Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Mở đầu về lôgích mệnh đề, tập hợp, ánh xạ và đại số cung cấp cho người học các kiến thức: Sơ lược về lôgích mệnh đề, tập hợp, tích Descartes và quan hệ. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.1 SƠ LƢỢC VỀ LƠGÍCH MỆNH ĐỀ 1.1.1 Mệnh đề MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.1.2 Các phép liên kết lơgích mệnh đề Lơgích mệnh đề hệ thống lơgích đơn giản nhất, với đơn vị mệnh đề mang nội dung phán đoán, phán đoán giả thiết có giá trị chân lý định sai Để mệnh đề chưa xác định ta dùng chữ p, q, r … gọi chúng biến mệnh đề Phép phủ định (negation) Phủ định mệnh đề p mệnh đề ký hiệu p đọc không p Mệnh đề p p sai p sai p Phép hội (conjunction) Hội hai mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p q (đọc p q ) Mệnh đề p q p q Nếu mệnh đề p ta cho p nhận giá trị p sai ta cho nhận giá trị Giá trị gọi thể p Phép tuyển (disjunction) Mệnh đề phức hợp xây dựng từ mệnh đề đơn giản phép liên kết lơgích mệnh đề Tuyển hai mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p q ( p q ) Mệnh đề p q sai p q sai 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Phép kéo theo (implication) Mệnh đề p kéo theo q , ký hiệu p q , (đọc p kéo theo q , p suy q ) 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Một công thức mệnh đề gọi ln nhận giá trị thể biến mệnh đề có cơng thức Ta ký hiệu mệnh đề tương đương "" thay cho "" Mệnh đề p kéo theo q sai p q sai Phép tƣơng đƣơng (equivalence) Mệnh đề p tương đương q , p q , mệnh đề ( p q) (q p) Mệnh đề p q hai mệnh đề p q sai mệnh đề p q sai trường hợp ngược lại Một công thức gồm biến mệnh đề phép liên kết mệnh đề gọi công thức mệnh đề Bảng liệt kê thể công thức mệnh đề gọi bảng chân trị 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.1.3 Các tính chất Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng mệnh đề 1) p p luật phủ định kép 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.2 TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp 2) ( p q) ( p q) 3) p q q p, p q q p luật giao hoán Khái niệm tập hợp phần tử khái niệm toán học, định nghĩa qua khái niệm biết 4) p (q r ) ( p q) r Các khái niệm "tập hợp", "phần tử" xét mối quan hệ phân tử tập hợp lý thuyết tập hợp giống với khái niệm "đường thẳng", "điểm" quan hệ điểm thuộc đường thẳng xét hình học p (q r ) ( p q) r luật kết hợp 5) p (q r ) ( p q) ( p r ) p (q r ) ( p q) ( p r ) luật phân phối 6) Mệnh đề p p luật trung p p sai luật mâu thuẫn 7) p q p q ; p q p q luật De Morgan 10/7/2017 Tập hợp đặc trưng tính chất phần tử thuộc không thuộc tập hợp Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x A x không thuộc A ta ký hiệu x A 10/7/2017 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Có thể biểu diễn tập hợp theo hai cách sau a) Liệt kê tất phần tử tập hợp dấu ngoặc nhọn Ví dụ 1.1: Tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10 1, 3, 5, 7, Tập hợp nghiệm phương trình x 1, 1 b) Nêu