Phân dạng và kĩ thuật tính tích phân hàm một biến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN THÁI PHÂN DẠNG VÀ KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN MINH KHOA THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN THÁI PHÂN DẠNG VÀ KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Chương Phép tính tích phân hàm biến 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.2 Tích phân xác định Chương Phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến 12 2.1 Các dạng toán tích phân phần 12 2.2 Các dạng toán tích phân lượng giác 33 2.3 Các dạng toán tích phân hàm vô tỉ 54 2.4 Các dạng toán tích phân hữu tỉ 71 2.5 Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối bất đẳng thức tích phân 85 Chương Ứng dụng tích phân hàm biến 90 3.1 Diện tích hình phẳng xác định đường cong y  f ( x ) 90 3.2 Thể tích khối tròn xoay 96 KẾT LUẬN 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Phép tính tích phân bắt nguồn từ nhu cầu sáng tạo phương pháp tổng quát để tìm diện tích, thể tích từ cách lâu Ngày nay, phép tính vi tích phân chiếm vị trí quan trọng Toán học, ứng dụng rộng khắp lĩnh vực Xác suất thống kê, Vật lý, Thiên văn học, nghành công nghiệp đóng tàu, sản xuất ô tô, máy bay, Phép tính tích phân giới thiệu cho học sinh lớp 12, phổ biến trường Đại học cho khối sinh viên năm thứ năm thứ Đồng thời phép tính tích phân nội dung quan trọng kì thi tốt nghiêp THPT, tuyển sinh Đại học Trong luận văn trình bày số vấn đề “Phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến”, toán ứng dụng tính diện tích hình phẳng thể tích khối tròn xoay Luận văn bao gồm chương Chương Trình bày khái niệm, tính chất nguyên hàm tích phân hàm biến Chương Tập chung vào việc phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến Chương Trình bày hai ứng dụng tích phân hàm biến, xác định diện tích hình phẳng thể tích khối tròn xoay Mặc dù cố gắng học tập nghiên cứu cách nghiêm túc, song chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp để hiệu chỉnh tốt luận văn quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Luận văn hoàn thành dẫn trực tiếp thầy hướng dẫn trợ giúp thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, TS Nguyễn Minh Khoa tận tình giảng dạy, bảo ủng hộ suốt trình nghiên cứu viết luận văn Cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại Học Khoa Học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thầy cô khoa Toán - Tin bạn bè học viên lớp cao học Toán K3b, giúp đỡ động viên ủng hộ suốt trình học tập, hoàn thành luận văn Thái Nguyên, … tháng 10 năm 2011 Học viên Nguyễn Văn Thái Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Phép tính tích phân hàm biến 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa Hàm số y  F ( x) gọi nguyên hàm hàm số y  f ( x ) ( a; b) nếu: F   x   f ( x ), x  (a; b) Ví dụ 1.1.1 Hàm số y  cos x nguyên hàm hàm số y  sin x (cos x)   sin x Hàm số y  arcsin x nguyên hàm hàm số y  (arcsin x)  1  x2 1  x2 , x   1;1 1.1.2 Định lý dạng tổng quát nguyên hàm Nếu khoảng  a; b  hàm số y  f ( x ) có nguyên hàm y  F ( x) , khoảng ấy: i) y  F ( x )  C với C số tùy ý nguyên hàm y  f ( x) ii) Mọi nguyên hàm hàm số y  f ( x) có dạng y  F ( x)  C , với C số tùy ý Chứng minh: i) Vì  F ( x )  C   F ( x)  f ( x) nên F ( x)  C , với C số tùy ý nguyên hàm y  f ( x) ii) Giả sử hàm số y  H ( x) nguyên hàm y  f ( x), x   a; b  Ta có:  H ( x)  F ( x )  H ( x)  F ( x)  f ( x )  f ( x )  0, x   a; b  Suy ra, H ( x )  F ( x)  C , x   a; b   H ( x )  F ( x)  C (đpcm) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Tính chất Tính chất Cho y  f ( x ) hàm số có nguyên hàm, '   f  x  dx   f ( x )   Tính chất Nếu y  F ( x ) có đạo hàm, ta có d  F  x    F  x   c , c số Tính chất Giả sử f  x  ; g ( x) hai hàm số có nguyên hàm.Với hai số   f  x    g ( x) dx    f  x  dx   g  x  dx thực  ;  bất kỳ: Tính chất Nếu  f  t  dt  F  t   c thì:  