(Luận văn thạc sĩ) một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn dãy số luận văn thạc sĩ toán học 60 46 01 13

Nội dung của đề tài:"Một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn của dãy số" là hệ thống lại một sốphương pháp giải các bài toán về dãy số, ứng dụng dãy số trong giải một số bài toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

======================

TRẦN THỊ THANH THỦY

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH DÃY SỐ

VÀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành:PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa họcGS.TSKH.NGND NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - 2013

Lời nói đầu

Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình chuyên toán ở cáctrường THPT chuyên Các bài toán liên quan đến dãy số thường là những bài toánkhó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán cấp quốc gia, khu vực, quốc

tế, Olympic 30/04 và Olympic toán Sinh viên Các dạng toán về dãy số rất phong phú

và đa dạng và cũng rất phức hợp nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên

đề riêng biệt Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập tới một số vấn đề cơ bản củadãy số liên quan đến chương trình toán bậc trung học phổ thông Nội dung của đề tài:"Một số dạng toán về xác định dãy số và giới hạn của dãy số" là hệ thống lại một sốphương pháp giải các bài toán về dãy số, ứng dụng dãy số trong giải một số bài toán

và một số cách xây dựng bài toán mới về dãy số Để giải quyết được các bài toán này,

ta cần những kiến thức tổng hợp về dãy số, tính chất của dãy số, giới hạn của dãysố, Mục tiêu của luận văn là hệ thống phương pháp và xây dựng bài toán minh họa,tổng quát về các vấn đề đã nêu ở trên

Bố cục luận văn gồm 4 chương

• Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, tôi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số địnhnghĩa và các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài toán ápdụng

• Chương 2 Một số phương pháp giải bài toán tìm công thức số hạngtổng quát của dãy số

Mục đích của chương này trình bày các phương pháp tìm công thức số hạng tổngquát của dãy số như: Phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác, phươngpháp sử dụng phương trình sai phân và tính chất của hàm số, kỹ thuật tuyếntính hóa một số phương trình sai phân

• Chương 3 Một số phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số.Chương này hệ thống một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số như: phươngpháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy, xác định số hạng tổng quát rồitính giới hạn, phương pháp sử dụng tính đơn điệu, nguyên lý giới hạn kẹp, phươngpháp sai phân, phương pháp sử dụng định lý Stolz và định lý Cesaro

• Chương 4 Một số ứng dụng của dãy số

Chương này trình bày một số ứng dụng của dãy số để giải phương trình hàm, bấtphương trình hàm, để chứng minh bất đẳng thức và một số phương pháp thiếtlập bài toán mới về dãy số

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH.NGND.Nguyễn Văn Mậu Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp cácthắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tác giả hoànthành luận văn này

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy giáo, cô giáo KhoaToán-Cơ-Tin học và Semina Phương pháp toán sơ cấp của Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này

Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên cổ vũ và tạo điềukiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoahọc, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất Vì vậy, tác giảrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồngnghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2013

