ỨNG DỤNG LIÊN hệ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN đều và DAO ĐỘNG điều hòa TRONG VIỆC GIẢI một số bài TOÁN DAO ĐỘNG và SÓNG

ỨNG DỤNG LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG Tác giả: Phạm Ngọc Thiệu Trường THPT Trần Phú – Vĩnh Phúc I.. Nếu như

ỨNG DỤNG LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG VÀ SÓNG

Tác giả: Phạm Ngọc Thiệu

Trường THPT Trần Phú – Vĩnh Phúc

I LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ

Trong những năm gần đây Bộ GD-ĐT đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan trong kì thi tốt nghiệp THPT cũng như tuyển sinh đại học, cao đẳng đối với nhiều môn học trong đó có mộn vật lý Hình thức thi trắc nghiệm khách quan đòi hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương trình và có kĩ năng làm bài, trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng Hình thức thi này cũng kéo theo sự thay đổi trong cách dạy học, ôn tập, luyện thi đại học cao đẳng của cả giáo viên và học sinh Nếu như trước đây giáo viên chỉ dạy các dạng bài tập tự luận, rèn cho học sinh cách giải và cách trình bày bài tập như thế nào để đạt điểm cao nhất thì hiện nay ngoài việc hướng dẫn học sinh làm các bài tập tự luận theo dạng, giáo viên đồng thời phải sưu tầm tài liệu, đặc biệt là hệ thống bài tập trắc nghiệm phù hợp theo chuyên đề để học sinh luyện tập thêm và hướng dẫn học sinh những cách giải bài tập trắc nghiệm nhanh nhất trong quá trình làm bài thi

Trong chương trình thi đại học cao đẳng nói chung và phần kiến thức dao động điều hòa nói riêng, việc tìm thời gian, thời điểm hoặc các đại lượng có liên quan luôn

là một kiến thức khó đối với học sinh Để giải bài toán loại này, một số giáo viên và học sinh đã sử dụng những kiến thức liên quan đến phương trình lượng giác, tuy nhiên phương pháp này thuần túy toán học, phức tạp và dễ gây nhầm lẫn Để giúp các

em học sinh có phương pháp giải quyết nhanh chóng các loại bài tập này, đặc biệt là trong bài thi trắc nghiệm, qua nhiều năm ôn luyện thi đại học phần dao động cơ, sóng

cơ, sóng điện từ, dòng điện xoay chiều, tôi đã hướng dẫn học sinh áp dụng mối liên

hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa để giải nhanh các bài toán liên quan đến tìm thời gian, thời điểm đại lượng dao động đạt giá trị xác định, pha dao

Chuyên đề đề này đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ Trong phạm vi thời gian có hạn, chuyên đề tập trung nghiên cứu hai vấn đề:

- Cơ sở lý thuyết và phương pháp giải từng loại bài toán

- Giới thiệu một số trường hợp vận dụng

Sau cùng là một số câu hỏi trắc nghiệm để bạn đọc tam khảo sau khi đọc phần bài tập

tự luận

Với sự hạn chế về kinh nghiệm ôn luyện thi ĐH-CĐ của bản thân cũng như thời gian nghiên cứu còn ít, chắc chắc những nội dung trong chuyên đề này sẽ còn nhiều điểm cần bổ sung, chỉnh sửa cho phù hợp với nhiều đối tượng Tác giả rất mong các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề có thể hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu tham khảo của các bạn đồng nghiệp trong quá trình ôn luyện thi Đại hoc, cao đẳng Xin chân thành cảm ơn

II MỘT SỐ CƠ SỞ LÝ THUYẾT ÁP DỤNG TRONG CHUYỂN ĐỀ

II.1 Chuyển động tròn đều:

* Chuyển động tròn là đều khi chất điểm đi được những cung tròn có độ dài bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau tùy ý

* Một số đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều

- Chu kì,tần số của chuyển động tròn đều:

+ Chu kì là khoảng thời gian để chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn Kí hiệu T + Tần số là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian Kí hiệu f

