Bồi dưỡng học sinh giỏi một số dạng toán về dãy số và giới hạn

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN Giới hạn dãy số 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) hàm số xác định tập tập số tự nhiên Với M ��, thay cho ký hiệu u:M �� n a u  n ta thường dùng ký hiệu (un ) n�M ,{un }n�M , (un ) n hay {un }n Định nghĩa 1.2 Cho dãy (un ) n�� �Dãy (un ) gọi dãy (đơn điệu) tăng un �un1 n �� �Dãy (un ) gọi dãy (đơn điệu) giảm un �un 1 n �� �Dãy (un ) gọi dãy (đơn điệu) tăng nghiêm ngặt un  un 1 n �� dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt un  un 1 n �� Nhận xét �Nếu ( xn ) Z , ( yn ) Z ( xn  yn ) Z �Nếu ( xn ) ] , ( yn ) ] ( xn  yn ) ] �Dãy (un ) gọi �Nếu ( xn ) Z ( xn ) ] Và ( xn ) ] ( xn ) Z �Nếu hai dãy dương ( xn ), ( yn ) tăng (giảm) ( xn yn ) tăng (giảm) �Một dãy khơng tăng, khơng giảm Ví dụ xn  (1) n n �� Định nghĩa 1.3 Cho dãy số ( xn ) n�� �Dãy ( xn ) gọi bị chặn trên, tồn số M cho xn �M n �Dãy ( xn ) gọi bị chặn dưới, tồn số m cho xn �m n �Dãy ( xn ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi bị chặn Định lí 1.1 Dãy ( xn ) bị chặn tồn ghằng số c �0 cho | un |�c n 1.2 Giới hạn dãy số un   , với   cho trước tùy ý, tìm Định nghĩa 1.4 Dãy số (un ) gọi hội tụ  , ký hiệu lim n �� số n0 cho với n �n0 có | un   |  Ví dụ 1.1 Chứng minh cc lim n �� 0 n �� n n 1 1 lim n �� n Định lí 1.2 (Tính giới hạn) Giới hạn dãy hội tụ lim xn  l a �� Khi Định lí 1.3 (Tính thứ tự dãy hội tụ) Cho lim n �� �Nếu a  l (n0 ��: n �n0 � a  xn ) �Nếu a  l (n0 ��: n �n0 � a  xn ) xn  l a �� Khi Định lí 1.4 (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho lim n �� �Nếu ( � n0� �: n n0 �Nếu ( � n0� �: n n0 xn xn a ) l �a a ) l �a Định lí 1.5 (Định lý giới hạn kẹp giữa) Cho ba dãy số ( xn ), ( yn ), ( zn ) thỏa mãn ��� n0��  : n n0 zn xn yn �các dãy ( yn ), ( zn ) hội tụ đến l Khi dãy ( xn ) hội tụ lim xn  l n �� xn  a; lim yn  b Khi Định lí 1.6 (Tính chất đại số dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ ( xn ), ( yn ) lim n �� n��  xn )   a �Dãy ( xn ) hội tụ lim( n �� | xn || a | �Dãy (| xn |) hội tụ lim n �� xn  yn )  a  b �Dãy ( xn  yn ) hội tụ lim( n �� xn  yn )  a  b �Dãy ( xn  yn ) hội tụ lim( n �� kxn )  ka �Dãy (kxn ) hội tụ lim( n �� xn ·yn )  ab �Dãy ( xn ·yn ) hội tụ lim( n �� �1 � �1 � �Với b �0 dãy � �được xác định từ số đó, hội tụ lim � � n �� y �yn � �n � b �x � �x � a �Với b �0 dãy � n �được xác định từ số đó, hội tụ lim � n � n �� y �yn � �n � b Ví dụ 1.2 Tìm giới hạn sau n  3n  �lim n �� n  3n  2n  3n  �lim n �� 3n  n  � lim 2n   n  n �� n � lim ( n  2n   n  n  1) n �� n �(3k  1) k 0 n �� n � lim �(2k  3) k 0 1.3 Dấu hiệu hội tụ dãy số 1.3.1 Tiêu chuẩn Weiersstrass Định lí 1.7 Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ Cụ thể, dãy đơn điệu tăng bị chặn hội tụ, dãy đơn điệu giảm bị chặn hội tụ Ví dụ 1.3 Cho dãy số ( xn ), ( yn ) xác định sau x  yn x1  a  0, y1  b  0, xn 1  xn yn , yn 1  n , n �1 Chứng minh dãy số ( xn ), ( yn ) hội tụ lim xn  lim yn Lời giải Ta xét hai trường hợp sau: (i) Nếu a �b quy nạp ta dãy ( xn ) dãy giảm bị chặn a , dãy ( yn ) dãy tăng bị chặn a Do