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các định lý cơ bản 1

1.2 Một vài dãy số đặc biệt 4

1.2.1 Cấp số cộng 4

1.2.2 Cấp số nhân 4

1.2.3 Cấp số điều hòa 5

1.2.4 Dãy Fibonacci 5

1.2.5 Dãy Farey 6

1.2.6 Dãy số dạng xn+1 = f (xn) 6

1.2.7 Dãy số dạng xn+1 = xn± (xn)α và định lý trung bình Cesaro 7

1.3 Một số bài toán áp dụng 7

2 Một số phương pháp giải bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số 16 2.1 Phương pháp quy nạp 16

2.2 Phương pháp thế lượng giác 20

2.2.1 Một số định lý bổ sung 20

2.2.2 Một số bài toán được định hướng bởi các công thức lượng giác 21 2.3 Phương pháp sai phân 28

2.3.1 Định nghĩa sai phân 28

2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính 28

2.3.3 Nghiệm của phương trình sai phân 29

2.3.4 Một số bài tập vận dụng 32

2.4 Tuyến tính hóa một số phương trình sai phân 36

3 Một số phương pháp giải bài toán tìm giới hạn của dãy số 43 3.1 Phương pháp sử dụng định nghĩa và tiêu chuẩn Cauchy 43

3.2 Phương pháp xác định số hạng tổng quát rồi tính giới hạn 46

3.2.1 Phương pháp 46

3.2.2 Một số bài toán 46

3.3 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu 51

3.4 Phương pháp sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp 57

3.5 Phương pháp sai phân 62

3.6 Phương pháp sử dụng định lý Stolz và định lý Cesaro 68

4.1 Ứng dụng của dãy số để giải phương trình hàm, bất phương trình hàm 714.2 Ứng dụng của dãy số để chứng minh bất đẳng thức 754.3 Một số phương pháp thiết lập bài toán mới về dãy số 814.3.1 Xây dựng dãy số là nghiệm của một họ phương trình 81

Chương 1

Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, tôi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định nghĩa

và các định lý cơ bản, một vài các dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng

ta thường dùng ký hiệu (un)n∈M, {un}n∈M, (un) hay {un}

Định nghĩa 1.2 ([1]-[3]) Cho dãy un, n ∈ N

• Dãy un được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu un≤ un+1 ∀n ∈ N

• Dãy (un) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nếu un≥ un+1 ∀n ∈ N

• Dãy (un) được gọi là dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt nếu un < un+1 ∀n ∈ N

• Dãy (un) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu un > un+1 ∀n ∈ N.Nhận xét 1.1 • Nếu (xn) tăng, (yn) tăng thì (xn+ yn) tăng

• Nếu (xn) giảm, (yn) giảm thì (xn+ yn) giảm

• Nếu (xn) tăng thì (−xn) giảm Và nếu (xn) giảm thì (−xn) tăng

• Nếu hai dãy dương (xn), (yn) cùng tăng (giảm) thì (xnyn) tăng (giảm)

• Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm Ví dụ xn = (−1)n ∀n ∈ N

Định nghĩa 1.3 ([1]-[3]) Cho dãy số (xn) n ∈ N.

• Dãy (xn) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số M sao cho

n un.Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được goi là dãy bị chặn

Định lý 1.1 Dãy (un) bị chặn khi và chỉ khi tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho

Nhận xét 1.2 Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi đó là dãy hằng

Định nghĩa 1.5 ([1]-[3]) Dãy {un} được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại

số nguyên dương s (s > 1) sao cho

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số {un} thỏa mãn (1.5) được gọi là chu kì cơ sởcủa dãy tuần hoàn nhân tính Dãy {un} được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tínhnếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số {un} thỏa mãn (1.6) được gọi là chu kì cơ sởcủa dãy phản tuần hoàn nhân tính.

Nhận xét 1.3 • Dãy phản tuần hoàn chu kì l là dãy tuần hoàn chu kì 2l

• Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kì s là dãy tuần hoàn chu kì s2

Định nghĩa 1.6 Dãy số (un) được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim

n→∞un= a, nếu với mọi

ε > 0 cho trước tùy ý, tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 đều có |un− a| < ε,tức là

lim

n→∞un= a ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0, |un− a| < ε

Định lý 1.2 (Tính duy nhất của giới hạn) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

Định lý 1.3 (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cho lim

• Dãy (kxn) hội tụ và lim

Định lý 1.8 Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ

Định lý 1.9 (Bolzano Veierstrass) Từ một dãy bị chặn, luôn rút ra được dãy con hộitụ

Định lý 1.10 (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy (xn) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0 cho trướctùy ý, tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có |xn− xm| < ε

Nhận xét 1.5 Nếu |q < 1| thì {un} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn Tổng của cấp

số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức S = u1

Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên trongnhiều lĩnh vực khác nhau Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổngquát của dãy là:

Công thức Binet

un= √1

5

1 +√52

!n

− √15

1 −√52

!n

o.Ngoại trừ F1, Fn có số lẻ các phần tử và 1

2 luôn nằm ở giữa Gọi

Định lý 1.11 Cho dãy số (xn) : x0 = α, xn+1= f (xn) Khi đó, nếu hàm số y = f (x)đồng biến, thì dãy đã cho đơn điệu

