HỌC VIỆN CÔNG NGH N CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG Khoa Cơ Bản 1 ĐỖ PHI NGA BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP 2 (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) Hà Nội 2013 N THÔNG LỜI NÓI ĐẦU Tập “ Bài giảng toán cao cấp học phần Đ.
HỌC VIỆN N CƠNG NGHỆ NGH BƯU CHÍNH VIỄN N THÔNG Khoa Cơ Bản ĐỖ PHI NGA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) Hà Nội - 2013 LỜI NÓI ĐẦU Tập “ Bài giảng tốn cao cấp học phần Đại số tuyến tính” chứa đựng nội dung học phần Toán cao cấp 2, nằm mơn học Tốn cao cấp, dành cho đối tượng sinh viên đại học qui nhóm ngành kinh tế: quản trị kinh doanh, kế toán, đa phương tiện Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Tập giảng biên soạn theo Đề cương tín học phần toán cao cấp Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng ban hành năm 2012, bám sát giáo trình mơn Đại số Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Tập giảng gồm chương tương ứng với hai tín chỉ, 30 học, tập Chương 1: Lôgic mệnh đề, tập hợp, ánh xạ Chương 2: Không gian véc tơ n chiều Chương 3: Ma trận định thức Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính Chương 5: Phép biến đổi tuyến tính dạng tồn phương khơng gian n Để dễ dàng cho việc tự học sinh viên, nội dung tập giảng tác giả trình bày theo hướng : Cố gắng giữ lại phần cấu trúc chặt chẽ môn Đại số, nhiên bao quát đầy đủ nội dung môn Đại số tuyến tính Các định lý phát biểu chứng minh xác Tài liệu có nội dung túy tốn học, khơng lồng ghép khái niệm liên quan đến chuyên ngành đối tượng chủ yếu sinh viên năm thứ Đại học - cao đẳng, chưa trang bị kiến thức chuyên ngành Hầu hết nội dung định nghĩa, dẫn đến tính chất, phương pháp tính thuật tốn với nhiều ví dụ minh họa để sinh viên học theo trình tự tài liệu, lớp khơng cần ghi chép nhiều, dành thời gian nghe giảng, hướng dẫn Qua mong muốn người học củng cố rèn luyện phương pháp tư Chú ý đến việc lập luận xác, chặt chẽ, có kỹ tính tốn tốt Mong muốn người học xem mơn tốn cao cấp nói riêng, tốn học nói chung công cụ để học môn học chuyên ngành khác, công tác nghiên cứu sau này, giải vấn đề nảy sinh… Tác giả bày tỏ lịng cảm ơn tới thày giáo Bộ mơn Tốn có nhận xét q báu cho tài liệu mong nhận góp ý thày giáo, đồng nghiệp học viên, sinh viên nhằm làm cho việc trình bày nội dung tập giảng tốt Hà nội, tháng 11 năm 2013 MỤC LỤC CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ LÔGIC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ…… 11 1.1 LÔGIC MỆNH ĐỀ 11 1.1.1 Mệnh đề phép liên kết mệnh đề …………………………… 11 1.1.2 Các luật liên kết logic mệnh đề 14 1.2 TẬP HỢP 15 1.2.1 Khái niệm tập hợp…………… 15 1.2.2 Các phép tốn tập hợp tính chất …………………………… 17 1.2.3 Hàm mệnh đề Lượng từ phổ biến, lượng từ tồn 18 1.3 ÁNH XẠ 19 1.3.1 Định nghĩa ánh xạ………………………………………………… 20 1.3.2 Phân loại ánh xạ……………………………… 20 1.3.3 Ánh xạ hợp, ánh xạ ngược……………………………………… 22 BÀI TẬP CHƯƠNG1 24 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU 27 2.1 KHÁI NIỆM TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN VÉC TƠ ……… 2.1.1 Định nghĩa 27 2.1.2 Tính chất khơng gian véc tơ ………………………… 29 2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON 2.3 2.4 2.5 27 30 2.2.1 Khái niệm.