SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM dãy số và giới hạn số

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI: Người thực : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2011-2012 I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Từ tham dự hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay, học tập chuyên đề giảng viên, chuyên gia Toán Bộ trình bày động viên thầy Trương Thành Phú chun viên mơn Tốn Sở Giáo dục đào tạo Tiền Giang chúng tơi có tâm huyết cố gắng thực hoàn chỉnh, cụ thể hố chun đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung Tỉnh kỳ thi HSG cấp khu vực cấp quốc gia Trong năm gần mơn Tốn tỉnh Tiền Giang có tiến đạt số thành tích đáng kể kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần Bộ thay đổi mạnh quy chế thi HSG cấp Quốc gia khơng phân chia hai bảng A, B trước mà có bảng thống chung tồn quốc Đề thi khó khối lượng kiến thức nhiều gây khó khăn cho Giáo viên học sinh mơn Tốn tỉnh nhà Trong điều kiện khó khăn việc tìm tài liệu viết chuyên đề việc cần thiết tình hình Được ủng hộ thầy tổ Tốn trường THPT Chun Tiền Giang thực viết chuyên đề: “ Dãy số giới hạn dãy số” Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng kiến thức Dãy số mà học sinh chuyên Toán học như: Phương pháp sai phân, phương trình sai phân, dãy trung bình Cesaro, giới hạn kẹp, liên hệ dãy số hàm số , giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức biết vận dụng lý thuyết dãy số vào giải toán hàm số, phương trình hàm đồng thời định hướng trình suy nghĩ giải vấn đề, rèn Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh luyện tư sáng tạo toán học khả vận dụng sáng tạo giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu: Hệ thống kiến thức dãy số, phân dạng tập hướng dẫn giải tập áp dụng Tùy theo nội dung vấn đề dãy số, chọn lọc số tập có kiến thức liên quan như: số học, nghiệm phương trình, bất đẳng thức, phương trình hàm, … mà kỳ thi học sinh giỏi toán thường hay gặp Vì chuyên đề nâng cao dãy số để rèn luyện kỹ giải Toán cho học sinh giỏi nên chúng tơi khơng trình bày hệ thống lý thuyết dãy số, coi học sinh chun Tốn phải biết chương trình khóa dãy số để làm sở cho việc học chun đề Rèn luyện tư giải tốn thơng qua giải tập dãy số áp dụng dãy số để giải toán đồng thời trao đổi học tập kinh nghiệm với thầy cô mơn Tốn tỉnh Tiền Giang Phương pháp nghiên cứu - Dựa vào chuyên đề học Hà Nội tài liệu tất đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống toán Dãy số giới hạn dãy số thường gặp kỳ thi học sinh giỏi Toán - Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan, phân loại tập, nhận xét cách giải, tạo tình có vấn đề để học sinh trao đổi nghiên cứu - Hệ thống xếp dạng tập từ dễ đến khó có hướng dẫn - Chúng tơi khơng trình bày chi tiết lời giải mà định hướng cách giải, phần giải dành cho học sinh.Tuy nhiên trước hướng dẫn cho học sinh tự giải vấn đề cách độc lập để phát từ em nhiều cách giải hay, độc đáo góp phần bồi dưỡng rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh - Phương pháp phân