hàm số. b. Một số dáng điệu đơn giản của hàm số Cho hàm f(x) xác định trên tập X. (i) Hàm đơn điệu Cho tập VX, khi đó: + f(x) đợc gọi là hàm đơn điệu tăng (đồng biến) trên V nếu: x 1 ,x 2 V: x 1 <x 2 f(x 1 )<f(x 2 ) + f(x) đợc gọi là đơn điệu giảm(nghịch biến) trên V nếu: x 1 ,x 2 V: x 1 <x 2 f(x 1 )>f(x 2 ) + f(x) đợc gọi là đơn điệu không giảm trên V nếu: x 1 ,x 2 V: x 1 <x 2 f(x 1 )f(x 2 ) + f(x) đợc gọi là đơn điệu không tăng trên V nếu: x 1 ,x 2 V: x 1 <x 2 f(x 1 )f(x 2 ) Tất cả các hàm đơn điệu tăng, giảm, đơn điệu không tăng hay không giảm trên V đợc gọi chung là các hàm đơn điệu trên V. Nếu f(x) đơn điệu tăng hay giảm trên V, ta nói f(x) đơn điệu ngặt, hay đơn điệu thực sự trên V và khi đó chúng là các song ánh xác định trên V. Nếu X đợc chia thành những tập con V mà trên đó f(x) là hàm đơn điệu thì ta nói f(x) đơn điệu từng khúc trên X. Ví dụ 3.1: a. y=ln(1+x) là hàm đơn điệu tăng trên X=(-1,+). b. y=sin x là hàm đơn điệu từng khúc trên R, nó đơn điệu tăng trên V= 2 , 2 . (ii) Hàm chẵn, lẻ Nếu X là miền đối xứng qua điểm 0, khi đó: + f(x) gọi là hàm chẵn nếu f(-x)=f(x), xX. + f(x) gọi là hàm lẻ nếu f(-x)=-f(x), xX. Ví dụ 3.2: f(x)= 1 1cos2 2 2 + xx xx là hàm chẵn f(x)= xx tgxx sin 2 3 là hàm lẻ (iii) Hàm tuần hoàn Nếu tồn tại số T sao cho: f(x+T)=f(x), xX (1) thì f(x) đợc gọi là tuần hoàn trên X. Số T>0 nhỏ nhất thoả mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của f(x). Ví dụ 3.3: y=cos4x+2sin3x là hàm tuần hoàn với chu kỳ T=2 (vi) Hàm bị chặn + f(x) đợc gọi là bị chặn trên nếu: M, f(x)M, xX. + f(x) đợc gọi là bị chặn dới nếu: M, f(x) M, xX. + f(x) đợc gọi là bị chặn nếu: M>0, f(x)M, xX. c. Hàm hợp Cho hàm số y=f(x) với miền xác định X và miền giá trị Y=f(X) và hàm số z=g(y) với miền xác định Y, nh vậy: ZYX gf . Khi đó hàm: Trang 1 h(x)= (gof)(x)=g(f(x)) đợc gọi là hàm hợp của hai hàm f và g. ở đây x là biến độc lập còn y là biến phụ thuộc x. Ví dụ 3.4: h(x)= xx e sin 2 là hàm hợp của hàm g(y)=e y và f(x)=x 2 -sinx 2. Các phơng pháp cho hàm số a. Hàm số cho dới dạng bảng số Nếu miền xác định X của hàm y=f(x) có hữu hạn giá trị: x 1 , x 2 ,,x n , ta có thể cho hàm dới dạng bảng. X x 1 x 2 x n f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x n ) Ví dụ 3.5: Hàm p=p(x) cho bằng bảng dới đây: X 0 1 2 3 4 P i =p(x i ) 0,1296 0,3456 0,3456 0,1536 0,0256 Các hàm cho dới dạng bảng hay đợc dùng trong phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. b. Hàm hiện Nếu f(x) là một biểu thức của đối số x thì ta nói hàm số có dạng hiện. Ví dụ 3.6: y= x x 21 2 + Một hàm có thể cho bằng nhiều biểu thức trong những khoảng khác nhau. Ví dụ 3.7: y= < < xx x xxx 3 301 0sin. Ta quy ớc rằng nếu hàm cho bằng