f u  x   u  x  dx  F u  x    c  F  u   c với u  u ( x ) 1.1.4 Nguyên hàm số hàm    0dx  C d x  x   x dx  u  u (x)  C x  1 1  C dx  x  ln x  C   s in  x d x    c o s x  C   c o s x d x  sin x  C    e kx d x  k e kx  C ax x a d x   C   ln a dx   s in x   c o tx  C dx    ta n x  C cos2 x dx  2 x  x C  d u  u  C  u  d u  u  1  C  1 du  ln u  C u   s in  u d u    c o s  u  C   c o s u d u  s i n u  C   e  u d x   e  u  C    a u du  du   sin     u au  C, ln a  a 1   co t u  C du  ta n u  C co s2 u du  u  C u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1.2 Tính nguyên hàm sau  I1   ( ax  b ) dx   I2  (  x4 a    ax  b  d  ax  b    I   x ( ax  b )  dx  4 x dx  x dx   x )dx  a  b a a  (a x  b )  b ( a x  b )  1  C a2  2 a2  1  1 a x d 3 3 x  x c    ax  b   b   ax  b   (ax  b) ( ax  b ) 1 c a (  1)  b  (ax  b)  d d  ax  b  a x  b 1.1.5 Một số nguyên hàm mở rộng dx x  a rc ta n  C  x a a dx a x  ln C 2 a  x 2a a x dx  ln ( x  x  a )  C 2 x a dx x  a rc s in  C ; a  a a2  x2  a            dx x x a dx x x2  a2  x a rc s in C a a  a ln a   ln  a x  b  d x   x  x2  a2 C x b   ln  a x  b   x  C a  Chú ý: Khi sử dụng công thức trên, ta cần phải chứng minh công thức cách lấy đạo hàm hai vế Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Tích phân xác định 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa tổng tích phân: Giả sử hàm y  f ( x ) xác định bị chặn  a; b  Với phép phân hoạch   a; b  tức chia đoạn  a; b  thành: a  x0  x1  xn1  xn  b , lấy điểm k   xi 1; xi  , i  1; n ; gọi độ dài  xi 1; xi  i  xi  xi1 Khi đó: n  f ( ) i i  f (1 ) 1  f ( )    f ( n )  n gọi tổng tích phân hàm i 1 số y  f ( x) ứng với phép phân hoạch   a; b  Định nghĩa tích phân xác định: n Giả sử  f ( ) i i  f (1 ) 1  f ( )    f ( n )  n tổng tích phân hàm số i 1 n y  f ( x) ứng với phép phân hoạch   a; b  Nếu tồn giới hạn lim Maxi 0  f ( )  I i i i1 I gọi tích phân xác định hàm số y  f ( x)  a; b  kí hiệu là: b I   f ( x)dx a Khi hàm y  f ( x) gọi khả tích  a; b  1.2.2 Công thức Công thức Newton – Leipnitz Nếu  f ( x)dx  F ( x)  C , x   a; b  thì: b  f ( x ) dx  F ( x ) b a  F (b)  F (a ) a b Công thức đảo cận Giả sử ( ) khả tích [a; b] thì: a a  f  x  dx  a Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên a  f  x dx  f  x dx http://www.lrc-tnu.edu.vn b Công thức tách cận Giả sử f ( x ) khả tích  a; b  ta có: b c b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , c  (a; b) a a c Công thức tích phân phần Giả sử u  u  x  ; v  v( x) khả tích  a; b  b Ta có: b u d v  u v b a a  v d u a Công thức đổi biến Giả sử y  f ( x ) liên tục  a; b  x   (t ) khả vi liên tục  c; d  min (t )c;d   a ; max (t )[ c;d ]  b ;   c   a;   d   b Ta có công b thức đổi biến số d  f  x  dx   f   t      t  dt a c 1.2.3 Tính chất Tính chất Nếu hàm số f ( x ) liên tục  a; b  khả tích  a; b  Tính chất Giả sử f  x  ; g ( x) khả tích  a; b  với   ;    ta có: b b b   f  x    g  x  dx    f  x  dx   g  x  dx a a a Tính chất Nếu f ( x) hàm chẵn liên tục [  a; a ] thì, a a  f  x dx  2 f  x dx a a Tính chất Nếu f ( x ) hàm lẻ liên tục [  a; a ]  f  x  dx  a b Tính chất Cho f ( x) liên tục [a; b] f (x)  x [a; b]   f (x)dx  a Tính chất Nếu f  x ; g  x hai hàm liên tục f  x  g  x x [a;b] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... Chương Phép tính tích phân hàm biến 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.2 Tích phân xác định Chương Phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến 12 2.1 Các dạng toán tích phân phần... hàm tích phân hàm biến Chương Tập chung vào việc phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến Chương Trình bày hai ứng dụng tích phân hàm biến, xác định diện tích hình phẳng thể tích khối tròn... đề Phân dạng kĩ thuật tính tích phân hàm biến , toán ứng dụng tính diện tích hình phẳng thể tích khối tròn xoay Luận văn bao gồm chương Chương Trình bày khái niệm, tính chất nguyên hàm tích phân