tích: giúp học sinh nắm rõ chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng tương tự hoá toán Một số kết đạt Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp tài liệu cần thiết để giải tập Dãy số giới hạn dãy số đồng thời áp dụng dãy số để giải toán hàm số Qua chuyên đề giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức Dãy số giới hạn dãy số kiến thức khác : Số học, Phương trình, Phương trình hàm, Tổ hợp,… Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết chuyên đề nâng cao khác II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Các tập Dãy số giới hạn dãy số thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có chuyên đề Dãy số phong phú nên viết chuyên đề: “ Dãy số giới hạn dãy số” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà Đề tài chia làm chương: Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CÓ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Trong chương sau phần trình bày vấn đề có liên quan hệ thống tập có hướng dẫn Dù cố gắng nhiều đề tài không tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp từ đồng nghiệp mơn Tốn tỉnh nhà Sau trình bày phần nội dung đề tài Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Một số kết đạt II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN Chương II: PHƯƠNG PHÁP LÙI DẦN Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CÓ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh NỘI DUNG CHƯƠNG I: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN I.1 Định nghĩa sai phân Cho hàm số y  f ( x ) xác định D Giả sử giá trị f ( x ) điểm x0 , x0  h, x0  2h, , x0  nh, ( h số) tương ứng là: y0 , y1 , y2 , , yn , Khi ta gọi hiệu: yi  yi  yi 1 sai phân cấp hàm f với i = 1, 2, …  yi  yi  yi 1  ( yi  yi 1 )  ( yi 1  yi  )  yi  yi 1  yi 2 sai phân cấp hàm f với i = 1, 2, …Cứ ta định nghĩa sai phân cấp cao I.2 Tính chất sai phân: - Sai phân cấp có tính tuyến tính tức  k ( f  g )   k ( f )   k ( g ) - Sai phân cấp k đa thức bậc n k > n; số k=n n - Tổng  y i  ( y1  y0 )  ( y2  y1 )   ( yn  yn 1 )  yn  y0 i 1 n Do để tìm tổng T   uk ta thường biểu diễn số hạng tổng quát uk  ak  ak 1 với k 1 n n k = 1,2,…,n Khi T   uk   (ak  ak 1 )  an  a0 k 1 k 1 I.3 CÁC BÀI TOÁN: 1 Bài 1: Cho dãy số (an ) thỏa a0  ; ak  ak 1  ak21 (k  1,2, , n) n CMR:   an  n Hướng dẫn: Ta có  a0  a1   an Từ n (ak  ak 1 )  ak21  n(ak  ak 1 )  ak ak 1  ak21  ak ak 1  (n  ak 1 )(ak  ak 1 )  ak ak 1 Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh  1   ( 1) Vì ak  nên ak 1 ak n  ak 1 n 1 1 1    (  )      an  Mặt khác ak 1 ak n ak a0 an k 1 ak 1 1 1 1 n        an   ak 1 ak n  ak 1 n  a0 an n  n Nhận xét: Để chặn an ta biến đổi đẳng thức cho (1) nhằm xuất hiệu 1  sau áp dụng phương pháp sai phân để tính tổng ak 1 ak Bài 2: Cho dãy số (an ) thỏa a1  ; an1  an  an (n  1) Tìm phần nguyên 100 n 1 an  T  Hướng dẫn: an 1  an (an  1)  1 1 1       an1 an (an  1) an an  an  an an1 100 1 1   2 Vì a101  nên  T   [T ]  a  a a a n 1 n 101 101 Từ suy T   Nhận xét: Phần nguyên số thực a số ngun lớn khơng vượt q a kí hiệu [a] Do n số nguyên n  a  n  [a] = n xn Bài 3: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  ; xn 1  2(2 n  1) xn  2001 Tính  x ( QG 2001) i i 1 Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh Hướng dẫn: xn  0, n Đặt un  ta xn un1  4(2n  1)  un  un 1  un  4(2n  1)  un  4n  xn  1 4002    S 2001    un 2n  2n  4003 4003 Nhận xét: Bài dùng đổi biến để áp dụng phương pháp sai phân 1 Bài 4: Cho an     CMR: 2n  Hướng dẫn: 1  (2k  1)ak (2k  1)(a  k 1 n  (2k  1)a k k 1 )a 2k  k  2 1   (2k  1)ak 1ak ak 1 ak n i 1 ui n Bài 5: Cho dãy số (un ) thỏa u1  2; un1  u  un  Tìm lim  Hướng dẫn: (un ) dãy tăng un  2, n nên (un ) bị chặn tồn lim un  a Khi a  a  a   a  ( Vô lý).Vậy (un ) khơng bị chặn lim un   Ta có un1   un (un  1)  un1   n 1 1     1 1 un (un  1) un  un u u  k 1 k n 1 Nhận xét: - Dãy (un ) tăng bị chặn (un ) giảm bị chặn tồn giới hạn hữu hạn lim un ( ta nói dãy (un ) hội tụ) - Dãy (un ) tăng không bị chặn lim un   n n Bài 6: Cho a > dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn 1  ax  xn Tìm lim  i 1 xi xi 1 Hướng dẫn: ( xn ) dãy tăng xn  1, n nên ( xn ) bị chặn tồn lim xn  b Khi b  ab  b  b  ( Vô lý).Vậy ( xn ) khơng bị chặn Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 10 lim xn   Ta có xk 1  xk xk2 x 1 1  xk 1  ax  xk  xk 1  xk  ax   a  k     xk xk 1 xk xk 1 xk 1 a  xk xk 1  k k n xk 1   1   x a x a k 1 k 1 n 1    Bài 7: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  Tìm n lim  i 1 xi  Hướng dẫn: Ta có xn1  xn2  3xn  quy nạp chứng minh xn  3n 1 , n  suy lim xn   xn1   ( xn  1)( xn  2)  1 1 1    yn    xn  xn  xn1  xn1  n Bài 8: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  3; xn1  xn2  3xn  Tìm lim  i 1 xi  Hướng dẫn: Chứng minh ( xn ) dãy tăng lim xn   Ta có n 1 1    1 1 xn  xn  xn1  xn1  k 1 xk  n 1 Bài 9: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  1; xn1  ( xn2  1) Tìm lim  i 1 xi  Hướng dẫn: Chứng minh ( xn ) dãy tăng lim xn   Ta có n 1 1    1 1 xn  xn  xn1  k 1 xk  xn1  n i 1 ui Bài 10 : Cho dãy số (un ) thỏa u1  1; un1   u1u2 un 1un Tìm lim  Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 34 Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ VI.1 Khái niệm: Dãy (un ) gọi dãy hội tụ tồn giới hạn hữu hạn lim un VI.2.Các tính chất dãy hội tụ: Dãy hội tụ có giới hạn Dãy hội tụ bị chặn Dãy bị chặn tồn dãy hội tụ Dãy hội tụ ngược lại ( Dãy (un ) gọi dãy hay dãy Côsi   0, n0  N : n  n0 , m  n0  un  un   Dãy đơn điệu bị chặn hội tụ n n n lim(1  )n  e (1  )n  e  (1  ) n1 Bài 45: Cho dãy số (un ) thỏa  un  1, n; un1 (1  un )  Tìm lim un Hướng dẫn: Ta có a  a2  1  un 1 (1  un )  (un 1   un )  un1  un 2 Giả sử lim un  a 1 a Bài 46: Cho dãy số (un ) thỏa un  1; un  1 (n  1) Tìm lim un  un1 Hướng dẫn: un2  3un  3  3  un  un1  un   Bằng quy nạp CM un  (  un1  un 2 nghiệm PT x  1 3  ) un  un1.lim un  3 x Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 35 xn ( xn2  3) Bài 47: Cho số thực a dãy ( xn ) thoả x1  a, xn 1  (n  1) CMR tồn xn2  giới hạn hữu hạn lim xn tìm lim xn ( QG 1998) Hướng dẫn:  Nếu a = xn  