GIẢI TÍCH B2 Vi Tích Phân của Hàm Số Nhiều Biến

GIẢI TÍCH B2 Vi Tích Phân Hàm Số Nhiều Biến JAMES STEWART Trích Dịch Soạn Slides: L K Hà O T Hải N V Huy B L T Thanh ĐH KHTN, Khoa Tốn Tin-Học, Bộ Mơn Giải Tích Ngày 29 tháng năm 2016 Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Đường & Mặt Trong Khơng Gian Ơn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Mặt trụ mặt bậc hai Hàm vectơ biến đường cong Đạo hàm riêng khả vi hàm nhiều biến Hàm số nhiều biến Giới hạn Sự liên tục hàm nhiều biến Đạo hàm riêng Sự khả vi Quy tắc mắt xích Đạo hàm hàm ẩn 2.6 Đạo hàm theo hướng vectơ gradient 2.7 Cực trị (không điều kiện) hàm số nhiều biến 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện GIẢI TÍCH B2 2/?? ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Khơng gian có ba trục số vng góc cặp gốc O, gồm trục Ox, Oy, Oz theo qui tắc bàn tay phải hình gọi khơng gian tọa độ Descartes GIẢI TÍCH B2 4/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ơn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Trong hình trên, ba trục tạo nên ba mặt phẳng: mặt-xz (bức tường trái), mặt-yz (bức tường phải), mặt-xy (nền nhà); đồng thời chia không gian thành tám phần gọi octants (khối tam diện vng) Octant thứ khoảng khơng phòng trên, định phần dương trục GIẢI TÍCH B2 5/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Cách định vị điểm P không gian sau: gọi a khoảng cách (có hướng) từ mặt-yz đến P; b khoảng cách từ mặt-xz đến P c khoảng cách từ mặt-xy đến P Khi đó, P đại diện ba số thực a; b; c/, gọi tọa độ P Các số a, b, c gọi tọa-độ-x, tọa-độ-y , tọa-độ-z P Để định vị điểm P, ta gốc O a đơn vị dọc theo trục-x, tiếp tục b đơn vị song song với trục-y , sau c đơn vị song song với trục-z GIẢI TÍCH B2 6/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Từ điểm P.a; b; c/ theo phương vng góc với mặt-xy gặp điểm Q.a; b; 0/, gọi hình chiếu P lên mặt-xy Tương tự, R.0; b; c/ S.a; 0; c/ hình chiếu P lên mặt-yz mặt-xz tương ứng Vậy điểm P.a; b; c/ xác định hình hộp chữ nhật trên, nên tọa độ a; b; c/ gọi tọa-độ-hộp, ta quen gọi tọa-độ-Descartes GIẢI TÍCH B2 7/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Sau hình ví dụ minh họa cho trường hợp điểm 4; 3; 5/ điểm 3; 2; 6/ GIẢI TÍCH B2 8/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ơn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Không gian Euclide Người ta ký hiệu R3 tích Descartes ˚ « R R R D x; y ; z/jx; y ; z R ; tập hợp tất ba số thực có thứ tự Tập hợp R3 gọi khơng gian Eulide, đồng với không gian vật lý ba chiều, điểm P khơng gian vật lý đại diện ba a; b; c/ R3 nói Theo thuật ngữ tọa độ, octant thứ R3 bao gồm điểm có thành phần tọa độ dương Tổng quát, với n 2, n N, ta định nghĩa ˚ « Rn D x1 ; : : : ; xn / j 8k D 1; n; xk R : GIẢI TÍCH B2 9/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Đường mặt Trong hình