Bài tập giới hạn hàm số lớp 11 có lời giải

Bài tập giới hạn hàm số có lời giải, các phương pháp giải bài tập giới hạn hàm số và bài tập được giải chi tiết, bài tập giới hạn hàm số nâng cao có lời giải, đổi biến để tính giới hạn hàm số, giới hạn hàm số lượng giác hay

1 Các phương pháp khử vô định 0/0 1

1.1 Khử nhân tử chung 1

1.2 Đổi biến 1

1.3 Gọi số hạng vắng 2

2 Giới hạn hàm số hữu tỉ 3

3 Giới hạn hàm vô tỉ 4

4 Giới hạn hàm số lượng giác 6

5 Bài tập tổng hợp 9

5.1 Giới hạn hàm phân thức (hữu tỉ, vô tỉ) 9

5.2 Giới hạn hàm lượng giác 15

5.3 Một số bài giới hạn sử dụng định lý kẹp giữa 17

Một số bài giới hạn lượng giác 19

1 Các phương pháp khử vô định 0/0 

Dạng ( )

( )

0

lim

x x

f x

g x

1.1 Khử nhân tử chung 

 Nếu f x g x( ) ( ), có nhân tử chung x-a thì ta đơn giản tử và mẫu cho x-a

 Các hằng đẳng thức thường dùng

a) 2 2 ( )( )

a -b = a-b a+b

b) 3 3 ( ) ( 2 2)

a - = -b a b a +ab+b

c) 3 3 ( ) ( 2 2)

a +b = a+b a -ab+b

d) n n ( ) ( n 1 n 2 n 2 n 1)

a -b = a-b a - +a - b+ +ab - +b

- Xem cách sử dụng sơ đồ hoocne để phân tích đa thức bậc >3 thành nhân tử

1.2 Đổi biến 

Ví dụ 1: 4

1

2 1 lim

1

x

x x



-1

Đặt t= 4 2x-1khi đó x 1 thì t 1

4 4

11

2

t x

=

-1.3 Gọi số hạng vắng 

Ví dụ 1:

3 1

3 2lim

-Ta cần tìm nhân tử x-1 ở tử để triệt tiêu mẫu, tuy nhiên không thể áp dụng hằng đẳng thức trực tiếp

hay được, do đó ta thêm bớt 1 để xuất hiện 2 hằng đẳng thức

-++ +

-2

2 2

4

16lim

2lim

+

=+

3 Giới hạn hàm vô tỉ 

Tính các giới hạn

1

2 0

lim

x

x x

-3

1

2 1lim

5 2

x

x x

+ + -

1 1lim

16 4

x

x x

1 1lim

x

x x



-10

3 2 1

7 2lim

x

+ ++

x

+

=b) sin 2x=2sin cos ;x x 2 2

cos 2x=cos x-sin x

c) cos cos 2cos cos

7

2 0

1 cos 2lim

8

2

4 0

sin 2 sin sin 4lim

2

x x

x x

4

2 2

2 0

1cos 1cos 4 1cos 6

sin 2 sin sin 4

34sin sin 2 sin sin

4lim lim lim lim 4.lim lim 2 .lim lim

3

1 34.1.2 6

sin2lim sin 1 0 1 1

22

11

1lim

3

2 3 2

6 5lim

-3 0

-5 4

x

x L

1

x

x L

-3

1

1lim

3 2lim

8lim

4

x

x x



-

-12

2 2

3 -5 +1lim

6

9

2 1

9 8lim

2 3

-

-3

2

2lim

3 1lim

6 2

x

x x

+

+Giải:

sin 2 sin sin 4lim

1 cos 2lim

11 20

1 coslim

sin 2

x

x x

-

0

cos cos3lim

sin 3 3 sin 3 3 sin 3 3 3

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tan 20 20 tan 20 20 tan 20



-= (xem lại bài tập

2 2

0

1 coslim

2

x

ax a x

cos cos 7 cos 1 1 cos 7 cos 1 1 cos 7

1 cos 2 sin 2 4sin cos sin

sin 2 sin 2sin cos sin 2cos 1

2

0

1lim cos

6 lim 1 cos

x

x x

1lim sin

Giai:

1 lim sin

x

x x

 = tuy nhiên giới hạn trên x  ¥ nên không thể áp dụng được Lại có sin¥ không xác định, ta có:

+¥

 = vậy lim sin 0

x

x x

2

0

1lim cos

++ +

12 lim 2 cos lim 2 lim cos 2 0 2

x x



sinlim lim lim lim

x

x x

1 2cos

x

x x

0

1 2cos t 1 cos 3 sin t 1 cos 3 sin

t

t t

osli

t

t t

1

00

x x

x

x

p p

1

x x

Ta có : 1 tan 1 tan 1 tan tan 4 1 tan 1 2 tan

4 1 tan tan 1 tan 1 tan

sin sin 1 tan cos 1 tansin

x x

neu x

neu

+ -

ìïïïïï

= í

ïïïî