HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ ppt

Trần Văn Minh_Nguyễn cao nhạc (Đồng chủ biên) Nguyễn huy hoàng_nguyễn văn việt nguyễn minh khoa_ Đặng thị Mai Phép tính GiảI tích hàm nhiều biến số thực Giáo trình toán A3 Dành cho cán bộ, sinh viên các ngành kinh tế kỹ thuật Nhà Xuất Bản Giao Thông Vận Tải Hà Nội 2004 Chơng 1 Hunh Ngc Cm -T internet Trang 1 Hàm số nhiều biến số 1.1 Tập hợp trong R n Xét không gian Ơclit n chiều R n (n>1): R n ={x=(x 1 ,x 2 ,,x n ): x i R, i= n,1 } Nh vậy mỗi phần tử x=(x 1 ,x 2 ,,x n ) là một bộ có sắp thứ tự gồm n số thực. Ta cũng gọi mỗi phần tử của R n là một điểm trong R n và ký hiệu chúng bằng các chữ cái in hoa: A, B, Trong tài liệu này chúng ta xét với n=2 hoặc n=3. Mọi khái niệm và kết quả thu đợc đều mở rộng đ- ợc cho n hữu hạn tuỳ ý. a. Khoảng cách giữa hai điểm: Giả sử M(x 1 ,x 2 ,,x n ), N(y 1 ,y 2 ,,y n ) là hai điểm trong R n , ta gọi khoảng cách giữa hai điểm đó, ký hiệu d(M,N), là số đợc xác định bởi: d(M,N)= = n i ii yx 1 2 )( (1) Từ (1) dễ dàng chứng minh đợc bất đẳng thức tam giác, với ba điểm A, B, C bất kỳ trong R n luôn có: d(A,C)d(A,B)+d(B,C) b. Lân cận: Cho M 0 R n và >0 đủ bé, ta gọi _lân cận của M 0 là tập hợp, ký hiệu u (M 0 ), xác định bởi: u (M 0 )={MR n :d(M 0 ,M)< } Ngời ta gọi mọi tập hợp chứa một _lân cận nào đó của M 0 là một lân cận của M 0 . c. Tập mở: Cho E là một tập trong R n . - Điểm ME đợc gọi là điểm trong của E nếu tồn tại một _lân cận nào đó của M nằm trong E. - Tập E đợc gọi là mở nếu mọi điểm của E đều là điểm trong. - Cho điểm M 0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi: E={M: d(M 0 ,M)<r} gọi là quả cầu mở bán kính r chứa M 0 . Hiển nhiên E là một tập mở. Thật vậy, giả sử M là một điểm bất kỳ thuộc E, hay d(M 0 ,M)<r. Đặt =r-d(M 0 ,M) khi đó u (M 0 ) nằm hoàn toàn trong E, vì nếu M u (M 0 ) thì d(M 0 ,M)< , khi đó theo bất đẳng thức tam giác ta có: d(M 0 M)d(M 0 ,M)+d(M,M)<d(M 0 ,M)+ =r d. Biên của tập hợp: Ta gọi M 0 là điểm biên của tập E nếu mọi u (M 0 ) vừa chứa những điểm thuộc E vừa chứa những điểm không thuộc E. Điểm biên của E có thể thuộc E mà cũng có thể không thuộc E. Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E. e. Tập đóng: Tập E đợc gọi là đóng nếu E chứa mọi điểm biên của nó. Cho điểm M 0 và số r>0, khi đó tập E xác định bởi: E={M: d(M 0 ,M)r} gọi là quả cầu đóng bán kính r chứa M 0 , còn tập: ={M: d(M 0 ,M)=r} là biên của quả cầu đó. f. Tập bị chặn: Tập E đợc gọi là bị chặn nếu tồn tại một quả cầu nào đó chứa nó. g. Tập liên thông và tập đơn liên: - Tập E đợc gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kỳ của E bằng một đờng liên tục nằm trong E. Tập E đợc gọi là đơn liên nếu biên của E là một tập liên thông, E đợc gọi là tập đa liên nếu biên của E là tập không liên thông. Hình 1 Trong hình 1, miền vành khuyên là miền liên thông, nhng có hai biên; miền trong của Lemnixcat có một biên nhng không liên thông. 