biểu thức thì miền xác định của nó tà tập các điểm làm cho biểu thức có nghĩa. c. Hàm ẩn Nếu từ biểu thức: (x,y)=0 ứng với mỗi xX, xác định đợc y tơng ứng để biểu thức thoả mãn thì ta nói biểu thức xác định một hàm ẩn trên X. Ví dụ 3.8: x 2 +y 2 =1 Với mỗi xX=[-1,1] ta xác định đợc các giá trị y tơng ứng là: y 1 = 2 1 x và y 2 = 2 1 x Đó là trị tơng ứng với nửa trên và nửa dới của đờng tròn đơn vị. d. Hàm cho bởi phơng trình tham số Nếu x và y đều là những biểu thức phụ thuộc vào biến t, khi đó từ hệ thức: = = )( )( tyy txx (xT) sao cho ứng với mỗi tT ta xác định đợc bộ giá trị x, y tơng ứng thì ta nói hệ thức xác định phơng trình tham số của hàm. Ví dụ 3.9: = = )sin( )cos( tby tax t[0,2] là phơng trình của elip: 1 2 2 2 2 =+ b y a x 3. Hàm ngợc a. Định nghĩa Cho hàm y=f(x), nếu tồn tại hàm z=g(y) mà tích: (gof)(x)=g(f(x))=x thì g(y) đợc gọi là hàm ngợc của f(x), ký hiệu g(y)=f -1 (y). Vì hàm số không phụ thuộc ký hiệu của đối số nên nếu dùng x là ký hiệu đối số ta có thể viết: y=g(x)=f 1 (x). Tính chất: (i) f(x) xác định trên X, khi đó f(x) có hàm ngợc f 1 (x) khi và chỉ khi f(x) đơn điệu thực sự trên X. (ii) Đồ thị của f(x) và f 1 (x) đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất. Trang 2 Ví dụ 3.10: Ký hiệu log e x=lnx ( đọc là loga Nepe của x) hàm y=e x và y=ln(x) là hai hàm ngợc của nhau vì: e ln(x) =ln(e x )=x chúng có đồ thị đối xứng qua đờng phân giác thứ nhất: Hình 1 b. Các hàm lợng giác ngợc (i) Hàm y=arcsin x Hàm y=sin x, với x 2 , 2 là một song ánh từ 2 , 2 lên [-1,1] nên nó có hàm ngợc: x=arcsin y Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=sinx là: y=arcsin x Hàm y=arcsin x có miền xác định x[-1,1] và miền giá trị y 2 , 2 . Hàm y=arcsin x có các tính chất: 1. arcsin(-x)=- arcsinx 2. sin(arcsin x)= arcsin(sin x)=x 3. Từ sin x= += += kx kx 2arcsin 2a rcs in kZ 4. cos(arcsin x)= 2 1 x (ii) Hàm y=arccosx Hàm y= cosx , với x[0,] là một song ánh từ [0,] lên [-1,1] nên nó có hàm ngợc: x=arccosy .Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=cosx là: y=arccosx Hàm y= arccosx có miền xác định x[-1,1] và miền giá trị y[0,]. y=arcsinx Hình 2 y=arccosx Hàm y=arccos x có các tính chất: 1. arccos(-x)= - arccosx 2. cos(arccosx)= arccos(cosx)=x 3. Từ cosx= x= arccos +2k kZ 4. sin(arccosx)= 2 1 x 5. Từ sin x=cos( x 2 ) suy ra: arcsinx+arccosx= 2 (iii) Hàm y=arctg x Trang 3 Hàm y=tg x, với x 2 , 2 là một song ánh từ 2 , 2 lên (- ,+ ) nên nó có hàm ngợc: x=arctg y. Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=tgx là: y=arctgx Hàm y=arctg x có miền xác định x(- ,+ ) và miền giá trị y 2 , 2 . Đồ thị của hàm y=arctg x và y=tg x đối xứng qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất và có hai đờng tiện cận ngang là: y= 2 và y= 2 . Hàm y=arctg x có các tính chất: 1. arctg(-x)=- arctgx 2. tg(arctg x)= arctg(tg x)=x 3. Từ tg x= x=arctg +k kZ (iv) Hàm y=arccotg x Hàm y=cotg x , với x(0,) là một song ánh từ (0,) lên (- ,+ ) nên nó có hàm ngợc: x=arccotg y . Với quy ớc x là đối số, y là hàm số thì hàm ngợc của y=cotg x là: y=arccotg x Hàm y=arccotg x có miền xác định x(- ,+ ) và miền giá trị y(0,). Đồ thị của hàm y=arccotg x và y=cotg x đối xứng với nhau qua đờng phân giác của góc phần t thứ nhất và có hai đ- ờng tiện cận ngang là: y=0 và y=. y=arctgx Hình 3 y=arccotgx Hàm y=arccotg x có các tính chất: 1. arccotg(-x)=- arccotgx 2. cotg(arccotgx)= arccotg(cotg x)=x 3. Từ cotgx= x=arccotg+k kZ 4. arctgx+arccotgx= 2 c. Hàm ngợc của các hàm Hypebôn Xét các hàm: shx= 2 xx ee , chx= 2 xx ee + thx= xx xx ee ee chx shx + = , cthx= xx xx ee ee shx chx + = tơng ứng gọi là hàm sinhypebôn, coshypebôn, tanghypebôn và côtanghypebôn Các hàm trên có các công thức biến đổi rất giống với các hàm lợng giác: ch 2 x-sh 2 x=1 sh2x=2shx.chx ch2x=ch 2 x+sh 2 x sh(x+y)=shx.chy+chx.shy ch(x+y)=chx.chy+shx.shy sh(x-y)=shx.chy-chx.shy ch(x-y)=chx.chy-shx.shy Hàm y=shx là một song ánh từ R lên R. Từ y= 2 xx ee tính x theo y ta đợc: 012 2 = xx yee Trang 4 Hay 1 2 += yye x Vì hàm e x luôn dơng nên chỉ lấy dấu cộng. Vậy hàm y=shx có hàm ngợc: ( ) 1ln 2 ++= xxy Tơng tự hàm y=chx là một song ánh từ [0,+) lên [1,+) nên nó có hàm ngợc và hàm ngợc của nó là: ( ) 1ln 2 += xxy 4. Hàm sơ cấp a. Định nghĩa Định nghĩa 1: (Hàm sơ cấp cơ bản) Các hàm sau đợc gọi là các hàm sơ cấp cơ bản: + Hàm luỹ thừa x . + Hàm mũ a x (a>0). + Hàm lôgarit log a x (a>0). + Các hàm lợng giác: sin x, cos x, tg x, cotg x. + Các hàm lợng giác ngợc: arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x. Định nghĩa 2: (Hàm sơ cấp) Hàm sơ cấp là các hàm đợc lập từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép tính tổng, hiệu, tích, thơng và phép lấy hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản. Ví dụ 3.11: + Các hàm: y=arctg(x+ )1 2 x , y= 1lg 2 + + x x x là các hàm sơ cấp. + Các hàm: y= x , y= <+ 01 0sin xkhie xkhixx x , sgn x= > = < 01 00 01 xkhi xkhi xkhi không là các hàm sơ cấp. Hàm sgn x gọi là hàm dấu của x. 3.2 Giới hạn của hàm số 1. Các định nghĩa a. Giới hạn hàm số khi x dần tới x 0 hữu hạn Định nghĩa 3: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x 0 ), không cần xác định tại x 0 . Ta nói f(x) có giới hạn L ( hữu hạn) trong quá trình xx 0 , ký hiệu: Lxf xx = )(lim 0 nếu với mọi dãy {x n } =1n , x n u(x 0 ), x n x 0 và 0 lim xx n n = mà dãy các giá trị tơng ứng của hàm số {f(x n )} đều có giới hạn: = )(lim 0 n xx xf n L