đặc trưng tính chất phần tử tạo thành tập hợp Ví dụ 1.2: Tập hợp số tự nhiên chẵn P n n 2m, m Tập hợp biểu diễn cách đặc trưng tính chất phần tử thông qua khái niệm hàm mệnh đề Hàm mệnh đề xác định tập hợp D mệnh đề S(x) phụ thuộc vào biến xD Khi cho biến x giá trị cụ thể ta mệnh đề lơgích (mệnh đề nhận hai giá trị hoặc sai) Tập hợp phần tử x D cho S(x) miền hàm mệnh đề S(x) ký hiệu xD | S(x) 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.2.4 Tập 1.2.3 Một số tập hợp số thƣờng gặp - Tập số tự nhiên 0, 1, 2, - Tập số nguyên 0, 1, 2, - Tập số thực (gồm số hữu tỉ vô tỉ) Hai tập A,B nhau, ký hiệu A=B A B B A 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Vậy A P (X) P (X) A X Tập X tập nên phần tử lớn phần tử bé Ví dụ 1.5: Để chứng minh A B ta cần chứng minh x A x B - Tập số phức z x iy x, y ; i 1 Tập hợp tất tập X ký hiệu Tập A gọi tập B phần tử A phần tử B, ta ký hiệu A B hay BA Để chứng minh A B ta cần chứng minh x A x B P (X) X a, b, c P ( X ) ,a,b,c,a, b,b, c,c, a, X Tập rỗng tập không chứa phần tử nào, ký hiệu Một cách hình thức ta xem tập rỗng tập tập hợp 10/7/2017 - Tập số hữu tỉ p q q 0, p, q MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.2.5 Các phép toán tập hợp Phép hợp Hợp hai tập A B, ký hiệu A B, tập gồm phần tử thuộc hai tập A, B x A B x A x B Phép giao Giao hai tập A B, ký hiệu A B, tập gồm phần tử thuộc đồng thời hai tập A, B Nếu X có n phần tử P ( X ) có n phần tử 10/7/2017 10 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Thông thường giả thiết tất tập xét tập tập cố định gọi tập phổ dụng U Tập U \ B gọi phần bù B U ký hiệu CUB B Ví dụ 1.5 Xét tập A a, b, c, d , B b, d , e, f , U a, b, c, d , e, f , g , h A B a, b, c, d , e, f , A B b, d , A \ B a, c CUA e, f , g , h, CUB a, c, g , h x A B x A x B Hiệu hai tập Hiệu hai tập A B, ký hiệu A \ B, tập gồm phần tử thuộc A không thuộc B x A \ B x A x B 10/7/2017 11 10/7/2017 12 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Ví dụ 1.6: Chứng minh A C A B, A C A B C B MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.2.7 Lƣợng từ phổ biến lƣợng từ tồn Giả sử S (x) hàm mệnh đề xác định tập D có miền D S ( x ) x D S ( x) Tính chất A B B A, A B B A tính giao hốn A ( B C ) ( A B) C , A ( B C ) ( A B) C tính kết hợp A ( B C ) ( A B) ( A C ) , a) Mệnh đề x D , S ( x) (đọc với x D , S ( x) ) mệnh đề DS ( x ) D sai trường hợp ngược lại Ký hiệu (đọc với mọi) gọi lượng từ phổ biến Khi D xác định ta thường viết tắt x , S ( x) hay x , S ( x) A ( B C ) ( A B) ( A C ) tính phân bố A A; A A; A U A b) Mệnh đề x D , S ( x) (đọc tồn x D , S ( x) ) mệnh đề DS ( x ) sai trường hợp ngược lại Ký hiệu (đọc tồn tại) gọi lượng từ tồn A A U ; A A A B A B ; A B A B luật De Morgan A B A \ B A B A A B A \ ( A B) C A A A A, A A A tính lũy đẳng Mở rộng khái niệm lượng từ tồn với ký hiệu 10/7/2017 13 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Phép phủ định lƣợng từ 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.3.1 