Toán ứng dụng dãy số và giới hạn

Dãy hội tụ, phân kỳ 4- Tính chất của giới hạn dãy số 5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số.. Định lý kẹp 6- Dãy ñơn ñiệu.. Tiêu chuẩn ñơn ñiệu bị chặn.. Tiêu chuẩn phân kỳ... MINH HỌA HÌNH

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-BGĐT – TOÁN 1 BÀI 1: DÃY SỐ & GIỚI HẠN

TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006)

NỘI DUNG -1- Khái niệm dãy số Ba cách xác ñịnh dãy số

2- Ý tưởng giới h n dãy số

3- Định nghĩa giới h n dãy số Dãy hội tụ, phân kỳ

4- Tính chất của giới hạn dãy số

5- Phương pháp tìm giới hạn dãy số Định lý kẹp

6- Dãy ñơn ñiệu Tiêu chuẩn ñơn ñiệu bị chặn Số e

7- Dãy con Tiêu chuẩn phân kỳ

1 KHÁI NIỆM DÃY SỐ

-Dãy số x n : Tập hợp các số ñánh số thứ tự liên tiếp nhau:

x 1 , x 2 … x n … x 1 : số h ng thứ 1, …, x n : số h ng tổng quát.

VD: Dãy các số tự nhiên 1, 2, 3, … , n , … Số h ng tổng quát: x n = n với n ≥ 1.

VD: Dãy nghịch ñảo các số tự nhiên 1, 1/2, 1/3, … , 1/n , …

Số h ng tổng quát: x n = 1/n, n ≥ 1.

VD: Dãy 1, –1, 1, –1 … Số h ng tổng quát: x n = (–1) n – 1 ,

n ≥ 1 (hoặc x n = (–1) n , n ≥ 0: Có thể ñánh số lại dãy số!)

Dãy số có số hạng ñầu tiên, nhưng không có số hạng chót!

1 BA CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

-Mô tả (bằng l i): Đặc tính các số hạng của dãy VD: Dãy số tự nhiên, dãy số chẵn, số lẻ …

Công thức (biểu thức số hạng tổng quát): x n = f(n) : N → R VD:

x n = n 2 ⇒ Dãy số chính phương

Truy hồi: x n (số hạng ñứng sau) ñược tính bởi x n – 1 (số hạng ñứng trước) VD: x n 2 + x n−1

Dãy số x n có

thể ñược xác

ñịnh bởi 3 cách:

1 VÍ DỤ

-Các ví dụ dãy số ñược xác ñịnh hoặc bằng cách ñưa ra công thức tổng quát, hoặc viết ra vài số hạng của dãy

≥

−

≥

−

−

+

−

−

−

+

− +

−

+ +

+

∞

∞

∞

L L

L L

L L

L L

, 6

π cos ,

, 0

, 2

1 , 2

3 ,

1 0

, 6

π cos 6

π

cos

, 3 ,

, 3 , 2 , 1 , 0 3

, 3 3

, 3

) 1 (

) 1

( ,

, 27

4 ,

9

3 , 3

2 3

) 1 (

) 1 ( 3

) 1 (

)

1

(

, 1

,

, 4

3 , 3

2 , 2

1 1

1

0 3 1

n n

n a

n

n n

n a

n

n

n a

n

n

n n

n a

n

n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n

1 VD DÃY XÁC ĐỊNH QUA MÔ TẢ & DÃY TRUY HỒI

-Dãy số có thể ñược xác ñịnh qua cách mô tả (bằng lời):

Dãy số xác ñịnh theo kiểu truy hồi: Dãy Fibonacci với

công thức truy hồi:

f1 = 1 f2 = 1 fn = fn-1 + fn-2 n ≥ 3

{fn} = {1,1,2,3,5,8,13,21,…}

2 Ý TƯỞNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ

-Bằng máy tính, lập bảng giá trị các số h ng c a 2 dãy số:

1 2

2

+

n

n x

2

1 2

1 /

n

y b

n

n

− +

0.5625 0.4848

4

0.46 0.4902

5

0.3889 0.4737

3

0.75 0.4444

2

–0.5 0.3333

1

yn

xn n

1

x x2 x3 x4 x50.5

5

0

1

Khi n tăng, số h ng x n (và y n ) ngày càng tiến sát ñến L = 0.5 theo nghĩa: Khoảng cách |x n –L|

sẽ r t bé nếu chọn n lớn

-4 :