Ví dụ 3.12: Chứng tỏ 0 1 coslim 0 = x x x . Hiển nhiên f(x)=xcos x 1 không xác định tại x 0 =0. Lấy dãy {x n }(-1,1) bất kỳ và x n 0, ta có: n n n n n x x x x x = 1 cos 1 cos0 Vì 0lim = n n x nên 0 1 coslim 0 = x x x . Từ định nghĩa 1 ta thấy, nếu có hai dãy: {x n } và {x n } mà: x n x 0 , và x n x 0 nhng: )'(lim)(lim 00 ' n xx n xx xfxf nn thì f(x) không có giới hạn khi xx 0 . Ví dụ 3.13: Chứng tỏ hàm f(x)=cos x 1 không có giới hạn trong quá trình x0. Trang 5 Xét hai dãy n x n 2 2 1 + = và n x n 2 1 ' = ta có: f(x n )=cos n x 1 =cos( 2 +2n)=00 f(x n )=cos n x' 1 =cos(2n)=11 Do đó cos x 1 không có giới hạn trong quá trình x0. Định nghĩa 4: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x 0 ), không cần xác định tại x 0 . Ta nói f(x) có giới hạn L ( hữu hạn) trong quá trình xx 0 , nếu >0 cho trớc, >0 sao cho x: 0< < 0 xx thì < Lxf )( . Nh vậy khi xu (x 0 ) (xx 0 ) thì f(x) u (L). Định nghĩa 1 và định nghĩa 2 là hai định nghĩa tơng đơng. Chứng minh: (Phản chứng) Giả sử L là giới hạn của f(x) khi xx 0 theo định nghĩa 1. Nhng 0 >0, >0, : 0<|-x 0 |< mà |f()-L| 0 Lấy { n } là dãy hội tụ đến 0. Ký hiệu n là điểm thoả mãn giả thiết trên ứng với n . Do | n -x 0 |< n và n 0 nên n x 0 nhng |f( n )-L| 0 nên dãy { f( n )} không hội tụ về L, trái với giả thiết, vậy từ định nghĩa 1 suy ra định nghĩa 2. Giả sử >0, >0, x: 0< < 0 xx thì < Lxf )( và xx 0 . Khi đó với đã chọn ở trên thì n 0 : n>n 0 , |x n -x 0 |<. Nh vậy ta có: >0, n 0 : n>n 0 : |f(x n )-L| < hay = )(lim 0 n xx xf n L với mọi dãy {x n } hội tụ đến x 0 . Ví dụ 3.14: Chứng minh 0 1 coslim 0 = x x x Từ <<== x x x x xxf 1 cos 1 cos0)( Ta chỉ cần chọn: = , khi đó: >0, >0, x: << x0 thì < x x 1 cos Hay 0 1 coslim 0 = x x x Chú ý: Định nghĩa 3 thờng thuận lợi cho việc chứng tỏ một hàm không có giới hạn trong một quá trình nào đó, còn định nghĩa 4 đợc sử dụng khi tìm giới hạn của hàm số trong quá trình đó. b. Giới hạn hàm khi x dần tới vô cực Định nghĩa 5: Cho hàm f(x) xác định với mọi x có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý. Ta nói f(x) có giới hạn L khi x nếu thoả mãn một trong hai điều kiện sau: (i) Với mọi dãy {x n } mà x n thì dãy {f(x n )} L. (ii) >0, M>0, x: Mx > thì < Lxf )( Ta ký hiệu: Lxf x = )(lim Ví dụ 3.15: Chứng minh 1lim 2 1 = x x e Với >0 đủ bé, từ biểu thức: | 1 2 1 x e | < suy ra: Trang 6 +<< 11 2 1 x e )1ln( 1 2 +< x x 2 > )1ln( 1 + )1ln( 1 + >x =M Nh vậy với )1ln( 1 + >x =M thì | 1 2 1 x e |<, hay 1lim 2 1 = x x e . c. Giới hạn vô cùng của hàm số Định nghĩa 6: Cho hàm f(x) xác định tại lân cận u(x 0 ) không cần xác định tại x 0 . Ta nói f(x) có giới hạn trong quá trình xx 0 , nếu M>0 cho trớc, >0 sao cho x: 0< < 0 xx thì Mxf >)( , ký