……………………………………… 30 2.2.2 Sự hình thành khơng gian véc tơ 31 a Không gian véc tơ sinh hệ véc tơ …………………… 31 b Giao hai không gian véc tơ ………………… 32 PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH , ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH …………… 33 2.3.1 Các khái niệm 30 2.3.2 Tính chất hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính …… 35 CƠ SỞ - CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ…………………… 36 2.4.1 Hạng hệ hữu hạn véc tơ 36 2.4.2 Cơ sở không gian véc tơ – Số chiều không gian véc tơ 41 TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG MỘT CƠ SỞ ……………………… 42 BÀI TẬP CHƯƠNG 43 CHƯƠNG MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 47 3.1 MA TRẬN 47 3.1.1 Khái niệm 47 3.1.2 Các phép toán ma trận 49 3.1.3 Ma trận chuyển sở 53 ĐỊNH THỨC 58 3.2.1 Hoán vị phép bậc n………………………………………… 58 3.2.2 Định nghĩa định thức 60 3.2.3 Các tính chất định thức……………………………… 63 3.2.3 Các phương pháp tính định thức…………………………………… 66 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO……………………………………………… 73 3.3.1 Điều kiện cần đủ tồn ma trận nghịch đảo…………………… 73 3.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ………………………… 75 HẠNG CỦA MA TRẬN………………………………………………… 77 3.4.1 Định nghĩa cách tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp 77 3.4.2 Định nghĩa tìm hạng ma trận ứng dụng định thức…… 78 3.4.3 Phương pháp tìm hạng hệ véc tơ ứng dụng định thức…… 80 BÀI TẬP CHƯƠNG 3…………………………………………………… 83 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH……………………… 87 3.2 3.3 3.4 4.1 4.2 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH……………… 87 4.1.1 Dạng tổng qt dạng biểu diễn khác hệ phương trình tuyến tính………………………………………………………………… 87 4.1.2 Định lí tồn nghiệm 89 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 90 4.2.1 Phương pháp Cramer (phương pháp định thức) ………………… 90 4.2.2 Phương pháp ma trận nghịch đảo…………………………………… 94 4.2.3 Phương pháp khử Gauss …………………………………………… 4.3 95 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 100 4.3.1 Điều kiện tồn nghiệm không tầm thường……………………… 100 4.3.2 Cấu trúc tập hợp nghiệm…………………………………………… 101 4.3.3 Mối liên hệ nghiệm hệ không phương trình tương ứng…………………………………………………… 104 BÀI TẬP CHƯƠNG ………………………………………………… 105 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN KHƠNG GIAN n 109 5.1 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 109 5.1.1 Khái niệm tính chất…………………………………………… 109 5.1.2 Ma trận phép biến đổi tuyến tính sở…………… 112 5.1.3 Giá trị riêng, véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính …………… 118 5.1.4 Chéo hóa ma trận………………………………………………… 123 3n …………………………………… 128 5.2.1 Định nghĩa biểu thức toạ độ dạng toàn phương…………… 128 5.2.2 Ma trận dạng toàn phương sở………………… 130 5.2.3 Đưa biểu thức tọa độ dạng tồn phương dạng tắc phương pháp Lagrange …………………………………… 131 5.2.4 Luật quán tính……………………………………………………… 134 BÀI TẬP CHƯƠNG 136 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP 142 TÀI LIỆU THAM KHẢO 153 5.2 DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN Chương 1: Mở đầu lơgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ CHƯƠNG MỞ ĐẦU VỀ LÔGIC MỆNH ĐỀ , TẬP HỢP, ÁNH XẠ Những vấn đề trình bày chương xem yếu tố bản, cần thiết cho học viên việc học tập môn tốn cao cấp nói chung học phần tốn cao cấp nói riêng Trong chương phần đại cương lơgic mệnh đề tốn, tập hợp, chúng tơi trình bày vấn đề bản, nhằm mục đích củng cố vấn