0, n  lim xn   Nếu a = xn  1, n  lim xn   Nếu a  0, a  xn  0, n xn3  xn2  xn  ( xn  1)3 xn1     xn1  1, xn  dấu với n xn2  xn2  - Nếu < a xn > với n xn1  xn  xn2  Nếu < a xn tồn giới hạn hữu hạn lim xn Nếu a >1 xn > với n xn > xn+1 tồn giới hạn hữu hạn lim xn b(b  3) Giả sử lim xn  b  b   b 1 3b  Nếu a < xét yn   xn  lim yn   lim xn  1 Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 36 Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO VII.1 KHÁI NIỆM 1 n  Dạng 1: lim xn  a lim   xi   a (1)  n i1  Dạng 2: lim( xn1  xn )  a lim xn  a (2) n Chứng minh: Khơng tính tổng qt xét trường hợp a =   0, N : n  N : xn1  xn    x 1  n  N n  xN0  xN0 1  xN0   xn  xn1  xN0  (n  N ) n n n n  xN0    2 n x n  N1  N  lim n  n   n Từ (2) suy (1) đặt yn   xi lim( yn1  yn )  lim xn1  a  lim i 1 yn a n VII.2 CÁC BÀI TOÁN Bài 48: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  , xn 1  xn  xn2 CMR lim nxn  Hướng dẫn: Ta có x1  xn1  xn   xn2  suy ( xn ) giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn lim xn  a  a  a  a  a  1 xn  xn 1 xn2 1       lim   lim nxn  xn1 xn xn1 xn ( xn  xn ) xn  xn nxn Bài 49: Cho dãy số (un ) thỏa u1  a  1, un  u1  u2  un1 (n  2) Tìm lim un n Hướng dẫn: Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 37 un21  un2  un  n   n   n ( có un1  un  n   ) Quy nạp CM un  n   lim un   Ta un21  un2 un   un 1  un un 1  un  un 1 un un21 un2  un u Mà      lim(un 1  un )   lim n  un un un n Bài 50: Cho dãy số (un ) thỏa u1  a  0, un1  un  u (n  1) Tìm lim n un n Hướng dẫn: CM (un ) tăng lim un   u n 1  u2 u 1  u   un    un2     lim n   lim n  un  un n n  n Bài 51: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  1, xn 1  sin xn CMR lim nxn  Hướng dẫn: Ta CM lim 1 1 1 xn2  sin xn  Xét     2 nxn2 xn21 xn2 sin xn xn2 xn sin xn Ta có x2  sin1 [0;1] , f ( x )  sin x tăng [0;1] f ( x)  [0;1] tồn lim xn  a  a  sin a  a  ; sin x  x cos x  sin x   sin x  1  2 2    x  sin x x x  x2  lim 2  lim    lim x 0 x sin x x 0 x  sin x 2sin x cos x sin x  x cos x  lim x 0 x3 cos x  (cos x  x sin x )  x 0 3x2  lim  1 1  Vậy lim      lim  nxn  xn1 xn  Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 38 Bài 52: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  1, xn 1  xn  1 CMR lim xn n xn Hướng dẫn: Ta có x n 1 Đặt x    3    32  2  x   xn   x   x  x  n n n    xn   x2    n  x 3 n n  ( xn21  xn2  xn   xn2   xn21  2n   xn  ) (1  x )  1 3 lim (1  x )  1  lim   lim xn  x 0 x x 0 n   xn3 Bài 53: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  1, xn 1  xn  CMR lim xn n Hướng dẫn: 3    1 xn31  xn3   xn    xn3  1   xn3  xn3  (1  x)3  1 xn  xn  x   Với x  0 xn3 Bài 54: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  , xn 1  xn  xn2  xn3  xn4   xn2 m1  xn2 m ( m  1) (1) Tìm lim nxn Hướng dẫn: Từ giả thiết suy xn xn 1  xn2  xn3  xn4  xn5  xn2 m  xn2 m1 ( 2) Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 39 Lấy (1) cộng (2): xn1 (1  xn )  xn  x  xn  m 1 n xn  xn2 m1  xn1  Bằng quy nạp CM:  xn 1 1  (k  1) xk   (k  2) xk  )  lim x  n  (  xk 1  n n 1 