Vi tích phân a1 hàm số và giới hạn

Giới hạn của hàm số đa thức... Giới hạn của hàm số đa thức... Giới hạn của hàm số đa thức... Giới hạn của hàm số đa thức... Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷĐịnh nghĩa 1.3 Hàm phân th

VI TÍCH PHÂN A1

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN

1 Bộ môn Toán học Khoa Khoa học tự nhiên

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 Lời giải các Ví dụ

Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1.1

Cho hàm số f(x) xác định trên

khoảng (a, b) \ {x0} với

x0∈ (a, b) Ta nói L = lim

x→x 0

f(x)nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0

sao cho

|f(x) − L| < ε

với 0 < |x − x0| < δ

Giới hạn hữu hạn

Định nghĩa 1.1

Cho hàm số f(x) xác định trên

khoảng (a, b) \ {x0} với

x0∈ (a, b) Ta nói L = lim

x→x 0

f(x)nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0

sao cho

|f(x) − L| < ε

với 0 < |x − x0| < δ

Giới hạn hữu hạn

Chú ý 1.1

Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→af(x) = lim

x→ag(x), với các giớihạn trên đều tồn tại

Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→af(x) = lim

x→ag(x), với các giớihạn trên đều tồn tại

Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→af(x) = lim

x→ag(x), với các giớihạn trên đều tồn tại

Nếu f(x) = g(x) với mọi x 6= a thì limx→af(x) = lim

x→ag(x), với các giớihạn trên đều tồn tại

Giới hạn của hàm số đa thức

Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)

Một đa thức biến số x là hàm số có dạng

P(x) = anxn+ an−1xn−1+ + a2x2+ a1x+ a0trong đó an, an−1, , a2, a1, a0 là các hằng số và an6= 0

Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu làdeg(P ) = n

Giới hạn của hàm số đa thức

Định nghĩa 1.2 (Đa thức - Polynomial)

Một đa thức biến số x là hàm số có dạng

P(x) = anxn+ an−1xn−1+ + a2x2+ a1x+ a0trong đó an, an−1, , a2, a1, a0 là các hằng số và an6= 0

Số tự nhiên n được gọi là bậc của đa thức P và được ký hiệu làdeg(P ) = n

Định lý 1.1 (Giới hạn của hàm đa thức)

Nếu P (x) là một đa thức và a là số thực tùy ý thì

lim

x→aP(x) = P (a)

Giới hạn của hàm số đa thức

Giới hạn của hàm số đa thức

Giới hạn của hàm số đa thức

Giới hạn của hàm số đa thức

Giới hạn của hàm số đa thức

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)

Tỷ số P(x)

Q(x) của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)

Tỷ số P(x)

Q(x) của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ

Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)

Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) 6= 0 thì

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Định nghĩa 1.3 (Hàm phân thức hữu tỷ - Rational function)

Tỷ số P(x)

Q(x) của hai đa thức được gọi là hàm phân thức hữu tỷ

Định lý 1.2 (Giới hhạn của hàm phân thức hữu tỷ)

Nếu P (x) và Q(x) là hai đa thức và a là số thực sao cho Q(a) 6= 0 thì

Câu hỏi 1.1

Để tính giới hạn của hàm số hữu tỷ lim

x→a

P(x)Q(x) ta cần thực hiện các

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

4

x2− 4

 Bài giải

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Bài tập 1.1

Trong vi tích phân, giới hạn lim

h→0

f(x + h) − f(x)

dụng Hãy tính giới hạn trên cho các hàm số sau:

Các qui tắc tính giới hạn

Định lý 1.3 (Các phép toán trên giới hạn)

Nếu limx→af(x) = L, limx→ag(x) = M và k là một hằng số, m, n làcác số nguyên thì

và L 6= 0 nếu n lẻ

x→4f(x) − lim

x→41 =

−3

2 − 1 = −3.

P(x), Q(x) là các đa thức vớipP (a) = A và Q(a) = 0 ta cần thựchiện những bước nào?

Các qui tắc tính giới hạn

Định lý 1.4 (Định lý kẹp giữa - The Squeeze theorem)

Giả sử bất đẳng thức f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) thỏa mãn với mọi x thuộcmột khoảng chứa a (có thể không thỏa tại x = a) Khi đó

lim

x→af(x) = lim

x→ag(x) = L

Hệ quả Nếu lim

x→a|f(x)| = 0 thì limx→af(x) = 0

2 Tính giới hạn lim

x→0xsin 1

x2

Các qui tắc tính giới hạn

Bài tập 1.4

1 Biết rằng √

5 − 2x2 ≤ f(x) ≤√5 − x2 với mọi x ∈ [−1, 1] Tínhlim

x→0f(x)

sin u =

√2

x→√π 2

sin x2 =

√2

2 .