theo định lý 1.7 tồn lim xn , lim yn từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta lim xn  lim yn (ii) Nếu a �b tương tự trường hợp (i) Ví dụ 1.4 Cho dãy số ( xn ) xác định sau x1  1, x2  2, xn   xn 1  xn , n �1 Chứng minh dãy số cho có giới hạn tìm giới hạn Lời giải Dễ thấy quy nạp ta ( xn ) dãy số tăng bị chặn Do theo định lý 1.7 ta có tồn lim xn  a Từ đẳng thức xn   xn 1  xn chuyển qua giới hạn ta a  a a  nên lấy a  Vậy lim an  Bài tập tương tự Bài tập 1.5 Cho dãy số ( xn ) xác định x1  2, xn 1   xn ,n  1, 2, �Chứng minh dãy số cho hội tụ xn tìm lim n �� Bài tập 1.6 Cho dãy số thỏa mãn điều kiện  xn  1, xn 1   xn   Chứng minh dãy số hội tụ tìm giới hạn Bài tập 1.7 (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực (an ), (bn ) thỏa mãn điều kiện sau: an �bn ;  an 1 , bn 1  � an , bn  với n �� lim  bn  an   Khi tồn số thực c cho � I  a , b    c n n lim an  lim bn  c n0 Bài tập 1.8 (VMO 2005) Cho dãy số thực ( xn ), n  1, 2,3 xác định bởi: x1  a xn 1  3xn3  xn2  xn với n  1, 2,3, � 4� 0, a số thực thuộc đoạn � � 3� � Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài tập 1.9 (VMO 2002B) Xét phương trình 1 1       0, 2 x x 1 x  x k x  n2 n tham số nguyên dương Chứng minh với số ngun dương n , phương trình nêu có nghiệm khoảng  0,1 ; kí hiệu nghiệm xn Chứng minh dãy số xn có giới hạn hữu hạn n � � Bài tập 1.10 Cho số thực a Cho dãy số ( xn ), n ��, xác định bởi: x0  a xn 1  xn  sin xn với n �� Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn n � � tính giới hạn 1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy Định nghĩa 1.5 Dãy ( xn ) gọi dãy Cauchy thỏa mãn điều kiện   � 0,γ N �: m, n �, m, n N , xm xn  Định lí 1.8 Dãy số ( xn ) hội tụ ( xn ) dãy Cauchy Ví dụ 1.11 Cho hàm số f : �� � thỏa mãn điều kiện f  x   f  y  �q x  y , với x, y ��, q � 0,1 số cho trước Với c �� cho trước xác định dãy ( xn ), n  0,1, 2,3 sau: x0  c, xn 1  f ( xn ), n  0,1, 2, Chứng minh dãy số ( xn ) hội tụ giới hạn dãy số nghiệm phương trình f ( x)  x Lời giải Trước hết ta chứng minh dãy ( xn ) dãy Cauchy Thật vậy, với m, n ��, n  m ta có: xn  xm  f  xn 1  f  xm 1   �q xn 1  xm 1 � �q m xn m  x0 (1) Mặt khác ta có   xn  x0 �xn  xn 1   x1  x0 � q n 1   x1  x0   qn x1  x0 1 q Từ suy xn  x0 bị chặn với n Kết hợp với (1) ta thu với   tồn N �� cho với m, n �N xn  xm   Nên dãy ( xn ) dãy Cauchy suy hội tụ Từ điều kiện hàm f dễ dàng chứng minh f liên tục từ đẳng thức xn  f ( xn 1 ) chuyển qua giới hạn ta giới hạn dãy ( xn ) nghiệm phương trình f ( x)  x Bài tập tương tự Bài tập 1.12 Cho f : �� � thỏa mãn điều kiện với   tồn   cho:  �x  y     f ( x)  f ( y )   Xét dãy số xác định sau: x0 ��, xn 1  f ( xn ), n  0,1, Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ Bài tập 1.13 Cho f : �� � thỏa mãn điều kiện x  f ( x) � ( x )   ( f ( x)) ,  : �� � hàm liên tục bị chặn Lấy x0 �� lập dãy xn 1  f ( xn ), n  0,1, 2, Chứng minh dãy số ( xn ) hội tụ Bài tập 1.14 Cho f : �� � thỏa mãn điều kiện f ( x)  f ( y ) �k  x  f ( x )  y  f ( y )  , với x, y ��, Xét dãy số xác định sau: x1 ��, xn 1  f ( xn ), n �1 Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ giới hạn dãy nghiệm phương trình f ( x)  x Bài tập 1.15 Cho f : �� � thỏa mãn điều kiện: có số k , �k  cho f ( x)  f ( y ) �k max  x  y , f ( x)  x , y  f ( y )  x, y �� k  Xét dãy số xác định sau: x1 ��, xn 1  f ( xn ), n �1 Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ giới hạn dãy nghiệm phương trình f ( x )  x 1.3.3 Nguyên lý kẹp Định lí 1.9 Cho ba dãy số (an ), (bn ) (cn ) thỏa mãn: N ��sao cho an �bn �cnn �N lim an  lim cn  a Khi limbn  a Ví dụ 1.16 (Canada 1985) Dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện  x1  xn 1   xn  xn2 , n ��* xn Chứng minh dãy số cho hội tụ Tìm lim n �� , n �3 Thật ta kiểm tra 2n bất đẳng thức với n  Giả sử bất đẳng thức với n �3 , tức xn   n Khi ta có 1 xn 1   xn  2   xn � xn  2  xn   2 2 1 1  xn    n 1 n 22 Do bất đẳng thức đến n  Mặt khác lim n  nên từ bất đẳng thức nguyên lý kẹp ta có lim xn  Lời giải Ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau: xn     Ví dụ 1.17 Cho dãy hàm số  Pn ( x) xác định sau P0 ( x)  0, Pn 1 ( x)  Pn ( x)  x  Pn2 ( x) , n �0; x �� Pn ( x) Tìm lim n �� Lời giải Trước hết ta chứng minh quy nạp bất đẳng thức sau: �Pn ( x) � x , n �� (1) x Thật vậy, với x �[0,1] suy x  x �0 nên �  P1 ( x ) � x Như (1) với n=1 Giả sử (1) đến 2 $n$ Xét hàm số f (t )  t  x  t với t �[0,1] Dễ thấy hàm số f (t ) đồng biến [0,1] theo giả thiết quy nạp ta có �Pn ( x) � x �1 với x �[0,1]   (2) Pn2 (x) nên Pn 1 ( x )  f ( Pn ( x)) �f ( x )  x với x �[0,1] Mặt khác, từ (2) ta có x �� Pn 1 ( x) Pn ( x) Vậy �Pn 1 ( x) � x Do (1) đến n  nên theo nguyên lý quy nạp ta có (1) với n Tiếp theo ta chứng minh x  Pn ( x) � với x �[0,1], n �� (3) n 1 � x  Pn 1 ( x) � �� x  P ( x ) Thật ta có x  Pn ( x)  � � n  � �1  � � � x� �� �� x  P ( x ) n  � �1  �(do Pn 1 ( x) �0) � � n � x� 2n x �� � �� x  P ( x ) � �1  �  n � � n � x� 1 � � � � n 1 �n x � � x�  n� 1 � � � n � 2�2 �n � � � � � � �  n 1� n n 1 �n  � n  � � � � � � Từ ta thu bất đẳng thức � x  Pn ( x)  Do lim với x �[0,1]n �� n 1  nên theo nguyên lý kẹp ta lim Pn ( x)  x , với x �[0,1] n 1 � Ví dụ 1.18 Cho a, b �� , ( a, b)  1; n � ab  1, ab  2,  Kí hiệu rn số cặp số (u, v )  �� �� cho r n  au  bv Chứng minh lim n  n �� n ab Lời giải Xét phương trình au  bv  n (1) Gọi (u0 , v0 ) nghiệm nguyên dương (1) Giả sử (u, v) nghiệm nguyên dương khác (u0 , v0 ) (1) Ta có au0  bv0  n, au  bv  n suy a (u  u0 )  b(v  v0 )  v0  ka k tồn k nguyên dương cho u  u0  kb, v  v0  ka Do v số nguyên dương nên v0 � (2) a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương phương trình (1) số số k nguyên dương cộng với Do v 1� � �n u � rn  �0 �  �   � Từ ta thu bất đẳng thức sau: ab b a � �a � � n u0 n u   �rn �    ab b a ab b a Từ suy u0 rn u 1   � �    ab nb na n ab nb na n r Từ áp dụng nguyên lý kẹp ta có lim n  n �� n ab Ví dụ 1.19 Tìm giới hạn dãy số ( xn ) biết xn     L  (n  1)  n Lời giải Xét  2n hàm số f ( x )   x  (1  x) L ta chứng minh x 1 �f ( x) � 2( x  1) Từ (1  x) �f ( x) �2 (1  x) n 1  xn  Từ đó, thay x  3·2 2n  x  3·2 2n Từ đó, theo nguyên lý kẹp, suy lim n �� n Lời giải Với �m �n  , đặt a   m  (1  m)  L m  ( n  1)  n am2   mam 1 � am2  ( m  1)  mam 1  m2  2m � am2  (m  1)  m(am 1  ( m  2)) ta có Suy m | am1  am  | m | am  ( m  1) |� � | am 1  m  | | am  (m  1) | m  n 1 n 1 | an 1  n | |  (n  1)  n  n |� ( n � �) Từ | a2  |� n 1 n 1 Lời giải Để ý   2·4   2· 16 n&    25     36 quy nạp, dễ dàng chứng minh 1 1 1L  n ( n  2)  Suy xn �3 (1) Nhận xét Cho   Khi   x �  ·  x x �0 Áp dụng nhận xét với x  n,   n   n ( n  2) � n  2· n  Từ  (n  1)  n (n  2) �  n  2·(n  1)·  n �4 n  2·  (n  1)  n Do đó, quy nạp, thu n �(n  2) xn xn  Từ (1),(2) nguyên lý kẹp, suy lim n �� (2) Bài tập tương tự  Bài toán 1.20 Cho  ��,   , dãy số (an ) �� thỏa mãn điều kiện an  a1  a2   an 1 , n �2 an 0 n Bài tập 1.21 Cho dãy số dương (an ) thỏa mãn điều kiện an31 �a1  a2   an , n ��* a Chứng minh với   ta ln có lim n  n Bài tập 1.22 (VMO 2002A) Xét phương trình 1 1       , x 1 x 1 k x 1 n x 1 n tham số nguyên dương Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình nêu có nghiệm lớn 1; kí hiệu nghiệm xn Chứng minh dãy số xn có giới hạn n � � Bài tập 1.23 (Matxcơva 2000) Ký hiệu xn nghiệm phương trình 1    0, x x 1 xn thuộc khoảng (0,1) Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ; Hãy tìm giới hạn 10 n 10  x n   x  Bài tập 1.24 (VMO 2007) Cho số thực a  f n ( x)  a x Chứng minh với số nguyên dương n , phương trình f n ( x)  a ln có nghiệm dương Gọi nghiệm xn , chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Chứng minh lim 1.4 Khảo sát hội tụ dãy số dạng xn 1  f ( xn ) Để khảo sát hội tụ dãy số có dạng xn 1  f ( xn ) , ta thường xét hàm số y  f ( x) sử dụng số kết sau Định lí 1.10 Cho dãy số ( xn ) �� xác định sau: x1  a, xn 1  f ( xn ), n  1, 2, Khi Nếu f ( x ) hàm số đồng biến dãy số ( xn ) đơn điệu Nếu f ( x ) hàm số nghịch biến dãy số ( xn ) có chứa hai dãy ( x2 k ), ( x2 k 1 ) đơn điệu ngược chiều Khi f ( x ) hàm số nghịch biến dãy ( xn ) bị chặn  lim x2 k  a,lim x2 k 1  b dãy cho hội k �� k �� tụ a  b Ví dụ 1.25 (VMO 1998A) Cho số thực a �1 Xét dãy số ( xn ), n  1, 2, xác định � xn2 � x1  a, xn 1   ln � �với n  1, 2,3,  ln xn � � Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải � xn2 � , n  1, 2, Xét dãy số ( xn ) với x1  a (a �1) xn 1   ln � �  ln xn � � xn  (i) Nếu a  xn  1(n ) suy nlim �� (ii) Nếu a  Ta chứng minh quy nạp xn  với n ��* Giả sử với n cho xn  Ta nhận thấy xn 1  � xn2   ln xn  Dễ thấy hàm số f ( x )  x   ln x đồng biến [1; �) Mặt khác xn  suy xn 1  Vậy xn  1n �1 � x2 � x   n � x  x  n � g ( x )  x   ln Tiếp theo ta chứng minh với n n Xét hàm số � �trên [1; �) n 1  ln x � � Bằng cách khảo sát hàm số ta g ( x) đồng biến [1; �) mà g (1)  , suy g ( x)  0x  g ( x)  � x  Do xn  1n �1 xn  xn 1n �1 Do dãy ( xn ) dãy số giảm bị chặn 1, nên tồn lim  b Dễ thấy b �1 từ hệ thức truy hồi chuyển qua giới hạn ta n �� � b2 � � b2 � b   ln � �� b   ln � �  ln b �  ln b � � � xn  Theo kết khảo sát hàm g ( x) g (b)  � b  Vậy nlim �� Ví dụ 1.26 Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện x1  2,9; xn 1   xn xn2  , n  1, 2,3, � Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Lời giải x Xét hàm số f ( x )   với x �(1, �) Dễ thấy f ( x) hàm số nghịch biến (1, �) x 