Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính trình bày hệ phương trình tổng quát, định lý Crocneker – capelli, phương pháp giải hệ phương trình tổng quát; hệ phương trình thuần nhất.
➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính §1 Hệ phương trình tổng qt §2 Hệ phương trình …………………………………………………………… §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QT 1.1 Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i 1,2, , n ) m phương trình: a11x a12x a1n x n b1 a21x a22x a2n x n b2 (I ) am 1x am 2x amn x n bm đó, hệ số aij , bj (i 1, , n; j 1, , m), gọi hệ phương trình tuyến tính tổng qt ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Đặt: A B a11 a1n am amn b1 bm T aij X m n , x x n T ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự ma trận cột ẩn Khi đó, hệ (I ) trở thành AX B • Bộ số T n gọi nghiệm (I ) A ; ; B n ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD Cho hệ phương trình: x x 2x 2x 2x x 4x 7x 4x 4 Hệ phương trình viết lại dạng ma trận: x1 1 4 x2 x3 x4 (1; 1; 1; 1) nghiệm hệ ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính 1.2 Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX mở rộng A Định lý Hệ AX AB B Gọi ma trận a11 a12 a1n b1 am am amn bm B có nghiệm r (A) Trong trường hợp hệ AX ▪ Nếu r (A) ▪ Nếu r (A) r (A) B có nghiệm thì: n : kết luận hệ có nghiệm nhất; n : kết luận hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD Tùy theo điều kiện tham số m , biện luận số nghiệm hệ phương trình: x my 3z (1 m )z m Giải Hệ cho có ẩn, ta có: m m A , A 0 0 m m m • Nếu m r (A) r (A) Ta suy hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính • Nếu m r (A) r (A) Ta suy hệ vơ nghiệm • Nếu m r (A) r (A) Ta suy hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD Điều kiện tham số m để hệ phương trình: mx 8z 7t m 3x my 2z 4t m mz 5t 5z mt có nghiệm là: A m ; B m 1; C m m2 2m 1; D m ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Giải Hệ có ẩn ma trận hệ số là: m m A 0 m 0 m Hệ có nghiệm det A m (m 25) r (A) m m m m m 0 A ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính 1.3 Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX B , với A ma trận vuông cấp n khả nghịch Ta có: AX B X A B VD Giải hệ phương trình tuyến tính sau phương pháp ma trận: 2x y z y 3z 2x y z ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Giải A 1 1 A 1 1 Hệ phương trình X A B x 1 1 y 3 z 1 x Vậy hệ cho có nghiệm y z 3, 6, 1 x y z 3 ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Giải Ta có: 11 Hệ x 4y 5z y 21z 11 1 0 x y z 1 15 79 21 21 21 D ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính 3x VD 10 Tìm nghiệm hệ 2x x A y z x B y z ; C Hệ có vơ số nghiệm; Giải Ta có: 1 y y 27 2z 2z 3 D Hệ vô nghiệm 10 15 ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Hệ 3x y y 2z 2z 3 x y z B ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD 11 Giá trị tham số m để hệ phương trình x 2y (7 m )z tuyến tính 2x 4y 5z 3x 6y mz có vơ số nghiệm là: 1; B m 1; C m A m Giải Ta có: A B ; D m m2 m ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính m 0 2m 19 0 4m 21 Hệ có vơ số nghiệm r (A) m 0 2m 19 0 2m r (A) m ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Chú ý • Khi hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm, ta gọi nghiệm phụ thuộc tham số nghiệm tổng quát Nếu cho tham số giá trị cụ thể ta nghiệm riêng hay gọi nghiệm • Muốn tìm điều kiện tham số để hệ phương trình có nghiệm chung, ta ghép chúng thành hệ tìm điều kiện tham số để hệ chung có nghiệm ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD 12 Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm chung: x y z t 2m +1 2x +5y 2z +2t 2m +1 , x +7y 5z t = m 3x +7y 3z +3t Giải Hai hệ có nghiệm chung hệ: x y z t 2m x 7y 5z t m có ngiệm 2x 5y 2z 2t 2m 3x 7y 3z 3t ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Ta có: AB 1 5 2m 1 m 2m 3 1 2m 3m 2m 0 6m ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính r AB 1 0 4 2m 3m m 0 0 r (A) 10m 10m Vậy hệ cho có nghiệm chung m m ………………………………………………………………………… ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính §2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT 2.1 Định nghĩa Hệ phương trình tuyến tính trường hợp đặc biệt hệ phương trình tổng qt, có dạng: a11x a12x a1n x n a21x a22x a2n x n (II ) am 1x am 2x amn x n Hệ (II ) tương đương với AX (0ij )m ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Chú ý • Do r (A) r (A) nên hệ ln có nghiệm • Nghiệm (0; 0;…; 0) gọi nghiệm tầm thường 2.2 Định lý Hệ (II ) có nghiệm tầm thường khi: det A ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình tuyến tính sau có nghiệm tầm thường: 3x m y (m 5)z (m 2)y z 4y (m 2)z Giải Hệ có nghiệm tầm thường m2 m m m det A ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính 3(m 4m ) m m ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính 2.3 Định lý Xét hệ phương trình tuyến tính tổng qt AX hệ phương trình AX O (II) B (I) Khi đó: • Hiệu nghiệm (I) nghiệm (II); • Tổng nghiệm (I) nghiệm (II) nghiệm (I) ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD Cho hệ phương trình tuyến tính: x 4y 5z x 4y 5z 2x 7y 11z (I) 2x 7y 11z (II) 3x 11y 6z 3x 11y 6z Xét nghiệm (I) nghiệm (II) là: (15; 4; 0), ( 64; 17; 1) ( 158; 42; 2), ta có: • • (79; 21; 1) nghiệm (II); ( 143; 38; 2) nghiệm (I) ... Chương Hệ phương trình tuyến tính •m •m : Hệ : Hệ Vậy với m x y hệ có vô số nghiệm x x y y hệ vơ nghiệm hệ có nghiệm C ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương. .. 3 D Hệ vô nghiệm 10 15 ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính Hệ 3x y y 2z 2z 3 x y z B ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD 11 Giá trị tham số m để hệ phương trình x 2y (7 m )z tuyến tính. .. ➢ Chương Hệ phương trình tuyến tính VD Cho hệ phương trình: x x 2x 2x 2x x 4x 7x 4x 4 Hệ phương trình viết lại dạng ma trận: x1 1 4 x2 x3 x4 (1; 1; 1; 1) nghiệm hệ ➢ Chương Hệ phương trình tuyến