1.2 Hàm nhiều biến số 1. Định nghĩa: Cho D là một tập con trong R n . Ta gọi ánh xạ: Hunh Ngc Cm -T internet Trang 2 f: DR cho ứng mỗi x=(x 1 ,x 2 ,,x n )D với một số thực xác định u là một hàm số n biến xác định trên D và ký hiệu: u=f(x 1 ,x 2 ,,x n ) Nếu xem (x 1 ,x 2 ,,x n ) là toạ độ của điểm MR n thì ta cũng có thể viết u=f(M). Nếu n=2 hay n=3 ta thờng dùng ký hiệu: z=f(x,y) hay u=u(x,y,z). Ta gọi D là miền xác định và f(D) là miền giá trị của hàm f. Nếu hàm hai biến cho bởi: z=f(x,y) trong đó f(x,y) là một biểu thức của x,y thì ta nói hàm hai biến cho dới dạng hiện. Nếu từ biểu thức: (x,y,z)=0 với mỗi (x,y)D ta xác định đợc z tơng ứng để biểu thức trên thoả mãn thì ta nói biểu thức xác định một hàm ẩn hai biến z=z(x,y). Trong các biểu thức trên x,y là các biến độc lập, còn z là biến phụ thuộc. Nếu từ hệ thức: = = 0),,,,( 0),,,,( vuzyxG vuzyxF với mỗi (x,y,z) ta xác định đợc u, v tơng ứng để hệ thức thoả mãn thì ta nói hệ thức xác định một hệ hai hàm ẩn ba biến: u=u(x,y,z) v=v(x,y,z) 2. Miền xác định và ý nghĩa hình học của hàm hai biến Nếu hàm z cho bởi biểu thức z=f(x,y) thì miền xác định của z là tập tất cả những điểm M(x,y) R 2 sao cho biểu thức f(x,y) có nghĩa, nó thờng là một tập liên thông trong R 2 . Nếu z=f(x,y) có miền xác định D thì tập hợp: ={(x,y,z): x,yD}R 3 đợc gọi là đồ thị của hàm z=f(x,y). Khi (x,y) chạy trên D, thì điểm M(x,y,z) vẽ lên một mặt trong không gian, nh vậy là một mặt trong không gian mà hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng Oxy là miền xác định D. Ví dụ 1.1: Tìm và biểu diễn hình học miền xác định của hàm số: a. xy x z += 2 arcsin Miền xác định đợc xác định từ bất đẳng thức kép: 0 1 2 1 xy x Vậy ta đợc: 0,0 22 yx x hoặc 0,0 22 yx x Có biểu diễn hình học là hình 2a. b. u= 2 2 2 2 2 2 1 c z b y a x Miền xác định 1 2 2 2 2 2 2 ++ c z b y a x , đó là một elipxôit, hình 2b. Hình 2a Hình 2b Hunh Ngc Cm -T internet Trang 3 Ví dụ 1.2: Biểu diễn hình học hàm số: a. x 2 +y 2 =3-z là Paraboloit có đỉnh (0,0,3), hình 3a. b. x 2 +y 2 =(6-z) 2 là nón có đỉnh (0,0,6), hình 3b. c. x=y 2 là mặt trụ đứng có đờng sinh là x=y 2 và đờng chuẩn là Oz, hình 3c. Hình 3a Hình 3b Hình 3c 1.3 Giới hạn và liên tục 1. Giới hạn của hàm hai biến Trong mặt phẳng, khi cho xx 0 , yy 0 thì điểm M(x,y) dần đến điểm M 0 (x 0 ,y 0 ), điều này tơng đơng với khoảng cách: 0)()(),( 2 0 2 00 += yyxxMM Cho z=f(x,y)=f(M) xác định trên tập D và M 0 (x 0 ,y 0 ) là một điểm có thể thuộc D hoặc không thuộc D. Định nghĩa 1: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi MM 0 nếu >0, >0 sao cho MD, 0<(M 0 ,M)<:f(M)-a<. Ký hiệu: aMf MM = )(lim 0 hoặc ayxf yy xx = ),(lim 0 0 hoặc ),(lim ),(),( 00 yxf yxyx Ngời ta chứng minh đợc định nghĩa 1 tơng đơng với định nghĩa sau: Định nghĩa 2: Ta nói hàm z=f(M) có giới hạn a khi MM 0 nếu với mọi dãy điểm M n (x n ,y n ) (M n D) dần đến M 0 (x 0 ,y 0 ) ta đều có: ayxf nn n = + ),(lim Chú ý: 1. Theo định nghĩa, giới hạn của hàm số không phụ thuộc cách thức điểm M dần đến M 0 , do đó nếu M dần đến M 0 theo những cách thức khác nhau mà hàm có giới hạn khác nhau thì hàm số không có giới hạn khi M dần đến M 0 . 