Chương III TÍCH PHÂN • Nguyên hàm và tích phân bất định • Tích phân xác định 1 • Tích phân xác định • Tích phân suy rộng Nguyên hàm và tích phân bất định Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b) Hàm số F(.
Chương III: TÍCH PHÂN • Ngun hàm tích phân bất định • Tích phân xác định • Tích phân suy rộng Nguyên hàm tích phân bất định Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Hàm số F(x) đgl nguyên hàm f(x) (a; b) F'(x) = f(x) Nếu F(x)_ nguyên hàm hàm f(x) (a; b) F(x) + C nguyên hàm hàm f(x) [F(x) + C]' = F'(x) = f(x) Tập hợp tất nguyên hàm hàm f(x) (a; b) gọi tích phân bất định hàm f(x) (a; b), KH ; f(x) : hàm số dấu tích phân, f(x)dx : biểu thức f(x)dx ∫ dấu tích phân ∫ f(x)dx = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x) Tích phân số hàm sơ cấp ( ∫ f(x)dx ) / = f(x) ∫ [ Af(x) + Bg(x)] dx = A ∫ f(x)dx + B∫ g(x)dx ∫ 0dx = C ∫ 1dx = ∫ dx = x + C dx ∫ x = ln x + C n +1 ∫ x dx = n + x + C n x a ∫ a dx = ln a + C x Tích phân số hàm sơ cấp ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx ∫ (1 + tg x)dx = ∫ cos2 x = tgx + C dx ∫ (1 + cot g x)dx = ∫ sin2 x = − cot gx + C dx ∫ + x2 = arctgx + C = −arccotgx + C dx x ∫ a2 + x2 = a arctg a + C Tích phân số hàm sơ cấp dx x−a ∫ x2 − a2 = 2a ln x + a + C dx a+x ∫ a2 − x2 = 2a ln a − x + C ∫ dx − x2 ∫ = arcsin x + C = − arccosx + C dx x = arcsin + C a a2 − x ∫ dx x2 ± a = ln x + x ± a + C Phương pháp tính tích phân PP đổi biến Nếu hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục có hàm ngược t = ϕ-1(x) −1 f(x)dx = f ϕ (t) ϕ '(t)dt = F(t) + C = F ϕ (x) + C ∫ ∫ [ ] VD I=∫ dx 1+ x Đặt t = ⇒ x x= t2 ⇒ dx = 2tdt tdt I = 2∫ = 2∫ 1 − dt 1+ t 1+ t = 2(t − ln(1 + t)) + C = x − ln(1 + x ) + C Phương pháp tính tích phân PP đổi biến dx I=∫ sin x VD Cách Đặt t = 2t s inx = 1+ t x ⇒ x = 2arctgt ⇒ dx = tg 2dt + t2 dt x I = ∫ = ln t + C = ln tg + C t Cách dx sin xdx d(cos x) 1 + cos x I=∫ C =∫ =∫ = ln 2 sin x sin x − cos x − cos x PP tích phân phần udv = uv − vdu ∫ ∫ (1)Tính tích phân dạng I = ∫ P(x)e dx; J = ∫ P(x)sin axdx; K = ∫ P(x)cosaxdx ax Đặt u = P(x) với P(x) đa thức (2) Tính L = kx ; α ≠ −1, đặt u = ln ∫ x ln xdx α k (3) Tính M = ∫ P(x)(arcsin x) dx; N = ∫ P(x)(arctgx) dx n n Đặt u = arcsinx hay u = arctgx PP tích phân phần udv = uv − vdu ∫ ∫ Tính tích phân sau: I = ∫ xe dx K = ∫ x arctgxdx J = ∫ x e dx 2x 2x ln x L = ∫ dx x Tích phân phân thức đơn giản ln x − a + C n = dx ∫ (x − a)n = (1 − n)(x − a)n −1 + C n > −4 dx (x − 1) −1 −3 VD ∫ = ∫ (x − 1) d(x − 1) = +C= +C −4 (x − 1) 4(x − 1) xdx d(x − 1) VD ∫ = ∫ = ln x − + C x −1 x −1 dx x ∫ a2 + x2 = a arctg a + C dx x −a ∫ x − a = 2a ln x + a 10 ... f(x)dx : biểu thức f(x)dx ∫ dấu tích phân ∫ f(x)dx = F(x) + C ⇔ F ''(x) = f(x) Tích phân số hàm sơ cấp ( ∫ f(x)dx ) / = f(x) ∫ [ Af(x) + Bg(x)] dx = A ∫ f(x)dx + B∫ g(x)dx ∫ 0dx = C ∫ 1dx = ∫ dx... = x + C dx ∫ x = ln x + C n +1 ∫ x dx = n + x + C n x a ∫ a dx = ln a + C x Tích phân số hàm sơ cấp ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx ∫ (1 + tg x)dx = ∫ cos2 x = tgx + C dx ∫ (1... gx + C dx ∫ + x2 = arctgx + C = −arccotgx + C dx x ∫ a2 + x2 = a arctg a + C Tích phân số hàm sơ cấp dx x−a ∫ x2 − a2 = 2a ln x + a + C dx a+x ∫ a2 − x2 = 2a ln a − x + C ∫ dx − x2 ∫ = arcsin x