đề mà học viên trang bị từ đầu cấp học THCS PTTH; từ nhấn mạnh tầm quan trọng kiến thức mà đại đa số học viên không thường xuyên vận dụng, khai thác trình học tập Ánh xạ khái niệm dùng để định nghĩa nhiều khái niệm khác toán hoc, chẳng hạn dùng để định nghĩa hàm số, đạo hàm… mơn Giải tích Trong mơn học Tốn cao cấp 2, học viên thấy ánh xạ sử dụng để định nghĩa hầu hết khái niệm định nghĩa phép tốn hai ngơi, từ định nghĩa khơng gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính, dạng tồn phương … Nắm vững sử dụng cách xác luật lôgic mệnh đề, vận dụng triệt để kiến thức lý thuyết tập hợp, ánh xạ yếu tố quan trọng học viên muốn đạt kết tốt học tập mơn tốn nói riêng lĩnh vực nghiên cứu khác 1.1 LÔGIC MỆNH ĐỀ 1.1.1 Mệnh đề phép liên kết mệnh đề Trong mục này, ta giới hạn nói mệnh đề Toán Một câu khẳng định, phản ánh điều hoặc sai, khơng thể vừa vừa sai mệnh đề Lôgic mệnh đề hệ thống lôgic đơn giản nhất, với đơn vị mệnh đề Ví dụ: “ > ” mệnh đề sai , “tam giác tam giác cân”, hay “tam giác ABC tam giác vuông đỉnh A BC = AC + AB ” mệnh đề đúng, “ xM ” mệnh đề Ta không quan tâm đến nội dung cụ thể mệnh đề, mà dừng tính chất hoặc sai Ta dùng ký hiệu chữ p, q, r để mệnh đề chưa xác định Nếu mệnh đề p ta cho p nhận giá trị mệnh đề p sai ta cho nhận giá trị Giá trị gọi thể p 11 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Phủ định mệnh đề p mệnh đề ký hiệu p , đọc không p Mệnh đề p p sai p sai p Một bảng chân lý ghi lại hai khả đó: p p 0 Tương tự ngôn ngữ thông thường, người ta dùng liên từ để nối câu đơn thành câu phức hợp, liên từ thường gặp “và”, “hay là”, “hoặc…hoặc ”, “nếu …thì”… Mệnh đề phức hợp xây dựng từ mệnh đề đơn giản phép liên kết lôgic mệnh đề b Các phép liên kết lôgic mệnh đề 1) Phép hội: Hội hai mệnh đề p, q mệnh đề, ký hiệu p Ù q (đọc p q ) Mệnh đề p Ù q p q đúng, sai trường hợp lại Có ìp thể ký hiệu í ỵq 2) Phép tuyển: Tuyển hai mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p Ú q (đọc p q ) Mệnh đề p Ú q sai p q sai, trường hợp cịn lại Có ép thể ký hiệu ê ëq Ở “ p q ” không hiểu theo nghĩa loại trừ, tách biệt p, q khơng thể đúng, mà tất nhiên p Ú q p , q 3) Phép kéo theo: Mệnh đề p kéo theo q , ký hiệu p Þ q , mệnh đề sai p q sai Chú ý 1.1 - Nếu p sai mệnh đề Hay “ từ điều sai suy điều tuỳ ý” - Hai mệnh đề p, q phải thuộc vấn đề, hai mệnh đề “xa lạ” khơng có liên quan với - Trong phép kéo theo p Þ q , p gọi giả thiết, q kết luận - Phép kéo theo q Þ p gọi đảo mệnh đề đảo phép kéo theo p Þ q Ta cịn diễn tả p Þ q cách sau: - 12 Nếu p q Chương 1: Mở đầu lơgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ - Muốn có p cần có q - Muốn có q có p đủ - p điều kiện đủ q - q điều kiện cần p Phép kéo theo liên kết lôgic mệnh đề thường gặp định lý Ví dụ 1.1 (tính chất tam giác đều) Tam giác ABC tam tam giác cân Ví dụ 1.2 (định lý Vi-et thuận) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a ¹ có hai nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = - b c x1 x2 = a a (định lý Vi-et đảo) Nếu có hai số x1 , x2 cho x1 + x2 = S ; x1 x2 = P S ³ P , x1 , x2 hai nghiệm phương trình bậc hai x - Sx + P = Ví dụ 1.3 (định lý điều kiện cần cực trị hàm số) Cho hàm số y = f ( x ) xác định D f , a Ỵ D f Nếu hàm số khả vi a đạt cực trị địa phương a f ' ( a ) = Ta biết điều ngược lại mệnh đề chưa 4) Phép tương đương: Mệnh đề ( p Þ q ) Ù (q Þ p ) gọi mệnh đề p tương đương q , ký hiệu p Û q Như p Û q mệnh đề hai mệnh đề p q sai mệnh đề p Û q sai trường hợp ngược lại Ví dụ 1.4 (định lý Pi-ta-go) Tam giác ABC tam giác vuông đỉnh A BC = AC + AB v Từ định nghĩa phép liên kết mệnh đề ta có bảng sau: p q p pÚq pÙq pÞq qÞ p pÛq qÚ p 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Bảng chân lý thể giá trị mệnh đề 13 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Chú ý 1.2 s Mỗi định lý sau chứng minh mệnh đề s Mỗi định lý chứng minh lại để chứng minh định lý khác s Có hai loại mệnh đề sử dụng làm để chứng minh mệnh đề: Các mệnh đề thừa nhận : định nghĩa tiên đề Các mệnh đề chứng minh Một công thức mệnh đề gọi là mệnh đề với giá trị chân lý mệnh đề có cơng thức 1.1.2 Các tính chất (hay cịn gọi luật lơgic) Ta ký hiệu mệnh đề tương đương " º " đọc “đồng bằng” thay cho ký hiệu " Û " Tính chất 1.1 Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng mệnh đề sau: pº p 1) luật phủ định kép 2) luật giao hoán : pÙqºqÙ p pÚq ºqÚ p 3) luật kết hợp : p Ù (q Ù r ) º ( p Ù q) Ù r p Ú (q Ú r ) º ( p Ú q) Ú r p Û (q Û r ) º ( p Û q ) Û r 4) luật phân phối : p Ù (q Ú r ) º ( p Ù q) Ú ( p Ù r ) p Ú (q Ù r ) º ( p Ú q) Ù ( p Ú r ) 5) luật trung : mệnh đề p Ú p luật mâu thuẫn : mệnh đề p Ù p sai pÚq º pÙq; 6) luật De Morgan: pÙqº pÚq 7) ( p Þ q ) º ( p Ú q ) 8) luật phản chứng : p Þ q º q Þ p 9) luật lũy đẳng : p Ú p º p; p Ù p º p 10) luật hấp thu : p Ú ( p Ù q) º p p Ù ( p Ú q) º p Luật lôgic 7) cho ta cở sở để chứng minh mệnh đề p Þ q phương pháp suy luận phản chứng 14 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Nhiều trường hợp chứng minh p Þ q cách trực tiếp khơng thuận lợi, khơng thực ta dùng phương pháp suy luận phản chứng Phương pháp suy luận phản chứng: Để chứng minh p Þ q đúng, ta giả thiết p q sai, ta chứng tỏ điều dẫn đến mâu thuẫn Việc qui chứng minh ( p Ù q ) sai, tức ( p Ú q ) đúng, p Þ q 1.2 TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp phần tử khái niệm tốn học, khơng thể định nghĩa qua khái niệm biết Các đối tượng có chung số tính chất xem tập hợp Mỗi đối tượng phần tử tập hợp Một phần tử thuộc không thuộc tập hợp Thường ký hiệu tập hợp chữ in A, B, X , Y , phần tử chữ thường x, y, Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x Ỵ A , x không thuộc A ta ký hiệu x Ï A Ta nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp" Tập rỗng tập không chứa phần tử nào, ký hiệu Ỉ Chẳng hạn tập nghiệm phương trình x + = xét tập hợp số thực Ta thường mô tả tập hợp theo cách sau: - Liệt kê phần tử tập hợp - Nêu đặc trưng tính chất phần tử tạo thành tập hợp - Dùng giản đồ Venn: để có hình ảnh trực quan tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp miền phẳng giới hạn đường cong khép kín khơng tự cắt Các tập hợp số với qui ước thống toán học thường gặp: - Tập số tự nhiên Ð = { 0, 1, 2, } - Tập số nguyên = { 0, ± 1, ± 2, } - Tập số hữu tỉ - Tập số thực - Tập số phức " = z = x + iy x, y Ỵ3; i = -1 Q = { p q q ¹ 0, p, q Ỵ } { } Ví dụ 1.5 ▫ Mỗi tập thể lớp tập hợp ▫ Bộ ba cán lớp : {lớp trưởng, lớp phó, bí thư chi đồn} tập hợp ▫ Tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10 { 1,3,5, 7,9 } ▫ Tập hợp nghiệm phương trình x - = {-1,1} 15 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ ▫ { x Ỵ3 x2 + = 0} = Ỉ Tập nghiệm phương trình x + = tập rỗng ▫ W = { x, y, z Ỵ x + y + z = 0} tập số thực x, y, z thoả mãn x + y + z = ▫ Ký hiệu tập C[ a,b] tập hàm số liên tục [ a, b ] n3 - n3 - ïì ïü Ví dụ 1.6 P = í p ỴQ p = ; n Ỵ Ðý tập số hữu tỷ có dạng p = 3n + 3n + ợù ỵù n số tự nhiên 1.2.2 Tập Các phép tính tập hợp a Tập Định nghĩa 1.1 Tập A gọi tập B phần tử A phần tử B , ta ký hiệu A Ì B hay B É A Khi A tập B ta cịn nói A bao hàm B , hay B bao hàm A , hay B chứa A Ta có: Ð Ì 9Ì Q Ì 3Ì " Một cách hình thức ta xem tập rỗng tập tập hợp, nghĩa với tập X : Ỉ Ì X Tập hợp tất tập X ký hiệu P ( X ) Vậy P ( X ) A Ì X Tập X Í X tập nên phần tử lớn cịn Ỉ phần tử bé P (X ) P ( X ) = {Ỉ,{a} ,{b} ,{c} ,{a, b} ,{b, c} ,{c, a} , X } Ta thấy X có phần tử P ( X ) có 23 = phần tử Ta chứng minh tổng quát X có n phần tử P ( X ) có phần tử Ví dụ 1.7 Cho X = {a, b, c} Þ n Định nghĩa 1.2 Hai tập A , B nhau, ký hiệu A = B, A Ì B B Ì A Nghĩa là: A Ì B Û ( x Ỵ A ) Þ ( x Ỵ B ) Để chứng minh A Ì B ta cần chứng minh x Ỵ A ị x ẻ B v vỡ vy chng minh A = B ta cần chứng minh x Î A Û x Î B Định nghĩa 1.3 Tích Đề hai tập X , Y tập hợp, ký hiệu X ´ Y , gồm phần tử có dạng ( x, y ) x Ỵ X y Ỵ Y Nghĩa là: { } X ´ Y = ( x, y ) ( x Ỵ X ) Ù ( y Ỵ Y ) - Mở rộng cho trường hợp: với X1 , X , , X n n tập hợp đó, ta định nghĩa ký hiệu tích Đề n tập hợp sau: 16 (1.1) Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ X1 ´ X ´ ´ X n = { ( x1 , x2 , , xn ) xi Ỵ X i , i = 1, 2, , n} - Khi X1 = = X n = X ta ký hiệu X n thay cho X4 ´24 ´3 X n lÇn - Tích Đề X1 ´ X ´ ´ X n ký hiệu (1.2) n Õ Xi i =1 Ví dụ 1.8 Cho X = {a, b, c} , Y = { 1, 2} Þ X ´ Y = {(a,1), (b,1), (c,1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)} Chú ý 1.3 Ta dễ dàng chứng minh X có n phần tử, Y có m phần tử X ´ Y có n ´ m phần tử Giả sử ( x1 , , xn ) Ỵ n Õ X i ; ( x '1 , , x 'n ) Ỵ i =1 n Õ Xi i =1 ( x1 , , xn ) = ( x '1 , , x 'n ) Û xi = x 'i , "i = 1, , n Tích Descartes tập hợp khơng có tính giao hốn Ví dụ 1.9 n = { ( x1 , x2 , , xn ) xi Ỵ3, i = 1, 2, , n} , , 33 tương ứng ký hiệu mặt phẳng Oxy không gian Oxyz quen thuộc ▫ = { ( x, y ) x, y Ỵ3 } ▫ 33 = { ( x, y, z ) x, y, z Ỵ3 } 1.2.2 Các phép tốn tính chất tập hợp a Phép hợp: Hợp hai tập A B , ký hiệu A È B , tập gồm phần tử thuộc hai tập A , B Nghĩa là: A È B = { x ( x Ỵ A ) Ú ( x Ỵ B )} Vậy x Ỵ A È B Û ( x Î A) Ú ( x Î B ) éx Î A hay x Ỵ A È B Û ê ëx Ỵ B b Phép giao: Giao hai tập A B , ký hiệu A Ç B , tập gồm phần tử thuộc đồng thời hai tập A , B Nghĩa là: A Ç B = { x ( x Ỵ A ) Ù ( x Ỵ B )} ìx Ỵ A Vậy x ẻ A ầ B ( x ẻ A ) Ù ( x Ỵ B ) hay x Ỵ A ầ B ợx ẻ B 17 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ c Hiệu hai tập: Hiệu hai tập A B , ký hiệu A \ B hay A - B , tập gồm phần tử thuộc A không thuộc B Nghĩa là: A \ B = {x ( x Ỵ A) Ù ( x Ï B )} ( Vậy x Ỵ A \ B Û ( x Ỵ A) Ù x Ỵ B ) ìx Ỵ A hay x Ỵ A \ B Û í ỵx Ï B Chú ý 1.4 - Phép hợp, phép giao đươc mở rộng cho họ tập hợp Trường hợp B Ì X tập X \ B gọi phần bù B X , ký hiệu C XB Áp dụng lôgic mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại tính chất sau: A È B = B È A , A Ç B = B Ç A (tính giao hốn) A È ( B È C ) = ( A È B) È C , A Ç ( B Ç C ) = ( A Ç B) Ç C (tính kết hợp) A È ( B Ç C ) = ( A È B) Ç ( A È C ) , A Ç ( B È C ) = ( A Ç B) È ( A Ç C ) (tính phân bố) Giả sử A, B hai tập X thì: A = A ; A ẩ ặ = A ; A ầ X = A A È A = X ; A ầ A = ặ A