Hàm số và giới hạn hàm số 1 biến

Hàm số và giới hạn hàm số một biến x min m X x  : Giá trị nhỏ nhất Nếu fx cho bởi một công thức mà không nói gì thêm thì miền xác định là tập hợp tất cả giá trị x  để fx có nghĩa..

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

PHẦN II HÀM SỐ - ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Chương 3

HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN

3.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN:

3.1.1 Ánh xạ:

Cho X, Y là hai tập bất kỳ Nếu x  X, được cho tương ứng duy nhất một y 

Y theo một qui tắc f thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y và được ký hiệu một trong các dạng sau:

) x ( y x

Y X

:

f





a) Nếu với mọi x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) thì f được gọi là đơn ánh b) Nếu với mỗi y  Y, tồn tại x  X sao cho y = f(x) thì f được gọi là toàn ánh c) f được gọi là song ánh từ X lên Y nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh

Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngược của f thì:

a) x  X, y  Y: y = f(x)  x = f-1(y)

b) f[f-1(y)] = y với mọi y  Y

c) f[f-1(x)] = x với mọi x  X

3.1.2 Hàm số và miền xác định của hàm số:

Với X  , một ánh xạ f: X được gọi là một hàm số một biến Ký hiệu y = f(x), f(x) hay f

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

) x ( min

m

X x

 : Giá trị nhỏ nhất

Nếu f(x) cho bởi một công thức mà không nói gì thêm thì miền xác định là tập hợp tất cả giá trị x  để f(x) có nghĩa

Ví dụ: y x21 có miền xác định là x2 – 1  0 <=> x  -1, x  1

3.1.3 Đồ thị của hàm số :

Đồ thị của hàm số f với miền xác định X là tập C = {(x,f(x): x  X} và ta đồng nhất nó với quỹ tích các điểm có toạ độ (x,f(x)) (x  X) trên mặt phẳng toạ độ Descartes Oxy

3.1.4 Các phép toán trên hàm số :

Giả sử các hàm số f, g có cùng miền xác định X, ta có:

(f + g) = f(x) + g(x), x  X

(f - g) = f(x) - g(x), x  X

(fg)(x) = f(x)g(x), x  X

f/g = f(x)/g(x), x  X: g(x)  0

af = af(x), x  X, a 

Ví dụ: Cho 3 hàm số f(x) = 2x2 + 1, g(x) x , h(x) = x + 1 Xác định hàm số (f – 3g)/h và miền xác định của nó

Giải:

1 x

1 x 3 x h

) g











0 1 x

0 x

















3.1.5 Hàm số hợp:

Cho hàm số y = f(u), u = g(x) Khi đó, hàm số y = f[g(x)] được gọi là hàm số hợp của f và g Ký hiệu là fog

Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên ta có gof, hog

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

1 x g

3.1.6 Hàm số ngược:

Cho hàm số f(x) có miền xác định X Nếu f: XY là một song ánh (phép tương ứng 1 – 1) thì f-1: YX được gọi là hàm số ngược của f

Đồ thị của f và f-1 đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x

Ví dụ: Hàm số y x3 có hàm số ngược là 3

x

y  Hàm số y = x4 không tồn tại hàm số ngược

3.1.7 Hàm số đơn điệu:

Cho hàm số f xác định trên (a,b)

- Hàm số f được gọi là tăng nếu: x1,x2  (a,b): x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

- Hàm số f được gọi là giảm nếu: x1,x2  (a,b): x1 < x2 => f(x1) > f(x2)

Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu

Chú ý:

- Một hàm số đã cho có thể không đơn điều trên miền xác định X của nó, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X

- Nếu hàm số f có miền xác định là một khoảng M và f đơn điệu trên N thì f có hàm số ngược f-1: N = f(M)M và ta có

f tăng (giảm) trên M  f-1 tăng (giảm) trên N

Ví dụ: y = x2 là hàm số không tăng, không giảm

y = x2, x  [0,2] là hàm số tăng

3.1.8 Hàm số bị chặn :

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

Chú ý : Hàm số f bị chặn khi và chỉ khi f bị chặn trên và bị chặn dưới

3.1.9 Hàm số tuần hoàn:

Cho hàm số f có miền xác định X Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu:

T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X

Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f Một hàm số tuần hoàn có thể có hoặc không có chu kỳ cơ sở

