Tích phân hàm một biến docx

TÍCH PHÂN HÀM TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN MỘT BIẾN Chương 3: Chương 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân suy rộng §4. Ứng dụng tích phân xác định §1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. NGUYÊN HÀM 1. Đ nh nghĩa:ị Cho hàm số f(x) xác định trong (a, b). Nếu tồn tại hàm số F(x) thoả mãn F’(x) = f(x), ∀x ∈ (a, b), thì F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trong (a, b), nếu có thêm F’( a + 0 ) = f(a) , F’(b – 0 ) = f(b) thì ta nói F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a, b]. Ví dụ : * F(x) = sinx + 3 là nguyên hàm của f(x) = cosx, ∀ x ∈ R. Vì F’(x) = (sinx + 3 )’ = cosx. 2. Các đ nh lí v nguyên hàm:ị ề Đ nh lí 1:ị Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó có nguyên hàm trên [a, b]. Đ nh lí 2ị : * Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b] thì F(x) + C, với C là hằng số tuỳ ý, cũng là nguyên hàm f(x) trên [a, b]. * Nếu F(x), G(x) là hai nguyên hàm nào đó của f(x) trên [a, b] thì ∃C ∈ R sao cho: G(x) = F(x) + C, ∀x ∈ [a, b]. Hay nói cách khác mọi nguyên hàm có dạng F(x) + C đó của f(x). của f(x) đều với F(x) là một nguyên hàm nào II. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trong (a, b) hay trên [a, b] thì biểu thức thức F(x) + C, C là hằng số tuỳ ý , được gọi là tích phân bất định của f(x) trong (a, b) hay trên [a, b]. Kí hiệu ∫ += CxFdxxf )()( * Dấu ∫ được gọi là dấu tích phân. * f(x) gọi là hàm dưới dấu tích phân. * f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. * x gọi là biến số tích phân. III. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH (Giáo trình) IV. BẢNG TÍCH PHÂN CÁC HS THƯỜNG GẶP: (Giáo trình) V. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Ph ng pháp đ i bi n s :ươ ổ ế ố a) Đổi biến dạng u = u(x): Đ nh líị : Nếu u = u(x) có đạo hàm liên tục đối với x ∈( a, b) và có f(x)dx = g(u)du thì trong (a, b) ta có : ∫ ∫ = duugdxxf )()( Ví dụ: Tính các tích phân sau đây: , 3 2 ∫ +x xdx dxe x ∫ −1 b) Biến đổi dạng x = ϕ(t) Đ nh líị : Giả sử f(x) là hàm liên tục đối với x trên [a, b] và x = ϕ(t) là hàm số khả vi, đơn điệu đối với t trên [α, β] và lấy giá trị trên [a, b]. Khi đó ta có : ∫ ∫ = dtttfdxxf ))(')](([)( ϕϕ Ví dụ: Tính dxx ∫ − 2 1 Hướng dẫn: Đặt x = sint với 22 ππ ≤≤− t 2. Ph ng pháp tích phân t ng ph nươ ừ ầ Giả sử u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục đối Đ nh líị : với x ∈(a, b). Khi đó trong (a, b) ta có: ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Viết gọn: ∫ ∫ −= vduuvudv Ví dụ: Tính các tích phân sau đây: ∫ xdxxcos Chú ý: Khi tính những tích phân dạng ∫ dxxgxf )()( với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không cùng loại ta thường dùng phương pháp tích phân từng phần. Cụ thể như sau: a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x); dv = g(x)dx. b) Nếu f(x) là hàm đa thức & g(x) là những hàm như hàm logarit, hàm ngược, lượng giác thì đặt u = g(x), dv = f(x)dx. [...]... hạn đó được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [ a, b ] Khi đó ta gọi f(x) là hàm khả tích trên [ a, b ] b Kí hiệu : ∫ a f ( x) dx = limI n n →∞ In : gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên đoạn [a, b ] [a, b] : gọi là đoạn lấy tích phân, a : cận dưới, b : cận trên b ∫ : dấu tích phân xác định a f(x) : hàm dưới dấu tích phân x : biến số tích phân Chú thích 1: Cho f(x) là hàm xác định tại a... biến số: (Tương tự phần tích phân bất định) 2 Phương pháp tích phân từng phân: (Tương tự phần tích phân bất định) 6.4 TÍCH PHÂN SUY RỘNG I TÍCH PHÂN CÓ CẬN VÔ HẠN (Tích phân suy rộng loại 1) 1 Khoảng lấy tích phân là [a, +∞ ) Định nghĩa : Giả sử f(x) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên [a, b] Khi đó: b lim b → +∞ ∫ f ( x)dx được gọi là tích phân suy rộng của f(x) a +∞ trên [a, +∞) Kí