+ Liên hệ giữa chu kì và tần số: T 1

f



- Tốc độ góc của chuyển động tròn đều: Tốc độ góc ω là góc quay được của bán kính

trong một đơn vị thời gian, đơn vị rad/s:

t



  



II.2 Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa

Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của véc tơ quay OM biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động

Nói cách khác: Khi véc tơ OM quay đều với tốc độ góc ω

quanh điểm O thì hình chiếu P của điểm M dao động điều hòa

trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M với li độ bằng

tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số góc

đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc xOM ở thời

điểm t=0

* Một số hệ quả:

- Nếu biểu diễn dao động điều hòa x=A.cos(ωt+φ) bằng véc tơ quay thì thì φ=xOM là góc pha ban đầu của dao động với lưu ý:

+ Tại t=0, v0<0 thì OM ở trên Ox =>φ>0; v0>0 thì OM ở dưới Ox => φ<0

+ Thời gian vật dao động điều hòa đi từ vị trí (x1; v1) đến vị trí (x2; v2) bằng thời gian

OM quay đều được góc φ=M OM 1 2 với tốc độ góc ω: φ=ω.Δt => Δt=φ /ω

+ Nếu biết góc quay của OM trong thời gian Δt tính từ thời điểm đầu t=0 ta có thể

tìm được thời điểm vật qua vị trí có li độ x với vận tốc v, từ đó có thể tính được số lần vật qua vị trí x trong thời gian t0 hoặc tính được quãng đường vật dao động diều hòa

đi được trong thời gian Δt

+ Phương pháp biểu diễn dao động điều hòa có thể áp dụng đối với sóng cơ học, sóng

điện từ và dao động điệu từ trong mạch RLC vì các đại lượng có chung một đặc tính

là biến thiên điều hòa

Để minh họa các phương pháp trên chúng ta cùng xét các thí dụ sau đây

M

φ

III MỘT SỐ THÍ DỤ ÁP DỤNG MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHUYỂN ĐỘNG

TRÒN ĐỀU VÀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

III 1 Tính thời gian đại lượng dao động điều hòa biến thiên và thời điểm

đại lượng đó đạt giá trị xác định

III.1.1 Dao động cơ

Ví dụ 1:

Vật dao động điều hoà với phương trình x=4.cos(2πt) (cm)

a) Tính thời gian vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí có li độ x= - 2cm lần thứ nhất, lần

thứ hai và các thời điểm vật qua vị trí x=-2cm theo chiều dương và theo chiều âm

b) Tính số lần vật đi qua vị trí x=-2 cm theo chiều âm trong 2 giây và trong 3,25 s

d) Tại thời điểm t vật ở li độ 2cm Xác định trạng thái dao động (x, v) ở thời điểm

(t+6) s và (t+1

3) s

e) Tìm thời điểm vật qua vị trí x=-2cm theo chiều âm lần thứ 2011 và 2014

Hướng dẫn

a) Véc tơ quay biểu diễn dao động của vật ở thời điểm ban đầu, thời

điểm vật qua vị trí x=-2cm lần thứ nhất và lần thứ như hình vẽ 1:

- Từ hình vẽ ta có: t1 = φ1/ω; φ1=M OM 0 1 =2π/3 => t1=1/3 s

t2 = φ2/ω; φ2=M OM 0 2 =4π/3ω=2/3 s

- Chu kì dao động là T=1s

- Sau một chu kì vật lại quay lại trạng thái ban đầu nên các thời điểm vật đị qua vị trí

x nói trên theo chiều dương và âm là: ta=t1+kT = 1

3+ k ; td= t2+kT =2

3+ k (k=1, 2, 3, 4,…)

b) Tính số lần vật đi qua vị trí x=-2cm theo chiều dương và theo chiều âm

- Trong t=2s: véc tơ OM quay góc: φ=ω.t=4π rad Mỗi vòng quay

(2π) vật qua vị trí (x,v) 2 lần => Trong 2s vật qua vị trí nói trên 4

lần

O

x

P

M

M0 -2

4

H.2

O

x

P

M1

M0 -2

4

M2

H.1

- Trong t=3,25s: = ω.t=6,5π rad= 6π + 0,5π Vẽ véc tơ quay ở hai vị trí đầu và cuối

như hình vẽ 2, dễ dàng suy ra vật qua vị trí trên 6 lần

c) Xác định vị trí sau thời gian t:

- Khi t =6s: Véc tơ OM quay góc φ=ω.t =12π: Véc tơ OM đã

quay 6 vòng và trở lại vị trí đầu, do đó x(t+6s)=x(t) =2cm

- Khi t=1/3s: Véc tơ OM quay góc φ=ω.t=2π/3=>Có hai khả

năng:

+ Tại thời điểm t vật có x=2cm; v>0: Vị trí véc tơ ở hai thời điểm t

và t+1/3s được biểu diễn như hình vẽ 3 Từ hình vẽ suy ra: x(t+1/3s)

=2 cm và đang chuyên động theo chiều âm

+ Tại thời điểm t vật có x=2cm và v<0: Vị trí các véc tơ như hình vẽ

4 Từ hình vẽ suy ra: x(t+1/3s) = -4 cm và đang ở biên âm

e) Tìm thời điểm vật qua vị trí (x, v) lần thứ n:

- Với n=2011 Tách 2011 =2010 +1 (lần) Sau 2010 lần đã hết 1005 chu kì và véc tơ

OM trở về đúng vị trí ban đầu OM0, Từ hình vẽ 1 ta suy ra:

t2011=1005T +t1= 1005.1+1

- Với n=2014: Tách 2014=2012+2 lần Ta thấy sau 2012 lần đã hết 1006 chu kì và

vật lại trở về đúng vị trí ban đầu OM0 Từ hình vẽ suy ra:

t2014=1006T +t2= 1006.1+2

Tổng quát: Thời điểm vật đi qua vị trí (x,v) lần thứ n:

(Trong đó t 1 ; t 2 là thời điểm vật qua vị trí (x,v) lần thứ nhất và lần thứ 2)

Ví dụ 2

O

x

M1

2

M 2

4

H.3

O

x

M1

2

M2 -4

4

H.4

t = với n lẻ

t = với n chẵn

Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(t

-2

 ) Cho biết, từ

2

A

60 1

biên độ A của dao động

Hướng dẫn: Véc tơ quay biểu diễn vị trí đầu và cuối như

hình vẽ 5 Từ hình vẽ =>

6



  =>∆ =   

2 =

3



=>

20

t



    

v

2

Ví dụ 3

Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k =100N/m, một đầu treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g Từ vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vật dao động điều hòa Lấy g = 10m/s 2 Xác định tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn trong một chu kỳ

Hướng dẫn

 =

m

k

= 10 2(rad/s)

Độ dãn của lò xo ở vị trí cân bằng:

cm m

k

mg

l   0 , 05  5

=> Thời gian lò xo nén t1 là thời gian ngắn nhất để vật

đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến vị trí cao nhất và trở về vị trí cũ

Vậy: t1=





 , với sin=

2

1





A

l

=>=

6



=>∆ = -2=

3 2

2 15 2 10 3





l

dãn O

-A

A nén

(A > l)

O

 

x

M 1

M 2



H.6

x

M 2





O

M1

H.5

Thời gian lò xo dãn t2 là thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng

đến vị trí thấp nhất và trở về vị trí cũ: t2 = 2 2



  

=> 1

2

1 2

t t

 



Ví dụ 4 (ĐH 2010)

một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá

100 cm/s 2 là

3

T Lấy 2

=10 Tính tần số dao động của vật

Hướng dẫn

Vì gia tốc biến thiên điều hòa nên ta có thể biểu diễn gia tốc bằng một véc tơ

quay Trong thời gian T/3 véc tơ OM quay góc: ∆ = ω.t =

2

3



=> Các véc tơ quay biểu diễn độ lớn của a không vượt

quá 100cm/s2 như hình vẽ 7 Từ hình vẽ ta có: =π/3

=> A.ω2.cosπ/3=100 =>ω=2π => f=1Hz

III.1.2 Sóng cơ

Ví dụ 1

Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng

có biên độ A, chu kì T=0,5s Tại thời điểm t 1 = 0, có u M =+3cm và u N =-3cm Ở thời