2. Cũng nh hàm một biến số ta cũng có các định nghĩa tơng tự dới đây: = ),(lim 0 0 yxf yy xx , ayxf y x = ),(lim , = ),(lim yxf y x 3. Các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích , thơng đối với hàm một biến cũng đúng với hàm nhiều biến và đợc chứng minh tơng tự. Ví dụ 1.3: Tìm giới hạn: a. 22 0 0 )sin( lim yx xy y x + Ta thấy hàm số f(x,y)= 22 sin yx xy + xác định với mọi (x,y)(0,0). Hunh Ngc Cm -T internet Trang 4 Cho (x,y)(0,0) theo phơng của đờng thẳng y=kx ta có: 22 0 0 )sin( lim yx xy y x + = 222 2 0 22 2 0 1)1( lim )1( sin lim k k xk kx xk kx xx + = + = + Vậy khi (x,y)(0,0) theo những phơng khác nhau ta đợc những giới hạn khác nhau, nên hàm đã cho không có giới hạn khi (x,y)(0,0). b. 22 0 0 lim yx xy y x + Hàm số f(x,y)= 22 yx xy + xác định với mọi (x,y)(0,0). Do )0,0(),(,1 22 + yx yx x nên: yy yx x yx xy + = + 2222 Vậy 22 0 0 lim yx xy y x + =0 2. Tính liên tục của hàm nhiều biến số Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x,y)=f(M) xác định trong miền D và M 0 (x 0 ,y 0 ) là điểm thuộc D. Ta nói rằng f(M) liên tục tại M 0 nếu tồn tại giới hạn: )()(lim 0 0 MfMf MM = Cho x 0 và y 0 các số gia tơng ứng x và y , khi đó biểu thức: ),(),( 0000 yxfyyxxff ++= gọi là số gia toàn phần của f(x,y) tại (x 0 ,y 0 ). Ta thấy, f(x,y) liên tục tại (x 0 ,y 0 ) khi và chỉ khi: 0lim 0 0 = f y x Nếu f(M) không liên tục tại M 0 thì ta nói nó gián đoạn tại M 0 . Hiển nhiên M 0 là điểm gián đoạn của f(M) khi: (i) Hoặc f(M) không xác định tại M 0 . (ii) Hoặc f(M) xác định tại M 0 nhng không tồn tại giới hạn của f(M) khi MM 0 . (iii) Hoặc f(M) xác định tại M 0 và tồn tại giới hạn khi MM 0 nhng giới hạn đó khác f(M 0 ). Hàm f(M) đợc gọi là liên tục trên D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Nếu D là miền đóng và f(M) liên tục trên D thì cũng giống nh hàm một biến, khi đó f(M) bị chặn trên D, nó đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên miền ấy. Ví dụ 1.4: Khảo sát tính liên tục của hàm số: f(x,y)= = + )0,0(),(0 )0,0(),( 22 yxkhi yxkhi yx xy Trong đó là một số dơng. Ta thấy, f(x,y) liên tục với mọi (x,y)(0,0) vì nó là thơng của hai hàm liên tục có mẫu số khác không. Xét tại điểm (0,0), theo bất đẳng thức Côsi ta có: )( 2 1 22 yxxy + Do đó 122 )( 2 1 ),( + yxyxf Nếu >1 ta có 0),(lim 0 0 = yxf y x , hay f(x,y) liên tục tại (0,0). Nếu 1 ta có: f(x,x)= )1(22 2 2 1 2 = xx x Hunh Ngc Cm -T internet Trang 5 không dần đến không khi x0, do đó f(x,y) không liên tục tại (0,0). 