95 4 01

0

1 ,

1

2 2

2

L n

n

x n

(2 1)

2

1 2

1 1

2

+

− +

−

n n

n L

x n

?

c ε bất kỳ

? 001

0

Ngơn ngữ Giải tích: Khoảng cách |x n – L| r t bé nếu n lớn

• |x n – L| r t bé > 0 sẽ cĩ |x n – L| < ε (n thỏa đk nào đĩ)

• n lớn Tìm được số tự nhiên N 0 & chỉ xét n > N 0

a) nhất

lớn nguyên

số [a]

: thích

−1 2

1 2

1

0

ε

N

ĐS:

3 ĐỊNH NGHĨA GIỚI HẠN DÃY SỐ THỰC

-Kyù hieäu: x n L

n→ ∞

lim

L

ε

−

1

Ví dụ: Câu (c) ví dụ trước cho phép thiết lập:

2

1 1

2

2

+

∞

n

n

Nhận xét: x n − L < ε −ε < x n − L < ε L −ε < x n < L + ε

Số h ng x n (kể t n > N 0 ) ño n [L – ε, L + ε] Minh họa:

0

0 : ,

0

∞

Định nghĩa: Dãy số {x n } tiến ñến L (hoặc có giới hạn là L):

Khi dãy số tiến ñến L: ta nói dãy hội tụ (và có giới hạn là L) Trường hợp ngược lại: ta nói dãy phân kỳ

3 MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY HỘI TỤ

L

3 MINH HỌA HÌNH HỌC DÃY PHÂN K

Từ ñó kết luận về bản chất hội tụ hoặc phân kỳ của dãy

Vô số số hạng của dãy = 1 và = –1 ⇒ Dãy không tiến ñến

3 GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY BỊ CHẶN

h n vô cùng Nhưng Giới h n vô cùng vẫn là phân k !

0

0 : ,

∞

→

0

0 : ,

∞

→

Hiển nhiên ta có: Dãy bị chặn ⇒ Không có giới hạn vô cùng

4 PHÉP TỐN & TÍNH CHẤT C A GIỚI HẠN

-Nếu {x n }, {y n } là các dãy số hội tụ và a, b là hằng số thì:

0 0

lim lim

0

lim lim

lim lim

lim lim

lim

lim lim

lim

>

>

+ +

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

n

p n n

p n n

n n

n n

n n

n

n n

n n

n n

n n n

n n

n n

n n

n

x p

x x

y y

x y

x

y x

y x

y b

x a

by ax

và nếu

nếu

f: hàm sơ cấp ⇒ f(lim x n ) = lim f(x n ) VD: n n n

x x

n e e → ∞

∞

→

lim

lim

Dãy hội tụ ⇒ Bị chặn (⇐): Sai! dãy bị chặn nhưng phân kỳ

4 LIÊN HỆ GIỮA GIỚI HẠN DÃY VÀ GIỚI HẠN HÀM

x→ ∞

n→ ∞

Như vậy, khi tìm giới h n dãy số, ta cĩ thể thay n bằng x:

( ) lim ( ) (chỉ dùng khi an ở dạng f(n)) lim

x n

n

n→ ∞ → ∞ → ∞

∞

x r

x ⇒ Vậy ta cĩ lim 1 0, > 0

∞

n r

n

5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN

-Chuyển về các giới h n cơ bản & thay vào biểu thức cần tính giới h n (nếu giá trị biểu thức xác ñịnh)

⇒

<

<

∞

⇒

>

∞

→

∞

→

0 lim

1 0

lim 1

n n

n n

a a

a a

⇒

<

∞

⇒

>

∞

→

∞

→

0 lim

0

lim 0

n

n

n

n

VD: Tính các giới h n:

1

1

2 lim

2

−

+

∞

→ n

n a

n n

n

b

3 5

2

2

5 lim

/

+

−

∞

→

( )

( ) (1 ) 2

lim 1

1 lim 2

1 1

1

2 lim

2

2 2

2 2

−

+

−

+

∞

→

∞

→

∞

n n

n

n

n a

n

n n

( )

( )

1 5

3 2

5

5 2 1

5 lim

/

+

−

∞

n n

n

b

VD: Tìm

n

n

n

1 sin

lim

∞

→ Giải: lim sin 1 1 limsin 1

0

0 1

→

→

∞

x n

n x

n

5 TIÊU CHUẨN 3 DÃY KẸP

-Cho 3 dãy {x n }, {y n }, {z n}

≥

∀

≤

≤

∞

→

∞

N n

z y

x

n n

n n

n n

n

lim lim

0

a y

n

n n

⇒

∞

→

∞

→

lim

&

lim

n n

a

Hệ quả (hay sử dụng): lim 0 ⇒ lim 0

∞

→

∞

VD: Tìm các giới h n

n

c

∞

→

10 lim

/

n

n n

n

b / lim !