hiệu là +∞ Tức... sao cho diện tích hình thang cong aMNb bằng diện tích hình chữ nhật aABb ( hình vẽ ) f(c) gọi là giá trị trung bình của f(x) trên đoạn [a, b] y N f(c) A f(x) M 0 a B S c b x 2 Định lí đạo hàm theo cận trên : Ta đã biết tích phân xác định phụ thuộc vào cận lấy tích phân, không phụ thuộc vào biến số tích phân x Do đó tích phân : ∫ f (t )dt là một hàm của x (hàm của cận trên a x Φ ( x) = ∫ f (t )dt Ta đặt... + c Sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: du và tích phân dạng ( iii ) ∫u 2x + 1 Ví dụ : Tính ∫ x 2 + x + 1dx b) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát: Pn ( x) ∫ Qm ( x)dx i) Bậc Pn(x) < Qm(x) (n < m) * Phân tích Qm(x) thành tích các nhị thức, tam thức bậc 2 hoặc các thừa số chung của chúng: α β Qm ( x) = (a1 x + b1 ) (a 2 x + b2 )( A1 x + B1 x + C1 ) ( A2 x + B2 x + C 2 ) 2 2 * Phân tích Pn ( x) Mα...VI TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HS THƯỜNG GẶP: 1 .Tích phân hàm hữu tỉ: a) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản: dx 1 (i) ∫ = ln ax + b + C , a ≠ 0 ax + b a 1 1 dx ( ii ) ∫ (ax + b) k = 1 − k a(ax + b)k −1 + C , k ≠ 0 2 b  b 2 − 4c Adx  2 :Biến đổi x + bx + c =  x +  − ( iii ) ∫ 2 x + bx + c 2 4  ( Ax + B )dx ( iv ) ∫ 2 :Biến đổi x + bx + c Ab B− Ax + B A 2x + b... lí : x Nếu f(x) liên tục [a, b] thì hàm Φ ( x) = ∫ f (t )dt a với a ≤ x ≤ b là một nguyên hàm của hàm f(x) trên [a, b] Tức là x Φ ' ( x) = ( ∫ f (t )dt )' = f ( x) a với x ∈[a, b] x Hay nói khác đi, Φ( x) = ∫ f (t )dt là một nguyên hàm a của hàm f(x) trên [a, b] Hệ quả : Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó và một trong các nguyên hàm đó được biểu x diễn dưới dạng: Φ... a a b b ∫ f ( x)dx = −∫ f ( x) Chú thích 3: Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm dưới dấu tích phân xác định, phụ thuộc vào các cận, không phụ thuộc vào biến số tích phân Tức là : b b b a a a ∫ f ( x)dx = ∫ f (u)du = ∫ f (t )dt III Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH y f(x) S 0 a b x b Nếu f(x) ≥ 0 và liên tục trên [a, b] thì ∫ f ( x)dx a là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường... Nếu giới hạn (1) là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại, nếu giơí hạn (1) là vô cùng hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Ví dụ : +∞ Tính : dx ∫ (1 + x)2 1 +∞ dx ∫ x2 + x − 2 2 2 Khoảng lấy tích phân là ( -∞, b] Định nghĩa : Giả sử f(x) xác định trên (- ∞, b], khả tích trên [a, b] Khi đó: b lim a → −∞ ∫ f ( x)dx gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên (-∞, b] a... lim ∫ f ( x) dx a → −∞ a (2) Nếu giới hạn (2) là hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ, ngược lại, nếu giơí hạn (2) là vô cùng hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng phân kỳ dx ∫∞1 + x 2 − 0 Ví dụ : Tính 3 Khoảng lấy tích phân là ( - ∞, + ∞ ) Giả sử f(x) xác định trong (- ∞ , +∞), khả tích trên [a, b] ∀a, b ∈ R, tích phân suy rộng của f(x) trong (-∞, +∞ ) Kí hiệu và xác định như sau:... R (3) * Nếu các tích phân suy rộng (3) là 1 số hữu hạn thì ta nói các tích phân suy rộng đó hội tụ, ngược lại nếu nó là số vô hạn hoặc không tồn tại thì ta nói nó phân kì +∞ 2x dx Ví dụ: Tính ∫ 2 2 − ∞ ( x + 2) Lưu ý : dx ∫∞1 + x 2 − Qua các định nghĩa trên ta thấy có thể vận dụng công thức Newton – Leibnitz để tính tích phân suy rộng +∞ Ví dụ: +∞ Tính dx ∫∞1 + x 2 − II TÍCH PHÂN CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN . TÍCH PHÂN HÀM TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN MỘT BIẾN Chương 3: Chương 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN §1. Tích phân bất định §2. Tích phân xác định §3. Tích phân. những hàm như hàm logarit, hàm ngược, lượng giác thì đặt u = g(x), dv = f(x)dx. VI. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HS THƯỜNG GẶP: 1 .Tích phân hàm h u t :ữ ỉ a) Tích