Khi đó, để biết dãy tăng hay giảm, cần xét dấu của biểu thức f (x) − x

Định lý 1.12 Cho dãy số (xn) : x0 = α, xn+1 = f (xn) Khi đó, nếu hàm số y = f (x)nghịch biến, thì dãy đã cho có hai dãy con (x2k) và (x2k+1) đơn điệu ngược chiều.Trong trường hợp này hai dãy con (x2n) và (x2n+1) là hai dãy con kề nhau Để biếtdãy nào tăng, dãy nào giảm ta xét dấu của f (f (x)) − x

Định nghĩa 1.12 Cho D là một tập đóng và bị chặn Ánh xạ f : D → D được gọi làmột ánh xạ co trên D nếu tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ q |x − y|với mọi x, y thuộc D

Định lý 1.13 Nếu f (x) là một ánh xạ co trên D thì dãy số {xn} xác định bởi

x0 = a ∈ D, xn+1 = f (xn) hội tụ Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D củaphương trình x = f (x)

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để dãy số un lập thành một cấp

số cộng là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức

2um+n = u2m+ u2n; ∀m, n ∈ N (1.7)Lời giải Điều kiện cần Giả sử dãy {un} là cấp số cộng với công sai d Khi đó

un= u0+ (n − 1)d

Cho nên

2um+n= 2u0 + 2(m + n − 1)dvà

u2n+ u2m= u0+ (2n − 1)d + u0+ (2m − 1)d = 2[u0+ 2(m + n − 1)d]

Ta có điều cần phải chứng minh

Điều kiện đủ Giả sử dãy un thỏa mãn điều kiện (1.7) Ta chứng minh dãy un làmột cấp số cộng với công sai d = u1− u0

Thay m = 0 vào (1.7) ta được

2un = u0+ u2n.Suy ra

Thay m = 1 vào (1.10), ta có

un+1= un+ u1− u0.Vậy {un} là một cấp số cộng

Bài toán 1.2 Chứng minh rằng để 3 số a, b, c là những số hạng của cùng một cấp sốcộng, điều kiện cần và đủ là tồn tại 3 số nguyên khác không p, q, r sao cho:

Vì a − b ≥ 0; b − c ≥ 0 nên các số nguyên p, r có cùng dấu

Thay p, q, r bởi −p, −q, −r, nếu cần có thể xem p, r là hai số nguyên dương

Đặt d = a − b

r thì ta cũng có d =

b − c

p .Vậy:

(

a − b = rd

b − c = pd

số cộng có số hạng đầu tiên c và công sai d.

Bài toán 1.3 Chứng minh rằng dãy số un của những diện tích được xác định bởihình dưới đây là một cấp số cộng:

Lời giải Gọi u1 là diện tích hình tròn được xác định đầu tiên:

Ta nhận thấy hiệu số giữa hai số hạng liên tiếp của (un) luôn là π

8.Nói cách khác, (un) chính là một cấp số cộng mà công sai là π

8.Bài toán 1.4 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để các dãy số dương unlập thànhmột cấp số nhân là dãy đã cho phải thỏa mãn hệ thức

u2m+n = u2mu2n, ∀m, n ∈ N (1.11)Lời giải Đặt lnun = bn, ∀n ∈ N, khi đó un = ebn và (1.11) có dạng

e2bm+n = eb2m +b 2n, ∀m, n ∈ N

2bm+n = b2m+ b2n, ∀m, n ∈ N (1.12)Theo bài toán (1.1) thì (1.12) chính là điều kiện cần và đủ để dãy {bn} lập thành mộtcấp số cộng với công sai d = b1− b0

Theo nhận xét(1.4) ta có điều phải chứng minh

Bài toán 1.5 (Thảm Sierpinki) Một hình vuông đơn vị được chia thành 9 hình vuôngbằng nhau, hình vuông ở giữa được tô màu, 8 hình vuông còn lại sẽ được chia theocách trên Nếu ta tiếp tục như thế đến vô tận thì giới hạn của phần diện tích được tômàu là bao nhiêu?

Lời giải

Ta đặt un là phần diện tích được thêm vào sau mỗi lần chia

Vào lần thứ n ta sẽ thêm vào 8(n − 1) hình vuông có diện tích là 1

9 của hình vuônglần trước Vậy un = 8

9un−1.