hiệu = )(lim 0 xf xx . Ví dụ 3.16: Chứng minh = 2 1 0 lim x x e Từ biểu thức: | 2 1 x e | Me x >= 2 1 hay M x ln 1 2 > x 2 < Mln 1 =< M x ln 1 Nh vậy với =< M x ln 1 thì | 2 1 x e |>M Hay = 2 1 0 lim x x e . Định nghĩa 7: Cho hàm f(x) xác định với mọi x có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý. Ta nói f(x) có gới hạn L khi x nếu N>0, M>0, x: Mx > thì Nxf >)( Ta ký hiệu: Lxf x = )(lim Nếu f(x) có giới hạn L khi x+ hoặc x- ta viết L= )(lim xf x + hoặc L= )(lim xf x Trong một quá trình nào đó, một hàm có giới hạn 0 ta gọi nó là một vô cùng bé trong quá trình đó; một hàm có giới hạn vô cùng ta gọi nó là một vô cùng lớn trong quá trình đó. Các vô cùng bé và các vô cùng lớn tham gia vào cùng một biểu thức cần lấy giới hạn trong cùng một quá trình sẽ lập nên những dạng bất định mà việc khử nó là vấn đề quan trọng khi lấy giới hạn. d. Giới hạn một phía Định nghĩa 8: Nếu hàm f(x) xác định với những x<x 0 ta nói f(x) xác định ở lân cận bên trái x 0 . Khi cho x dần tới x 0 từ các giá trị bé hơn x 0 , hay x dần tới x 0 từ bên trái, ký hiệu xx 0 -0, mà f(x)L thì L đợc gọi là giới hạn trái của x 0 , ký hiệu f(x 0 -0), nh vậy: f(x 0 -0)= Lxf xx = )(lim 0 0 Nếu hàm f(x) xác định với những x>x 0 ta nói f(x) xác định ở lân cận bên phải x 0 . Khi cho x dần tới x 0 từ các giá trị lớn hơn x 0 , hay x dần tới x 0 từ bên phải, ký hiệu xx 0 +0, mà f(x)L thì L đợc gọi là giới hạn phải của x 0 , ký hiệu f(x 0 +0), nh vậy: f(x 0 +0)= Lxf xx = + )(lim 0 0 Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn khi xx 0 là nó có giới hạn phải và giới hạn trái tại x 0 và hai giới hạn đó bằng nhau. Ví dụ 3.17: 1. Tìm x x x 0 lim . Ta có < = 0 0 xkhix xkhix x do đó: Trang 7 11limlimlim 000 === +++ xxx x x x x 11limlimlim 000 == = + xxx x x x x Vậy hàm số không có giới hạn khi x0. 2. Tìm x x e 1 0 lim . Đặt t= x 1 ta có: +== ++ t t x x ee limlim 1 0 0li mlim 1 0 == t t x x ee Vậy hàm số không có giới hạn khi x0. 3. Một số tính chất của hàm có giới hạn Từ đây trở đi khi viết Lxf ax = )(lim nếu không nói gì ta hiểu L là hữu hạn còn a có thể hữu hạn hoặc có thể bằng vô cùng. Định lý 1 1. Nếu f(x)=C, x thì Cxf ax = )(lim 2. Nếu Lxf ax = )(lim thì giới hạn là duy nhất. Với a=x 0 hữu hạn 3. Cho Lxf xx = )(lim 0 (i) Nếu L>0 (hoặc L<0) thì >0 (đủ nhỏ) sao cho xU (x 0 ), f(x)>0 (f(x)<0). (ii) Nếu >0 đủ nhỏ sao cho:xU (x 0 ), f(x)>0 (f(x)0) thì L 0 4. Nếu >0 đủ nhỏ sao cho xU (x 0 ): f(x)>g(x) (hoặc f(x)g(x)) thì: )(lim 0 xf xx )(lim 0 xg xx 4. Các phép toán về giới hạn của hàm Định lý 2: Cho 1 )(lim Lxf ax = và 2 )(lim Lxg ax = khi đó: 1. 1 )(lim CLxCf ax = với C là hằng số. 2. 21 )]()([lim LLxgxf ax = 3. 21 .)]().([lim LLxgxf ax = 4. 