Phân loại bài tập vi phân hàm một biến

BÀI TẬP VỀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM .... MỞ ĐẦU Phép tính vi phân được sử dụng rất phổ biến trong toán học và chúng có nhiều ứng dụng như khảo sát sự biến thiên của hàm số,

LỜI CẢM ƠN -  -

Tôi chân thành cảm ơn thầy Lê Hoài Nhân đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ

để tôi hoàn thành tốt luận văn này Bên cạnh đó tôi cảm ơn Cô Nguyễn Thị Hồng Dân - cố vấn học tập của lớp chúng tôi, Cô đã quan tâm, dìu dắt chúng tôi trong suốt khóa học

Đồng thời, tôi chân thành cảm ơn quý thầy cô Khoa Khoa học Tự nhiên, đặc biệt quý Thầy Cô bộ môn Toán đã truyền đạt cho tôi những kiến thức nền tảng quan trọng làm hành trang bước vào cuộc sống

Sau cùng tôi tỏ lòng biết ơn đặc biệt đến những người thân trong gia đình đã động viên và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập

Tuy tôi cố gắng hết sức để hoàn thành luận văn này nhưng tôi không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn

Cần Thơ, tháng 5 năm 2013 Sinh viên thực hiện

Ngô Thị Kiểm

MỤC LỤC

-  -

CHƯƠNG 1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 1

1 ĐẠO HÀM 1

1.1 Đạo hàm tại một điểm 1

1.2 Đạo hàm một phía 1

1.3 Đạo hàm trong khoảng, đoạn 2

1.4 Đạo hàm vô hạn 2

1.5 Quan hệ giữa tính đạo hàm và liên tục 2

2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 2

2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương 2

2.2 Đạo hàm của hàm hợp 2

2.3 Đạo hàm của hàm ngược 3

2.4 Đạo hàm của hàm y= u x( )v x( ), (u x( )>0) 3

2.5 Đạo hàm của hàm ẩn 3

2.5.1 Hàm ẩn và hàm hiện 3

2.5.2 Đạo hàm của hàm ẩn 4

2.6 Đạo hàm cấp cao 4

2.6.1 Định nghĩa 4

2.6.2 Các phép toán 4

3 VI PHÂN 5

3.1 Khái niệm vi phân 5

3.2 Quan hệ giữa vi phân và đạo hàm 5

3.3 Ý nghĩa hình học của vi phân 6

3.4 5ác quy tắc tính vi phân 6

3.5 Vi phân cấp cao 6

4 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 6

4.1 Cực trị địa phương 6

4.2 Các định lý giá trị trung bình 7

4.2.1 Định lý Rolle 7

4.2.2 Định lý Lagrange 7

4.2.3 Định lý Cauchy 8

5 CÔNG THỨC TAYLOR 9

5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange 9

5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano 10

5.3 Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp đơn giản 10

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 12

1.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 12

1.1 Cực trị địa phương 12

1.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 12

2 XẤP XỈ TUYẾN TÍNH 13

3 TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN 13

4 VẬN TỐC, GIA TỐC 14

4.1 Vận tốc 14

4.2 Gia tốc 14

CHƯƠNG 3 PHÂN LOẠI BÀI TẬP 16

1 TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA 16

1.1 Phương pháp giải 16

1.2 Bài tập minh họa 16

1.3 Bài tập 25

1.4 Hướng dẫn và đáp số bài tập 26

2 TÍNH GẦN ĐÚNG BẰNG ĐẠO HÀM 28

2.1 Phương pháp giải 28

2.2 Bài tập minh họa 29

2.3 Bài tập 35

2.4 Hướng dẫn và đáp số bài tập 36

3 BÀI TẬP VỀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC VÀ CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM 37