Ta suy ra rằng unlà một cấp số nhân với u1 = 1

9.Vậy diện tích thu được vào lần thứ n là:

Sn= u1+ u2+ · · · + un = u1

1 − 89

n

1 − 89



Do đó khi n → ∞ : lim

n→∞Sn= 1Thì diện tích thu được là 1 (đvdt)

Bài toán 1.6 Người ta dựng một dãy các đường tròn liên tiếp tiếp xúc nhau ∆n, n ≥ 1theo quy tắc sau:

• Hình tròn ∆0 có bán kính là R

• Hình tròn ∆n có bán kính bằng một nửa bán kính của hình tròn ∆n−1

1 Chứng minh rằng: mọi hình tròn ∆n đều nằm trong ∆0

2 Người ta gọi An là diện tích thu được là hợp tất cả các hình tròn ∆1, ∆2, , ∆ntrên Chứng minh rằng: dãy An giới hạn bằng 1

3 diện tích của hình tròn ban đầu ∆0.Lời giải Ta tạo một chuỗi hình tròn nội tiếp ∆n, n ≥ 1

• Hình tròn ∆0 có bán kính là R

• Hình tròn ∆n có bán kính bằng một nửa bán kính của hình tròn ∆n−1 (n ≥ 1) Vậy ta có cấp số nhân của các bán kính của những hình tròn này là:

1 Chứng minh rằng: mọi hình tròn ∆n đều nằm trong ∆0

Có nghĩa là ta phải chứng minh tổng các bán kính từ R1 đến Rn nhỏ hơn hoặc bằngR

S = R1+ R2+ · · · + Rn≤ R

Ta có

S = R1+ R2+ · · · + Rn= R1

1 − 12

n

1 − 12

(tổng một cấp số nhân có công bội 1

n

1 − 12

= lim

n→+∞2R1



1 − 12

n

= R,



R1 = R2



Vậy tất cả các hình tròn ∆n đều nằm trong ∆0

2 Gọi An là diện tích thu được là hợp tất cả các hình tròn ∆1, ∆2, , ∆n trên Chứngminh rằng: dãy An giới hạn bằng 1

3 diện tích của hình tròn ban đầu ∆0.

4Sn−1.Gọi An là diện tích này (trừ S0), suy ra

An = S1+ S2 + · · · + Sn= S1

1 − 14

n

1 −14

= 1

3S0



1 − 14

n

= 1

3S0.Bài toán 1.7 Cho hình vuông C0 có cạnh là a người ta xét một dãy các hình vuông

C1, C2, C3, , Cn, được dựng như hình vẽ dưới đây Với quan hệ các khoảng cáchnhư sau:

1 Có phải tất cả các hình vuông đều nằm trong hình vuông C0?

2 Xác định hình vuông nhỏ nhất có đỉnh là A (kí hiệu AB’C’D’ trong đó B’ thuộc(AB); C’ thuộc (AC); D’ thuộc (AD))chứa tất cả các hình vuông Cn

Lời giải ABCD là hình vuông có cạnh là a

Các cạnh của hình vuông C1, C2, , Cn được dựng sao cho

Độ dài AA1, A1A2, , An−1An lập thành cấp số nhân (un) với

n

1124



1 − 1324

n

≥ 1

⇔ 1324



1 − 1324

Hình vuông AB0C0D0 có cạnh AB0 = 13

11a.

Bài toán 1.8 Chứng minh rằng dãy số {un} (un6= 0, ∀n ∈ N) lập thành một cấp số

điều hòa khi và chỉ khi

Bài toán 1.9 (VMO, 1994, Bảng B) Cho dãy số Fibonacci {un}, (n = 1, 2, 3, )được xác định bởi:

u1 = u2 = 1, un+2 = un+1+ unvới mọi n = 1, 2, 3, Hãy tìm số nguyên dương m sao cho

Ta có

u42k+1+ u42k− 2u2

2k+1.u22k = u22k+1.u22k+ 2u2k.u2k+1+ 1.hay

u42k+1+ u42k = 3u22k+1.u22k+ 2u2k.u2k+1+ 1, ∀k = 1, 2, 3, Vậy m = 4 là số duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán

+ Bước 1:(Bước cơ sở) Kiểm tra A(n) đúng khi n = 1.