học tọa độ hai chiều, đồ thị phương trình theo x y đường cong R2 Trong hình học tọa độ ba chiều, phương trình theo x, y , z biểu diễn mặt R3 Chú ý Một phương trình theo x y biểu diễn đường mặt phẳng, phương trình đó, lại biểu diễn mặt khơng gian (xem ví dụ trang sau) GIẢI TÍCH B2 10/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.7 Cực trị không điều kiện CỰC TRỊ TUYỆT ĐỐI Ta biết bước tìm cực trị tuyệt đối hàm biến đoạn đóng Œa; b Đối với hàm hai biến, ta đưa khái niệm tương tự đoạn đóng, khái niệm tập hợp đóng R2 , tập hợp chứa điểm biên Điểm a; b/ gọi điểm biên tập hợp D R2 có nghĩa đĩa tròn tâm a; b/ ln có điểm chung với hai phần: D phần bù R2 n D Hình ảnh minh họa hai tập đóng Hình minh họa ba tập hợp khơng đóng GIẢI TÍCH B2 158/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.7 Cực trị không điều kiện Tập hợp D gọi bị chặn nghĩa có đĩa tròn chứa D Nói cách khác, tập bị chặn khơng trải dài vơ tận, bị bao quanh đường tròn Ta thừa nhận định lý sau Định lý Nếu f hàm số liên tục tập D đóng bị chặn R2 , f đạt cực đại tuyệt đối x1 ; y1 / D đạt cực tiểu tuyệt đối x2 ; y2 / D Trong định lý trên, x1 ; y1 / không nằm biên D (không điểm biên D) mà nằm miền (là điểm D) x1 ; y1 / phải điểm dừng f (nếu tồn đạo hàm riêng f ) Tương tự cho điểm x2 ; y2 / Do ta có bước tìm cực trị tuyệt đối sau GIẢI TÍCH B2 159/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.7 Cực trị không điều kiện Cách tìm cực trị tuyệt đối Để tìm cực trị tuyệt đối hàm số f liên tục tập D đóng bị chặn R2 : Tính giá trị f điểm dừng bên D Tìm cực trị tuyệt đối f biên D Giá trị lớn nhỏ số giá trị bước & cực đại tuyệt đối cực tiểu tuyệt đối f tồn D GIẢI TÍCH B2 160/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.7 Cực trị khơng điều kiện Ví dụ Tìm cực đại tuyệt đối ˚cực tiểu tuyệt đối f x; y / D « x hình chữ nhật D D x; y / j Ä x Ä 3; Ä y Ä 2xy C 2y Giải Vì f đa thức, hàm sơ cấp hai biến, nên liên tục D Hơn hình chữ nhật D bị chặn đóng, f có max D Bước 1: sinh viên tự kiểm chứng f có điểm dừng bên D 1; 1/ f 1; 1/ D Bước 2: cạnh L1 ta có f x; 0/ D x , suy max f x; 0/ D 32 D f x; 0/ D 02 D L1 L1 GIẢI TÍCH B2 161/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.7 Cực trị khơng điều kiện Trên cạnh L2 f 3; y / D 4y , suy max f 3; y / D 4.0/ D L2 f 3; y / D L2 4.2/ D Trên cạnh L3 f x; 2/ D x 4x C D x 2/2 , suy max f x; 2/ D 2/2 D L3 f x; 2/ D L3 2/2 D Trên cạnh L4 f 0; y / D 2y , suy max f 0; y / D 2.2/ D L4 f 0; y / D 2.0/ D L4 Bước 3: so sánh giá trị bước & max f x; y / D f 3; 0/ D f x; y / D f 0; 0/ D f 2; 2/ D D GIẢI TÍCH B2 D ✷ 162/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện CỰC TRỊ CĨ MỘT ĐIỀU KIỆN Trong ví dụ trước đây, ta tìm thể tích lớn nhất, V D xyz, hộp chữ nhật khơng có nắp với điều kiện 2xy C 2xz C yz D 12 Điều kiện nói vật liệu làm hộp có 12 m2 bìa cứng Trong mục này, ta xét tốn dạng Tìm cực trị hàm biến f x; y ; z/ với điều kiện g x; y ; z/ D k, k số Tìm cực trị hàm biến f x; y / với điều kiện g x; y / D k Lagrange đưa phương pháp giải toán trên, gọi phương pháp nhân tử Lagrange GIẢI TÍCH B2 163/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Cơ sở hình học phương pháp nhân tử Lagrange giải thích dễ trường hợp hai biến: tìm cực trị f x; y / với điều kiện g x; y / D k, nghĩa điểm x; y / bị hạn chế đường cong g x; y / D k, x; y / khơng chạy tự mặt phẳng Hình bên trình bày đường đồng mức f x; y / D c, với c D 7; 11, đường cong màu xanh g x; y / D k Khi x; y / chạy đường xanh, giá trị c D f x; y / thay đổi Có vẻ x; y / D x0 ; y0 / làm cho c0 D f x0 ; y0 / cực đại, đường xanh đường đồng mức tiếp xúc Nói cách khác, điểm x0 ; y0 /, vectơ pháp tuyến đường xanh đường đỏ phương, nghĩa có số cho rf x0 ; y0 / D rg x0 ; y0 / Số gọi nhân tử Lagrange GIẢI TÍCH B2 164/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Cơ sở hình học phương pháp nhân tử Lagrange có tính trực quan Lập luận xác phần chứng minh định lý sau Định lý: Điều kiện cần cực trị có điều kiện Nếu hàm số biến f x; y ; z/ khả vi đạt cực trị P.x0 ; y0 ; z0 / với ! điều kiện g x; y ; z/ D k, hàm g kh vi v rg P/ Ô , thỡ tn nhân tử Lagrange cho rf x0 ; y0 ; z0 / D rg x0 ; y0 ; z0 /: Đối toán hai biến, kết tương tự Chứng minh Gọi (S) mặt ˝ cong g x; y ˛; z/ D k P S/ Với đường cong C / W ! r t/ D x.t/; y t/; z.t/ nằm (S) qua P t D t0 , nghĩa ! r t0 / D hx0 ; y0 ; z0 i, hàm hợp h.t/ D f x.t/; y t/; z.t/ đạt cực trị t0 Theo định lý Fermat hàm biến GIẢI TÍCH B2 165/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện D h0 t0 / D fx x0 ; y0 ; z0 /x t0 / C fy x0 ; y0 ; z0 /y t0 / C fz x0 ; y0 ; z0 /z t0 / D rf x ; y ; z / ! r t / 0 0 Điều cho thấy vectơ rf x0 ; y0 ; z0 / vng góc với tiếp tuyến P đường cong (C) nằm mặt (S), nghĩa rf x0 ; y0 ; z0 / phương với vectơ pháp tuyến mặt phẳng tiếp xúc với (S) P, tức rg x0 ; y0 ; z0 / Vậy có số cho rf x0 ; y0 ; z0 / D rg x0 ; y0 ; z0 / ✷ Căn vào định lý trên, ta có cách để tìm cực trị tuyệt đối (được giả sử tồn tại) mặt cong hàm số biến, đường cong hàm số biến GIẢI TÍCH B2 166/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Phương pháp nhân tử Lagrange Cho hai hàm số biến f g khả vi Để tìm cực trị tuyệt đối f (được giả sử tồn tại) mặt cong S/ W g x; y ; z/ D k, ta thực bước sau (a) Tìm tất giá trị x; y ; z cho rf x; y ; z/ D rg x; y ; z/ g x; y ; z/ D k (b) Tính giá trị f điểm x; y ; z/ tìm bước (a) Giá trị lớn (nhỏ nhất) số giá trị cực đại (cực tiểu) tuyệt đối f mặt cong (S) Trong trường hợp hai biến, cách làm tương tự GIẢI TÍCH B2 167/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Ví dụ Một hộp chữ nhật khơng có nắp, làm từ 12 m2 bìa cứng Tìm thể tích lớn hộp Giải Sự tồn giá trị lớn thể tích V D xyz với điều kiện g x; y ; z/ D 2xz C 2yz