Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - Hoàng Mạng Dũng

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Không gian véc tơ cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm không gian véc tơ, không gian véc tơ con, độc lập tuyến tính, phục thuộc tuyến tính, hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ,... Mời các bạn cùng tham khảo.

CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ  u y  u  ( x, y )  u  u y 2.1 KHÁI NIỆM KHƠNG GIAN VÉC TƠ Khơng gian véc tơ x z CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ  u  ( x, y , z ) Khái niệm khơng gian véc tơ có nguồn gốc từ vật lý Ban đầu véc tơ đoạn thẳng có định hướng, với khái niệm người ta sử dụng để biểu diễn đại lượng vật lý như: véc tơ vận tốc, lực tác động, lực điện từ  v  uv 10/7/2017     u v  v u    (k  h)u  ku  hu     k (u  v)  ku  kv   (kh)u  k (hu)   1u  u  u Cuối kỷ 17 Descartes đề xuất phương pháp tọa độ để giải toán hình học Với phương pháp véc tơ mặt phẳng đồng với cặp số hồnh độ tung độ cịn véc tơ khơng gian đồng với ba số  u Khái niệm không gian véc tơ chiều Einstein (Anh-xtanh) sử dụng thuyết tương đối x       u  (v  w)  (u  v)  w      u 0  0u  u      u  (u )  (u )  u   ku 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ V1 (u  v)  w  u  (v  w) 2.1.1 Định nghĩa ví dụ V2 Có  V cho u    u  u Giả sử V tập khác , K tập số thực số phức V3 Với u V có u V cho u  (u )  (u )  u  V gọi không gian véc tơ K có hai phép tốn: V4 : V V  V  Phép toán V6 (u , v )  u  v V8 1u  u , phần tử đơn vị K ( , u )   u Khi K   V gọi khơng gian véc tơ thực thoả mãn tiên đề sau với u, v, w  V ,   K 10/7/2017  (u  v)   u   v V7 ( )u   (  u ) K V  V  Phép tốn ngồi u v  vu V5 (   )u   u   u Khi K   V gọi không gian véc tơ phức Các phần tử V gọi véc tơ 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ  u y   v uv  y’ u  v x x’  u  ku Vậy CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ  u  ( x, y, z )  v  ( x ', y ', z ')   u  v  ( x  x ', y  y ', z  z ')  xét  n  x  ( x1, , xn ) xi  , i  1, n  Ta định nghĩa: ( x1, , xn )  ( y1, , yn )  ( x1  y1, , xn  yn )  ( x1, , xn )  ( x1, , xn ),    Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán thoả mãn tiên đề khơng gian véc tơ có véc tơ không  ku  (kx, ky, kz )  (0, ,0)    n phÇn tư phần tử đối x  (x1, … , xn)  x  (x1,… ,  xn) ( x, y, z)  ( x ', y ', z ')  ( x  x ', y  y ', z  z ') ta có khơng gian véc tơ thực n k ( x, y, z)  (kx, ky, kz) 10/7/2017 Ví dụ 2.1 Giả sử  trường số thực, 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ x  ( x1, , xn ); y  ( y1, , yn ); z  ( z1, , zn )  K n  ,   K Ví dụ 2.2 v1 x  ( y  z)  ( x1, , xn )   ( y1, , yn )  ( z1, , zn )    x1  ( y1  z1 ), , xn  ( yn  zn )    ( x1  y1)  z1, ,( xn  yn )  zn  ( f  g )(t )  f (t )  g (t ), (f )(t )  f (t ), t  X   ( x1, , xn )  ( y1, , yn )   ( z1, , zn )  ( x  y)  z v2 x   ( x1, , xn )  (0, ,0)  ( x1, , xn )  x v3 ( x1, , xn )  ( x1, ,  xn )  (0, ,0)  x  y  ( x1  y1, , xn  yn )  ( y1  x1, , yn  xn )  y  x v4 v5 (   ) x  (   )( x1, , xn )   (   ) x1, ,(   ) xn    x   x v6  ( x  y)   ( x1  y1, , xn  yn )  ( x1   y1, ,  xn   yn )   x   y v7 (  ) x  (  )( x1, , xn )   (  ) x1, ,( ) xn      x1, ,  xn    ( x) v8 1x  1( x1, , xn )  ( x1, , xn )  x 10/7/2017 Ký hiệu X tập hàm số xác định tập X  , X   Ta định nghĩa phép toán cộng nhân với số thực sau: Với hai phép toán X có cấu trúc khơng gian véc tơ thực với véc tơ không 0(t)  0,  t   Ví dụ 2.3 Gọi Pn tập đa thức bậc  n, n số nguyên dương cho trước:  10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Tính chất 1) Véc tơ Gọi P tập đa thức    Pn  p p  a0  a1t   ant n ; a0 , a1, , an , n  n CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.4 P  Pn  p p  a0  a1t   ant n ; a0 , a1 , , an  Ta định nghĩa phép cộng hai đa thức phép nhân số với đa thức phép cộng hàm số phép nhân số với hàm số Ví dụ 2.2 Pn không gian véc tơ với véc tơ không đa thức Ta định nghĩa phép cộng phép cộng hai đa thức phép nhân với số với đa thức theo nghĩa thơng thường Ví dụ 2.3 P khơng gian véc tơ Pn  P với n   véc tơ đối  u u với uV 2) Có luật giản ước: u  v  u  w  v  w 3) Với u V , 0u  0, (1)u  u 4) Với   K , 0  5) Nếu u    u  10/7/2017 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Từ định nghĩa khơng gian véc tơ ta mở rộng phép tốn sau 1) Ta định nghĩa phép trừ hai véc tơ 2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON 2.2.1 Định nghĩa ví dụ Giả sử tập W   V thỏa mãn tính chất: u  v : u  (v) w  u v  u  wv 2) Do tính kết hợp phép cộng nên ta định nghĩa theo qui nạp: n  u k  u1   u n  (u1   u n 1 )  u n Tương tự 10 k 1  u, v W: u  v W (2.1)  u W ,   : u W (2.2) Khi xác định phép tốn từ không gian V thu hẹp vào W : W W  W (u , v)  u  v :  W  W (  , u )  u n   k u k   1u1    n u n  ( 1u1    n 1u n 1 )   n u n k 1 biểu thức gọi tổ hợp tuyến tính véc tơ u1 , , u n 10/7/2017 11 Hai phép toán thỏa mãn điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8 khơng gian véc tơ Ngồi W   tồn véc tơ u  W, suy  0u W  u W : u  (1)u W 10/7/2017 12 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ V1 V4 V5 V6 V7 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ (u  v)  w  u  (v  w) u v  vu (   )u   u   u  (u  v)   u   v ( )u   (  u ) Định nghĩa Hai phép toán thỏa mãn điều kiện V1, V4, V5, V6, V7, V8 không gian véc tơ Tập W   V thỏa mãn thỏa mãn điều kiện (2.1)-(2.2) gọi không gian véc tơ V (hay nói tắt: khơng gian V ) Định lý 2.2: V8  u W :1u  u Ngoài W   tồn véc tơ u  W, 00uW Giả sử tập W   V , W không gian véc tơ V khi: u, v W ,  ,   :  u   v W V2  u W : u   u V3 Với u  W;  u  (1)uW: u +( u)  Tập {0} gồm véc tơ không không gian véc tơ nhỏ V Vậy W thỏa mãn tiên đề V1 – V8 không gian véc tơ 10/7/2017 V không gian véc tơ lớn V 13 10/7/2017 14 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 2.2.2 Không gian sinh hệ véc tơ Ví dụ 2.6 Định lý 2.3: W1  u  ( x, y,0) x, y   3  Nếu Wi  iI  W2  u  ( x, y, z )  x  y  z   Wi không iI gian V hai không gian véc tơ 3 Từ Định lý 2.3 suy với tập S V tồn không gian W bé V chứa S W3  u  ( x, y,1) x, y   3 không không gian véc tơ họ không gian V W giao tất không gian V chứa S 3 Định nghĩa Không gian W bé chứa S gọi không gian sinh hệ S , ký hiệu W  span S , S gọi hệ sinh W Khi S hữu hạn W gọi không gian véc tơ hữu hạn sinh 10/7/2017 15 