+Bước 2: (Bước quy nạp hay bước di truyền) Với k ∈ Z, k ≥ 1, giả sử A(n) đúng khi

n = k, ta chứng minh A(n) cũng đúng khi n = k + 1

+Bước 3: Kết luận A(n) đúng với mọi số nguyên dương n

Bài toán 2.1 (Đề thi OLYMPIC 30/4/1999) Xác định số hạng tổng quát của dãy số{un} biết rằng:

(

u1 = 2

un+1= 9u3

n+ 3un (n = 1, 2, 3, ) Lời giải Đặt Vn = 3un (n = 1, 2, 3, ) Ta có:

(

V1 = 6

Vn+1 = V3

n + 3Vn.Chọn x1, x2 sao cho:

24 = 2 cos π

24.b) Với k ∈ N, k ≥ 1, giả sử xk = 2 cos π

2k+1 Khi đó:

xk+1=√

2 + xk =

r2

 

1 + (k − 1) k (k + 4)

6

+ 2 − 3k

1 +

√22

= 2 −

√2

1 − tanπ

3 tan

π8

= tanπ

3 +

π8



* n = k ≥ 2:

uk= tanhπ

3 + (k − 1)

π8

i

i+ tanπ8

1 − tan

hπ

3 + (k − 1)

π8

i tanπ8

i

= tanhπ

3 + k

π8

i.Vậy:

un= tanπ

3 + (n − 1)

π8



⇒ u2003 = tan

π

3 + 2002

π8

1 − tanπ

3 tan

π4

2k + 1 = C

0

1 +C

1 1

2k + 1 Suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 2.6 (Canada 1985) Cho 1 < x1 < 2 Với n = 1, 2, 3, ta định nghĩa

xn+1= 1 + xn−x

2 n

2 Chứng minh rằng với mọi n ≥ 3 ta có

xn−√2 < 1

2n Trước hếthãy chứng minh bằng quy nạp rằng: 1 < xn < 3

2.Bài toán 2.7 (Vietnam TST 2006) Cho dãy số thực {an}, n = 0, 1, 2, xác địnhbởi a0 = 1 và an+1 = 1

2



an+ 13an

 Ký hiệu An = 3

3.a2

n− 1 Chứng minh rằng An là

số chính phương và An có ít nhất n ước nguyên tố khác nhau

Mỗi một công thức lượng giác sẽ cho chúng ta một đẳng thức đại số và nhiềudãy số có công thức phức tạp sẽ trở lên đơn giản hơn nếu như chúng ta khéo léo sửdụng các phép thế lượng giác Ở đây, chúng ta xét các bài toán được giải bằng cáchdựa trên các đặc trưng của một số đa thức đại số sinh bởi hàm số sin và cosin

2.2.1 Một số định lý bổ sung

Định lý 2.1 (Đa thức Tre-bư-sep) Giả sử cos(nt) = Pn(cos t) với Pn(x) là đa thứcbậc n Khi đó:

Pn 12



a + 1a



= 12



an+ 1

an

.Chú ý 2.1

• cosnt được biểu diễn thành một đa thức bậc n của cost được gọi là đa thức

Tre-bư - sep loại 1

• sinnt được biểu diễn thành tích của sint với một đa thức của cost được gọi là

đa thức Tre- bư - sep loại 2

Định lý 2.2 Giả sử sin((2k + 1)t) = P2k+1(sin t) với P2k+1(x) là đa thức bậc 2k + 1

Kí hiệu Q2k+1(x) là đa thức đại số bậc 2k + 1 sinh bởi P2k+1(x) bằng cách giữ nguyênnhững hệ số ứng với lũy thừa chia 4 dư 1 và thay những lũy thừa chia 4 dư 3 bằng hệ

số đổi dấu Khi đó:

Q2k+1 1

2



a − 1a



= 12



a2k+1− 1

a2k+1



2.2.2 Một số bài toán được định hướng bởi các công thức

Từ công thức truy hồi của dãy ta liên tưởng tới công thức góc nhân đôi Ta có:

• Nếu |u1| ≤ 1 thì tồn tại ϕ sao cho cosϕ = u1 Khi đó

u2 = 2cos2ϕ − 1 = cos 2ϕ, u3 = cos(22ϕ), , un = cos(2n−1ϕ)