3.1 Ý nghĩa hình học ( Bài toán tuyến tính) 37

3.1.1 Phương pháp giải 37

3.1.2 Bài tập minh họa 37

3.2 Ý nghĩa cơ học 42

3.2.1 Phương pháp giải 42

3.2.2 Bài tập minh họa 42

3.3 Bài tập 45

3.4 Hướng dẫn và đáp số bài tập 46

4 BÀI TOÁN VỀ TỐC ĐỘ BIẾN THIÊN 48

4.1 Phương pháp giải 48

4.2 Bài tập minh họa 49

4.3 Bài tập 58

4.4 Hướng dẫn và đáp số bài tập 59

5 BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT 60

5.1 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn [a,b] 60

5.2 Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trong khoảng (a,b) 61

5.3 Bài tập minh họa 61

5.4 Bài tập 68

5.5 Hướng dẫn và đáp số bài tập 69

6 KHAI TRIỂN CÔNG THỨC TAYLOR VÀ MACLAURIN 70

6.1 Khai triển Taylor và Maclaurin 70

6.1.1 Phương pháp giải 71

6.1.2 Bài tập minh họa 72

6.2 Sử dụng khai triển Taylor và Maclaurin để tính gần đúng 78

6.2.1 Phương pháp giải 78

6.2.2 Bài tập minh họa 78

6.3 Sử dụng khai triển Taylor và Maclaurin để tính giới hạn 80

6.3.1 Phương pháp giải 80

6.3.2 Bài tập minh họa 80

6.4 Bài tập 83

6.5 Hướng dẫn và đáp số bài tập 85

7 CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG

BÌNH 86

7.1 Phương pháp giải 86

7.2 Bài tập minh họa 86

7.3 Bài tập 92

7.4 Hướng dẫn và đáp số bài tập 93

KẾT LUẬN 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO 95

MỞ ĐẦU

Phép tính vi phân được sử dụng rất phổ biến trong toán học và chúng có nhiều ứng dụng như khảo sát sự biến thiên của hàm số, tìm min, max, tính tốc độ biến thiên…Như vậy, chúng ta sẽ phân loại và giải các bài toán đó như thế nào.Việc phân loại và giải bài tập sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về phép tính vi phân và ứng dụng của nó

Đề tài “Phân loại bài tập phép tính vi phân của hàm một biến ” giúp tôi giải

quyết những vấn đề trên với nội dung tóm tắt như sau:

Chương 1 Đạo hàm và vi phân Trình bày những kiến thức cơ bản về

phép tính vi phân của hàm một biến

Chương 2 Ứng dụng của đạo hàm Trình bày một vài ứng dụng cơ bản

của đạo hàm

Chương 3 Phân loại bài tập Trình bày các dạng bài tập, nêu phương

pháp giải cùng các ví dụ và bài tập minh họa và bài tập có hướng dẫn và đáp số

Chương 1

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

1 ĐẠO HÀM

1.1 Đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa 1 Giả sử hàm y= f x( ) xác định tại x0 và lân cận của x0 Nếu giới hạn

∆ → ∆ ∆ → ∆ tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi

là đạo hàm của hàm số f x( ) tại điểm x0 Ký hiệu f′( )x0 hay y x′( )0

Ý nghĩa của đạo hàm

− Ý nghĩa hình học f′( )x0 =tanα là hệ số

góc của tiếp tuyến của đường cong y= f x( )

tại điểm có hoành độ x0 và tiếp tuyến có

phương trình y− f x( )0 = f′( )(x0 x−x0)

− Ý nghĩa cơ học Giả sử một chất điểm chuyển động trên đường thẳng có

hoành độ theo thời gian t là s t( ) Khi đó v t( )0 =s t′( )0 là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0

− Ý nghĩa chung f′( )x0 biểu thị tốc độ biến thiên của hàm f tại x0

Định lý 1 Điều kiện cần và đủ để hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x là hàm 0

số f( )x có đạo hàm trái và phải tại điểm đó và f−′( )x0 = f+′( )x0 .