ẩ B = A Ç B ; A Ç B = A È B ( (luật De Morgan) ) A \ B = A Ç B = A Ç A Ç B = A \ ( A Ç B) = C AAÇ B 1.2.3 Hàm mệnh đề Lượng từ phổ biến lượng từ tồn a Hàm mệnh đề Trên tập hợp D , ký hiệu S ( x) hàm mệnh đề phụ thuộc vào biến x Î D Khi cho biến x giá trị cụ thể ta mệnh đề Ta gọi tập DS ( x ) := { x Ỵ D S ( x)} miền hàm mệnh đề S ( x) Ví dụ 1.10 S ( x) = x - x + £ Þ DS(x) = [ 2;3] b Lượng từ Ký hiệu " (đọc với mọi) gọi lượng từ phổ biến Ký hiệu $ (đọc tồn tại) gọi lượng từ tồn 18 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Cho S ( x) hàm mệnh đề xác định tập hợp D Khi đó: - Mệnh đề ("x Ỵ D ) S ( x) (đọc với x Ỵ D , S ( x) ) mệnh đề DS ( x ) = D sai trường hợp ngược lại Khi D xác định ta thường viết tắt "x , S ( x) hay ( "x ) , S ( x) - Mệnh đề ($x Ỵ D ) S ( x) (đọc tồn x Î D , S ( x) ) mệnh ch ỳng nu DS ( x ) ặ sai trường hợp ngược lại - Để chứng minh mệnh đề với lượng từ phổ biến ta phải chứng minh trường hợp, với mệnh đề tồn ta cần trường hợp đủ - Người ta mở rộng khái niệm lượng từ tồn DS ( x ) có phần tử Với ký hiệu ( $! x Ỵ D, S ( x) ) , đọc là: tồn x Ỵ D, S ( x ) - Phép phủ định lượng từ ( ) ( ) "x Ỵ D, S ( x) Û $x Ỵ D, S ( x) $x Ỵ D, S ( x) Û "x Ỵ D, S ( x) Ví dụ 1.11 ▫ ("x Ỵ [ 2;3] ): x - x + £ ; ($x Ỵ Q): x - x + ³ mệnh đề ▫ Mỗi phương trình hàm mệnh đề, ví dụ: { x ỴZ } x - = = {-1, 1} 1.3 ÁNH XẠ 1.3.1 Các định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ từ tập X vào tập Y quy luật, ký hiệu f , cho tương ứng phần tử x Ỵ X với phần tử xác định y = f ( x ) Y Như ánh xạ phải thoả mãn điều kiện sau: 1) Mọi x Ỵ X tác động qui luật f , 2) Mỗi x Ỵ X ứng với phần tử y = f ( x ) Ta ký hiệu f : X ¾¾ ®Y x a y = f ( x) hay f X ắắ đY x a y = f ( x) - X gọi tập nguồn (hay gọi tập xác định ánh xạ), - Y gọi tập đích - Phần tử x Ỵ X gọi tạo ảnh, phần tử y = f ( x ) gọi ảnh x qua ánh xạ f 19 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ - Với f , g : X ắắ đ Y ta núi f g hai ánh xạ nếu: f ( x) = g ( x ) , với x Ỵ X Ví dụ 1.12 Mỗi hàm số y = f ( x ) xem ánh xạ từ tập D f miền xác định y = f ( x ) vào Chẳng hạn: ▫ Hàm số bậc y = ax + b, a ¹ ánh xạ f : ® x a y = ax + b ▫ Hàm phân thức y = x +1 ánh xạ x-2 f : \ {2} ® xa y= x +1 x-2 Ví dụ 1.13 ▫ Qui tắc xác định quê quán sinh viên tập thể lớp ánh xạ từ tập hợp ”tập thể lớp” vào tập “ 63 tỉnh thành” ▫ Qui tắc xác định quan hệ đồng hương sinh viên tập thể lớp với sinh viên tập thể lớp khác không ánh xạ hai tập thể lớp khác Định nghĩa 1.5 Cho ánh xạ f : X ® Y A Ì X , B Ì Y - Ảnh A qua ánh xạ f tập: f ( A) = { f ( x) x Ỵ A} Ì Y (1.3) Nói riêng f ( X ) = Im f gọi tập ảnh hay tập giá trị f Vậy y Ỵ Im f Û $x Ỵ X : y = f ( x ) - Nghịch ảnh tập B Y tập: f -1 ( B) = { x Ỵ X f ( x) Ỵ B} Ì X (1.4) v Trường hợp B tập hợp có phần tử { y} ta viết: f -1 ( y ) thay cho f -1 ({ y} ) f -1 ( y ) = { x Ỵ X y = f ( x)} 1.3.2 (1.5) Phân loại ánh xạ a Đơn ánh Định nghĩa 1.6 Ánh xạ f : X ® Y gọi đơn ánh ảnh hai phần tử phân biệt X hai phần tử phân biệt Y Nghĩa là: " x1, x2 ẻ X ; x1 x2 ị f ( x1 ) ¹ f ( x2 ) " x1 , x2 Ỵ X : f ( x1 ) = f ( x2 ) Þ x1 = x2 20 (1.6) Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ b Toàn ánh Định nghĩa 1.7 Ánh xạ f : X ® Y gọi toàn ánh phần tử Y ảnh phần tử X Nghĩa Im f = Y , "y Ỵ Y , $x Ỵ X cho y = f ( x ) (1.7) c Song ánh Định nghĩa 1.8 Ánh xạ f : X ® Y vừa đơn ánh vừa toàn