điểm t 2 liền sau đó có u M = +A, biết sóng truyền từ M đến N Xác định A và t 2

Hướng dẫn

Ta có độ lệch pha giữa M và N là:

3

2





  

Vì li độ sóng cũng biến thiên điều hòa nên ta có thể mô tả dao động

của các phần từ bằng véc tơ quay Khi đó véc tơ quay biểu diễn li độ

dao động của M và N tại thời điểm t như hình vẽ 8

Từ hình vẽ ta có:

6



  => A = 2 3



M u

(cm); t2= t1+

 ; ω=2π/T =4π rad/s => t2= 1

24s

Aω2

O

a

M1

100

M4

H.3

-Aω2

M2

M3

-100 

H.7

- 3

H.8

H.8

3



Một sóng cơ được truyền theo phương Ox với vận tốc v=20cm/s Giả sử khi

truyền đi, biên độ không đổi Tại O dao động có dạng u o =4.cos(



-2



) (cm) Tại thời điểm t 1 li độ của điểm O là u=2 3 cm và đang giảm Tính li độ tại điểm O sau thời điểm t 1 một khoảng 3 giây và li độ của điểm M cách O một đoạn d=40 cm ở cùng thời điểm t 1

Hướng dẫn

Độ lệch pha giữa M và O là

3

d v

 



   Sau 3s véc tơ quay

của O quay được góc ω.t =

2

 Do vậy li độ của O và của M được

biểu diễn bằng các véc tơ quay tại thời điểm t=0 và t=t1 và li độ của

O ở thời điểm t1+3 như hình vẽ 9 Từ hình vẽ ta có:

uO(t1+3)=-2; uM(t1)= 2 3cm

III.1.3 Dao động điện và điện từ

Ví dụ 1

Điện áp giữa hai đầu một đoạn mạch có biểu thức u=220 2cos(100t –

2



)(V), t tính bằng giây(s) Xác định thời điểm đầu tiên điện áp tức thời có giá trị bằng điện áp hiệu dụng và đang giảm

Hướng dẫn

Ta có U=U0/ 2=220V Do u biến thiên điều hòa nên ta có

thể biểu diễn u dưới dạng một véc tơ quay ở thời điểm ban

đầu và thời điểm t1 u đạt giá trị u=U như hình vẽ 10

Từ hình vẽ ta có : 







t ; ∆ =

2



+ ; cos=

2

1

2 

o U u

=>  =

4



rad =>∆ =

2



+

4



=

4

3

rad => 1



Ví dụ 2

U u

M2





O

M1

H.10

M (t1)

O(t1)

2 u

H.9

4 O(t1+3)

Mắc một đèn vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời là

220 2 cos(100 )( ).

nhỏ hơn 110 6V Xác định tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kỳ

Hướng dẫn

Véc tơ quay biểu diễn thời gian đèn sáng và tắt như hình

vẽ 11 Điều kiện để đèn sáng là: u  110 6 (V)

Trong mỗi nửa chu kì, khoảng thời gian đèn tắt là:

∆t1 =



1

 , với ∆1=-2, cos=

2

3

o U

u

=>=

6



rad

=>∆1=

3

rad => ∆t1 = s

150

1

=> Trong một chu kì, thời gian đèn tắt là: 2∆t1 = s

150

2

=> Thời gian đèn sáng trong một chu kì là: T - 2∆t1 = s

150

1

Vậy: Tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kì là:

2

1 2

2

1

1 







t

t T

Ví dụ 3

Một mạch dao động điện từ lí tưởng đang có dao động điện từ tự do Tại thời

điểm t = 0, tụ điện bắt đầu phóng điện Sau khoảng thời gian ngắn nhất t = 10 -6 s thì