1.3 Đạo hàm trong khoảng, đoạn

Định nghĩa 3 Hàm f x( ) có đạo hàm trong khoảng (a b, ) nếu f x( ) có đạo hàm tại mọi điểm x∈(a b, )

Hàm f x( ) có đạo hàm trên đoạn [a b, ] nếu f x( ) có đạo hàm trong (a b, ),

có đạo hàm phải tại a và có đạo hàm trái tại b

∆ →

∆

= ∞

∆ thì ta nói hàm f x( ) có đạo hàm vô hạn tại x0

1.5 Quan hệ giữa tính đạo hàm và liên tục

Định lý 2 Nếu hàm số y= f x( ) xác định tại x và lân cận của 0 x và 0 f x có ( )

đạo hàm tại x thì nó liên tục tại điểm đó 0

Chú ý Hàm số f x( ) liên tục tại x0 thì chưa chắc có đạo hàm tại x0

2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Định lý 3 Nếu các hàm số f x và ( ) g x có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích, ( )

thương của chúng cũng có đạo hàm tại điểm x và:

2.3 Đạo hàm của hàm ngược

Định lý 5 Cho hàm số y= f x( ) liên tục và tăng nghiêm ngặt trên khoảng

(a b Nếu , ) f( )x có đạo hàm tại x0∈(a b, ) và f ′ x( )≠0 thì hàm ngược

Định nghĩa 5 Một hàm với đối số x được gọi là hàm hiện nếu ta cho nó trực

tiếp bằng một biểu thức giải tích chứa x

Hàm ẩn y với đối số x là hàm xác định bởi phương trình liên hệ giữa x và

y và không giải ra đối với y

Xem vế trái của (2.3) như là hàm hợp, ta lấy đạo hàm hai vế theo x Khi đó sẽ

xuất hiện đạo hàm y′( )x trong phương trình mới Giải ra đối với y′ ta tìm được

biểu thức của đạo hàm

* Đạo hàm cấp n của hàm số f , ký hiệu ( )n ( )

f x được định quy nạp như sau

=

−

3 VI PHÂN

3.1 Khái niệm vi phân

Định nghĩa 7 Cho hàm y= f x( ) xác định tại x0 và lân cận của nó Cho x một

số gia x∆ tùy ý Nếu tại x0 số gia hàm số ∆ =y f x( 0+ ∆x)− f x( )0 viết được

f x gọi là khả vi trên (a b, ) nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3.2 Quan hệ giữa vi phân và đạo hàm

Định lý 7 Điều kiện cần và đủ để hàm số y= f x( ) khả vi tại x là 0 f x có ( )

đạo hàm hữu hạn tại điểm đó

x

x y

Nghĩa là hàm số có đạo hàm tại x0

• Giả sử hàm số có đạo hàm f′( )x0 , nghĩa là lim0 ( )0

x

y

f x x

Suy ra ∆ =y f′( )x0 ∆ +x α( )∆x trong đó f′( )x0 ∆ tỷ lệ với x x ∆ và α( )∆x là

một vô cùng bé bậc cao hơn x∆ Theo định nghĩa 7 thì f x( ) khả vi tại điểm x0

Chú ý Nhờ định lý này ta có thể đồng nhất khái niệm khả vi và tồn tại đạo hàm

hữu hạn đối với hàm một biến

Tuy nhiên, đôi khi ta có thể xem dx là biến độc lập mới, gọi là vi phân của

x , và biến phụ thuộc mới dy , gọi là vi phân của y , như là hàm của x và dx , vì

Xét đồ thị hàm số tại lân cận điểm M0(x y0, 0)

Gọi α là góc tạo bởi tiếp tuyến M T0 với

đường cong tại M0 và chiều dương trục Ox

Ta có dy = f′( )x0 ∆ =x tan α M M0 =MT

Vậy vi phân của hàm số y= f x( ) ứng với x0 và y∆ cho trước bằng số gia tung

độ của tiếp tuyến với đường cong

Điểm c gọi là cực đại (cực tiểu) địa phương của hàm số

Cực đại và cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương

Bổ đề Fermat Nếu hàm số f x xác định trong khoảng ( ) (a b và đạt cực đại , )

(hay cực tiểu) địa phương tại c thuộc (a b và nếu tồn tại , ) f′( )c thì f′( )c = 0

Từ (1) và (2) suy ra f′( )c = 0

4.2 Các định lý giá trị trung bình

4.2.1 Định lý Rolle

Định lý 9 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a b và khả vi trong khoảng , ]