k2 (k  2)( xk  1) 1 x  xn 1  xn   n    lim   lim nxn  2n xn1 xn xn1 xn  xn nxn Bài 55: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  a  1, x2  1, xn  xn  ln xn ( n  1) Cho n S n  (n  1) ln x1  (n  2) ln x3   1.ln x2 n 3   ( n  k ) ln x2 k 1 ( n  2) Tìm lim k 1 Sn n Hướng dẫn: x2 n  1, n , f ( x)  x  ln x tăng (1; ) Bằng quy nạp CM x2 n 1  1, n x2 n 3  x2 n 1   ln x2 n 1  suy lim x2 n 1  c  c  c  ln c  c   lim xn  x1  x2   x2 n 2n  Theo định lý trung bình Cesaro lim    x1  x3   x2 n 1  n     lim   1 2n    x2 n 1  x2 n 3  ln x2 n 3  x1  x1   x1  nx1  [(n  1) ln x1  (n  2) ln x3   ln x2 n 3 ]  nx1  S n S a 1 a S 1 Các  lim   n     lim n  n  n 2 tập thêm dãy trung bình Cesaro: n 1   n  n  n Tìm lim      lim 1   1      n   n 2n  1  2  n HD: Xét un  un  ln    n  n CMR un  n un 1  l lim n un  l un CMR un  un  l lim n u1.u2 un  l Tìm lim n n3  n  Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 40 xn3 Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  1, xn1  xn  CMR lim nxn  Tìm lim n C2nn Chương VIII: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VIII.1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 41 Phương trình sai phân cấp : Dạng aun  bun1  cun  ( a  0) với u0 , u1 cho trước có phương trình đặc trưng f ( x )  ax  bx  c  * Trường hợp 1: f(x) có hai nghiệm thực phân biệt 1 , 2 un  A1n  B2n với A, B  1  B2 thoả hệ uu1  A A+B * Trường hợp 2: f(x) có nghiệm kép 1  2   un  (A  Bn) n với A, B thoả hệ  u1  (A  B) u0  A+B * Trường hợp 3: f(x) có hai nghiệm phức liên hợp 1 , 2 giả sử nghiệm    r (cos   i sin  ) un  r n (A cos n  Bsin n ) với A, B thoả hệ uu1  rA(Acos  Bsin ) Phương trình sai phân cấp : Dạng aun  bun 2  cun1  dun  ( ad  0) với u0 , u1 , u2 cho trước có phương trình đặc trưng f ( x)  ax3  bx  cx  d  * Trường hợp 1: f(x) có ba nghiệm thực phân biệt 1 , 2 , 3 un  A1n  B2n  C 3n u0  A+B+C với A, B, C thoả hệ u1  A1  B2  C3 u2  A12  B22  C 32 * Trường hợp 2: f(x) có nghiệm bội ba 1  2  3   un  (A  Bn+Cn ) n với A, u0  A B, C thoả hệ u1  (A  B+C) u2  (A  2B+4C) * Trường hợp 3: f(x) có nghiệm đơn 1 nghiệm bội 2  3 u0  A+B  1  2  3   un  A1n  (B+Cn)2n với A, B, C thoả hệ u1  A1  (B+C)2 u2  A12  (B+2C)22 * Trường hợp 4: f(x) có nghiệm thực 1 hai nghiệm phức liên hợp 2 , 3 giả sử 2  r (cos   i sin  ) un  A1n  r n (Bcos n  C sin n ) Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 42 Phương trình sai phân aun   bun 1  cun  d ( ad  0) tuyến với tính u0 , u1 cho khơng trước Đặt nhất: Dạng ta ta trưng un    avn   bvn 1  cvn  (a  b  c )  d  Nếu a  b  c  chọn    Nếu abc  ta d avn   bvn 1  cvn  a bc auau có  bun 1  cun  d (1)  bun  cun 1  d (2) n 1 n aun   (b  a )un 1  (c  b)un  cun 1  (3) (3) có Lấy (1) trừ PT đặc (2) ax3  (b  a ) x  (c  b) x  c   ( x  1)(ax  bx  c)   ( x  1)2 (ax  c)  Áp dụng PT sai phân tuyến tính cấp để giải hệ phương trình: Xét hệ xy  axn  byn với b khác x0, y0 cho trước n 1  cxn  dyn n 1 b Từ PT thứ suy yn  ( xn1  axn ) thay vào PT thứ hai hệ ta PT sai phân tuyến tính cấp : xn  (a  d ) xn1  (ad  bc ) xn  Phương trình