∞

→

( )

n a

n

n

1 lim

∞

→

0

1 lim

0

1 lim

1 lim

∞

→

∞

→

∞

a

n

n n

n

0

! lim 0

1 2

1

! 0

∞

→ n

n n

n

n n

n n

n

n n

n b

K

K

20 2

1

10

n c

n n

6 DÃY ĐƠN ĐIỆU

-VD: Khảo sát tính ñơn ñiệu c a dãy

3

2 +

n

x n

Giải: Dãy giảm do (hoặc xét x n – x n+1 ): 1

4

2 3

2

+

+

>

n n

x

Cách 2: ( )

2 '

: 1

, 3

2

2 < ⇒ ⇒ > + +

−

≥

x

x f

Dãy số {x n } ñược gọi là tăng khi x n < x n+1 với mọi n ≥ 1, và

giảm nếu x n > x n+1 với mọi n ≥ 1 Dãy tăng và dãy giảm

ñược gọi chung là dãy ñơn ñiệu

Dãy tăng ñược viết ở dạng: x 1 < x 2 < x 3 < … < x n < x n+1 < …

Dãy giảm ñược viết ở dạng: x 1 > x 2 > x 3 > … > x n > x n+1 > …

6 TIÊU CHUẨN DÃY ĐƠN ĐIỆU BỊ CHẶN

-Tiêu chuẩn Weirstrass: Dãy tăng & chặn trên thì hội tụ

Dãy giảm & chặn dưới thì hội tụ

+ +

+ +

n k

n

k n

x

1 2

2 2

2

1 1

3

1 2

1

VD: Khảo sát tính hội tụ của

Giải: Bước 1: Tính ñơn ñiệu

n

n

x

+

+

1

1

⇒ Dãy tăng

Bước 2: Dãy bị chặn trên:

( − )

+ +

+ +

<

n n

x n

1

1 3

2

1 2

1

1

2

1 2

1 1

1 3

1 2

1 2

1 1

−

+ +

− +

−

+

n n

n

6

1 2

1 1

lim

2 2

2 + +

+

∞

dựa trên kthức … lớp 9 (!), ñược Erdos gọi: Cminh của Chúa

6 SỐ e

-Mệnh ñề: Dãy số 1+ 1 , n ≥1

n x

n

n tăng và bị chặn trên

Hệ quả:

n

n→ ∞ + n

1 1

lim Giới hạn này ký hiệu là số e 2.718

1

1 1

1 1

1 1

+

+

<

+

+

n n

x

n

n n

Bñthức Côsi cho (n+1) số dương: n số = (1 + 1/n), 1 số = 1 ⇒ (1) Bước 2: Chặn trên: Khai triển nhị thức Newton và biến ñổi:

ñpcm :

3 2

1 2

1 2

2 1

1 1

!

1

1 1

! 2

1

n

n n

n n

L Euler chứng minh: e ix = cosx + isinx, x R ⇒ e i = –1 (*)

Hệ thức (*) liên hệ e, i và , ñược gọi là Công thức của Chúa!

7 DÃY CON – TIÊU CHUẨN PHÂN KỲ

-lim x n = a Mọi dãy con c a {x n } ñều → a: x a

k

n

klim→ ∞

∞

→ k

k k

n

x

,

Cho dãy {x n Dãy con c a dãy {x n }:

Dãy{x n } hội tụ Mọi dãy con của {x n } ñều có cùng giới hạn

Dãy {x n } phân kỳ

một dãy con phân kỳ của dãy {x n}

hai dãy con hội tụ có lim nhau

VD: Chứng tỏ dãy {x n } = {(–1) n } phân kỳ Giải: Xét x 2n & x 2n+1

VD: Dãy con:

{ }2 /{ 2 1}

/ x n b x n+ a