điện tích trên một bản tụ điện bằng một nửa giá trị cực đại Tính chu kì dao động

riêng của mạch

Hướng dẫn

Ở thời điểm đầu (t = 0), điện tích trên một bản tụ là: q1 = qo

Sau khoảng thời gian ngắn nhất ∆t, điện tích trên một bản tụ

điện là: q2 =

2

o

q

Từ hình vẽ 12 ta có : Ta có: ∆ =

3



rad =>t=

6 2

3

T













Vậy, chu kì dao động riêng của mạch là: T = 6∆t = 6.10-6

s

Ví dụ 4

x

M1

1

O

M2



H.11

q

-q q o 2 q 1 q o

M

1

O

M

2

H.12

Một mạch dao động LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do Điện tích trên

một bản tụ điện có biểu thức: q = q o cos(10 6t- )

2



(C) Kể từ thời điểm ban đầu (t = 0), sau một khoảng thời gian ngắn nhất là bao lâu thì năng lượng điện trường trên tụ

điện bằng ba lần năng lượng từ trường ở cuộn cảm?

Hướng dẫn

Ở thời điểm ban đầu t = 0, điện tích trên một bản tụ là q1 = 0

Sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất ∆t thì WL =

3

1

WC

=> W =

3

1

WC + WC =

3

4

WC 

C

q C

q o

2 3

4 2

2 2

2

 => q2 =

2

3

qo

hoặc q2 =

-2

3

qo Ta biểu diễn dao động của q ở các thời điểm như hình vẽ 13

Ta có: 







t với ∆ =  

2 ; mà: cos =

2

3

2 

o

q q

=> =

6



=>∆ =

3



3

10 10

3

6 6





















Ví dụ 5

Một mạch dao dộng LC lí tưởng có chu kì dao động là T Tại một thời điểm

điện tích trên tụ điện bằng 6.10 -7 C, sau đó một khoảng thời gian t = 3T/4 cường độ

dòng điện trong mạch bằng 1,2.10 -3 A Tìm chu kì T

Hướng dẫn

Giả sử ở thời điểm ban đầu t1, điện tích trên tụ điện có giá

trị q1 Ở thời điểm t2, sau đó một khoảng thời gian ∆t = T

4

3

ta có

1 + 2 =

2



=> sin2 = cos1 (1) Từ công thức: 2

2 2 2



i q

q o   =>

o q

i



 2 2

q

M

2 M

1

q 1 q 2







H.13

q

-q o q 2 q 1 q o

 O

M2

1

2

M1

H.14

Do đó (1) <=>

o

q q



 =>  6 10 2000

10 2 , 1

7 3

1

q

i

rad/s Vậy : T = 10-3

s

III 2 Tính quãng đường đi trong dao động điều hòa

Ví dụ 1

Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x=4.cos(4πt+/3) (cm) Tính quãng đường vật đi được:

- trong t=2s từ vị trí ban đầu

- trong 3,25s kể từ vị trí x= -2 cm ngược chiều dương

- trong 2,325s từ vị trí cân bằng theo chiều dương

Hướng dẫn

Biểu diễn dao động của vật bằng véc tơ quay ở thời điểm t=0 như hình vẽ 15

Ta nhận thấy nếu OM quay góc π thì hình chiếu của M đi được quãng đường S1=2A

và

không phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối của M Vậy khi OM quay góc n.π thì hình chiếu của M luôn đi được quãng đường 2nA

- Trong t=2s véc tơ OM quay góc =2.4π = 8π => Quãng đường dao động điều hòa

đi được là: s=2.8.A =64 cm

- Trong 3,25s: Véc tơ OM quay góc =3,25.4π =13π => Quãng đường vật đi là s=13.2.A=104cm

- Trong 2,325s: Góc quay là  =ω.t= 9,3π =9π+0,3π Biểu

dao động bằng véc tơ quay ở các vị trí đầu (x=0, v>0), vị trí

cuối và vị trí sau khi đã quay góc 9π (H.15)

Từ hình vẽ ta có: S=9.2A + x1 với x1 =A.cos(0,2π)

=> S=18A+A.cos(0,2π) =75,24cm

Ví dụ 2

Một vật m = 1kg dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x=Acos(t +) Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng 0 Từ vị trí cân bằng ta kéo vật theo

A x

x1

O H.15

M 2

M3

M 1