TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính Ví dụ 1 : Tính I = = 2/Nguyên hàm các hàm số phân thức :Ta tìm cách tính các nguyên hàm dạng I = Trong đó h(x) , g(x) là các đa thức biến số x . *1.Nếu bậc của tử thức cao hơn hay bằng bậc mẫu thức thì chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số : một hàm số đa thức và một hàm phân thức có bậc của tử thức nhỏ hơn bậc mẫu thức ,hoặc tử thức là hằng số : = q(x) + .Trong đó q(x) , r(x) là các đa thức .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số.Hàm số y = nếu có thể được thì biến đổi y = = + với bậc p(x) bé hơn bậc r(x) họăc p(x) là hằng số.Ta có : = + = + Như vậy ta chỉ cần phải nghiên cứu cách tính các nguyên hàm I = , I = Bậc r(x) , bậc p(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) . p(x) là hằng số. *2. Tính các nguyên hàm I = .Bậc r(x) nhỏ hơn bậc g(x) hoặc r(x) là hằng số. + Dạng I: với a .(Đổi biến số - đặt U = ax+b). I 1 = = = ln + C . Ví dụ2 : I = = = ln(5x+3) + C + Dạng II: với a .( đặt U = ax+b ) . I 2 = = = + C Ví dụ3 : I = = = + C . TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN + Dạng III: với a , h(x) là nhị thức bậc nhất hoặc là hằng số I 3 = .Tùy vào sự có nghiệm hay vô nghiệm của g(x) = ax 2 +bx+c .Ta chỉ cần xét với a = 1 .Vì nếu a thì ở mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân.Có I 3 = = Với b 1 = , c 1 = Xét I 3 = a -Nếu x 2 +bx+c = (x- x 1 )(x- x 2 ) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm 2 số A , B sao cho : = + . Do đó : I 3 = = A + = Aln(x-x 1 )+Bln(x-x 2 ) + C Ví dụ 4: I = = - = ln + C Vídụ 5: I = = dx = = - ( - ) = ln - .ln + C b -Nếu x 2 +bx+c = (x- x 0 ) 2 .(x 0 là nghiệm kép của mẫu thức ) Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) là hằng số a,ta có : I 3 = = = - + C (Dạng I 2 khi = 2 Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) *Trường hợp h(x) = px+ q là nhị thức bậc nhất (Với p 0) . TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Biến đổi: = = + . Do đó ta có: I 3 = = + (q - ) = + ( - q). + C Vídụ 6: I = = .dx = - 8 = - 8 = 3.ln + + C c -Nếu x 2 +bx+c = 0 vô nghiệm . Ta biến đổi: = = + Do đó: = + (q - ) = + C + (q - ) Nguyên hàm : J = dạng I = , với u = x + và a = Nguyên hàm I = . Đặt u = atant ,Thì: du = a(1 + tan 2 t)dt và u 2 +a 2 = a 2 (1 + tan 2 t) Ta có: I = = = = + C TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Vídụ 7: I= = - 8 = - 8 + Dạng IV : I 4 = .Trong đó h(x) là đa thức có bậc nhỏ hơn 3 hoặc h(x) là hằng số a-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c có 3 nghiệm phân biệt , x 3 +ax 2 +bx+c = (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + + Do đó : I 4 = = + + = A.ln +B.ln + C.ln +D b-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c = (x- x 1 )(x- x 0 ) 2 với x 1 x 0 (1 nghiệm kép và 1 nghiệm đơn) Thì bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + Do đó : I 4 = = + = + .dx = A + + = A.ln + .ln + (Bx 0 -C). + D c-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c = (x- x 1 )(x 2 +px + q) , trong đó x 2 +px+q = 0 vô nghiệm Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm 3 số A , B , C sao cho : = + Ta có : = + = + + TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Do đó : I 4 = = A + . + . = A.ln + .ln + (C - ) + D Nguyên hàm : J = = (Đã nói rõ ở Dạng III:c-Nếu mẫu thức vô nghiệm) d-Nếu g(x) = x 3 +ax 2 +bx+c = (x – x 0 ) 3 .Bằng phương pháp hệ số bất định tìm các số A. B, C sao cho : = + + . Do đó ta có : = + + = - + C.ln + D -Nếu h(x) là hằng số A thì : = = A = + C Trường hợp tử thức là bậc 2 thì có thể biến đổi = Do đó: I 4 = = + .Với p 1 = p- ; q 1 = q - Nguyên hàm dạng : j = đã nêu rõ ở trên Bài tập: Tính nguyên hàm 1. I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = ; I = 2. I = ; I = ; I = ; I = ; I = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 3. I = ; I = ; I = ; I = ; ; I = 4. I = ; I = ; I = I = ; 5. I = ; I = ; I = I = 6. a/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) b/ Tính nguyên hàm của f(x) = 1:( ) .Chú ý: c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x 2 +4x+4) d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x 2 +2x+3) e/ I = = + + g/ I= Chú ý: = (x-2)(x 2 +4x+4) 7. a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x 2 +4x+4) b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x 2 +4x+4) c/ I = Chú ý: =(x-1)(x-2)(x-3) d/ I = Chú ý : = (x+1)(x 2 -x+1) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 8. I = Hướng dẫn : Tìm các số A,B,C,D,E để = + + 9. I = = .dx ( , đặt x = tant ) 10.I = (Hd:I = +3 - 2 ) 11. I = I = I = I = 12.I = I = I = = - 3 + 13. I = (Hd : I= 3 - + 5 ) 14. I = (Hd : I= 3 + 2 - 2 ) 15. I = (Hd : I= 3 + 5 - 7 ) 16. I = (Hd : I = 2 + 5 - 3 ) 17. (Hd : I = -4 + - ) II.Nguyên hàm các hàm số Lượng giác 1.Nguyên hàm hàm hợp TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 1/ I = = = sin(ax+b) +C 2/ I = = = - cos(ax+b) +C 3/ I = = = tan(ax+b) + C 4/ I = = = cot(ax+b) + C 2. Nguyên hàm của hàm số f(x) = cos m x.sin n x .Trong đó m,n là các số nguyên dương 1/ Nếu số mũ của cosx lẻ (m là số lẻ) thì đặt sinx = t .Ngược lại nếu số mũ của sinx lẻ (n là số lẻ) thì đặt cosx = t.(Nếu m và n đều là số lẻ thì đặt cosx = t hoặc sinx = t đều được) Ví dụ 1 : I = . - Đặt sinx = t Ta có I = = = - + C - Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm của f(x) = cos m x.sin n x về nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ 1 ở trên ta giải cách 2: I = = I = = = = - cos3x - cosx + C Ví dụ 2 : I = - Đặt sinx = t Ta có I = = I = = = Ví dụ 3 : I = (Mặc dù đặt sinx = t cũng được nhưng cosx ở mẫu thức ,đặt cosx = t) -Đặt cosx = t.Ta viết I = = I = = I = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN = = t 2 - ln +C Ví dụ 4 : I = = = - = - ln + C (Đã đặt cosx = t) 2/Nếu số mũ của cả cosx và sinx đều là số chẵn (m và n đều chẵn) *Nếu f(x) = cos m x.sin n x Trong đó m và n đều là số tự nhiên chẵn thì hạ bậc biến đổi tổng thành tích đưa về nguyên hàm hàm hợp. Ví dụ 5: I = = I = = .2cos 2 xdx = dx = dx = - = x + sin2x - sin4x - sin6x - sin2x + C = x + sin2x - sin4x - sin6x + C *Nếu f(x) = , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = . Đặt cotx = t (Với m và n đều là sỗ chẵn ) Ví dụ 6 : I = -Ta có : I = = : I = = : I = - = - = tanx – x + C (Đã đặt tanx = t) Ví dụ 7 : I = (Vì mẫu thức là sin 2 x,chính là mẫu thức của cot 2 x nên ta đặt cotx = t) -Ta có : I = = I = = - .d(cotx) = - . cot 3 x + C (Thực chất đã đặt cotx = t nhưng viết tắt cho gọn thôi) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Ví dụ 8 : I = (Vì mẫu thức là cos 2 x,chính là mẫu thức của tan 2 x nên ta đặt tanx = t) -Ta có : I = = I = = = - = + = tanx + sin2x - x + C 3.Nguyên hàm của hàm số f(x) = Với h(x) và g(x) là các biểu thức bậc nhất của sinx,cosx *Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t *Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t *Nếu thay cosx bởi (-cosx) và sinx bởi (-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t -Có những bài dùng phương pháp liên kết. 1/ Nếu thay cosx bởi (-cosx) mà hàm số đổi dấu thì đặt sinx = t Ví dụ 9 : I = = = = = - = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ) 2/ Nếu thay sinx bởi (-sinx) mà hàm số đổi dấu thì đặt cosx = t Ví dụ 10 : I = = -2 = -2 = -2 =… 3/Nếu thay cosx bởi (-cosx)và sinx bởi(-sinx) mà hàm số không đổi thì đặt tanx = t hoặc cotx = t Ví dụ11: I = (Đặt tanx = t thì dx = , sinx = cosx = ) -Ta có I = = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10) [...]... cosx + C ****************************************************************************** III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng sau đây 1.Nguyên hàm của hàm số chỉ chứa x và một căn thức : - Thông thường: Đặt căn đó là t hoặc biểu thức trong căn là t Ví... nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) =6 3.Nguyên hàm của hàm số phân thức chỉ chứa x và với a,b,c R , a 0: -Đổi biến số đưa về nguyên hàm của hàm số Lượng giác (Đã nói trên) -Ta có = Gọi (x + ) = u và = = Hai trường hợp : 1/Nếu 2/Nếu 0 : Thì 0 , vì < 0 nên a > 0 căn thức mới có nghĩa ) Như vậy , bao giờ cũng đưa được về một trong 3 trường hợp sau : *1 Hàm số chứa u và , đặt u = tant *2 Hàm số chứa... TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Ví dụ 2 : I = = = t , x + 1 = t2 nên dx = 2t.dt và -Đặt -Do đó : I = 2 = 2 Ví dụ 3 : I = = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ) Đặt =t 2.Nguyên hàm của hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác nhau :bậc m, n …mà biểu thức trong căn giống nhau : Đặt căn bậc r là t với r là BSCNN của m,n … Ví dụ 4 : I= = t , ta có x + 1 = t6 nên dx... là đa thức biến số x ,bậc (n-1) và là số thực bất kỳ Lấy vi phân hai vế của (*) và đồng nhất các hệ số của những đa thức do vi phân có được, ta sẽ tìm được các hệ số của đa thức Qn-1(x) và hệ số Cuối cùng chỉ cần phải tính I1 = (đặt t = t = x + + như đã nói rõ ở trên ) Ví dụ 8 : (Ở đây P2(x) = x2-1 Vì n = 2, Q1(x) = ax + b ) Tính tích phân I = Lời giải: Gỉa sử : = (ax+b) + TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747... TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 11/Cho y=f(x) xác định ,liên tục trên Có ít nhất một nghiệm trên đoạn 12/ , có f(0)>0 và dx ; dx ; cos22x.dx ; 13/ cos22x.dx ; 14/ ; 15/ ; Tìm nguyên hàm của f(x) = < ; dx < 2 ; dx ; dx; -sinxcosx-co x).dx ; 16/Chứng minh rằng : >0 Chứng minh phương trình f(x) = sinx ; cos4x.dx dx ; , ;Tính: BÀI TẬP VỀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ 1/Chứng minh rằng : Nếu y = f(x) là hàm số chẵn ,... (11) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) thì đặt t = tan Ví dụ 13 : I = J= k= 6/ Nguyên hàm của f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx : -Biến đổi tích thành tổng , đưa về nguyên hàm của hàm hợp Ví dụ 14 : Tính I = = sin8x + sin2x) +C Ví dụ 15 : Tính I = = = =- = cos9x + cos7x -... chứa u và , đặt u = tant *2 Hàm số chứa u và , đặt u = *3 Hàm số chứa u và , đặt u = sint TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13) TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I * NGHỆ AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Đưa về nguyên hàm các hàm số Lượng giác đã nói ở trên Một số trường hợp riêng : 1/ Tính I1 = Đặt t = x + + (không... NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Xét I1 = Đặt t = -x thì : dx = -dt Do f(x) là hàm lẻ nên f(-x) = -f(x) tức là f(x) = -f(t) Vậy f(x)dx = f(t)dt Khi x = - a thì t = a , Khi x = 0 thì t = 0 Suy ra : Vì thế = Áp dụng : Tính I1 = =- + = =- =- + = 0 (đpcm) (Hàm chẵn) Tính I2 = (Hàm lẻ) dx = 3/Chứng minh rằng : Nếu y = g(x) là hàm số chẵn ,a > 0 thì : dx Bài giải : Xét I1 = dx Đặt t = -x thì : dx = -dt Vì g(x) là hàm. .. DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN = = (Dạng Với u = 1 + tanx) 4/Nếu không thỏa mãn một trong 3 dấu hiệu trên thì đặt t = tan Ta có dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , cosx = , và có sinx = Ví dụ 12 : Tính nguyên hàm I = Đặt t = tan Ta có : dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , và có sinx = ,cosx = Do đó : I= =I= =- = +C 5/Tính nguyên hàm : I = -Tách tử thức thành một tổng: có một số hạng là đạo hàm của mẫu thức Ta... TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN 3/Tính I3 = Ví dụ 7 : Tính : Đặt x-2 = Đặt (x – d ) = đưa về dạng I1 nói trên I= thì dx = - = dz , (x -2) = Do đó : I = = - (Tính 4/ Tính I4 = = (Giả sử z > 0,Nếu z . C ****************************************************************************** III.Nguyên hàm của hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa căn thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm của hàm số vô tỷ về nguyên hàm hàm số hữu tỷ hoặc hàm số lượng giác.Ta tiến hành với một số dạng. AN HƯỚNG DẪN TÍNH NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN I-Nguyên hàm các hàm hữu tỷ 1/Nguyên hàm các hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất và công thức nguyên hàm các hàm số thường gặp để tính Ví. NGUYÊN HÀM , TÍCH PHÂN Ví dụ 2 : I = -Đặt = t , x + 1 = t 2 nên dx = 2t.dt và = . -Do đó : I = 2. = 2. = …(Đây là nguyên hàm của hàm hữu tỷ) Ví dụ 3 : I = . Đặt = t 2.Nguyên hàm của hàm số phân