f(x) = +∞ nếu với mỗi

A >0, tồn tại δ > 0 sao cho

Giới hạn tại vô cực

Định nghĩa 1.5

Cho hàm số f(x) xác định tại

mọi x > a Ta nói

x→+∞f(x) nếu với mỗi

ε >0, tồn tại A > 0 sao cho

|f(x) − L| < ε, ∀x > A

Giới hạn tại vô cực

Chú ý 1.2 (Giới hạn của hàm hữu tỷ)

Cho Pm(x) = amxm+ + a0 và Qn(x) = bnxn+ + b0 là các đathức có bậc tương ứng là m và n Khi đó, giới hạn lim

bn

Giới hạn tại vô cực

Chú ý 1.3 (Giới hạn của hàm đa thức)

Cho P (x) = xn+ an−1xn−1+ + a0 là đa thức bậc n > 0 có hệ số của

xn bằng 1 Khi đó, giới hạn lim

x→±∞Pn(x)

2 bằng ±∞ tương ứng nếu n là số lẻ

Giới hạn tại vô cực

Chú ý 1.4 (Giới hạn của hàm hữu tỷ)

Cho Pm(x) = amxm+ + a0 và Qn(x) = bnxn+ + b0 là các đathức có bậc tương ứng là m và n với m > n > 0 Ta luôn có,

Pm(x)

Qn(x) = qm−n(x) +

rs(x)

Qn(x)trong đó qm−n và rs là các đa thức có bậc tương ứng là m − n và

ln1xcot(x2)

x

Giới hạn của hàm số lượng giác

Giới hạn của hàm số lượng giác

6 lim

θ→0

1 − cos θsin 2θ

7 lim

x→−2

x2− 4

Giới hạn của hàm số lượng giác

Giới hạn của hàm số lũy thừa

Giới hạn của hàm số logarith

Bài Giải

Khái niệm vô cùng bé và vô cùng lớn

Định nghĩa 1.6

Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé khi x → x0 nếu lim

x→x 0

α(x) = 0Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn khi x → x0 nếu

Khái niệm vô cùng bé và vô cùng lớn

Ví dụ 1.16

sin x là vô cùng bé khi x → 0 vì limx→0sin x = 0

ln cos x là vô cùng bé khi x → 0 vì limx→0ln cos x = 0

arctan(x + 2) là vô cùng bé khi x → −2 vì limx→−2arctan(x + 2) = 01

x2 là vô cùng lớn khi x → 0 vì lim

Vô cùng bé

Định nghĩa 1.7 (So sánh các vô cùng bé)

Cho α(x) và β(x) là hai vô cùng bé khi x → x0 Khi đó,

Nếu lim

x→x 0

α(x)β(x) = 0 thì α(x) = o(β(x))Nếu lim

x→x 0

α(x)β(x) = ∞ thì β(x) = o(α(x))Nếu lim

x→x 0

α(x)β(x) = A (hữu hạn khác 0) thì β(x) = O(α(x))Nếu lim

x→x 0

α(x)β(x) = 1 thì ta nói α(x) và β(x) là hai vô cùng bé tươngđương Ký hiệu: α(x) ∼ β(x)

Vô cùng bé

Định lý 1.9 (Nguyên lý thay vô cùng bé tương đương)

Cho α(x), α(x), β(x) và β(x) là các vô cùng bé khi x → x0 trong đó

α(x) ∼ α(x) và β(x) ∼ β(x) Khi đó,

lim

x→x 0

α(x)β(x) = limx→x 0

α(x)β(x)

Vô cùng bé

Định lý 1.10 (Nguyên lý ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao)

Cho

r(x) = α(x) + β(x) + + γ(x)trong đó α(x), β(x), , γ(x) là các vô cùng bé khi x → x0 Giả sử α(x)

là vô cùng bé có bậc thấp nhất so với β(x), , γ(x) Khi đó, r(x) cũng

là một vô cùng bé trong quá trình x → x0 và

Hàm số liên tục

Định nghĩa 2.1 (Hàm số liên tục tại điểm trong)

1 Ta nói hàm số f liên tục tại x0 nếu lim

Hàm số liên tục

Định nghĩa 2.1 (Hàm số liên tục tại điểm trong)

1 Ta nói hàm số f liên tục tại x0 nếu lim

Định lý 2.1 (Điều kiện liên tục)

Hàm số f liên tục lại x0 nếu và chỉ nếu f(x) liên tục trái và liên tục phảitại x0

f(x) = f (x0) (giới hạn bằng giá trị của hàm số)

Hàm số f gián đoạn tại x0 nếu một trong ba điều sau đây xảy ra:

3 Hàm số lũy thừa y = xα với α là hằng số.

4 Hàm số mũ ax và hàm số logarith logaxvới a là hằng số dương,khác 1

5 Các hàm số lượng giác và hàm số lượng giác ngược

6 Hàm số giá trị tuyệt đối |x|

Phân loại điểm gián đoạn

Phân loại điểm gián đoạn

Phân loại điểm gián đoạn

Định nghĩa 2.3

Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 2 nếu

x0 không phải điểm gián đoạn loại 1

Phân loại điểm gián đoạn

Định nghĩa 2.3

Ta nói điểm gián đoạn x0 của hàm số f là điểm gián đoạn loại 2 nếu

x0 không phải điểm gián đoạn loại 1

Phân loại điểm gián đoạn

Định nghĩa 2.4 (Điểm gián đoạn loại bỏ được)

Ta nói điểm gián đoạn loại 1 x0 của hàm số f là điểm gián đoạn bỏđược nếu lim

x→x 0

f(x) tồn tại

Phân loại điểm gián đoạn

Định nghĩa 2.4 (Điểm gián đoạn loại bỏ được)

Ta nói điểm gián đoạn loại 1 x0 của hàm số f là điểm gián đoạn bỏđược nếu lim

Mở rộng liên tục

Cho hàm số f (x) thỏa f (c) có thể không xác định nhưng lim

x→cf(x) = Lhữu hạn

Mở rộng liên tục

Cho hàm số f (x) thỏa f (c) có thể không xác định nhưng lim

x→cf(x) = Lhữu hạn Khi đó, hàm số

Mở rộng liên tục

Cho hàm số f (x) thỏa f (c) có thể không xác định nhưng lim

x→cf(x) = Lhữu hạn Khi đó, hàm số

Chứng minh phương trình có nghiệm

Định lý 2.3 (Sự tồn tại nghiệm của phương trình)

Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b)

Chứng minh phương trình có nghiệm

Định lý 2.3 (Sự tồn tại nghiệm của phương trình)

Nếu f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì phươngtrình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (a, b)

Ví dụ 2.6

1 Chứng minh phương trình x.2x= 1 có nghiệm trên khoảng (0, 1)

trên khoảng (−4, 4)

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

t 2 − 4 không xác định tại t = 2 nên ta không có thể áp dụng định lý 1.2.

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

t 2 − 4 không xác định tại t = 2 nên ta không có thể áp dụng định lý 1.2.

Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2 Ta có thể rút gọn nhân

tử chung này.

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

t 2 − 4 không xác định tại t = 2 nên ta không có thể áp dụng định lý 1.2.

Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2 Ta có thể rút gọn nhân

tử chung này.

2 Giải

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

t 2 − 4 không xác định tại t = 2 nên ta không có thể áp dụng định lý 1.2.

Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2 Ta có thể rút gọn nhân

t+ 5

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

t 2 − 4 không xác định tại t = 2 nên ta không có thể áp dụng định lý 1.2.

Tử thức và mẫu thức có chung nhân tử t − 2 Ta có thể rút gọn nhân

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

Giới hạn của hàm số phân thức hữu tỷ

x→4+f(x) và lim

x→4−f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??

Đề bài

x→4+f(x) và lim

x→4−f(x).Sau đó, áp dụng định lý ??

2 Giải

Đề bài

x − 4 = q lim

x→4+ (x − 4) = 0.

Đề bài

Đề bài

Do lim

x→4+

f (x) = lim x→4−

f (x) = 0 nên lim

x→4

f (x) = 0.

Đề bài

Do lim

x→4+

f (x) = lim x→4−

Lời giải của ví dụ 1.5

Lời giải của ví dụ 1.5

Lời giải của ví dụ 1.6

Đề bài

Lời giải của ví dụ 1.6

Lời giải của ví dụ 1.7

Theo đề bài 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2, ∀x 6= 0 Mặt khác

lim

x→0(3 − x2) = lim

x→0(3 + x2) = 3nên

lim

x→0u(x) = 3

Đề bài

Lời giải của ví dụ 1.7

Theo đề bài 3 − x2 ≤ u(x) ≤ 3 + x2, ∀x 6= 0 Mặt khác

lim

x→0(3 − x2) = lim

x→0(3 + x2) = 3nên

Lời giải của ví dụ 1.8

0 ≤

xsin 1

x2

= |x|

sin 1

x2

... để hàm số f(x) =

(

xsin1

Với x 6= ta có f(x) = x sinx1 hàm số sơ cấp Do đó, f(x) liêntục khoảng (−∞, 0) (0, +∞)

Theo đề bài, hàm số. .. data-page="156">

Lời giải ví dụ 2.3 Câu 2

Tìm m để hàm số g(x) =



m(x − 1) x > liên tục R

Với x < ta có g(x) = cos x hàm số sơ cấp Do đó, liên tụctrên khoảng (−∞, 0)

Với