• Nếu |u1| > 1 Xét số thực β sao cho

u1 = 12



β + 1β



β + 1β

Do đó

u1 = 12



β + 1β



= 12



β20 + 1

β2 0

,

u2 = 2u21− 1 = 2 1

2



β + 1β

un= 12



β2n−1 + 1

β2 n−1

, ∀n ≥ 1

un= 12

Nhận xét 2.1 Từ công thức cos 2x = 2cos2x − 1 gợi ý cho chúng ta cố gắng đưa dãy

số đã cho về dãy số {yn}+∞n=1 thỏa mãn

yn+1= 2yn2 − 1, ∀n = 1, 2, 3, (2.6)Đặt xn= pyn Khi đó:

yn+1= 2yn2 − 1, ∀n = 1, 2, 3, Sau đó sử dụng kết quả của bài toán 2.8

Bài toán 2.10 Tìm dãy số xn biết:







x1 < −12

xn+1 = 4x2

n−12

β2n−1 + 1

β2 n−1

, ∀n = 1, 2, 3, Suy ra

xn= 1

2yn=

14



β2n−1+ 1

β2 n−1

, ∀n = 1, 2, 3, Bài toán 2.11 Tìm {un}+∞n=1, biết

(

u1 ∈ R

un+1= 4u3

n− 3un.Lời giải

• Nếu |u1| ≤ 1 thì tồn tại ϕ sao cho cosϕ = u1 Khi đó

u2 = 4cos3ϕ − 3 cos ϕ = cos 3ϕ, , un = cos 3n−1ϕ

• Nếu |u1| > 1 xét số thực β sao cho

u1 = 12



β + 1β

1− 1 thì

u1 = 12



β + 1β

, 1



β + 1β



= 12



β30 + 1

β3 0

,

u2 = 4 1

2



β + 1β

3

− 3 12



β + 1β



= 12



β31 + 1

β3 1





β3n + 1

β3 n

.Theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra

Bài toán 2.12 Tìm {un}+∞n=1, biết

cos 3x = 4cos3x − 3 cos x

Ta cố gắng đưa công thức đưa công thức đã cho về công thức này Giả sử un= b.yn+ c,khi đó

byn+1+ c = a(byn+ c)3− 3 (b.yn+ c)

⇔ byn+1+ c = a b3yn3 + 3b2cyn2+ 3bc2yn+ c3
− 3 (b.yn+ c)

⇔ yn+1= ab2yn3 + 3abcyn2 + 3 ac2− 1
yn+ b−1 ac3− 4c
Vậy ta có

Bài toán 2.13 Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un} biết rằng:

un = 2

3xn=

13

Bài toán 2.14 Tìm {un}+∞n=1, biết

1 + 1 thì

y1 = 12



β − 1β

, 1

Ta có

y1 = 12



β − 1β



= 12



β30 − 1

β3 0



y2 = 4 1

2



β − 1β

3

+ 3 12



β − 1β



= 12



β31 − 1

β3 1

.Giả sử

yn = 12



β3n−1 − 1

β3 n−1

, ∀n = 1, 2, 3, Khi đó



β3n− 1

β3 n



Theo nguyên lý quy nạp suy ra

yn= 12



β3n−1− 1

β3 n−1

, ∀n = 1, 2,

Bài toán 2.15 (Đề đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999) Xác định số hạng tổng quátcủa dãy số {un} biết rằng:

Vậy

un = 2

3xn=

13

b3+ 18ab27a2

.(2.10)Lời giải

Nhận xét 2.3 Xét hàm số f (x) = ax3+ bx2+ cx + d



a > 0, c = b

2 + 9a3a , d =

b3+ 18ab27a2

.Khi đó un+1 = f (un), ∀n = 1, 2, 3, Ta có f (x) là đa thức bậc ba và

f0(x) = 3ax2+ 2bx + c; f”(x) = 6ax + 2b

f”(x) = 0 ⇔ x = −b

3a.Vậy điểm uốn của đồ thị hàm số f (x) là: A −b

3a;

−b3a



Ta biết rằng đồ thị hàm số f (x) nhận điểm uốn A −b

3a;