(a b Nếu , ) f a( )= f b( ) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a b, ) sao cho

x∈ a b nên điểm c có thể lấy bất kỳ điểm thuộc (a b, )

M m> Vì f đạt giá trị m và M trên [a, mà b] f a( )= f b( ) nên ít nhất

một trong hai giá trị đó của hàm số phải đạt được tại một điểm c nào đó thuộc

(a b, ) Khi đó theo bổ đề Fermat thì f′( )c = 0

4.2.2 Định lý Lagrange

Định lý 10 Giả sử hàm số f liên tục trên [a b và khả vi trên , ] (a b Khi đó , )

tồn tại ít nhất một điểm c∈(a b, ) sao cho

Rõ ràng F( )x liên tục trên đoạn [a b, ] và khả vi trong khoảng (a b, ) vì f x( ) có các tính chất đó

Định lý 11 Giả sử các hàm số f và g liên tục trên [a b và khả vi trong , ]

khoảng (a b giả sử , ) g x′( ) ≠ tại mọi 0 x∈(a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm

( , )

c∈ a b sao cho

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Thật vậy nếu g b( )=g a( ) thì tồn tại điểm c∈(a b, ) sao cho g c′( )= mâu 0thuẫn với giả thuyết là g x′( )≠0,∀ ∈x (a b, )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

5.1 Công thức Taylor với phần dư Lagrange

Định lý 12 (Định lý Taylor) Nếu f khả vi đến cấp (n+1) trong khoảng ∆

+ , với c nằm trong khoảng giữa x và a

Đặc biệt khi a=0 thì công thức (*) có dạng

5.2 Công thức Taylor với phần dư Peano

Nếu f( )x liên tục trên đoạn [a b, ], khả vi đến cấp (n−1) trong (a b, ) và tồn tại ( )n ( )0 ( 0 ( , ) )

f x x ∈ a b Khi ấy với x∈(a b, ) ta có:

R x =o x−x được gọi là phần dư dạng Peano

5.3 Khai triển Maclaurin của các hàm sơ cấp đơn giản

Chương 2

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1.CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1.1 Cực trị địa phương

Định lý 13 ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị)

Giả sử hàm số y= f x( ) liên tục trong lân cận của điểm x , có đạo hàm 0trong lân cận đó ( có thể trừ x ) Giả sử 0 x là điểm tới hạn của hàm số 0

Nếu f′( )x đổi dấu khi x qua x thì hàm số đạt cực trị địa phương tại 0 x và 0

0

x được gọi là cực trị của hàm số

Nếu f x đổi dấu từ (+) sang (-) thì ( ) x là điểm cực đại 0

Nếu f x đổi dấu từ (-) sang (+) thì ( ) x là điểm cực tiểu 0

Định lý 14 ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị)

Giả sử hàm số f x có đạo hàm liên tục đến cấp hai trong lân cận điểm ( ) x 0

và f′( )x0 = và 0 f′′( )x0 ≠ Khi đó nếu: 0

i) f′′( )x0 < thì 0 f x( ) đạt cực đại tại x0

ii) f′′( )x0 > thì 0 f x( ) đạt cực tiểu tại x0

Ta có thể mở rộng định lý 14 trong trường hợp sau:

Định lý 15 Giả sử rằng hàm số y= f x( ) khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận

f′ x = f′′ x = = f − x = f x ≠ Khi đó:

i) Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị tại x 0

ii) Nếu n chẵn thì hàm số có cực trị tại x 0

Hơn nữa nếu ( )n ( )0 0

i) f x( ) đạt giá trị lớn nhất tại x0∈D nếu f x( )≤ f x( )0 ,∀ ∈x D

ii) f x( ) đạt giá trị nhỏ nhất tại x0∈D nếu f x( )≥ f x( )0 ,∀ ∈x D

Ký hiệu giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên miền xác định của nó là

Định lý 18 (Ước lượng sai số cho xấp xỉ tuyến tính)

Nếu f′′( )t tồn tại với mọi t trong khoảng chứa x và x thì tồn tại điểm c 0giữa x và x sao cho:0 ( ) ( ) ( 0)2

f′ x > thì f( )x đang tăng với tốc độ f ′( )x0 , còn khi f′( )x0 < thì 0 f x( )