1.4 đạo hàm và vi phân 1. Đạo hàm riêng Định nghĩa 4: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm M 0 (x 0 ,y 0 )D. Cho y=y 0 cố định, nếu hàm số một biến số z=f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x=x 0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) đối với x tại (x 0 ,y 0 ) và ký hiệu là: f x (x 0 ,y 0 ) hay z x (x 0 ,y 0 ), Hoặc x yxf ),( 00 hay x yxz ),( 00 Nếu cho x 0 số gia 0 xxx = , khi đó: ),(),( 0000 yxfyxxff x += gọi là số gia riêng tơng ứng của x tại x 0 . Khi đó ta có: x yxfyxxf x f x yxf xx x x + = = ),(),( limlim ),( 0000 0 00 0 Tơng tự, nếu cho x=x 0 cố định, nếu f(x 0 , y) có đạo hàm tại y 0 thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng của f(x,y) tại (x 0 ,y 0 ) theo y. Ta cũng ký hiệu đạo hàm riêng theo y là: f y (x 0 ,y 0 ) hay z y (x 0 ,y 0 ), Hoặc y yxf ),( 00 hay y yxz ),( 00 Nếu cho y 0 số gia 0 yyy = , khi đó: ),(),( 0000 yxfyyxff y += gọi là số gia riêng tơng ứng của y tại y 0 . Khi đó ta có: y yxfyyxf y f y yxf yy y y + = = ),(),( limlim ),( 0000 0 00 0 Chú ý: 1. Các đạo hàm riêng của hàm số n biến (n3) đợc định nghĩa tơng tự. Hiển nhiên các đạo hàm riêng của hàm n biến trên D cũng là hàm của n biến trên D. 2. Khi tính đạo hàm riêng của hàm n biến theo một biến nào đó ta coi hàm chỉ phụ thuộc biến đó, các biến còn lại coi nh không đổi, rồi áp dụng mọi quy tắc đạo hàm cho hàm một biến số. Ví dụ 1.5: Cho hàm u= 222 1 ln zyx ++ Chứng tỏ rằng: 1= + + z u z y u y x u x . Đặt 222 zyxr ++= , khi đó u= r 1 ln . Do r x r x =' nên: r r r r r x u x x ' ' 1 2 = = 2 r x = Vì u(x,y,z) là hàm đối xứng đối với x,y,z nên ta có: y u 2 r y = , z u 2 r z = Do đó: = + + z u z y u y x u x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 == r r r z r y r x 2. Vi phân toàn phần a. Định nghĩa Định nghĩa 5: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm M 0 (x 0 ,y 0 )D. Hàm số z=f(x,y) đợc gọi là khả vi tại (x 0 ,y 0 ) nếu số gia toàn phần tại (x 0 ,y 0 ) có thể biểu diễn dới dạng: ),( yxoyBxAf ++= Trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc (x 0 ,y 0 ) mà không phụ thuộc x , y , còn o( x , y ) là một vô cùng bé cấp cao hơn 22 )()( yx += khi x , y dần tới không. Hunh Ngc Cm -T internet Trang 6 Biểu thức A x +B y gọi là vi phân toàn phần của f(x,y) tại (x 0 ,y 0 ), ký hiệu: df=A x +B y Nếu z=f(x,y) khả vi tại mọi điểm của miền (mở) D thì ta nói f(x,y) khả vi trên D. Mệnh đề: Nếu f(x,y) khả vi tại (x 0 ,y 0 ) thì nó liên tục tại đó. Thật vậy, nếu f(x,y) khả vi, từ biểu thức: ),( yxoyBxAf ++= Khi x , y dần đến không ta có f cũng dần đến không, hay f(x,y) liên tục tại (x 0 ,y 0 ). b. Điều kiện khả vi của hàm số Định lý 1: (Điều kiện cần) Nếu z=f(x,y) khả vi tại (x 0 ,y 0 ) thì nó có các đạo hàm riêng hữu hạn tại điểm đó và: y y z x x z dz + = Chứng minh: Vì z=f(x,y) khả vi tại (x 0 ,y 0 ), nên: ),( yxoyBxAz ++= Với y=0 ta có: x xo A x xoxA x z += + = )0,()0,( Do đó: A x z x z x = = 0 lim Tơng tự ta có: B y z y z x = = 0 lim Nên ta có: y y z x x z dz + = Tuy nhiên, ngợc lại, nếu z=f(x,y) có các đạo hàm riêng tại (x 0 ,y 0 ) cha chắc nó đã khả vi tại đó. Ví dụ 1.6: Xét hàm: f(x,y)= = + )0,0(),(0 )0,0(),( sin 22 yxkhi yxkhi yx xy Tại (x 0 ,y 0 )=(0,0) ta có: f x (0,0) 0 )0,0()0,( lim 0 = = x fxf x Tơng tự có: f y (0,0)=0. Tuy nhiên theo ví dụ 1.2, f(x,y) không liên tục tại (0,0) nên nó không khả vi tại đó. Nh vậy khác với hàm một biến số, đối với hàm nhiều biến số, điều kiện khả vi là mạnh hơn điều kiện hàm có các đạo hàm riêng tại một điểm. Tuy nhiên, định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện để hàm có đạo hàm riêng tại một điểm thì cũng khả vi tại đó. Định lý 2: (Điều kiện đủ để hàm khả vi) Nếu hàm z=f(x,y) có các đạo hàm riêng ở lân cận điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) và nếu các đạo hàm riêng đó liên tục tại M 0 (x 0 ,y 0 ) thì f(x,y) khả vi tại đó. Chứng minh: Ta có: ),(),( 0000 yxfyyxxfz ++= = )],(),([ 0000 yyxfyyxxf +++ )],(),([ 0000 yxfyyxf ++ áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến ta đợc: xyyxxfyyxfyyxxf x ++=+++ ),('),(),( 0100000 yyyxfyxfyyxf y +=+ ),('),(),( 2000000 trong đó 0< 1 , 2 <1. Do đó: yyyxfxyyxxfz yx ++++= ),('),(' 200010 Do f x và f y liên tục tại M 0 (x 0 ,y 0 ) nên khi cho x0, y0 ta có: Hunh Ngc Cm -T internet Trang 7 ),(),('),(' 100010 yxyxfyyxxf xx +=++ ),(),('),(' 200200 yxyxfyyxf yy +=+ trong đó 0),( 1 yx , 0),( 2 yx khi 0, yx . Do đó: ),(),('),(' 0000 yxoyyxfxyxfz yx ++= Hay z=f(x,y) khả vi tại (x 0 ,y 0 ). Chú ý: Cũng nh trờng hợp hàm một biến, nếu x,y là các biến độc lập thì x=dx, y=dy do đó ta có thể viết: dyzdxzdz yx '' += và các công thức trên cũng đợc mở rộng cho hàm n biến. Ví dụ 1.7: Tính vi phân toàn phần của y x arctgz = Do 22 ' yx y z x + = , 22 ' yx x z y + = Nên với (x,y)(0,0) ta có: dy yx x dx yx y dz 2222 + + = c. ứng dụng vi phân tính gần đúng Tơng tự nh hàm một biến số, từ định nghĩa vi phân toàn phần ta có công thức tính gần đúng: yyxfxyxfyxfyyxxf yx ++++ ),('),('),(),( 00000000 Ví dụ 1.8: Tính gần đúng 95,0 02,1 arctg Chọn z= y x arctg , (x 0 ,y 0 )=(1,1), x=0,02, y=-0,05. Theo ví dụ 1.7 ta có: 22 ' yx y z x + = , 22 ' yx x z y + = , nên: 95,0 02,1 arctg 82,0035,0 4 )05,0( 2 1 02,0 2 1 1 +=+ arctg 3. Đạo hàm của hàm hợp a. Hàm hợp của hàm hai biến Giả sử z=f(u,v), trong đó u, v là hàm của hai biến độc lập x,y: = = ),( ),( yxvv yxuu Khi đó ta nói z là hàm hợp của hai biến x,y và viết: z=f(u(x,y),v(x,y)) Chúng ta có công thức tính đạo hàm của hàm hợp từ định lý sau: Định lý 3: Nếu f có các đạo hàm riêng u f , v f liên tục trong trên miền và nếu u, v có các đạo hàm riêng x u , y u , x v , y v liên tục trong