−b3a

làm tâm đối xứng Do

Bài toán 2.17 Cho dãy số {un} như sau:

(

u1 = 2

un+1= 9u3

n+ 3un2− 3 ∀n = 1, 2, 3, Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho

Lời giải Đặt vn= un+ 1 ∀n = 1, 2, 3, Khi đó

(

v1 = 3

vn+1 = v3n− 3vn ∀n = 1, 2, 3, Đến đây ta làm tương tự như bài toán 2.11 ta có

vn= 3 +

√52

!3 n−1

+ 3 −

√52

!3 n−1

+ 3 −

√52

vuu

t 1 +

√32

vuu





Giả sử yn = cos4n−1.π

12

 Khi đó

yn+1= 8cos4



4n−1.π12



− 8cos24n−1.π

12

+ 1 = cos



4n.π12



Theo nguyên lý quy nạp suy ra yn = cos4n−1.π

12

, ∀n = 1, 2, Vậy x2 = 2yn= 2cos



4n−1.π12

, ∀n = 1, 2,

2.3.1 Định nghĩa sai phân

Định nghĩa 2.1 Cho hàm số x (n) = xn, n ∈ N Ta gọi

∆xn = xn+1− xn

là sai phân cấp 1 của hàm số x (n), kí hiệu ∆xn

Định nghĩa 2.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm số {xn} là sai phân của sai phân cấp

1 của {xn}, và nói chung, sai phân cấp k của dãy số {xn} là sai phân cấp k − 1 củadãy số đó

2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữasai phân các cấp:

F xn, ∆xn, ∆2xn, , ∆kxn
= 0trong đó, xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm số {xn{; cấp lớn nhất của sai phân (ở đây

là bằng k), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính

Nhận xét 2.4 Do sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số,nên ta thường dùng định nghĩa sau tương đương với định nghĩa trên, nhưng thuận tiệnhơn

Định nghĩa 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm số xn là một biểu thứctuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau:

a0xn+k+ a1xn+k−1+ · · · + akxn= fn (2.12)trong đó a0, a1, , an là các hằng số hoặc các hàm số của n, được gọi là các hệ số củaphương trình sai phân; fn là một hàm số của n, được gọi là vế phải; xn là giá trị cần

tìm được gọi là ẩn Phương trình (2.12) được gọi là phương trình sai phân tuyến tínhbậc k, vì để tính được tất cả các giá trị xn, ta phải cho trước k giá trị của xn, rồi tínhcác giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi.

Định nghĩa 2.5 Nếu fn ≡ 0 thì (2.12) được gọi là phương trình sai phân tuyến tínhthuần nhất

Nếu fn6= 0 thì (2.12) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất.Nếu fn ≡ 0 và a0, a1, , ak là các hằng số, a0 6= 0, ak 6= 0 thì phương trình (2.12) trởthành

a0xn+k+ a1xn+k−1+ · · · + akxn= 0 (2.13)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với các hệ số hằngsố

2.3.3 Nghiệm của phương trình sai phân

Định nghĩa 2.6 Hàm số xn biến n, thỏa mãn (2.12) được gọi là nghiệm của phươngtrình sai phân tuyến tính (2.12)

Hàm số fxn, phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (2.13) được gọi là nghiệm tổng quát của(2.13) nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0, x1, , xk−1 ta đều xác định được duy nhấtcác tham số C0, C1, , Ckđể nghiệm xn trở thành nghiệm riêng của (2.13), tức là vừathỏa mãn (2.13), vừa thỏa mãn xe0 = x0,xe1 = x1, ,xgk−1 = xk−1

Định lý 2.3 Nghiệm tổng quát xn của (2.12) bằng tổng xfn và xn∗, với xn∗ là mộtnghiệm riêng bấy kì của (2.12)

Nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

Xét phương trình

yn+k + a1yn+k−1+ + akyn = 0, (2.14)trong đó a1, a2, , ak là các hằng số thực

Đặt yn = λn Thay vào phương trình ta được

λk+ a1λk−1+ + ak−1λ + ak = 0 (2.15)

• Trường hợp 1

Giả sử phương trình (2.15) có k nghiệm thực phân biệt λ1, λ2, , λn

Khi đó λn1, λn2, , λnk là hệ nghiệm cơ bản của (2.14)

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.14) có dạng

yn= C1λn1 + C2λn2 + + Ckλnk

trong đó C1, C2, , Ck là các số thực.