phân thức : xn1  axn  b (1) với x0 cho trước cxn  d  y ayn  bzn Xét hệ PT zyn 1  cy với y0  x0 , z0  Khi n1  dz n 1 n n z n 1 xn  yn b ayn  bz n zn   cyn  dzn c yn  d zn a yn nghiệm (1) zn Phương trình sai phân tuyến tính khơng có nghiệm tổng nghiệm phương trình sai phân tuyến tính tương ứng nghiệm riêng phương trình sai phân tuyến tính khơng VIII.2 CÁC BÀI TỐN Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 43 Bài 56: Cho hai dãy (un ) (vn ) thoả u1  1, u2  3, un 1  un  2un 1 ; v1  7, v2  17, 1   2vn 1 CMR khơng có số nguyên đồng thời phần tử hai dãy nói Hướng dẫn: Với n chẵn CM un  3(mod 8),  1(mod 8) với n lẻ un  5(mod 8),  7(mod 8) Bài 57: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  7, x2  50 xn1  xn  xn 1  1975 CMR x1996 chia hết cho 1997 ( QG 1997) Hướng dẫn: Đặt un  xn  1997.24  1747(51996  1) 1975 un1  4un  5un 1 x1996  1997 120 Bài 58: Cho dãy số ( xn ) thỏa x1  4, x2  10 xn  xn 1  6( xn  2) CMR x p  4 p với số nguyên tố p Hướng dẫn: Đặt un   ,  (3)n  2n    (3)n  2n   Bài 59: Cho dãy số (un ),(vn ) thỏa u0  0, v0  cos  (  k ) un  un 1  2vn1 sin  vn  1  2un 1 cos  Tìm un , Hướng dẫn: Từ PT thứ hai suy un1  (vn  1 ) cos  thay vào PT thứ 1  2vn  1 cos   Bài 60: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0  xn1  xn  Tìm xn xn  Hướng dẫn:  Xét hệ zyn 1  yyn  42zzn Giải yn  n1  2.3n , zn  2.3n  2n n 1 n n Khi xn  yn 2n 1  2.3n  zn 2.3n  2n Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 44 Bài 61: Tìm hàm số f : Z  R thoả f (0)  0, f (1)  f ( x ) f ( y )  f ( x  y )  f ( x  y ) , x, y  Z Hướng dẫn: CM f ( y)  f ( y ), y  Z Xét x  N đặt f (n)  an Thay x = n y = ta 2an 1  5an  2an 1  f ( x )  x  2 x Bài 62: Tìm hàm số f :[0; )  [0; ) thoả f ( f ( x))  f ( x )  2011.2012.x (1) Hướng dẫn: Với x  xét dãy số u0  x, u1  f ( x ), u2  f ( f ( x)), , un  f (un1 ) Thay x  un vào (1) ta un  un1  2011.2012.un  un  C1 2011n  C2 (2012)n Nếu C2 < u2k  với k đủ lớn , C2 > u2k 1  với k đủ lớn Vậy C2 = u1  f ( x )  2011.x Thử lại thấy thoả toán Bài 63: Cho dãy số nguyên (an) xác định a0  1, a1  1, an  6an 1  5an với n  CMR a2012  2010 chia hết cho 2011 ( QG 2011) Hướng dẫn: Xét dãy số nguyên (bn) xác định b0  1, b1  1, bn  6bn1  2016bn2 với n  49.(42) n  41.48n Khi an  bn (mod 2011) bn  n  90 Vì 2011 số nguyên tố nên (42) 2011  482011  1(mod 2011) Do 90b2012  49.(42)2012  41.482012  49.(42)  41.482  90b2 (mod 2011)  b2012  b2 (mod 2011) Mà b2 = 2010 a2012  b2012  2010(mod 2011) Bài 64: Tìm số hạng tổng quát dãy (xn) biết x0 = , x1 = xn   xn 1  xn   n  2n  Hướng dẫn: Tìm nghiệm riêng dạng xn*  an  bn  c tìm nghiệm tổng quát xn*  n  n Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 45 Bài 65: Tìm tất hàm số f : N  N thoả f ( f (n))  f (n)  2n  Hướng dẫn: Đặt u1 = n , u2 = f(n) , …, um = fff…f(n) ( m chữ f ) Thay n fff…f(n) ta um  um1  2um  Nghiệm riêng un*  m nghiệm tổng quát um*  C11m  C2 (2)m  m Vì um > với m nên C2 = Từ tìm u2  f (n)  n  Chương IX: TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ CĨ SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC Trong số toán dãy số biểu diễn số hạng tổng quát dãy số hàm số lượng giác khử dạng thức dãy số IX.1 TÍNH CHẤT * lim x0 sin x sin ax  , lim a x  x x * lim ( x ) sin  ( x ) 1  ( x) IX.2 CÁC BÀI TOÁN Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 46 Bài 66: Cho dãy số (un) xác định u1=1, un1  1   un2 , n  1, 2, CMR tồn u số a cho dãy số  nn  có giới hạn hữu hạn khác a  Hướng dẫn:  sin n un  Bằng quy nạp CM un  sin n , lim n  lim  a 2n  n 1 Với a  dãy số n   lim n a (2a)  un   a n  có giới hạn hữu hạn khác   Bài 67: Cho dãy số (un) xác định un  2n       , n  1, 2, ( n dấu căn) Tìm lim un Hướng dẫn: Bằng quy nạp CM un  2n 1.sin  n 1  Bài 68: Cho dãy số (un) xác định un  cos cos   cos n Tìm lim un 2 Hướng dẫn:  0 0 , sin  Áp dụng sìnx =2sinxcosx lim un   , 0   Bài 69: Cho dãy số (un) xác định u1= u 2 , un1  n ; n  2,3, Tìm un tính u2012  (  2)un Hướng dẫn: tan      Bằng quy nạp CM un  tan   (n  1)  12 12  6 Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 47 Bài 70: Cho a0 = , b0 = Lập hai dãy số (an) ( bn) với n = 0,1,2,… theo quy tắc sau: an 1  2an bn , bn 1  an 1bn CMR dãy số (an) ( bn) có giới hạn chung n an  bn dần vô cực Tim giới hạn chung ( QG 1993 bảng A) Hướng dẫn:  1    cos ;  1;  cos ;  cos Bằng quy nạp CM a0 b0 a1 b1      cos cos cos n cos n  an 2.3 3   sin n 3  n sin n cos      cos cos cos n  bn 2.3 3 2n.sin  n.3 sin (2  cos 2 ) xn  cos  Bài 71: Xét dãy số thực ( xn) xác định bởi: x1 = xn1  (2  cos 2 ) xn   cos 2 với n = 1,2,3, …  số thực Xác định  để dãy số ( yn) có giới hạn hữu hạn n yn   k 1 xk  ( n  1, 2,3, ) Tìm lim yn ( QG 2004 bảng A) Hướng dẫn: Ta có xn  0, n  N , xn 1   3(2 xn  1) (2  2cos 2 ) xn   cos 2 Suy (1  cos 2 )(2 xn  1)  1     sin    xn 1  3(2 xn  1) 3 xn    1 2   sin     sin   xn 1   xn    Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 48 Đặt un  1  sin  (un) cấp số nhân có u1   sin  cơng bội q  từ 3 xn  n tính yn   uk  n sin   (1  3sin  )(1  k 1 )  n sin  ; n  n ( yn) hội tụ ( n sin  ) hội tụ   k lim yn  Bài tập làm thêm dãy số có sử dụng lượng giác : n  Tìm lim un 3k  góc cho trước un   3k 1 sin k 1 Hướng dẫn: Áp dụng sin3a = 3sina- 4sin3a ta có sin  1     3sin  sin   , 4  3n  un   sin   sin n 4 n   k góc cho trước un   k 1  cos k k Tìm lim un Hướng dẫn: Áp dụng 1 1   ; un   2 sin a cos a sin 2a sin  4n sin  2n n    k góc cho trước un    k tan k  Tìm lim un  k 1  Hướng dẫn: Áp dụng  tan   cos  Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh đến ... SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ Chương VII: DÃY... Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ Chương IV: LIÊN HỆ GIỮA DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Chương V: SỬ DỤNG GIỚI HẠN KẸP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN Chương VI: DÃY SỐ HỘI TỤ Chương VII: DÃY TRUNG BÌNH CESARO... + 24 = Dãy số giới hạn dãy số Nguyễn Vũ Thanh 18 Chương III: SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ III.1.Tính chất 1: Cho hàm số f : D  D dãy số (un ) thỏa un1  f (un )  Nếu f hàm số tăng