Ví dụ: Hàm sinx, cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 2

Hàm tg(x), cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=

Ví dụ: Hàm số Dirichlet









ti neu x vo 0

huu ti neu x 1 f(x)

Đây là hàm số tuần hoàn vì f(x) = f(x+T) với T là hữu tỉ hoặc vô tỉ Nhưng không tìm được T > 0 nhỏ nhất để f(x) = f(x+T) với mọi x 

3.1.10 Hàm số chẵn và hàm số lẻ

Cho hàm số f có miền xác định X, với x  X, -x  X :

a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X

Nếu f là hàm số chẵn thì đồ thị (C) đối xứng qua Oy:

(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (x,f(x))  (C) b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X

Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:

(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (-x,-f(x))  (C)

Ví dụ: y = x2 là hàm số chẵn

y = x3 là hàm số lẻ

3.1.11 Các hàm số sơ cấp cơ bản:

1 Hàm số hằng số:

y = c , c là hằng số

Hàm hằng số có miền xác định , tập giá trị {c}

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

2 Hàm số luỹ thừa:

y = x , với   Miền xác định của hàm số luỹ thừa phụ thuộc 

- Với  nguyên dương: miền xác định x 

- Với  nguyên âm: miền xác định x ≠ 0

- Với  có dạng 1/p, p  thì:

* Với p nguyên dương:

với p chẵn: miền xác định là +

với p lẻ: miền xác định là

* Với p nguyên âm thì miền xác định cũng phụ thuộc p chẵn hay lẻ

- Với  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x Miền xác định với mọi x ≥ 0 nếu 

> 0 và với mọi x > 0 nếu  < 0

Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu  < 0

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

3 Hàm số mũ: y = ax, a > 0, a ≠ 1

Số a gọi là cơ số của hàm số mũ Hàm số mũ xác định với mọi x dương

- Hàm số mũ tăng khi a > 1

- Hàm số mũ giảm khi a < 1

Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ

4 Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1

Số a được gọi là cơ số của logarit Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0

- Hàm số logarit là hàm số ngược của hàm số mũ y = logax <=> x = ay

- Hàm số logax tăng khi a > 1

- Hàm số logax giảm khi a < 1

Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

 Một số tính chất của logax:

loga(xy) = logax + Logay

y x

y

x

a a

logaxα = αlogax

x loga

a

x 

a

b b

c

c a

log

log

5 Hàm số lượng giác:

 Hàm y = sinx

Hàm số y = sinx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1]

Hàm sinx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2

 Hàm y = cosx

Hàm số y = cosx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1]

Hàm cosx là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

 Hàm y = tgx

Hàm số y = tgx có miền xác định  x ≠ (/2+k), k  và có miền giá trị là

Hàm số tgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và tăng trong từng khoảng xác định (/2+k, /2+(k+1)), k 

 Hàm y = cotgx

Hàm số y = cotgx có miền xác định  x ≠ k, k  và có miền giá trị là

Hàm số cotgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và giảm trong từng khoảng xác định (k, (k+1)), k 

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

6 Các hàm số lượng giác ngược:

 Hàm số y = arcsinx

Hàm số arcsinx là hàm số ngược của hàm số sinx:

y = arcsinx <=> x = siny Hàm arcsinx có miền xác định [-1,1], miền giá trị [-/2,/2]

Hàm arcsinx là hàm số tăng

 Hàm số y = arccosx

Hàm số arccosx là hàm số ngược của hàm số cosx:

y = arccosx <=> x = cosy Hàm arccosx có miền xác định [-1,1], miền giá trị [0,]

Hàm arccosx hàm số giảm

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

 Hàm số y = arctgx

Hàm số arctgx là hàm số ngược của hàm số tgx:

y = arctgx <=> x = tgy Hàm arctgx có miền xác định là , miền giá trị (-/2,/2)

Hàm arctgx là hàm lẻ, tăng

 Hàm số y = arccotgx

Hàm số arccotgx là hàm số ngược của hàm số cotgx:

y = arccotgx <=> x = cotgy Hàm arccotgx có miền xác định là , miền giá trị (0,)

