Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 2 Đạo hàm – vi phân, cung cấp cho người học những kiến thức như: Đạo hàm – vi phânP Qui tắc L/HOPITAL; Qui tắc L/HOPITAL; Công thức Taylor. Mời các bạn cùng tham khảo!
Chương II: ĐẠO HÀM – VI PHÂN • Đạo hàm – vi phân • Qui tắc L/HOPITAL • Cơng thức Taylor 48 Định nghĩa đạo hàm điểm Cho hàm số y = f(x) xác định (a; b) x0 ∈ (a; b) Với x ≠ x0, ∆x = x – x0 : số gia biến x x0 ∆y = y – x0 : số gia hàm y x0 f(x) − f(x ) ∆y = lim Nếu tồn giới hạn A = lim hh ∆x → ∆x x→x0 x − x0 A đgl đạo hàm hàm số f(x) x0 f(x) − f(x ) ∆y f'(x ) = lim = lim ∆x → ∆x x→x0 x − x0 49 Định nghĩa đạo hàm phía Nếu tồn giới hạn A = lim ∆y = lim f(x) − f(x ) hh + + ∆x → ∆x x→x0 x − x0 A đgl đhàm bên phải hsố f(x) x0,KH f’(x0+) f(x) − f(x ) ∆y Nếu tồn giới hạn A = lim hh = lim− − ∆x → ∆x x→x0 x − x0 A đgl đhàm bên trái hsố f(x) x0 , KH f’(x0-) Hàm số f(x) có đạo hàm x0 ⇔ f(x) có đạo hàm bên phải, đạo hàm bên trái x0 f '(x0+) = f '(x0−50) Cho f(x) = x , xét đạo hàm x = 1, x = Tại x = 1, ta có f(x) − f(1) x −1 1 lim = lim = lim = = f '(1) x →1 x →1 x − x →1 x −1 x +1 Tại x = 0, ta có f(x) − f(0) x lim = lim = lim = +∞ x →0 + x →0+ x x →0 + x−0 x ⇒ f khơng có đạo hàm x = 51 Cho f(x) = |x|, xét đạo hàm x = x f(x) − f(0) / + lim = lim = lim1 = = f (0 ) x →0 + x →0+ x x →0 x−0 ≠ x f(x) − f(0) lim = lim = lim(−1) = −1 = f / (0− ) x →0 − x →0− x x →0 x−0 Vậy f khơng có đạo hàm x = Nếu f(x) liên tục x0 khơng thể suy f(x) có đạo hàm x0 Liên hệ tính có đạo hàm tính liên tục Nếu f(x) có đạo hàm x0 liên tục x0 52 Định nghĩa Hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) có đạo hàm điểm x ∈ (a; b) Nếu có thêm f(x) có đạo hàm bên phải a bên trái b hàm số f(x) có đạo hàm đoạn [a; b] Cho hàm số y = f(x) xác định miền D f'(x) tồn với x ∈ D Khi f '(x) = lim f(x + ∆x) − f(x) ∆x → ∆x Với f(x) = x2 f(x + ∆x) − f(x) (x + ∆x)2 − x lim = lim = 2x ⇒ f / (x) = 2x 53 ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x Quy tắc tính đạo hàm u = u(x) có đhàm u' = u'(x); v = v(x) có đhàm v' = v'(x) / 1) [u ± v]' = u' ± v' 2) [uv]' = u'v + v'u u'v − v' u u 3) = v v 4) ( gof(x)) / = ( g[f(x)]) = g/ [f(x)].f / (x) / 5) Cho y = f(x) có hàm ngược x = f-1(y): x = / yx -π π / y VD y = arcsinx ⇒ x = siny ; y ∈ , 2 ⇒ x y = cos y = ± − sin y = ± − x = − x / ⇒yx= 54 1− x / 2 Các cơng thức tính đạo hàm (cot gx)' = − = −(1 + cot g2 x) sin x (C)' = ( x ) ' = αx ( a ) ' = a ln a α−1 α x x ⇒ (e )' = e x / x 1 ⇒ ( ln x ) ' = ( loga x ) ' = x x ln a (sinx)' = cosx (cosx)' = − sinx / (tgx) = = + tg x cos x Thay x hàm hợp u tính đhàm cần nhân thêm u/ (arcsinx) = 1 − x2 (arccos x)' = − 1 − x2 (arctgx)' = + x2 (arc cot gx)' = − + x2 55 Định nghĩa vi phân ∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) → ∆x → hay ∆f VCB Xét hsố f(x) = x2 ∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) = (x0 + ∆x)2 – (x0)2 = 2x0.∆ ∆x + (∆ ∆x)2 ∼ 2x0.