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.4 W  span S tập hợp tất tổ hợp tuyến tính S 1) Trường hợp S hữu hạn: S  v1, ,  u W  1, , n : u  1v1    nvn   W  1vi1    nvin 1, , n ; vi1 , , vin  S ; n  1,2, Ví dụ 2.11 Ta chứng minh W không gian bé chứa S Trong không gian vec tơ vi  S ; vi  0v1   1vi   0vn W  S  W  ,   ; u, v W : u  1v1    nvn , v  1v1   nvn  u   v   (1v1   nvn )   (1v1   nvn )  (1  1)v1   (n  n )vn W Giả sử W’ không gian V chứa S W1  ( x, y,0) | x, y    3 u W1  u  ( x, y,0)  x(1,0,0)  y(0,1,0)  xe1  ye2 Vậy u W : u  1v1   nvn W '  W  W ' 10/7/2017 2) Trường hợp S vô hạn tập W có dạng u W  1, , n ; vi1 , , vin  S : u  1vi1    nvin W  1v1    nvn 1, ,  n  Vậy 16 17 W1  span e1, e2  10/7/2017 18 CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.11  CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH  Khơng gian véc tơ W2  u  ( x, y, z ) 3 x  y  z  có u  ( x, y, z ) W2  x  y  z   x  3/ y  z 3  y u  ( x, y, z ) W2  u   y  z , y, z   (3,2,0)  z (2,0,1) 2  tính chất Xét v1  (3,2,0) , v2  (2,0,1) W2 , ta W2  span v1, v2  Ta có Khái niệm phụ thuộc tuyến tính khái qt hóa từ khái niệm véc tơ phương véc tơ đồng phẳng Cho hệ n véc tơ S  {u1, , un} V (các véc tơ trùng nhau) Hệ S  {u1, , un} phụ thuộc tuyến tính ta tìm 1, ,  n   không đồng thời cho 3  3  u  ( x, y, z ) W2  u   y  z, y, z   y  ,1,0   z (2,0, 1) 2  2  3  Do W2  span v '1, v '2  ; v '1   ,1,0  , v '2  (2,0, 1) 2  Hệ không phụ thuộc tuyến tính gọi hệ độc lập tuyến tính 10/7/2017 10/7/2017 Như khơng gian véc tơ sinh nhiều hệ sinh khác 19 1u1     nun  Vậy hệ S độc lập tuyến tính 1u1     nun  0,1, , n  1    n  CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.13 e1  (1,0,0), e2  (0,1,0), e3  (0,0,1)  20 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.6 Hệ e1, e2 , e3  độc lập, 1e1   2e2  3e3  1) Nếu v1 , , v n  độc lập tuyến tính u  1v1    nvn cách 1 (1,0,0)   (0,1,0)  3 (0,0,1)  (1, ,3 )  (0,0,0) viết u  1v1    nvn   u  u  (1  1)v1   ( n  n )vn  u  1v1    nvn  1  1    n  n   1  1, , n  n  1    3  Ví dụ 2.14  Hệ chứa véc tơ hệ phụ thuộc tuyến tính  Hệ hai véc tơ u1, u2  hệ phụ thuộc tuyến tính chúng tỷ lệ, nghĩa u1  u2 u2  u1  Xét véc tơ u1  (4, 2,8) , u2  (6,3, 12) , u3  (3, 2,5) Hệ hai véc tơ u1, u2  phụ thuộc tuyến tính ( u2  3/ 2u1) hệ u1, u3 độc lập tuyến tính 10/7/2017 2) Hệ véc tơ chứa hệ phụ thuộc tuyến tính hệ phụ thuộc tuyến tính Vì vậy, hệ hệ độc lập tuyến tính hệ độc lập tuyến tính Giả sử hệ S  u1, , um  chứa hệ u1, , un  phụ thuộc Khi tồn 1, , n  không đồng thời cho 1u1    nun  Chọn  n 1   m  ta 1, , n , n 1, , m không đồng thời thỏa mãn 1u1    nun   n1un1    mum  21 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 22 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 3) Một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính có véc tơ tổ hợp tuyến tính véc tơ cịn lại Giả sử hệ S  u1, , un  phụ thuộc tuyến tính, tồn 1, , n  khơng đồng thời cho 1u1    nun  Giả sử 1  ta u1  ( / 1)u2   ( n / 1)un 4) Giả sử hệ v1, ,  độc lập tuyến tính Khi hệ v1, , , u phụ thuộc tuyến tính u tổ hợp tuyến tính véc tơ v1, , , ta biểu diễn u  1v1    nvn 