1 n ��* (1) Thật Với n  bất đẳng thức ln Giả sử bất đẳng thức đến n , tức  un   Ta có un 1  f (un ) f nghịch biến (1, �) nên un 1  f ( 3)   Mặt khác  un nên từ hệ thức un 1  f (un ) ta có  un 1 Vậy (1) chứng minh (ii) Từ suy a  lim x2 n , b  lim x2 n 1 , a, b nghiệm hệ phương trình (i) Ta chứng minh dãy ( xn ) bị chặn Ta chứng minh quy nạp n �� (iii) Xét hàm  f ( x)   với g ( 3).g ( số n �� g ( x)  f ( f ( x))  x , ( x )  với f �  un   � �a  f  b  � b  f  a � với 3 x 3 3 x 3 , có g� ( x)  f � ( x) f � ( f ( x))  ( x)  với nên g � 3 x 3 )  suy phương trình g ( x)  có nghiệm Do dãy ( xn ) hội tụ Do , Ví dụ 1.27 (VMO 2008) Cho dãy số ( xn ) xác định sau �x1  0, x2  � � xn   2 xn  , n  1, 2, � � Chứng minh dãy ( xn ) hội tụ tìm lim xn n ��  xn  n  Xét hàm số 2 1 �1 � �1 � �1 � f ( x )  2 x  , x �� ; � f� ( x)  2 x ·ln  x �� ; � với x �� ; � Ta có 2 �2 � �2 � �2 � �1 � ln 2 x ��3 ; ( x) |  u  ��(0;1) Do | f � �4 2� Lời giải Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh Mặt khác, theo định lý Lagrange với  x �y  tồn t �( x; y ) cho 2 x  2 y  f � (t )( x  y ) 2 Vậy | xn  xn 1 ||  xn2  2 xn3 | u·| xn 2  xn3 |  u·| 2 xn4   xn5 | u ·| xn 4  xn 5 | L L Từ | x2 n  x2 n 1 | u n | x2  x1 |� ( n � �)  Từ đó, theo định lý Cauchy, dãy $(x_n)$ hội tụ  nghiệm phương trình    xn  Giải phương trình này, thu   Vậy, nlim �� Lời giải Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh Xét hàm số f ( x )  2 x  �1 � , x �� ; � Ta �2 �  xn  2 có n  f� ( x )  2 x ·ln �1 �  x �� ; � Do �2 � hàm �1 � y  f ( x), x �� ; �là hàm giảm Vậy, dãy  x2 k  ,  x2 k 1  chứa hai dãy đơn điệu ngược chiều Từ đó, �2 �  xn  n  suy bốn dãy ( x4 k ), ( x4 k 1 ), ( x4 k  ), ( x4 k 3 ) hội tụ theo thứ tự  ,  ,  ,  2 Xét hệ phương trình �   f   � �  f    �   f  � �   f  � xn  Giải hệ thu         Vậy nlim �� Lời giải Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh  xn  2 n  1 �1 � �1 � �1 � , x �� ; � ( x)  2 x ·ln  x �� ; �và với x �� ; � Ta có f � 2 �2 � �2 � �2 � �1 � ln 2 x ��3 ; ( x) |  u  ��(0;1) Do | f � �4 2� x Xét hàm số f ( x)   Mặt khác, theo định lý Lagrange với  x �y  tồn t �( x; y ) cho 2 x  2 y  f � (t )( x  y ) 2 ln �1 � �(0;1) cho | f ( x)  f ( y ) | u | x  y | Suy hàm f hàm co Bởi Vậy, với x, y �� ; �tồn u  �2 � vậy, hai dãy ( x2 k ), ( x2 k 1 ) (đều cho hệ thức truy hồi xn   f ( xn ) hội tụ Bằng việc giải phương trình giới hạn, thu lim xn  n �� Bài tập tương tự Bài tập 1.28 Cho dãy số ( xn ) xác định sau x0  1, xn 1  xn xn , n �0 Tìm lim n �� x 1 n Bài tập 1.29 Cho trước a  Xét dãy số ( xn ) xác định sau: �x0  � � a2 � � , n  0,1, 2, �xn 1 = �xn  x � n � � � Khảo sát hội tụ dãy , n �0 Bài tập 1.30 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0  1, xn 1   xn , n �0 Bài tập 1.31 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0 �0, xn 1   xn2 , n �0 Bài tập 1.32 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0 �0, xn 1   xn2 Bài tập 1.33 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0  1, xn 1   , n �0 xn xn2  , n �0 Bài tập 1.34 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0  0, xn 1  2( xn  1) Bài tập 1.35 