2 1 )( )( lim L L xg xf ax = nếu L 2 0 5. Nếu có: 0 )(l im uxu ax = và )()(lim 0 0 ufuf uu = thì: )()](lim[))((lim 0 ufxufxuf axax == Chú ý: Định lý 2 cha cho ta khẳng định trong các trờng hợp vô định sau: 1. Khi L 1 =0, L 2 =0 ta có dạng vô định 0 0 . 2. Khi L 1 =, L 2 = ta có dạng vô định: - và . 3. Khi L 1 =0, L 2 = ta có dạng vô định 0 Trang 8 Khi gặp các dạng vô định trên ta phải thực hiện khử các dạng vô định đó rồi mới áp dụng các quy tắc trên để lấy giới hạn. Ví dụ 3.18: 1. 1 1 lim 1 m n x x x có dạng 0 0 . Dùng đẳng thức: x p -1=(x-1)(1+x++x p-1 ) (p nguyên, p>1) ta có: 1 1 1 1 1 1 ) 1)(1( ) 1)(1( 1 1 +++ +++ = +++ +++ = m n m n m n xx xx xxx xxx x x Vậy m n x x m n x = 1 1 lim 1 2. 1 lim + + + x xx x có dạng . Thực hiện chia tử và mẫu cho x đợc: 1 lim + + + x xx x = 1 1 1 1 1 lim = + + + x x x 3. 3 1 1 2 1 3 lim xx x có dạng - . Đặt x=y 6 , x1, y1. Ta có: 3 1 1 2 1 3 lim xx x = 2 1 )1)(1( 21 lim 2 1 = +++ + yyy y y 4. ( ) xxx x + + 1lim 2 giới hạn có dạng .0 vì: 0 1 1 lim)1(lim 2 2 = ++ =+ ++ xx xx xx Vậy ( ) xxx x + + 1lim 2 = 2 1 1 lim 2 = ++ + xx x x 5. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn a. Tiêu chuẩn Côsi Định lý 3: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn tại x 0 là: >0, >0, x, x: 0< < 0 xx và < 0 ' xx thì < )'()( xfxf . b. Tiêu chuẩn kẹp Định lý 4: Giả sử cho các hàm f(x), g(x) và h(x) thoả mãn bất đẳng thức: f(x)g(x)h(x), xU (x 0 ) Khi đó nếu Lxhxf xxxx == )(lim)(lim 00 thì: Lxg xx = )(lim 0 Ví dụ 3.19: Ví dụ quan trọng nhất của định lý 4 là giới hạn quen thuộc đã đợc chứng minh ở lớp phổ thông trung học: 1 sin lim 0 = x x x áp dụng kết quả trên tìm các giới hạn sau: Trang 9 1. 2 1 1. 2 1 2 2 sin 2 1 lim cos1 lim 2 0 2 0 == = x x x x xx 2. 2 0 2 0 )3cos1()1(cos lim 3coscos lim x xx x xx xx + = 4 2 1 9 2 1 )3( 3cos1 lim.9 cos1 lim 2 0 2 0 =+= + = x x x x xx 3. Dùng hằng đẳng thức: 1-ab=(1-a)b+(1-b) ta có: x xxx x xx xx cos1 2cos12cos)cos1( lim cos1 2coscos1 lim 00 + = 52. 2 1 .41 cos1 . )2( 2cos1 lim42coslim 2 2 00 =+= += x x x x x xx c. Tiêu chuẩn cho hàm đơn điệu Định lý 5: 1. Cho f(x) là hàm đơn điệu không giảm xác định trên R; khi đó nếu f(x) bị chặn trên thì tồn tại giới hạn: Lxf x = + )(lim Với L là số không lớn hơn cận trên đúng của f(x) (xR). 2. Cho f(x) là hàm đơn điệu không tăng xác định trên R; khi đó nếu f(x) bị chặn dới thì tồn tại giới hạn: Lxf x = + )(lim Với L là số không lớn hơn cận dới đúng của f(x) (xR). Ví dụ 3.20: Chứng minh x x x + + 1 1lim e x x x = += 1 1lim Với mọi x>1 đều có số tự nhiên n sao cho: n x n+1 Do đó: nxn 11 1 1 + Hay 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + nxn nxn Chuyển giới hạn qua bất đẳng thức kép ta đợc: x x x + + 1 1lim =e Đổi biến t=-(x+1), khi x - thì t +, khi đó: x x x + 1 1lim = )1( 1 1 1lim + + + t t t = )1( 1 lim + + + t t t t = + = + + 1 1 lim t t t t e tt t t t = + + ++ 1 1lim. 1 1lim Chú ý: Đặt x 1 = ta đợc: ( ) e=+ 1 0 1lim Các biểu thức x x + 1 1 và ( ) 1 1+ là các dạng vô định loại 1 , mà khi gặp dạng vô định 1 ta hay dùng nó để khử. Trang 10 [...]