Phương pháp tính giới hạn hàm số đầy đủ (đại học)

Giới hạn hàm một biếnGiới hạn của phần toán đại cương ở đại học sẽ có thêm nhiều công cụ mạnh mẽ giúp ta giải toán nhanh hơn, tuy nhiên có nhiều bài toán khó nhận dạng và đòi hỏi kết hợp

Giới hạn hàm một biến

Giới hạn của phần toán đại cương ở đại học sẽ có thêm nhiều công cụ mạnh mẽ giúp ta giải toán nhanh hơn, tuy nhiên có nhiều bài toán khó nhận dạng và đòi hỏi kết hợp nhiều phương pháp Giới hạn hàm số là chương cơ bản nhất, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững để dễ dàng học tốt các phần mới hơn đó là tích phân suy rộng, chuỗi số,… Trong tài liệu này, mình sẽ tổng hợp các phương pháp giải toán, các ví dụ, bài tập cơ bản và hướng dẫn chi tiết Có thể trong tài liệu có nhiều phần sai sót, mong các bạn thông cảm

Mình sẽ tóm tắt phương pháp tính giới hạn mới mẻ đó là qui tắc L’Hospitale để áp dụng vào

các bài toán giới hạn Phần này sẽ học kĩ hơn ở phép tính vi phân

Mục lục

1 Giới hạn hữu hạn 2

2 Giới hạn một phía 2

3 Các qui tắc tính giới hạn 2

3.1 Các phép toán trên giới hạn 2

3.2 Định lí kẹp giữa 4

3.3 Giới hạn của hàm hợp 5

4 Các dạng vô định 5

5 Giới hạn các hàm số sơ cấp 6

5.1 Giới hạn hàm lượng giác 6

5.2 Giới hạn của hàm số lũy thừa: 7

5.3 Giới hạn của hàm số mũ 7

5.4 Giới hạn của hàm số Logarith 8

5.5 Dạng vô định 1 8 ¥

5.6 Một số dạng vô định mũ: 0 ,¥0 0 9

6 Vô cùng bé và vô cùng lớn 9

6.1 Khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn 9

6.2 Vô cùng bé 10

6.2.1 So sánh các vô cùng bé 10

6.2.2 Các vô cùng bé tương đương 11

6.2.3 Nguyên lí thay vô cùng bé tương đương 11

6.2.4 Nguyên lí ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao 12

7 Hàm số liên tục 12

7.1 Định nghĩa hàm số liên tục 13

7.2 Phân loại điểm gián đoạn 15

7.2.1 Điểm gián đoạn khử được 15

7.2.2 Điểm gián đoạn loại 1 15

7.2.3 Điểm gián đoạn loại 2 16

8 Khử các dạng vô định Qui tắc Lôpitan (L’Hospitale) 16

8.1 Dạng vô định 0/0 16

8.2 Dạng vô định ¥ ¥/ 16

8.3 Các dạng vô định khác 16

9 Bài tập cơ bản và lời giải 19

1 Giới hạn hữu hạn

Trong phần này, ta sẽ không xét cách tính giới hạn bằng định nghĩa

 Sự tồn tại của lim ( )

x x f x

 0 và f x( )0 là độc lập với nhau

 Sự tồn tại của lim ( )

x x f x

 0 chỉ phụ thuộc vào f x( ) với những x khá gần x0 (¹x0)

 Nếu f x( )=g x( )," ¹ a x thì lim ( ) lim ( )

2

ẳng thức f x g x   h x thỏa mãn với mọi x thuộc một khoảng chứa a (có thể

không thỏa mãn tại x a ) Khi đó:

x x

x

Giải: Ta có 1 sin1 1, x 0

- Nhân tử và mẫu với P x A

- Đơn giản các đa thức giống nhau ở tử và mẫu, áp dụng phép thế

Áp dụng: Tính giới hạn 2

0

1lim sin

x x

x

Giải: Ta có sin 12 1, x 0

x    nên:

0 xsin 1 x sin 1 x

x x

0

sinlim

x

x x



 2 0

1lnlimcot

x

x x



0

1lim ln

1 coslim

x

x x

x

x x





2

Giải: Tương tự ta có:

ln 1

x

x x

x x

( ) ( ) 0 ( ) ( )0

Đây là khái niệm quan trọng giúp ta giải quyết các bài toán giới hạn phức tạp

6.1 Khái niệm vô cùng bé, vô cùng lớn

2 ln cos x là một vô cùng bé khi x 0 vì

1

5 sin x là một vô cùng bé khi x 0 nên

sin xlà một vô cùng lớn khi x 0

 Do đó, sinx

x là tích của một vô cùng bé và một đại lượng bị chặn nên là

cùng bé khiKết luận:

0

1lim sin 0

( ) ( )

0

1lim

không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác f (x 0 ) thì ta nói f gián đoạn tại x 0

Đi u kiện liên tục:

í dụ: Xét sự liên tục của hàm số tại điểm

1lim

x f x

 = = f x( ) liên tục tại x = 0 0

0

x nếu và chỉ nếu liên tục trái và liên tục phải

Mộ hàm số liên tục tại nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: t

ifsin

ifif

00 tại x0= 0

5 Các hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược

4 Hàm số mũ loga x với a là hằng số dương và khác 1

6 Hàm số giá trị tuyệt đối x

Ví d ụ:Xét sự liên tục của các hàm số trên 

ifif

 Với x £ 3ta có f x( )= là hàm số sơ x f x liên tục trên khoảng ( )

 Với ta có

(-¥ 3 , )

x > 3 f x( ) x x

1 2

= = là hàm số sơ cấp Do đó, f x liên tục trên ( )

tại. hàm số gián đoạn tại

 Vậy f x không liên tục trên  ( ) x = 3

0 = 1 = 0 Suy ra g x liên tục tại = 0 ( )

là hàm số sơ cấp nên nó liên tục trên

là đa thức bậc nhất nên liên tục trên

7.2 Phân loại điểm gián đoạn

7.2.1 Điểm gián đoạn khử đượ

Giải: tương tự câu trên ta tìm được a = -1

f x không xác định tại x0 hoặc f x( )0 ¹ b

Nếu bổ sung giá trị f x( )0 = thì hàm b f x trở nên liên tục tại , tức là gián đoạn có ( )

7.2.2 Đ

x0

thể khử được

iểm gián đoạn loại 1

Điểm f x nếu lim ( ), lim ( ) cùng tồn tại nhưng

7.2.3 Điểm gián đoạn loại 2

Điểm gián đoạn loại 2 của hàm f x( )

3 Tồn tại giới hạn hữu hạn hoặc vô cùng của

'lim'

''

f x

g x

Chú ý: Nếu thương lại có dạng vô định 0/0 hay ¥ ¥ tại x/ = và ', 'a f g tiếp tục

c điều kiện của qui tắc thì ta có thể tiếp tục đạo hàm cấp 2 hoặc nhiều hơn nữa

-Để xuất hiện dạng vô định

e e

3

=-

2) lim x

x+¥e

n x

Giai: Ta có dạng vô định ¥ ¥/ Áp dụng qui tắc Lôpitan:

Giải: Ta có dạng vô định Biến đổi

Giới hạn đã tính ở câu 3 : Vậy:

x ç ÷ç ÷çè øx÷ x2lim x

lim ln ln

Giải Ta có d: ạng vô định ¥0 Biến đổi :

( )cosx cosxlntanx e xlim co

sin x sin x

2cos

x

x

x x

cos

x x

x

x x x

2

0

1

sinlim

x

= Giới hạn này không tồn tại khi x  0 Nên qui

tắc Lôpitan không thể áp dụng Áp dụng giới hạn lượng giác và vô cùng bé, ta có:

tancos

sinsin

( )

,

sin , x x

lim lim

arctansin

0 bằng phương pháp đổi biến

x

t t

sinsin

sin

m lim lim sin

- 9Giả

Tài liệu tham khảo

1 Thầy Lê Hoài Nhân – Slide Vi tích phân A1 Hàm số và giới hạn – ĐH Cần Thơ Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Toán cao cấp tập 2 – ĐH KHTN Hà Nội

2