đang giảm với tốc độ f′( )x0

4 VẬN TỐC, GIA TỐC

4.1 Vận tốc

Giả sử một vật chuyển động dọc theo trục Ox , khi đó vị trí của vật là hàm của thời gian t , ký hiệu x= x t( ) (x t( ) cũng chính là phương trình chuyển động của vật)

* Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian [t t, + ∆ là t]

tb

x v

Vận tốc của vật tại thời điểm t cho ta biết độ nhanh chậm của chuyển động,

đồng thời cho ta biết hướng chuyển động của vật

+ Nếu v t( )> thì 0 x t( ) tăng: vật đang chuyển động về bên phải

+ Nếu v t( )< thì 0 x t( ) giảm: vật đang chuyển động về bên trái

+ Nếu v t( )= tại 0 t = thì tại thời điểm này vật ở trạng thái dừng t0

Vận tốc Gia tốc Hướng chuyển động Tốc độ

Nếu a t( )0 = thì vận tốc và tốc độ là dừng tại 0 t0

Nếu a t( )= trong khoảng thời gian 0 [t t1, 2] thì vận tốc không đổi, nghĩa vật chuyển động thẳng đều

− Áp dụng định nghĩa của đạo hàm

+ Đạo hàm tại một điểm

f x xác định trên (0, +∞).Với mỗi x > cho một số gia ∆x Ta có 0

1 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

1

=+

f x

x

f) ( )=3 sinx

cot cotlim

0sin

1 cotsin

x x

x x

e e

e e

e e

3 2

11

2lim

−++ + ∆

3 sin cos sin cos sin

x x

x x

=

2 3

=

g x x Tính f′( )0 và g′( )0

Vậy f x( ) có đạo hàm vô hạn tại x= 0

00

22

f f

0

f f

* Tương tự với x∈(1,2) ta được y x′( )=2x−3

* Tương tự với x∈(2,+∞) ta được y x′( )=1

+ +

f x

e

Theo định nghĩa đạo hàm một phía ta nhận được

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

0

lim0

0

lim0

x x x

x

x x

6 ( )0 lim sin2 0 lim sin 1

02

khi x x

0

1

x x

2

2

2

11

1

1 sinlim

k k

x khi x

ππ

1

12

khi x x

1

12

khi x x

x x

f x

x x

f x x

2 Tính gần đúng các giá trị sau:

a) sin29 0 b) 4 17 c)arcsin 0,51 d) cos410 e)101000 f) ln(tan47015′)

Do đó ( )

25

,01

15

,0

22

241

e) 101000

10 10

10 10

10 10

2

24122

2412241024

x x

f x x

12

≈

f) ln(tan47015′)

Xét hàm số ( ) ( ) ( )

x x

f x x

f

2sin

2tan

1θ

θ

Khi đó

r

r r

r r V

V r

r r dr

44

3

2 2

π

ππ

Khi r tăng lên 2% thì r r

4 Tính giá trị gần đúng của thể tích hình cầu bán kính r=1,02

6 Cạnh của khối lập phương tăng lên 1 cm Khi đó V∆ của thể tích khối lập

phương bằng 12 cm 3 Tính độ dài ban đầu của cạnh

5 Tính xấp xỉ % của thể tích của trái banh tăng lên bao nhiêu % nếu bán kính tăng lên 2%

f x

x

=

+ tại x=2 b) f x( )=sinx tại x=π

3 Dùng công thức số gia giới nội tính:

arcsin 0,54

2θ

5 Tìm giá trị gần đúng của diện tích hình tròn có bán kính 3,02

6 Tính giá tị gần đúng của thể tích hình cầu bán kính 2,01 m

7 Tìm biểu thức gần đúng của số gia V ∆ với V là thể tích của hình trụ tròn, với chiều cao h khi bán kính r của đáy biến thiên một lượng là r∆

8 Tính y= x x x( ≥4) đạt độ chính xác ε =0,1 thì giá trị của x phải có độ