∆ ∆x ∆x → f(x) đgl khả vi điểm x0 ∆f = f(x0 + ∆x) − f(x0) điểm x0 viết dạng ∆f = A.∆ ∆x + o(∆ ∆x) với A ko phụ thuộc ∆x o(∆ ∆x) VCB bậc cao VCB (∆ ∆x) Tích số A.∆ ∆x gọi vi phân hàm f(x) x0 Ký hiệu : df = A.∆ ∆x hay dy = A.∆ ∆x 56 Hàm số f(x) khả vi x0 f(x) có đạo hàm x0 df(x0) = f'(x0).∆ ∆x Với f(x) = x dx = 1∆ ∆x ⇒ dy = df(x) = f/(x)dx Ứng dụng vi phân để tính gần f(x) ≈ f(x0) + f'(x0) ∆x hay df ≈ ∆f π π π π π sin31 = sin(30 + ) = sin + ≈ 0,5151 ≈ sin + cos 6 180 180 0 57 Qui tắc Ví dụ / L HOPITAL ln x lim x ln x = lim x →+0 x →+0 α x α (0 ∞ ) α −x x = lim = lim = 0(α > 0) − − α ( L ) x →+0 − α x x →+0 α ∞ ( ) ∞ 71 Qui tắc L/HOPITAL Khử dạng ∞ − ∞ Nếu có phân số, ta quy đồng mẫu số Nếu khơng có phân số, ta viết 0∞ g(x) f(x) − g(x) = f(x)(1 − ) → f(x) ∞ Ví dụ ( ) ( ∞−∞ ) sinx -1 cosx tgx lim( − ) = lim( ) = lim = π π π ( L) c osx cosx x→ x→ x → -sinx 72 2 Qui tắc L/HOPITAL ln x lim (x − ln x) = lim x(1 − ) x →+∞ x →+∞ x Ví dụ ( ∞−∞ ) Ta có ( ∞ ) ∞ ( ∞ ) ∞ ( ∞ ) ∞ ln x 3ln x 6ln x lim = lim = lim = lim = x →+∞ x ( L ) x→+∞ x1 ( L ) x→+∞ x1 ( L ) x→+∞ x1 Suy ln x lim x(1 − ) = +∞ x →+∞ x 73 Qui tắc / L HOPITAL Khử dạng 1∞ , 00 , ∞ → Giả sử cần tính Logarit hóa lim A = lim u ( x) x → x0 x → x0 ta tìm lim ln A = lim v( x) ln u ( x) x → x0 K Nếu lim ln A = +∞ x →x −∞ x → x0 v( x) (0∞) eK ⇒ lim A = +∞ x →x 0 74 Qui tắc Ví dụ Đặt / L HOPITAL lim x x (0 ) x→0 A= x x ⇒ ln A = x ln x Ta có ( ∞ ) ∞ ln x 1x lim ln A = lim x ln x = lim = lim = lim(− x) = x →0 x →0 x →0 ( L ) x →0 −1 x x →0 x Suy lim A = e = x →0 75 Qui tắc L/HOPITAL / f Nếu lim ( x) x→ x g / ( x) không tồn khơng thể kết luận f ( x) khơng tồn lim x→ x g ( x) x − sinx Ví dụ lim x →∞ x+sinx − cosx Vì lim khơng tồn x →∞ 1+cosx nên ta khơng thể áp dụng L/HOPITAL để tính ta có sin x 1− x − sin x x =1 lim = lim x →∞ x + sin x x →∞ sin x 1+ x 76 Qui tắc x sin x lim x→0 s inx Ví dụ Vì Ta có / L HOPITAL 1 2 x sin − x cos x x x lim x →0 cosx không tồn 1 x sin x sin x = lim x =0 lim x →0 x →0 sinx sinx x 77 Công thức Taylor Công thức Taylor với phần dư Lagrange Nếu hàm y = f(x) liên tục [a; b], có đạo hàm đến bậc (n + 1) (a; b) x, x0 ∈ (a; b) ta ln có f '(x0 ) f ''(x0 ) f(x) = f(x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 ) + 2! (n) (n +1) f (x ) f (c) n n +1 + (x − x ) + (x − x ) n! (n + 1)! (với c điểm nằm x0 x) 78 Công thức Taylor Công thức Taylor với phần dư Peano Nếu hàm y = f(x) liên tục [a; b] có đạo hàm đến bậc (n − 1) (a; b) tồn f(n)(x0) với x0 ∈ (a; b) f(x) viết f '(x0 ) f ''(x0 ) f(x) = f(x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 ) + 2! (n) f (x ) n n + (x − x ) + o ( (x − x ) ) n! ( Với o (x − x )n x → x0 ) VCB bậc cao VCB(x−x0) n 79 Tương đương Khai triển Taylor hàm số x0 Khai triển hàm số theo lũy thừa (x-x0) BT 14 tr 40 Cho f(x) = x10 - 3x6 + x2 +2 KT Taylor hàm số f(x) x0 = đến số hạng thứ ba Tính xấp xỉ f(1,03) f '(1) f ''(1) f(x) = f(1) + (x − x ) + (x − x ) + 2! Ta có f(1) = f/(x) = 10x9 - 18x5 + 2x ⇒ f/(1) = -6 f//(x) = 90x8 - 90x4 + ⇒ f//(1) = f(x) = 1- 6(x-1) +(x-1)2 +…⇒f(1,03) ≈ 1- 6(0,03) +(0,03)2 = 0,821 80 Khai triển Mac Laurin số hàm sơ cấp f '(0) f ''(0) f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 f(x) = f(0) + x+ x + + x + x 2! n! (n + 1)! (a) f(x) = ex ; f(n)(x) = ex với n ∈ N; f(0) = f(k)(0) = với k n n +1 x x x x c + + + +e Ta có e = + x + 2! 3! n! (n + 1)! x n x x x n Vậy ex = + x + + + + + o(x ) 2! 3! n! với o(xn) VCB bậc cao xn x→ 81 Khai triển Mac Laurin số hàm sơ cấp f '(0) f ''(0) f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 f(x) = f(0) + x+ x + + x + x 2! n! (n + 1)! b) f(x) = sinx; Ta có f(n)(x) = nπ sin x + ; f(0) = mπ 0 m = 2k f (0) = sin = k ( − 1) m = 2k + Với m = 2n (m) x3 x 2n −1 x 2n +1 π x n −1 n sin x = (−1) x + (−1) + (−1) + + (−1) + (−1) sin(c + (2n + 1) ) 3! 5! (2n − 1)! (2n + 1)! 2n −1 x3 x x sin x = x − + + + (−1)n −1 + o(x 2n ) 3! 5! (2n − 1)! với o(x2n) VCB bậc cao x2n x→ 82 Khai triển Mac Laurin số hàm sơ cấp f '(0) f ''(0) f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 f(x) = f(0) + x+ x + + x + x 2! n! (n + 1)! c) f(x) = cosx; Ta có f(n)(x) = nπ cos x + ; f(0) = mπ 0 m = 2k + f (0) = cos = k ( − 1) m = 2k Với m = 2n + (m) 2n x2 x 2n + π x n x n cosx = + (−1) + (−1) + + (−1) + (−1) cos(c + (2n + 2) ) 2! 4! (2n)! (2n + 2)! 2n x2 x4 x cosx = − + + + (−1)n + o(x 2n +1 ) 2! 4! (2n)! với o(x2n+1) VCB bậc cao x2n+1 x→ 83 Khai triển Mac Laurin số hàm sơ cấp f '(0) f ''(0) f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 f(x) = f(0) + x+ x + + x + x 2! n! (n + 1)! d) f(x) = ln(1 + x) với x > −1; ta có f'(x) = (1 + x)-1 (n − 1)! f(n)(x) = (−1)(−2) [−(n − 1)](1 + x)-n = (−1)n −1 (1 + x)n f(0) = 0; f(n)(0) = (−1)n-1 (n − 1)! Ta có x n −1 x n ln(1 + x) = x − + + (−1) + o(x ) n với o(xn) VCB bậc cao xn x→ n 84 Khai triển Mac Laurin số hàm sơ cấp f '(0) f ''(0) f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 f(x) = f(0) + x+ x + + x + x 2! n! (n + 1)! e) f(x) = (1 + x)m với x > −1; ta có f'(x) = m(1 + x)m-1 f(n)(x) = m(m-1)…(m-n+1)(1 + x)m-n f(0) = 1; f(n)(0) = m(m-1)…(m-n+1) Ta có m(m − 1) (1 + x) = + mx + x + 1.2 m m(m − 1)… (m − n + 1) n ⋯+ x + o(x n ) 1.2… n với o(xn) VCB bậc cao xn x→ 85 ... = 2xdx d2f = 2dx2 với x biến phụ thuộc, giả sử x = t2 Tính đúng: f = t4, df = 4t3dt d2f = 12t2dt2 Tính sai: d2f = 2dx2 , dx = 2tdt vào d2f = 2( 2tdt )2 = 8t2dt2 Một số tính chất vi phân cấp cao. .. phân cấp cao Tính vi phân cấp hai hàm y = sinx2 x biến độc lập: dy = 2x cosx2dx d2y = (2cosx2 – 4x2sinx2)dx2 x hàm biến độc lập d2y = d(dsinx2) = d(2xcosx2 dx) = udv + vdu = 2xcosx2 d2x + dx[d(2x... f(0) = mπ 0 m = 2k + f (0) = cos = k ( − 1) m = 2k Với m = 2n + (m) 2n x2 x 2n + π x n x n cosx = + (−1) + (−1) + + (−1) + (−1) cos(c + (2n + 2) ) 2! 4! (2n)! (2n + 2) ! 2n x2 x4 x cosx = −