ánh gọi song ánh Chú ý 1.5 - Một ánh xạ hoàn toàn xác định biết tập nguồn, tập đích, cơng thức cho ảnh y = f ( x) - Khi ánh xạ f : X ® Y cho dạng cơng thức xác định ảnh y = f ( x ) ta xác định tính chất đơn ánh, toàn ánh ánh xạ f cách giải phương trình y = f ( x), y Ỵ Y (1.8) ta xem x ẩn y tham biến Khi * Nếu với y Ỵ Y phương trình (1.8) ln có nghiệm x Ỵ X ánh xạ f tồn ánh * Nếu với y Ỵ Y phương trình (1.8) có khơng q nghiệm x Ỵ X ánh xạ f đơn ánh * Nếu với y Ỵ Y phương trình (1.8) ln có nghiệm x Ỵ X ánh xạ f song ánh Ví dụ 1.14 a) Cho ánh xạ: f :3 ® x a y = x2 + x Xét phương trình y = f ( x) = x + x hay x + x - y = ( *) Biệt số D = + y ( y Î ) Nếu y < - phương trình ( *) khơng có nghiệm Vậy f khơng tồn ánh Nếu y ³ - , phương trình ( *) có hai nghiệm phân biệt Vậy f không đơn ánh b) Cho ánh xạ f :Ð ® Ð x a y = x2 + x 21 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Xét phương trình y = f ( x) = x + x hay x + x - y = ( * *) ( y Ỵ Ð ) Biệt số D = + y > (vì y Ỵ Ð ) Phương trình ( * *) ln có hai nghiệm phân biệt x1 = -1 + + y -1 - + y ; x2 = < 2 Nhưng ( * *) có nhiều nghiệm Ð Vậy f đơn ánh Với y = , phương trình ( * *) khơng có nghiệm Ð Vậy f khơng tồn ánh Ví dụ 1.15 Các hàm số đơn điệu chặt song ánh từ tập xác định lên miền giá trị Đồng biến chặt: x1 < x2 Þ f ( x1 ) < f ( x2 ) Nghịch biến chặt: x1 < x2 Þ f ( x1 ) > f ( x2 ) Ví dụ 1.16 Id X gọi ánh xạ đồng X Id X : X ¾¾ ®X x a Id X ( x ) = x 1.3.3 Ánh xạ hợp (tích), ánh xạ ngược a Hợp (tích) hai ánh xạ f g Định nghĩa 1.9 Với hai ánh xạ X ® Y ® Z tương ứng x a g ( f ( x)) xác định ánh xạ từ X vào Z gọi hợp (hay tích) hai ánh xạ f g , ký hiệu g o f Vậy g o f : X ® Z có cơng thức xác định ảnh : g o f ( x) = g ( f ( x)) (1.9) Ví dụ 1.17 Cho f :3 ® , g :3 ® với cơng thức xác định ảnh f ( x ) = x + 2, g ( x) = x Ta thiết lập hai hàm hợp g o f f o g từ vào f o g ( x) = x + ; g o f ( x) = ( x + ) b Ánh xạ ngược Định nghĩa 1.10 Giả sử f : X ® Y song ánh với y Ỵ Y tồn x Ỵ X cho y = f ( x ) Như ta xác định ánh xạ từ Y vào X cách cho ứng phần tử y Ỵ Y với phần tử x Ỵ X cho y = f ( x ) Ánh xạ gọi ánh xạ ngược f ký hiệu f -1 Vậy f -1 : Y ® X xác định sau f -1 ( y ) = x Û y = f ( x) 22 (1.10) Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Ví dụ 1.18 Hàm số bậc y = ax + b, a ¹ ánh xạ f : ® x a y = ax + b Giải phương trình (1.8) tương ứng: ax + b = y, a ¹ ln có nghiệm x = f có ánh xạ ngược f -1 : ® , y a x = b y - , f song ánh a a b y- a a Hay hàm số y = ax + b, a ¹ có hàm ngược hàm số bậc x = Ví dụ 1.19 Hàm mũ số a : b y - , a ¹ a a y = a x , a > 0, a ¹ song ánh (vì hàm mũ đơn điệu chặt) có hàm ngược hàm lơgarit số a : y = a x Û x = log a y Ví dụ 1.20 Các hàm số lượng giác ngược a) Xét hàm số é p pù sin : ê - ; ú ® [ -1; 1] ë 2û x a sin x Hàm số tăng nghiêm ngặt tồn ánh nên song ánh Có hàm số ngược: é p pù arcsin :[ -1; 1] ® ê - ; ú ë 2û y a arcsin y é p pù Như x = arcsin y Û sin x = y , "x Ỵ ê - ; ú , "y Ỵ [ -1; 1] ë 2û Đối với hàm số sơ cấp, để phù hợp với qui ước ký hiệu hàm số y đối số ký hiệu é p pù x , ta viết y = arcsin x Û sin y = x , "y Ỵ ê - ; ú , "x Ỵ [ -1; 1] ë 2û Người ta thường nói hàm y = arcsin x hàm số ngược hàm số y = sin x để phù hợp với qui ước nói b) Tương tự y = arc cos x Û cos y = x , "y Ỵ [ 0;p ] , "x Ỵ [ - 1; 1] ỉ p pư y = arctan x Û tan y = x , "y ẻỗ - ; ữ , "x ẻ( -Ơ; + ¥ ) è 2ø y = arc cot x Û cot y = x , "y Ỵ( 0;p ) , "x ẻ( -Ơ; + Ơ ) 23 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Chú ý 1.6 - Nói chung f o g ¹ g o f , nghĩa phép hợp ánh xạ khơng có tính giao hốn - Để phù hợp với qui ước ký hiệu hàm số y đối số ký hiệu x , ta thường thấy đồ thị hai hàm số ngược đối xứng qua đường phân giác y = x - Nếu f : X ® Y song ánh có ánh xạ ngược f -1 : Y ® X , ta dễ dàng kiểm chứng f -1 o f = Id X f o f -1 = IdY - Chỉ ánh xạ song ánh có ánh xạ ngược Có thể chứng minh f -1 song ánh BÀI TẬP CHƯƠNG 1.1) Tìm mối liên hệ hai tập hợp sau { } { } a) A = x Ỵ3 x - x > -4 , B = x Ỵ3 x < - b) A tập số thực ³ , B tập số thực ³ trị tuyệt đối 1.2) A, B, C , D tập E Chứng minh rằng: a) A \ B = Ỉ A Ì B b) Nếu A Ì B, C Ì D A È C Ì B È D, A Ç C Ì B Ç D c) Nếu A È C Ì A È B, A Ç C Ì A Ç B C Ì B 1.3) Cho A, B hai tập E , Chứng minh rằng: a) A Ì B Û B Ì A b) A Ì B Û A È B = B Û A È B = E c) A Ì B Û A Ç B = A Û B ầ A = ặ d) A \ ( A \ B ) = A Ç B e) A Ç ( B \ C ) = ( A Ç B) \ ( A Ç C ) f) A È ( B \ A) = A È B 1.4) A, B, C , D tập E Chứng minh rằng: a) A Ç B ặ ( A B) ầ ( B A) ặ b) ( A C ) Ç ( B ´ D) = ( A Ç B ) ´ (C Ç D ) 1.5) Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh sau đơn ánh khơng tồn ánh a) f ( x ) = 24 x+4 2x - ; b) f ( x ) = 2x + x-5 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ 1.6) Chứng tỏ ánh xạ với cơng thức xác định ảnh sau tồn ánh không đơn ánh a) f ( x ) = x3 + x2 + ; b) f ( x ) = x - 3x + x -1 1.7) Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh sau song ánh f ( x) = x3 + x + x2 + 1.8) Cho hai ánh xạ f ; g : 33 ắắ đ 33 cú cụng thc xỏc nh ảnh sau f ( x, y , z ) = ( x + y - z, - x + y - z, x + y + z ) g ( x, y , z ) = ( x + y - z, x + y + z , x + y + z ) a) Chứng tỏ ánh xạ f với công thức xác định ảnh song ánh b) Ánh xạ g với công thức xác định ảnh có phải song ánh khơng c) Viết cơng thức xác định f -1 d) Tìm tập ảnh ánh xạ e) Xác định tập f -1 (q ) ; g -1 (q ) Với ký hiệu q = ( 0, 0, ) 1.9) Cho ỏnh x f : 33 ắắ đ , g : ắắ đ 33 có cơng thức xác định ảnh sau f ( x, y , z ) = ( x + y - z , - x + y - z , x + y + z , x - y ) g ( x, y, z , t ) = ( x + y - z + t , x + y - z + 3t , x + y + z ) a) Viết công thức xác định f o g ; g o f b) Tìm tập ảnh ánh xạ f , g 1.10) Cho ánh xạ f : X ® Y cho A, B Ì X C , D Ì Y Chứng minh rằng: a) A Ì B Þ f ( A) Ì f ( B ) Tìm ví dụ chứng tỏ f ( A) Ì f ( B ) A Ë B b) f ( A Ç B) Ì f ( A) Ç f ( B) Tìm ví dụ chứng tỏ f ( A) Ç f ( B ) Ë f ( A Ç B) c) f ( A È B) = f ( A) È f ( B) d) f -1 (C Ç D) = f -1 (C ) Ç f -1 ( D ) e) f -1 (C È D) = f -1 (C ) È f -1 ( D ) f) f -1 (C \ D ) = f -1 (C ) \ f -1 ( D ) Nếu f đơn ánh g) f ( A) Ì f ( B) Þ A Ì B h) f ( A Ç B) = f ( A) Ç f ( B) 25 ... VÉC TƠ ……… 2. 1.1 Định nghĩa 27 2. 1 .2 Tính chất khơng gian véc tơ ………………………… 29 2. 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON 2. 3 2. 4 2. 5 27 30 2. 2.1 Khái niệm.……………………………………… 30 2. 2 .2 Sự hình thành...LỜI NĨI ĐẦU Tập “ Bài giảng tốn cao cấp học phần Đại số tuyến tính” chứa đựng nội dung học phần Tốn cao cấp 2, nằm mơn học Toán cao cấp, dành cho đối tượng sinh viên đại học... xạ………………………………………………… 20 1.3 .2 Phân loại ánh xạ……………………………… 20 1.3.3 Ánh xạ hợp, ánh xạ ngược……………………………………… 22 BÀI TẬP CHƯƠNG1 24 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU 27 2. 1 KHÁI NIỆM TÍNH