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0 ��, xn 1  xn  6, n �0 Bài tập 1.36 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0  0, xn 1  xn   1, n �0 xn Bài tập 1.37 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0 ��, xn 1  xn  xn , n �0 n Bài tập 1.38 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0 �(1;0), xn 1   (1)  xn , n �0 Bài tập 1.39 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0  0, xn 1  xn  xn 1  L x0 , n �0 Bài tập 1.40 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x1  2, xn 1  xn n �1 Bài tập 1.41 Khảo sát hội tụ dãy ( xn ) : x0  1, x1  a, xn   xn21 xn , n �0 Bài tập 1.42 Cho dãy số ( xn ) xác định sau � �x1 �� � 2 �xn 1  xn    2a  xn  a n �1 xn Tìm tất giá trị thực tham số a cho dãy cho hội tụ Khi đó, tìm lim n �� Bài tập 1.43 (VMO 2005B) Cho dãy số thực ( xn ), n  1, 2,3 xác định � 4� x1  a xn 1  3xn3  xn2  xn với n  1, 2,3, , a số thực thuộc đoạn � 0, � 3� � Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài tập 1.44 (VMO 2005A) Cho dãy số thực ( xn ), n  1, 2,3 xác định x1  a xn 1  3xn3  xn2  xn với n  1, 2,3, , a số thực Hãy tìm tất giá trị a để dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn trường hợp đó.\hbt Bài tập 1.45 (VMO 2001A) Với cặp số thực (a, b) , xét dãy số ( xn ), n ��, xác định x0  a xn 1  xn  b.sin xn với n �� (1) Cho b  Chứng minh với số thực a , dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n � � Hãy tính giới hạn theo a (2) Chứng minh với số thực b  cho trước, tồn số thực a cho dãy ( xn ) tương ứng khơng có giới hạn hữu hạn n � � Bài tập 1.46 (VMO 2000A) Cho c số thực dương Dãy số ( xn ), n  0,1, 2, xây dựng theo cách sau: xn 1  c  c  xn , n  0,1, 2, biểu thức khơng âm Tìm tất giá trị c để với giá trị ban đầu x0 � 0; c  dãy ( xn ) xác định với giá trị n tồn giới hạn hữu hạn lim xn n � � Bài tập 1.47 (VMO 1998B) Cho số thực a Xét dãy số ( xn ), n  1, 2,3, xác định x1  a, xn 1   xn xn2   với n=1, 2, 3, xn2  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Bài tập 1.48 (VMO 1994B) Cho số thực a Xét dãy số ( xn ), n  0,1, 2, xác định x0  a, xn  xn 1  6sin xn 1 với n=1, 2, 3, Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n dần tới dương vơ cực tìm giới hạn Bài tập 1.49 (VMO 1994A) Cho số thực a Xét dãy số ( xn ), n  0,1, 2, xác định � � x0  a, xn  � arccos xn 1  � arcsin xn 1 với n=1, 2, 3,  � 2� Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn n dần tới dương vơ cực tìm giới hạn a 1.5 Định lý trung bình Cesaro dãy số dạng xn 1  xn �xn Đây trường hợp đặc biệt dãy số dạng xn 1  f ( xn ) Tuy nhiên, không đặt vấn đề khảo sát hội tụ dãy dạng này, giới hạn chúng là �; mà quan tâm tới tất �x � số  cho dãy � n �hội tụ Với dãy số dạng này, định lý trung bình Cesaro tỏ hữu hiệu �n � �x  x   xn � Định lí 1.11 Nếu dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình �1 �cũng có giới n � � hạn a Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử a  Với   tồn N ��* cho với n �N u1  u2   u N    un  Từ ta có n 2 u1  u2   un u  u   u N u   un   n  N   �  N 1     n �N n n n n  xn 1  xn   a lim xn  a Ví dụ 1.50 Nếu lim n �� n �� n Lời giải Đặt un  xn  xn 