• Trường hợp 2

Giả sử phương trình (2.15) có nghiệm λ = λ0 là nghiệm bội m

Khi đó λn0, nλn0, , nm−1λn0 là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.14)

• Trường hợp 3

Giả sử phương trình (2.15) có nghiệm λ = α + iβ là nghiệm phức đơn

Khi đó rncos nϕ, rnsin nϕ là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.14) Trong đó

r =pα2+ β2, ϕ = tanβ

α.

•Trường hợp 4

Giả sử phương trình (2.15) có nghiệm λ = α + iβ là nghiệm bội m

Khi đó, phương trình (2.14) có 2m nghiệm độc lập tuyến tính là

rncos nϕ, nrncos nϕ, , nm−1rncos nϕ

rnsin nϕ, nrnsin nϕ, , nm−1rnsin nϕtrong đó r =pα2+ β2, ϕ = tanβ

α.Nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

Nếu λ = 1 là nghiệm bội m của (2.17) thì đặt

y∗n= nmMq(n) = nm A0nq+ A1nq−1+ + Aq−1n + Aq

Thế vào (2.16) để tìm A0, A1, , Aq.

• Trường hợp 2 Nếu r 6= 1, ϕ = 0 thì f (n) = rnPq(n)

Nếu λ = r không là nghiệm của (2.17) thì đặt

yn∗ = rnMq(n) = rn A0nq+ A1nq−1+ + Aq−1n + Aq
Thế vào (2.16) để tìm A0, A1, , Aq.

Nếu λ = r là nghiệm bội m của (2.17) thì đặt

Nếu λ = α + iβ là nghiệm bội m của (2.17) thì đặt

yn∗ = nmrnNq(n) cos nϕ + nmrnMq(n) sin nϕtrong đó Nq(n) , Mq(n) là hai đa thức bậc q

Phương pháp biến thiên hằng số

Xét phương trình xn+1 = λxn+ f (n) (1)

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất exn= Cλn

Để tìm nghiệm riêng ta xem C biến thiên theo n, nghĩa là C là một hàm số theo n.Khi đó nghiệm riêng x∗(n) = C (n) λn

Thế vào phương trình (1), ta được

Phương trình thuần nhất xn+1 = 26xn có nghiệm tổng quát exn= C.26n.

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho

xn+1 = 2xn+ (n2+ 1) 2n− 2 cosnπ

2 − sinnπ

2

∀n ∈ N

B = −1

4

C = 712Vậy x∗1(n) = n 1

6n

2− 1

4n +

712



2n.Xét phương trình



−2 cosnπ

2 + sin

nπ2



2n+ cosnπ

2 .Bài toán 2.22 (Đề thi Olympic 30/04/2002) Tìm (un) thỏa mãn điều kiện

u1 = 0; u2 = 0, un+1− 2un− 3un−1= n + 2n, n ≥ 2 (2.24)

Lời giải

Phương trình đặc trưng λ2− 2λ − 3 = 0 có nghiệm λ1 = −1, λ2 = 3

Ta có un = u0n+ u∗1n+ u∗2n, trong đó u0n = A(−1)n+ B.3n, u∗1n = a + bn, u∗2n = k.2n.Thay u∗1n vào phương trình un+1− 2un− 3un−1= n, ta được

xn− xn+1+ xn+2− xn+3 = −4, ∀n = 0, 1, 2, Lời giải

... léo sửdụng phép lượng giác Ở đây, xét toán giải cáchdựa đặc trưng số đa thức đại số sinh hàm số sin cosin

2.2.1 Một số định lý bổ sung

Định lý 2.1 (Đa thức Tre-bư-sep) Giả... có

Bài tốn 2 .13 Xác định số hạng tổng quát dãy số {un} biết rằng:

un = 2

3xn=

13

Bài toán 2.15 (Đề đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999) Xác định số hạng tổng quátcủa dãy số {un} biết rằng:

Vậy

un