... + 3 x +1 a f(x)= 2 b f ( x ) = lg x + x 1 x 3 Cho f(x) và g(x) là hai hàm xác định trên X Chứng minh a Nếu f(x) và g(x) là hàm chẵn thì f(x).g(x) và f(x)+g(x) là hàm chẵn b Nếu f(x) và g(x) là hàm lẻ thì f(x).g(x) là hàm chẵn c Nếu f(x) là hàm chẵn và g(x) là hàm lẻ thì f(x).g(x) là hàm lẻ 4 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ tuần hoàn của các hàm số a f(x)= acos x+b sin x 1 1 b f(x)=sin x+ sin 2x+ sin... x 0 2 6 Vô cùng bé Định nghĩa 9: Hàm (x) có giới hạn 0 trong một quá trình xx0 ( hay x ) thì (x) đợc gọi là một vô cùng bé ( viết tắt VCB) trong quá trình ấy a Tính chất của VCB và liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn 1 VCB là hàm có giới hạn 0 trong một quá trình nào đó nên nó có các tính chất của hàm có giới hạn trong quá trình đó 2 Tích của một VCB với một hàm bị chặn trong cùng một quá trình... Định nghĩa Định nghĩa 11: Hàm f(x) đợc gọi là liên tục tại x0 nếu: 1 f(x) xác định tại x0 và lân cận x0 2 Tồn tại lim f ( x) = f ( x0 ) x x0 Cho x0 và x ta gọi: x=x-x0 là số gia của đối số x tại x0, khi đó biểu thức: f = f ( x) f ( x0 ) = f ( x0 + x) f ( x0 ) là số gia tơng ứng của hàm số tại x0 Khi đó do mối liên hệ giữa hàm có giới hạn và VCB ta có: f(x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi f là một VCB... thì x0 trở thành điểm liên tục của hàm Chú ý: Trong bài toán xét sự liên tục của hàm số không sơ cấp ta thờng chia miền xác định của hàm số thành các miền nhỏ mà trên mỗi miền nhỏ hàm số có công thức trùng với một hàm sơ cấp nào đó Vì thế ta có ngay kết quả về sự liên tục của hàm số trên các miền đó Sau đó xét riêng tại các điểm chia Ví dụ 3.29: Xét sự liên tục của hàm số: 1 x0: x,x0X:x-x0< thì f(x)-f(x0)< Nh vậy là số chung cho mọi x 0X, hay khi chia miền X . Chơng 3 Hàm số và giới hạn 3.1 Hàm số 1. Các định nghĩa a. Định nghĩa hàm số Cho tập XR, ánh xạ: f: XR đợc gọi là một hàm số xác định trên X, ký hiệu: y=f(x). . một hàm không có giới hạn trong một quá trình nào đó, còn định nghĩa 4 đợc sử dụng khi tìm giới hạn của hàm số trong quá trình đó. b. Giới hạn hàm khi x dần tới vô cực Định nghĩa 5: Cho hàm. gọi là giới hạn phải của x 0 , ký hiệu f(x 0 +0), nh vậy: f(x 0 +0)= Lxf xx = + )(lim 0 0 Định lý: Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) có giới hạn khi xx 0 là nó có giới hạn phải và giới hạn trái