C xy D 12 điều tự nhiên, với vật liệu bìa cứng hữu hạn, khơng thể làm thể tích lớn tùy ý, mà đạt thể tích tối đa cần tìm Trước hết ta giải hệ Vx D gx I Vy D gy I Vz D gz I g D 12 yz D 2z C y / (1) xz D 2z C x/ (2) xy D 2x C 2y / (3) 2xz C 2yz C xy D 12 (4) GIẢI TÍCH B2 168/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Khơng có phương pháp tổng quát để giải hệ trên, mà phải dùng trực giác Nhân (1) với x; (2) với y ; (3) với z ta xyz D 2xz C xy / D 2yz C xy / D 2xz C 2yz/ (5) Nếu D từ (1)-(3) cho xy D yz D zx D 0, điều mõu thun vi (4) Do ú Ô 0, v t (5) ta suy xz D yz, xy D 2xz Hơn x; y ; z > nên ta suy x D y D 2z, thay tất vào (4) ta 4z C 4z C 4z D 12 ) z D x D y D Thể tích lớn cần tìm Vmax D 2:2:1 D m3 GIẢI TÍCH B2 ✷ 169/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện CỰC TRỊ CÓ HAI ĐIỀU KIỆN Ta xét tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biến f với hai điều kiện g x; y ; z/ D k h.x; y ; z/ D c Về mặt hình học, điều có nghĩa điểm x; y ; z/ chạy đường cong giao tuyến C hai mặt cong g x; y ; z/ D k h.x; y ; z/ D c (hình bên), vị trí x; y ; z/ làm cho f x; y ; z/ đạt giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất)? Giả sử vị trí P.x0 ; y0 ; z0 /, theo chứng minh điều kiện cần cực trị có điều kiện trước,rf P/ vng góc với (tiếp tuyến của) C P, đồng thời rg P/ rh.P/ Điều cho thấy ba vectơ đồng phẳng Do tồn hai nhân tử Lagrange cho rf P/ D rg P/ C rh.P/ GIẢI TÍCH B2 170/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm giá trị lớn nhỏ (nếu có) hàm số f x; y ; z/ D x C2y C3z đường cong giao tuyến mặt phẳng x y C z D mặt trụ x C y D Giải Đường cong giao tuyến (xem hình bên) tập hợp đóng (vì điểm thuộc đường cong điểm biên nó), đồng thời bị chặn R3 Hơn hàm số f liên tục nên f có max đường cong Điều kiện Lagrange rf D rg C rh, ta giải hệ GIẢI TÍCH B2 171/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi 2.8 Nhân tử Lagrange: cực trị có điều kiện 1D 2D x C 2x C 2y (6) (7) 3D (8) y Cz D1 (9) x Cy D1 (10) Thay D (8) vào (6)-(7), ta x D 2y D 5, suy x D 1= y D 5=.2 / Thay tất vào (10), ta p 25 29 29 C D1) D ) D˙ 2 4 Á ˙2 Do x; y / D p ; p Từ (9) ta suy z D x C y D p 29 29 29 p Tính f giá trị này, ta có max f f ˙ 29 ✷ GIẢI TÍCH B2 172/?? ... Đạo hàm riêng & Sự khả vi Đường & Mặt Trong Khơng Gian Ơn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Mặt trụ mặt bậc hai Hàm vectơ biến đường cong Đạo hàm riêng khả vi hàm nhiều biến Hàm số nhiều biến. .. Giới hạn Sự liên tục hàm nhiều biến Đạo hàm riêng Sự khả vi Quy tắc mắt xích Đạo hàm hàm ẩn 2.6 Đạo hàm theo hướng vectơ gradient 2.7 Cực trị (không điều kiện) hàm số nhiều biến 2.8 Nhân tử Lagrange:... ! ✉ C! ✈ D! ✈ C! ✉ GIẢI TÍCH B2 16/?? Đường & Mặt Đạo hàm riêng & Sự khả vi Ôn tập & Mở rộng kiến thức hình học tọa độ Tích- theo-hệ -số Nếu k số thực ! ✈ vectơ, tích- theo-hệ -số k! ✈ vectơ có độ