miền D, u(D) và v(D) thì khi đó trên D tồn tại các đạo hàm riêng x z , y z và: + = + = y v v f y u u f y z x v v f x u u f x z (2) Công thức (2) có thể viết dới dạng sau: Hunh Ngc Cm -T internet Trang 8 y z x z = y v y u x v x u v f u f (3) Ma trận: y v y u x v x u và gọi là ma trận Jacôbi của u,v đối với x,y còn định thức của nó gọi là định thức Jacôbi, ký hiệu: = ),( ),( yxD vuD y v y u x v x u (4) Ví dụ 1.9: Tính các đạo hàm riêng của hàm hợp cho bởi: z=e u ln(u+v) với += = 22 2 yxv xyu Ta có: z u =e u [ln(u+v)+ vu + 1 ] z v =e u vu + 1 , u x =2y, v x =2x Vậy ta có: x v v f x u u f x z + = =e u y vu vu 2 1 )ln( + ++ +e u vu + 1 2x = + ++ )( 2 )ln( 42 yx yxye xy Do tính đối xứng của x,y trong biểu thức, tơng tự ta có: + ++= )( 2 )ln( 42 yx yxxe y z xy b. Hàm hợp của hàm một biến Xét trờng hợp z=f(x,y), trong đó x,y đều là hàm của biến độc lập t: = = )( )( tyy txx Khi đó z=f(x(t),y(t)) là hàm hợp một biến t, nên nó có đạo hàm theo t. Đây cũng chính là trờng hợp riêng của trờng hợp trên với u=x, v=y còn x=y=t. áp dụng công thức ta có: dt dy y f dt dx x f dt dz + = (5) Ví dụ 1.10: Cho z=sin(x 2 +y 2 ) với: = = tay tax 3 3 sin cos Ta có: )cos(2 22 yxx x z += , )cos(2 22 yxy y z += ttax t 2 cossin3' = ttay t 2 sincos3' = Hunh Ngc Cm -T internet Trang 9 dt dy y z dt dx x z dt dz + = = ( ) ]cos.[sin2sin.sincoscos3 4462622 ttttataa + Xét trờng hợp z=f(x,y), trong đó x là biến độc lập, còn y=y(x) là hàm của x, khi đó z=f(x,y(x)) là truờng hợp riêng của trờng hợp trên với t=x, nên ta có: dx dy y f x f dx dz + = (6) Ví dụ 1.11: Cho y x z arcsin= , 11 y x và y=x 2 Ta có: 22 2 2 1 1 1 xy y x y x z = = 22 2 2 2 1 xyy x y x y x y z = = Do y x =2x nên: dx dy y f x f dx dz + = = y x xy 2 22 2 1 1 = 24 1 xx 4. Đạo hàm của hàm ẩn a. Điều kiện tồn tại hàm ẩn Ta thấy, biểu thức: F(x,y)=0 (7) có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn y=y(x). Biểu thức: F(x,y,z)=0 (8) có thể xác định một hoặc nhiều hàm ẩn hai biến z=z(x,y). Hệ thức: = = 0),,,,( 0),,,,( vuzyxG vuzyxF (9) có thể xác định một hoặc nhiều cặp hàm ẩn u=u(z,y,z), v=v(x,y,z). Ta thừa nhận các định lý sau về sự tồn tại, tính liên tục và khả vi của các hàm số ẩn. Định lý 4: Giả sử F(x 0 ,y 0 )=0, nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) và nếu F y (M 0 )0 thì hệ thức F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y=y(x) trong một lân cận nào đó của x 0 , hàm số đó có giá trị y 0 khi x=x 0 , liên tục và có đạo hàm liên tục tại lân cận nói trên. Định lý 5: Giả sử F(x 0 ,y 0 ,z 0 )=0, nếu hàm số F(x,y,z) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ) và nếu F z (M 0 )0 thì hệ thức F(x,y,z)=0 xác định một hàm ẩn z=z(x,y) trong một lân cận nào đó của (x 0 ,y 0 ), hàm số đó có giá trị z 0 khi (x,y)=(x 0 ,y 0 ) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận nói trên. Định lý 6: Giả sử: = = 0),,,,( 0),,,,( 00000 00000 vuzyxG vuzyxF Nếu các hàm số F(x,y,z,u,v) và G(x,y,z,u,v) có các đạo hàm riêng liên tục ở lân cận của điểm M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0 ,u 0 ,v 0 ) và nếu tại các điểm ấy định thức Jacôbi: 0 '' '' ),( ),( = vu vu GG FF vuD GFD (10) thì hệ thức: = = 0),,,,( 0),,,,( vuzyxG vuzyxF xác định hai hàm ẩn u=u(x,y,z) và v=v(x,y,z) trong lân cận nào đó của điểm (x 0 ,y 0 ,z 0 ), chúng có giá trị tơng ứng là u=u 0 , v=v 0 khi (x,y,z)=(x 0 ,y 0 ,z 0 ), chúng liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận đó. b. Đạo hàm của hàm ẩn Giả sử các điều kiện của các định lý trên đợc thoả mãn. Hunh Ngc Cm -T internet Trang 10 [...]... 2 10 + 5 = 3 3 3 3 l M0 =2, 1 3 u = xy z cos = M0 =5 6 Đạo hàm và vi phân cấp cao a Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm số z=f(x,y), các đạo hàm riêng cấp một z x, zy của nó hiển nhiên cũng là các hàm của hai biến x,y Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một này, nếu tồn tại, sẽ đ ợc gọi là các đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai với ký hiệu là: f 2 f = f " x2 , = x x ... hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai, nếu có, gọi là các đạo hàm riêng cấp ba Trong các đạo hàm riêng cấp hai f " x 2 , f " y 2 gọi là các đạo hàm vuông, còn f " xy , f " yx gọi là các đạo hàm chữ nhật Thông thờng, các đạo hàm riêng cấp cao không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, điều đó đợc chỉ ra bằng định lý sau Định lý 8: ( Định lý Schwartz) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm M 0(x0,y0) hàm. .. cực trị của hàm số z=f(x,y) (22) trong đó (x,y) bị ràng buộc bởi hệ thức (x,y)=0 (23) là cực trị có điều kiện Ta thấy (23) là phơng trình của đờng cong trong mặt phẳng, nh vậy cực trị có điều kiện chính là cực trị của hàm (22) trên một đờng cong Nếu từ (23) ta rút đợc y theo x để có hàm hiện y=y(x), khi đó (22) trở thành z=f(x,y(x)) là hàm một biến số, do đó ta có thể dùng cực trị hàm một biến để tìm... Các điểm cực trị theo định nghĩa là cực trị địa phơng Nh vậy trên D hàm f(x,y) có thể có nhiều cực trị Định lý 11:( Điều kiện cần để hàm đạt cực trị) Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại M0(x0,y0) mà tại đó có các đạo hàm riêng f x(x0,y0), fy(x0,y0) thì các đạo hàm đó bằng không Thật vậy, vì f(x,y) đạt cực trị tại (x 0,y0) nên các hàm một biến f(x,y 0) và f(x0,y) cũng đạt cực trị tại x 0 và y0 vì vậy theo... M0(x0,y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm (22) với điều kiện (23) Nếu (i) ở lân cận M0 các hàm số f(x,y) và (x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục (ii) các đạo hàm riêng x, y không đồng thời bằng không tại M0 Khi đó tại M0 có: f 'x f 'y 'x 'y =0 (24) Chứng minh: Vì hệ thức (23) xác định một hàm ẩn y=y(x) khả vi ở lân cận x 0 Thay y=y(x) vào (22), hàm một biến z=f(x,y(x)) đạt cực trị tại x0 nên:... yx, yxx, yxxx với x+y2=1 17 Tính đạo hàm hàm ẩn y(x),z(x) xác định bởi hệ: x = r cos y = r sin x + y + z = 0 2 2 2 x + y + z = 1 x+z 18 Cho u= , với z=z(x,y) là hàm ẩn xác định từ y+z zez-xex-yey=0 Tính ux, uy 19 Tính các đạo hàm riêng cấp hai và vi phân cấp hai của các hàm số a z= 1 x2 + y2 3 b z= xy ln x 2 + y 2 c z=ln(x+ 1 + x 2 ) 20 Chứng minh rằng 1 a Hàm số u=ln 2u x 2 + x 2 2u y 2 =0 1... phơng trình x2 + y2 b Hàm số u=ln 2u d z=arctg + 2u z 2 thoả mãn phơng trình =0 21 Hàm số f(x1,x2,,xn) gọi là thuần nhất bậc k nếu f(tx1,tx2,,txn)=tkf(x1,x2,,xn), t>0 a Chứng minh rằng nếu f(x1,x2,,xn) là thuần nhất bậc k thì các đạo hàm riêng của nó là thuần nhất bậc k-1 b Hàm f(x1,x2,,xn) là thuần nhất bậc k khi và chỉ khi n x i =1 i f = kf x i (công thức Ơle) 22 Tính đạo hàm của hàm u=x3y2z tại M0(1,2,-1)... )2 (x + y 2 )2 2 xy 2 xy x2 y2 dx2+2 2 dxdy+ 2 dy2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y 2 ) 2 (x + y ) d2z(0,1)=-2dxdy c Công thức Taylo Công thức Taylo cho hàm nhiều biến cũng đợc mở rộng từ hàm một biến bằng định lý sau: Định lý 9: Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp (n+1) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm M0(x0,y0) Nếu điểm M(x0+x,y0+y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có: d 2 f ( x0 ,... góc hạ từ O xuống đờng thẳng, vậy M0 là điểm cực tiểu (Hình 7) Hình 7 Ta cũng có thể dùng hàm bổ trợ: F(x,y)=f(x,y)+(x,y) =x2+y2+(ax+by+c) Khi đó: Fx=2x+a, Fxx=2, Fxy=0, Fyy=2 Do đó d2F=2(dx2+dy2)>0 nên M0 là điểm cực tiểu 3 Giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm trên miền đóng Cũng nh hàm một biến số, nếu hàm hai biến f(x,y) liên tục trên miền đóng D thì nó có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên... Ngc Cm -T internet Trang 12 dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn ấy đợc gọi là đạo hàm của hàm u(x,y,z) theo hớng , ký l hiệu: u ( M 0 ) l Hiển nhiên đạo hàm của u(x,y,z) theo hớng , biểu thị tốc độ biến thiên của u theo l l Định lý 7: Nếu hàm u=u(x,y,z) khả vi tại M0(x0,y0,z0) thì tại điểm ấy nó có đạo hàm theo mọi hớng l và ta có: u ( M 0 ) u ( M 0 ) u ( M 0 ) u ( M 0 ) cos + cos + cos . hàm riêng của hàm số n biến (n3) đợc định nghĩa tơng tự. Hiển nhiên các đạo hàm riêng của hàm n biến trên D cũng là hàm của n biến trên D. 2. Khi tính đạo hàm riêng của hàm n biến theo một biến. với hàm một biến số, đối với hàm nhiều biến số, điều kiện khả vi là mạnh hơn điều kiện hàm có các đạo hàm riêng tại một điểm. Tuy nhiên, định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện để hàm có đạo hàm. (0,0). 1.4 đạo hàm và vi phân 1. Đạo hàm riêng Định nghĩa 4: Cho hàm số z=f(x,y) xác định trên miền D và điểm M 0 (x 0 ,y 0 )D. Cho y=y 0 cố định, nếu hàm số một biến số z=f(x,y 0 ) có đạo hàm tại