1 Khi dễ thấy dãy (un ) thỏa mãn điều kiện Định lý Cesaro nên ta có u   un x lim  a hay lim n  a n �� n �� n n n a a a  a Ví dụ 1.51 Chứng minh dãy số dương (an ) hội tụ a dương lim n n �� ln an  ln a Áp dụng Định lý Cesaro, ta có: Lời giải Ta có lim n �� ln a1   ln an n a a a  a lim  ln a hay lim n n �� n �� n Ví dụ 1.52 Cho dãy số dương (an ) Chứng minh lim n �� Lời giải Đặt bn  an 1  a  lim n an  a n �� an an 1 , n �2 Dễ thấy dãy (bn ) thỏa mãn ví dụ 1.50 nên lim n b1b2 bn  a hay lim n an  a n �� n �� an Bài tập tương tự nxn  Bài tập 1.53 Cho dãy  xn  xác định x1  1/ 2, xn 1  xn  xn Chứng minh lim n �� nxn  Bài tập 1.54 Cho dãy  xn  xác định x1  1, xn 1  sin xn Chứng minh lim n �� Bài tập 1.55 (TST VN 1993) Dãy số  xn  xác định x1  1, xn 1  xn  (an ) có giới hạn hữu hạn khác n Hãy tìm tất số  để dãy số xn Bài tập 1.56 Cho dãy số xác định a1  0, an 1   sin  an  1 , n �1 Tính lim n �� Bài tập 1.57 Xét dãy số ( xn ) xác định x1  1, xn 1  xn  x n n �ak n k 1 n �1 Chứng minh tồn a, b cho xn 1 n �� anb lim Bài tốn dãy số qua kì thi IMO 2.1 IMO 2009 Bài 2.1.1 (IMO 2009) Giả sử s1 , s2 , s3 , dãy tăng ngặt số nguyên dương cho dãy ss1 , ss2 , ss3 , ss1 1 , ss2 1 , ss3 1 , cấp số cộng Chứng minh s1 , s2 , s3 , cấp số cộng Bài 2.1.2 (Mở rộng IMO 2009) Cho k số nguyên dương cho trước Giả sử s1 , s2 , s3 , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy ss1 , ss2 , ss3 , ss1  k , ss2  k , ss3  k , cấp số cộng Chứng minh s1 , s2 , s3 , cấp số cộng Chứng minh Gọi D E công sai cấp số cộng ss1 , ss2 , ss3 , ss1  k , ss2  k , ss3  k , Đặt A  ss1  D B  ss1  k  E Theo cơng thức tính số hạng tổng quát cấp số cộng với số nguyên dương n ta có ssn  ss1  (n  1) D  A  nD, ssn  k  ss1  k  (n  1) E  B  nE Từ dãy s1 , s2 , s3 , dãy tăng ngặt, nên với số nguyên dương n với ý sn  k �sn  k ta có ssn  k   ssn  k �ssnk , từ ta thu A  nD  k   B  nE �A  (n  1) D, điều tương đương với  k   B  A  n( E  D ) �kD, D khác E cho n � � ta thấy mâu thuẫn với bất đẳng thức nên D  E �k   B  A �kD Đặt m   sn 1  sn : n  1, 2,  Khi B  A  ( ss1  k  E )  ( ss1  D)  ss1  k  ss1 �km kD  A  ( s1  k ) D  ( A  s1D)  sss k  sss  sB  D  s A D �m( B  A) 1 (1) (2) (3) Ta xét hai trường hợp (a) B  A  kD Khi đó, với số nguyên dương n, ssn  k  B  nD  A  (n  k ) D  ssnk , từ kết hợp với dãy s1 , s2 , s3 , dãy tăng ngặt ta có sn  k  sn  k Mặt khác sn  sn 1   sn  k  sn  k nên sn 1  sn  s1 , s2 , s3 , cấp số cộng với công sai (b) B  A  kD Chọn số nguyên dương N cho sN 1  sN  m Khi m( A  B  D  k )  m(( A  ( N  1) D)  ( B  ND  k )) �s A ( N 1) D  sB  ND  k  sss  sss N 1 N k k  ( A  sN 1D )  ( B  ( s N  k ) D )  ( s N 1  sN ) D  A  B  kD  mD  A  B  kD, ( B  A  km)  ( kD  m( B  A)) �0 Từ bất đẳng thức (2), (3) (4) ta thu đẳng thức sau: B  A  km kD  m( B  A) Giả sử tồn số nguyên dương n cho sn 1  sn  m Khi m(m  1) �m( sn 1  sn ) �ssn1  ssn  ( A  (n  1) D)  ( A  nD)  D  (4) m( B  A)  m2 , k vô lý Vì điều giả sử sai nên sn 1  sn  m với n �� hay dãy s1 , s2 , cấp số cộng có cơng sai m Nhận xét Bây ta thay cấp số cộng cấp số nhân tốn cịn khơng? Bài 2.1.3 Giả sử s1 , s2 , s3 , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy ss1 , ss2 , ss3 , ss1 1 , ss2 1 , ss3 1 , cấp số nhân Chứng minh s1 , s2 , s3 , cấp số nhân Cho k số nguyên dương Giả sử s1 , s2 , s3 , dãy tăng nghặt số nguyên dương cho dãy ss1 , ss2 , ss3 , ss1  k , ss2  k , ss3  k , cấp số nhân Chứng minh Bài 2.1.4 (Mở rộng toán 2.1.3) s1 , s2 , s3 , cấp số nhân IMO 2010 Bài 2.2.1 Cho a1 , a2 , a3 , dãy số thực dương Giả sử với số nguyên dương s cho trước, ta có an  max  ak  an k :1 �k �n  1 , với n  s Chứng minh tồn số nguyên dương l N , với l �s thỏa mãn an  al  an l với n �N Chứng minh Từ điều kiện toán với an ( n  s ) ta có đẳng thức sau an  a j1  a j2 với j1 , j2  n, j1  j2  n j1  s ta viết a j1 giống an Cuối cùng, ta viết đẳng thức an  ai1  ai2   aik , �i j �s, i1  i2   ik  n, j  1, 2, , k Cố định số �l �s cho al a  m  i 1�� i s i l (1) (2) Ta xác định dãy  bn  với bn  an  mn , bl  Ta chứng minh với n bn �0 , dãy  bn  thỏa mãn tính chất giống dãy  bn  Thật n �s ta có bn �0 theo cách xác định m Bây ta xét n  s sử dụng phương pháp quy nạp với đánh giá sau bn  max (ak  an  k )  nm  max (bk  bn k  nm)  nm 1�k �n 1 1�k �n 1  max (bk  bn  k ), 1�k �n 1 ta thu bn �0 Nếu bk  với �k �s , bn  với n , an  mn , trường hợp tầm thường Nếu tồn �k �n  cho bn khác 0, ta xác định M  max bi ,    bi :1 �i �s, bi  0 Khi với n  s ta đạt 1�� i s bn  max (bk  bn  k ) �bl  bn l  bn l , 1�k �n 1 M �an �bn �bn l �bn  2l � �0 Ta có dãy (bn ) có tính chất (1), (2) giống dãy (an ) , ta có với bn chứa tập   T  bi1  bi2   bik :1 �i1 , , ik �s � 0, M  Ta chứng minh tập có hữu hạn phần tử Thật vậy, với x �T , biểu diễn M M x  bi1  bi2   bik (1 �i1 , , ik �s) Khi có tối đa số bi j khác (vì ngược lại x    M điều   M vơ lý) Vì x biểu thành tổng k số bi j với k � , tập có hữu hạn  Từ ta có dãy bn dãy tuần hồn với chu kì l từ số N trở đi, có nghĩa bn  bn l  bn l  bl với n  N  l , an  bn  nm  (bn l  (n  l )m)  (bl  lm)  an l  al với n  N  l Từ toán ta xây dựng số dạng tập sau điều kiện dãy số dương không cần thiết Bài 2.2.2 Cho a1 , a2 , a3 , dãy số thực Giả sử với số nguyên dương s cho trước, ta có an   ak  an k :1 �k �n  1 với n  s Chứng minh tồn số nguyên dương l N , với l �s thỏa mãn an  al  an l với n �N Bài 2.2.3 Cho a1 , a2 , a3 , dãy số thực dương Giả sử với số nguyên dương s , ta có an  max  ak an k :1 �k �n  1 với n  s Chứng minh tồn số nguyên dương l N , với l �s thỏa mãn an  al an l với n �N Chứng minh Đặt bn  ln an dãy b1 , b2 , b3 , dãy số thực với cách chứng minh tương tự 2.2.1 ta thu kết toán  ... minh với số thực a , dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n � � Hãy tính giới hạn theo a (2) Chứng minh với số thực b  cho trước, tồn số thực a cho dãy ( xn ) tương ứng khơng có giới hạn hữu hạn n... Xét dãy số ( xn ), n  1, 2, xác định � xn2 � x1  a, xn 1   ln � �với n  1, 2,3,  ln xn � � Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải � xn2 � , n  1, 2, Xét dãy số. .. chứng minh dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn n dần đến vô Chứng minh lim 1.4 Khảo sát hội tụ dãy số dạng xn 1  f ( xn ) Để khảo sát hội tụ dãy số có dạng xn 1  f ( xn ) , ta thường xét hàm số y 