Tích Descartes tập hợp x D, S ( x) x D, S ( x) Tích Descartes hai tập X, Y tập, ký hiệu XY, gồm phần tử có dạng (x,y) x X y Y Ví dụ 1.7 Theo định nghĩa giới hạn X Y ( x, y ) x X vµ y Y lim f ( x) L , ; x : x a f ( x) L x a Ví dụ 1.9 Sử dụng mệnh đề ( p q) ( p q) ta có x a f ( x) L tương đương với Tích Descartes n tập hợp X1, X , , X n Vậy phủ định lim f ( x) L 0 X1 X X n ( x1, x2 , , xn ) xi X i , i 1,2, , n x a f ( x) L 10/7/2017 15 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE ta có ( x1, , xn ) X1 X n ; ( x '1, , x 'n ) X1 X n ( x1, , xn ) ( x '1, , x 'n ) xi x 'i , i 1, , n Tích Descartes X1 X X n ký hiệu iI X i X1 X n X ta ký hiệu Xn thay cho X X n lan MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 2 ( x, y) x, y 1.4.1 Định nghĩa ví dụ Một ánh xạ từ tập X vào tập Y quy luật cho tương ứng phần tử x X với phần tử y f(x) Y thỏa mãn hai điều kiện sau: Mọi x X có ảnh tương ứng y f(x) Y Y Ta ký hiệu f : X x y f ( x) hay f X Y x y f ( x) X gọi tập nguồn, Y gọi tập đích Chẳng hạn n ( x1, x2 , , xn ) x1, x2 , , xn 10/7/2017 16 Với x X ảnh y f(x) Tích Descartes tập hợp khơng có tính giao hoán Khi 10/7/2017 1.4 ÁNH XẠ Nhận xét 1.1 Với X a, b, c , Y 1,2 X Y (a,1),(b,1),(c,1),(a,2),(b,2),(c,2) Có thể chứng minh X có n phần tử, Y có m phần tử X Y có n m phần tử x a f ( x) L , ; x : 14 1.3 Tích Descartes Quan hệ x D, S ( x) x D, S ( x) x a ! x D, S ( x) (đọc tồn x D, S ( x) ) DS ( x ) có phần tử 3 ( x, y, z ) x, y, z 17 Mỗi hàm số y f ( x) xem ánh xạ từ tập xác định D vào 10/7/2017 18 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Hai ánh xạ f : X Y , g : X Y gọi nhau, ký hiệu f g , f ( x) g ( x) với x X Ví dụ 1.17 Xét ánh xạ f : X Y Cho A X , ta ký hiệu gọi tập sau ảnh A qua ánh xạ f f ( A) f ( x) x A Nói riêng f ( X ) Im f gọi tập ảnh hay tập giá trị f Cho B Y , ta gọi tập sau nghịch ảnh B qua ánh xạ f f 1 ( B) x X f ( x) B Tương ứng a) không thỏa mãn điều kiện thứ Tương ứng b) không thỏa mãn điều kiện Ta viết f 1 ( y ) thay cho f 1 y f 1 ( y ) x X y f ( x) Chỉ có tương ứng c) xác định ánh xạ từ X vào Y 10/7/2017 19 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.4.2 Phân loại ánh xạ Ánh xạ f : X Y gọi đơn ánh ảnh hai phần tử phân biệt hai phần tử phân biệt 10/7/2017 20 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Khi ánh xạ f : X Y cho dạng cơng thức xác định ảnh y f(x) ta xác định tính chất đơn ánh, tồn ánh ánh xạ f cách giải phương trình: f ( x) y, y Y x1, x2 X ; x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) cách tương đương ta xem x ẩn y tham biến x1, x2 X ; f ( x1) f ( x2 ) x1 x2 Ánh xạ f : X Y gọi toàn ánh phần tử Y ảnh phần tử X y Y , x X cho y f ( x) Nếu với y Y phương trình ln có nghiệm x X ánh xạ f toàn ánh Nếu với y Y phương trình có khơng q nghiệm x X ánh xạ f đơn ánh Ánh xạ vừa đơn ánh vừa toàn ánh gọi song ánh Vậy f song ánh thỏa mãn điều kiện sau: Nếu với y Y phương trình ln có nghiệm x X ánh xạ f song ánh y Y , ! x X cho y f ( x) 10/7/2017 21 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Ví dụ 1.20 10/7/2017 22 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Ví dụ 1.21 Các hàm số đơn điệu chặt: Đồng biến chặt: x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Cho ánh xạ Xét phương trình y f ( x) x( x 1) x x hay x x y 2 Nghịch biến chặt: x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) song ánh từ tập xác định lên miền giá trị Biệt số y (vì y ) Phương trình ln có nghiệm thực x1 1 y 1 y , x2 2 Vì x2 < nên phương trình có không nghiệm Vậy f đơn ánh Mặt khác tồn y mà nghiệm x1 (chẳng hạn y 1), nghĩa phương trình vơ nghiệm Vậy f khơng tồn ánh 10/7/2017 23 10/7/2017 24 10/7/2017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.4.3 Ánh xạ ngƣợc song ánh Giả sử f : X Y song ánh y Y !x X Như ta xác định ánh xạ từ Y vào X cách cho ứng phần tử y Y với phần tử x X cho y f ( x) Ánh xạ gọi ánh xạ ngược f ký hiệu f 1 f 1 f 1 : Y X f 1 ( y ) x y f ( x) song ánh Ví dụ 1.20 Hàm mũ y a , a 0, a x song ánh (vì hàm mũ đơn điệu chặt) có hàm ngược hàm lôgarit x y a x log a y 10/7/2017 25 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Ví dụ 1.21 26 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.4.4 Hợp hai ánh xạ Xét hàm Với hai ánh xạ f : X Y , g : Y Z tương ứng x g ( f ( x)) xác định ánh xạ từ X vào Z gọi hợp hai ánh xạ f g , ký hiệu g f đơn điệu tăng chặt tồn ánh nên song ánh Hàm ngược ký hiệu Vậy g○f : X Z có cơng thức xác định ảnh g○f (x) g( f (x)) x arcsin y y sin x , x 2; 2 , y 1;1 Ví dụ 1.26 Xét hai hàm số f : , g : với công thức xác định ảnh f (x) = sin x, g (x) = 2x2+4 Tương tự x arccos y y cos x , x 0; , y 1;1 Ta thiết lập hai hàm hợp từ vào f g ( x) sin(2 x 4), g f ( x) 2sin x x arctan y y tan x , x 2; , y ; Qua ví dụ ta thấy nói chung g○f f○g x arccot y y cot x , x 0; , y ; 10/7/2017 10/7/2017 nghĩa phép hợp ánh xạ khơng có tính giao hốn 27 10/7/2017 28 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE 1.4.5 Lực lƣợng tập hợp Khái niệm lực lượng tập hợp xem mở rộng khái niệm số phần tử tập hợp Tập X có n phần tử liệt kê dạng X = {x1, x2, …, xn} Vậy X có n phần tử tồn song ánh từ tập {1, 2, …, n} lên X Hai tập hợp X, Y gọi lực lượng tồn song ánh từ X lên Y Tập có lực lượng n gọi tập hữu hạn Tập không hữu hạn gọi tập vơ hạn Tập có lực lượng với tập số tự nhiên hay hữu hạn gọi tập đếm 10/7/2017 29 ... n ( x1, x2 , , xn ) x1, x2 , , xn 10 /7/2 017 16 Với x X ảnh y f(x) Tích Descartes tập hợp khơng có tính giao hoán Khi 10 /7/2 017 1. 4 ÁNH XẠ Nhận xét 1. 1 Với X a, b, c , Y 1, 2 X... x A x B 10 /7/2 017 11 10 /7/2 017 12 10 /7/2 017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH TẬP HỢP ĐỀ, TẬP ÁNHHỢP, XẠ VÀ ÁNH ĐẠIXẠ SỐ BOOLE Ví dụ 1. 6: Chứng minh A C A ... Vậy f đơn ánh Mặt khác tồn y mà nghiệm x1 (chẳng hạn y 1) , nghĩa phương trình vơ nghiệm Vậy f khơng tồn ánh 10 /7/2 017 23 10 /7/2 017 24 10 /7/2 017 MỞ ĐẦU VỀ MỞLƠGÍCH ĐẦU VỀMỆNH LƠGÍCH ĐỀ,MỆNH