2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ 2.4.1 Hệ độc lập tuyến tính tối đại Cho hệ S véc tơ không gian véc tơ V Hệ S hệ S gọi độc lập tuyến tính tối đại S thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) S hệ độc lập tuyến tính 2) Nếu thêm véc tơ S vào S ta có hệ phụ thuộc tuyến tính (tối đại) (): suy từ 3) (): Giả sử v1, , , u phụ thuộc tồn số 1, ,  n ,  không đồng thời cho 1v1    nvn   u    Vì hệ v1, ,vn  độc lập nên   , u   v1   n   Hạng Cách viết suy từ tính chất 1) 10/7/2017 23 Nói riêng hệ {v1, … , vn} hệ độc lập tuyến tính tối đại V hệ {v1, … , vn} độc lập thêm véc tơ khác V ta có hệ phụ thuộc 10/7/2017 24 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.7 Định lý 2.7 1) Nếu S  hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ S véc tơ S tổ hợp tuyến tính véc tơ S  cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính Thật vậy, v1, ,  không tối đại tồn véc tơ S , ta ký S  u1, , uk , uk 1, , un  u1  1u1  0u2   0uk u2  0u1  1u2   0uk … uk  0u1  0u2   1uk  j  k  1, , n hệ u1, , uk , u j phụ thuộc hệ u1, , uk  độc lập Do u j  1u1    k uk 10/7/2017 hữu hạn S Khi ta bổ sung thêm để hệ độc lập tuyến tính tối đại S chứa {v1, … , vn} Đlý 2.6  Giả sử S '  u1, , uk  hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ  2) Giả sử {v1, … , vn} hệ độc lập tuyến tính hệ 25 hiệu vn1 , cho hệ v1, , , vn1 độc lập tuyến tính Lập luận tương tự hệ S hữu hạn nên trình bổ sung thêm dừng lại, cuối ta hệ v1, , , vn1, , vnk  độc lập tuyến tính tối đại S 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.15 Tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ véc tơ u1  (3,1,4), u2  (2, 3,5), u3  (5, 2,9), u4  (1,4, 1) Hai véc tơ u1, u2  độc lập khơng tỉ lệ 2.4.2 Hạng hệ hữu hạn véc tơ Định lý 2.9: Mọi hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ hữu hạn S có số phần tử Có thể kiểm tra được: u3  u1  u2 ; u4  u1  u2 3x  y  3x  y  x  x    u4  xu1  yu2   x  y    u3  xu1  yu2   x  y  2   y 1 4 x  y  1  y  1 4 x  y    Vậy u1, u2  hệ độc lập tuyến tính tối đại S Tương tự kiểm tra u1, u3, u1, u4 , u2 , u3 , u2 , u4  hệ độc lập tuyến tính tối đại S 10/7/2017 27 Định nghĩa Số véc tơ hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ S gọi hạng (rank) S, ký hiệu r(S) Qui ước hệ có véc tơ {0} có hạng 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.12 26 28 CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ 2.5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ Hệ véc tơ Định nghĩa u1  (3,1,4), u2  (2, 3,5), u3  (5, 2,9), u4  (1,4, 1) Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính V gọi sở V Định lý 2.10 Các hệ độc lập tuyến tính tối đại Giả sử {e1, … , en} hệ véc tơ V Các mệnh đề sau tương đương u1, u2 u1, u3 u1, u4 u2 , u4 u2 , u3 (i) Hệ  e1 , , e n  sở V (ii) Hệ  e1 , , e n  hệ độc lập tuyến tính tối đại V u3 , u4  (iii) Mọi véc tơ u  V tồn cách viết u  x1e1   xnen , x1, , xn   Các hệ độc lập tuyến tính tối đại có phần tử (x1, … , xn) gọi toạ độ véc tơ u sở {e1, … , en} Ký hiệu  u   ( x1, , xn ) B   e1, , en  Vậy có hạng B 10/7/2017 29 10/7/2017 30 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.11 Ví dụ 2.16 Hai hệ véc tơ B  {e1, e2}, B   {e1, e2} Giả sử V không gian hữu hạn sinh {v1, … , vk} hệ độc lập tuyến tính véc tơ V Khi bổ sung thêm để có hệ {v1, … , vk, vk1, vkm} sở V Giả sử V có hệ sinh có n véc tơ với e1  (1, 0) , e2  (0, 1) e1  (1,1) , e2  (4,3) hai sở không gian véc tơ 2 u  ( x, y )  u  ( x, y)  ( x,0)  (0, y)  x(1,0)  y(0,1)  xe1  ye2 Nếu S   v1, , vk  sở S khơng phải hệ sinh, tồn véc tơ, u  ( x, y)  x ' e '1  y ' e '2  x '(1,1)  y '(4,3)  ( x ' y ', x ' y ')  x ' y '  x  x '  y  3x     x ' y '  y y'  x  y sinh, k  m  n Vậy v1, , vk , vk 1, , vk m  sở cần tìm  u  B  ( x, y);  u  B '  (4 y  3x, x  y) u  (3,1);  u  B '  (5,2) Chẳng hạn B  {e1, e2} gọi sở tắc khơng gian véc tơ 2 Vậy 10/7/2017 ta ký hiệu vk 1 , cho hệ v1, , vk , vk 1 độc lập tuyến tính Tiếp tục q trình cuối ta có hệ v1, , vk , vk 1, , vk m  độc lập tuyến tính hệ 31 Mọi không gian hữu hạn sinh tồn sở Số phần tử sở Số véc tơ sở V gọi số chiều V Quy ước dim{0}  Ký hiệu dim V 10/7/2017 32 CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2.12 Trong khơng gian n hệ véc tơ CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ B   e1, , en  Chú ý 2.14: Không gian P  e1  (1,0, ,0), e2  (0,1, ,0), , en  (0,0, ,1) hạn sinh sở n gọi sở tắc Thật vậy, hệ   Pn ví dụ khơng gian véc tơ khơng hữu n 1 1, t, t ,  có vơ hạn véc tơ độc lập tuyến tính nên khơng thể hữu hạn sinh Vậy dimn  n Định lý 2.14 Giả sử dimV  n S  v1 , , v m  hệ m véc tơ V Khi đó: Ví dụ 2.13 Hệ B  {1, t, … , t n} sở Pn (i) Nếu hệ S độc lập tuyến tính m  n gọi sở tắc (ii) Nếu hệ S hệ sinh m  n Vậy dim Pn  n  (iii) Nếu m  n hệ S độc lập tuyến tính S hệ sinh 10/7/2017 33 10/7/2017 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ Định lý 2.16 Giả sử S hệ hữu hạn véc tơ V, S0 hệ S Đặt W  spanS Khi đó: 1) Hệ S0 độc lập tuyến tính tối đại S S0 sở W, r(S)  dimW đồng thời véc tơ S biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính véc tơ S0 Do S0 hệ sinh W, S0 sở W Ngược lại S0 sở W S0 hệ độc lập tuyến tính tối đại W, hệ độc lập tuyến tính tối đại S r (S )  10/7/2017 2) Khi thực số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp sau lên hệ S:  Nhân số khác với véc tơ hệ S  Cộng vào véc tơ hệ S tổ hợp tuyến tính véc tơ khác S; hệ S biến thành hệ S  Đặt W   span S  W  W , r(S)  r(S )  dimW Giả sử S0 hệ độc lập tuyến tính tối đại S Mọi véc tơ W biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính véc tơ S số véc tơ 34 Vì S  W tổ hợp tuyến tính véc tơ S thuộc W, S’  W W’  W Tương tự có W  W’ Vậy W  W’ S0  dimW 35 10/7/2017  r (S )  dimW  r (S ') 36 ... y, z ) W2  x  y  z   x  3/ y  z 3  y u  ( x, y, z ) W2  u   y  z , y, z   (3 ,2, 0)  z (? ?2, 0,1) ? ?2  tính chất Xét v1  (3 ,2, 0) , v2  (? ?2, 0,1) W2 , ta W2  span v1, v2  Ta... 10/7 /20 17 CHƢƠNG 2: KHƠNG GIAN VÉC TƠ Ví dụ 2. 12 26 28 CHƢƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 2. 5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ Hệ véc tơ Định nghĩa u1  (3,1,4), u2  (2, 3,5), u3  (5, ? ?2, 9), u4 ... cho 3  3  u  ( x, y, z ) W2  u   y  z, y, z   y  ,1,0   z (2, 0, 1) ? ?2  ? ?2  3  Do W2  span v '1, v '2  ; v '1   ,1,0  , v '2  (2, 0, 1) ? ?2  Hệ khơng phụ thuộc tuyến tính