Hàm arctgx là hàm lẻ, giảm

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

3.1.12 Hàm số sơ cấp:

Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp



















2 x

1 x sin e 2 lg y

2

2 x

là hàm số sơ cấp

















1 x , x

1 x , 1 x

y 2 không phải là hàm số sơ cấp























0 x , 1

0 x , 0

0 x , 1 x sgn

y gọi là hàm dấu của x, không phải làm hàm sơ cấp

3.2 GIỚI HẠN HÀM SỐ:

3.2.1 Các khái niệm:

3.2.1.1 Khái niệm lân cận:

 x được gọi là lân cận của x0   > 0 đủ nhỏ: 0 < x-x0 < 

 x được gọi là lân cận của +  M > 0 đủ lớn: x > M

 x được gọi là lân cận của -  N < 0 đủ nhỏ: x < N

Lận cận một phía:

 x thuộc lân cận bên phải của x0 và x > x0  x0 < x < x0 + 

 x thuộc lân cận bên trái của x0 và x < x0  x0 -  < x < x0

3.2.1.2 Giới hạn hữu hạn hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở

chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại) Số L được gọi là giới hạn của hàm số

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

 > 0, (4x + 1) – 9 <  <=> 4x - 2 <  <=> x - 2 < /4 Đặt  = /4 > 0 Vậy,  > 0,  = /4 > 0: 0 < x - 2 <   (4x + 1) – 9 < 

Nghĩa là lim(4x 1) 9

2

x  



3 x

9 x lim

2 3







Giải :

Giả sử L = 6, ta có:

 > 0,    





3 x 6

3 x

9

x2

Đặt  =  > 0

Vậy,  > 0,  =  > 0: 0 < x - 1 <    



 2 1 x

1

x2

3 x

9 x lim

2 3







Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x0 thì

) x (

)

x

(

x

x 0 

3.2.1.2 Giới hạn một bên :

a) Giới hạn bên phải: Với  > 0,  > 0: x0 < x < x0 +   f(x) – L <  L đượi gọi là giới hạn bên phải của f(x)

Ký hiệu : lim (x) L

0

x



 , lim (x) L

0

0 , x x x x







b) Giới hạn bên trái: Với  > 0,  > 0: x0 -  < x < x0  f(x) – L <  L đượi gọi là giới hạn bên trái của f(x)

Ký hiệu: lim (x) L

0

x



 , lim (x) L

0

0 , x x x x







Ví dụ: Tính

1 x

) x ( lim



:

















1 x , x

1 x , 1 x

Giải:

0 ) 1 x lim(

) x

(

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

1 x lim ) x

(

1 x 1

x













Định lý: lim (x) L

0

x

  lim (x) lim (x) L

0

x









3.1.2 Định nghĩa giới hạn vô hạn của hàm số:

 (x)

lim

0

x

M > 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) > M

 (x)

lim

0

x

N < 0 có trị tuyệt đối lớn tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0 <   f(x) < N

c) lim (x) L



 > 0, M > 0 đủ lớn: x > M  f(x) - L < 

d) lim (x) L



 > 0, N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn: x < N  f(x) - L < 



 x a

1 lim

a x

Giải:

Giả sử L = +, ta có:

M > 0,

A

1 a x M a x

1









a x

1 a

-x 0 M

1 0



















Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

Vậy,  > 0, M = 1/ > 0: x > M =>  0 

x

1

(đpcm)

3.1.3 Các định lý của giới hạn hàm số:

Định lý: Trong cùng một quá trình, nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B với A, B

 , thì

 lim(f(x)  g(x)) = A  B

 lim(f(x).g(x)) = AB

 lim(f(x)/g(x)) = A/B (B ≠ 0)

 limf(x)g(x) = AB (A > 0)

 limC = C

 lim(Cf(x)) = CA

Ghi chú:

Trong trường hợp A, B không thoả mãn điều kiện của định lý, ta cũng có thể xác định các giới hạn nói trên, ngoại trừ các trường hợp sau đây, gọi là dạng vô định,

ta cần phải khử nó

 - , 0., 0/0, /, 10, 1, 00, 0

Ví dụ: Tìm giới hạn

2 x

8 x lim

3 2

x 





Giải:

3 )

2 x (

) 4 x 2 x ( lim )

2 x )(

2 x (

) 4 x x )(

2 x ( lim 4 x

8 x

lim

2 2 x 2

2 x 2

3

2































Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0 Nếu

L ) x ( h lim

)

x

(

g

lim

0

x



0

x



Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f(u(x)) = f(L) = f(lim u(x))





















5 x x cos

2 3 x

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

2

cos(

x x 2

5 x x lim cos x

x 2

5 x x cos

2 3 x 3

2 3













































3.1.4 Một số giới hạn đặc biệt:

x

x sin lim

0



x

1 1 lim

x

x  















3) lim1 x1/x e

0

x  



x

1 a lim

x 0

x  



x

) x 1 ln(

lim

0

x  



6) Hàm số luỹ thừa:

0 x lim x

lim : 0

0 x

x  























 x 0 limx lim

: 0

0 x x

7) Hàm số mũ:

0 a lim

; a

lim : 1

x x

x  





























x x x

xlim a 0 lim a :

1 a 0 8) Hàm số logarit:

















 log x ; lim log x lim

: 1

0 x a

x

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

Ví dụ:



 arccotg(lnx)

lim

0

x

b)

3

2 3x

sin2x lim

0



c) lim (1 sinx) lim[(1 sinx) ] x e1 1

x sin x sin 1 0

x x / 1 0





3.1.5 So sánh vô cùng bé (VCB):

Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0

Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình, giả sử tồn tại: lim(f(x)/g(x)) = A:

 Nếu A = 0 : ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)

 Nếu A = : ta nói f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)

 Nếu A ≠ 0, A ≠ : ta nói f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc

 Nếu A = 1, ta nói f(x), g(x) là hai VCB tương đương Ký hiệu f(x)~g(x)

 Nếu A không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được

Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB trong cùng quá trình, Nếu f(x)~f1(x) , g(x)~g1(x) thì lim(f(x)/g(x)) = lim(f1(x)/g1(x))

Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x)

x

2 x lim ) 1 ln(x

) 2 sin(x

2 0 x 2 4

2 3 0 x 2

4

2 3 0

















x x

x x

x

3.1.6 So sánh vô cùng lớn (VCL):

Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu limF(x) = 

Trong cùng quá trình, nếu f(x) là VCB thì 1/f(x) là VCL và ngược lại

Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình, giả sử tồn tại:

lim(F(x)/G(x)) = A Nếu A =  : ta nói F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)

Nếu A = 0 : ta nói F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

Nếu A ≠ 0, A ≠  : ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc

Nếu A = 1, ta nói F(x), G(x) là hai VCL tương đương Ký hiệu F(x)~G(x)

Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x), G(x)~G1(x) thì lim(F(x)/G(x)) = lim(F1(x)/G1(x))

Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x)

trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x)

Ví dụ:

12

7 x 12

x 7 lim x 6 x x 12

x 6 x x 7

3 x

2 3

5 3

















3.2 HÀM SỐ LIÊN TỤC

3.2.1 Khái niệm liên tục :

Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trong khoảng (a,b), x0  (a,b) Hàm f được gọi là liên tục tại x0 nếu lim (x) (x0)

x

x 0 



Nếu chỉ có lim (x) (x0)

x

x 0 



 ( lim (x) (x0)

x

x 0 



 ) thì f được gọi là liên tục bên phải (hoặc bên trái) tại x0

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại

x0 Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:

- Hoặc f(x) không xác định tại x0

- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x  x0

- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x0

Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0

a) (x)2x1 khi x0

Chương 3 Hàm số và giới hạn hàm số một biến

Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b

3.2.2 Các định lý về hàm số liên tục:

Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x0:

 f(x)  g(x)

 f(x)g(x)

 f(x)/g(x) (g(x0)  0)

 f(x)g(x) (f(x0) > 0)

 cf(x) (c hằng số)

Định lý: Nếu u(x) liên tục tại x0, f(u) liên tục tại u0 = u(x0) thì f(u(x)) liên tục tại x0

Định lý: Nếu f liên tục trên đoạn [a,b]:

 f bị chặn trên đoạn [a,b], nghĩa là M sao cho |f(x)|  M, x  [a,b]

 f có giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn [a,b]

 Nếu f(a)f(b) < 0 thì x0  (a,b): f(x0) = 0

3.3 BÀI TẬP:

1 Tìm miền xác định của hàm số:

1)

x

x y







2

2

2)

2 3

1

lg 2









x x

x

4) y  e ln(sin x) 5) y cotg(sinx) 6)

x x

1 y





2 Tìm hàm số f(x) có dạng f(x) = ax + b, biết rằng f(0) = -2, f(3) = 5 (nội suy tuyến tính)

3 Tìm hàm số f(x) có dạng f(x) = ax2 + bx + c biết rằng f(-2) = 0, f(0) = 1, f(1) = 5 (nội suy bậc bậc 2)

4 Cho hàm số y = sgnx (đọc là dấu của x) được định nghĩa như sau: