Bài giảng Toán cao cấp 2

NGUYỄN QUỐC TIẾN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 11 – 2012 1 CHƯƠNG1 HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa Error! No text of specified style in document Một qui luật f đặt tương ứng cặp số thực (x , y ) ∈ D × D, D ⊂ R với phần tử z ∈ R ta nói f hàm hai biến số D × D Ký hiệu f : D × D → R hay z = f (x , y ) Đối với hàm ba biến ta có định nghĩa tương tự, ta có: u = f (x , y, z ) Chẳng hạn u = − x − y − z , u = x + y − z, Định nghĩa Error! No text of specified style in document Tập hợp cặp (x , y ) mà ứng với chúng xác định giá trị z gọi miền xác định hàm hai biến z = f (x , y ) , ký hiệu D( f ) Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Miền xác định hàm z = 1−x −y x + y < Vậy D( f ) gồm điểm nằm vòng tròn tâm gốc toạ độ bán kính 2) Miền xác định hàm z = sin(x + y ) R 1.1.2 Giới hạn hàm hai biến Định nghĩa Error! No text of specified style in document Số L gọi giới hạn hàm z = f (x , y ) điểm M (x , y ) tiến đến điểm M (x 0, y ) với ε > bé tuỳ ý cho trước tìm δ > cho < M 0M < δ f (x , y ) − A < ε Ký hiệu lim f (x , y ) = A M →M Hay lim f (x , y ) = A x →x y →y Giới hạn hàm hai biến cịn định nghĩa thông qua giới hạn dãy sau: Định nghĩa Error! No text of specified style in document Cho hàm số f (M ) = f (x , y ) xác định miền D chứa điểm M (x 0, y ) trừ điểm M Ta nói L giới hạn f (x , y ) điểm M (x , y ) dần tới điểm M (x 0, y ) với dãy M n (x n , yn ) thuộc D dần tới M ta có lim f (x n , yn ) = L Ký hiệu n →+∞ lim (x ,y )→(x ,y ) f (x , y ) = L hay lim f (M ) = L Ví dụ Error! No text of specified style in document Tính M →M lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ) với xy f (x , y ) = x + y2 Giải Ta có f (x , y ) = lim (x n ,yn )→(0,0) x x +y y ≤ y , ∀(x , y ) ≠ (0, 0) , ∀ {(x n , yn )} → (0, 0) ta có f (x n , yn ) = Ví dụ Error! No text of specified style in document Chứng minh lim x →0 y →0 xy không tồn x + y2 Giải Cho y = x ta có L = lim x →0 y →0 x2 = , 2 x +x cho y = 2x L = lim x →0 y →0 2x 2 = 2 x + 4x Vậy (x , y ) tiến (0, 0) theo hướng khác f (x , y ) có giới hạn khác Do lim x →0 y →0 xy khơng tồn x + y2 1.1.3 Tính liên tục hàm hai biến Định nghĩa Error! No text of specified style in document Giả sử M (x 0, y ) ∈ D( f ) Hàm z = f (x , y ) gọi hàm liên tục điểm M0 lim f (x , y ) = f (x 0, y ) x →x y →y Hàm số liên tục điểm miền gọi hàm liên tục miền Điểm mà hàm số khơng liên tục gọi điểm gián đoạn hàm số Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Hàm số f (x , y ) = x + y liên tục điểm R ⎧ ⎪ xy ⎪ , (x , y ) ≠ (0, 0) ⎪ 2) Hàm số f (x , y ) = ⎨⎪ x + y gián đoạn (0, 0) khơng tồn ⎪ ⎪ , (x , y ) = (0, 0) ⎪ ⎪ ⎩ lim x →0 y →0 xy x + y2 1.2 Đạo hàm riêng 1.2.1 Đạo hàm riêng cấp Định nghĩa Error! No text of specified style in document Cho hàm z = f (x , y ) Nếu xem y số (tham số) f trở thành hàm biến số x Ta gọi đạo hàm riêng z theo biến x giới hạn ∂z f (x + Δx , y ) − f (x , y ) = lim Δx →0 ∂x Δx Ký hiệu z x' , fx' , ∂z ∂f , ∂x ∂x Tương tự ta định nghĩa đạo hàm riêng hàm z = f (x , y ) theo biến y Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Cho z = x + y Ta có ∂z ∂z = 2x , = ∂x ∂y 2) Hàm số z = x y Ta có ∂z ∂z = yx y -1 = x y ln x ∂y ∂x 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao Định nghĩa Error! No text of specified style in document Cho hàm số z = f (x , y ) Các đạo hàm fx' , fy' đạo hàm riêng cấp Các đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp hai Ký hiệu đạo hàm riêng cấp hai sau ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f = fx''2 (x , y ) ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f ⎟ = = fxy'' (x , y ); ⎜⎜ ⎟ ∂y ⎝ ∂x ⎠⎟ ∂y ∂x ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f ⎟ = fyx'' (x , y ) ; ⎜⎜ ⎟ = ∂x ⎝ ∂y ⎠⎟ ∂x ∂y ∂ ⎛⎜ ∂f ⎞⎟ ∂2 f = fy''2 (x , y ) ⎜⎜ ⎟⎟ = ∂y ⎝ ∂y ⎟⎠ ∂y Định lí Error! No text of specified style in document Nếu lân cận U '' '' điểm M (x 0, y ) hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng fxy , fyx đạo hàm liên '' '' tục M fxy , = fyx M ∂ 2z ∂2z xy xy = e + xye = Ví dụ Error! No text of specified style in document z = e ; ∂x ∂y ∂y ∂x xy 1.3 Vi phân 1.3.1 Vi phân toàn phần Định nghĩa Error! No text of specified style in document Nếu hàm số z = f (x , y ) có đạo hàm riêng lân cận điểm (x 0, y ) đạo hàm riêng Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) = ∂f ∂f , liên tục (x 0, y ) ta có ∂x ∂y ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy + 0(ρ) , ∂x ∂y 0 Δx = x − x 0, Δy = y − y 0, ρ = (Δx )2 + (Δy )2 < δ Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) gọi số gia toàn phần z Hàm 0(ρ) vô bé cấp cao ρ ρ → Ta nói hàm z khả vi điểm (x 0, y ) Định nghĩa Error! No text of specified style in document Khi z = f (x , y ) khả vi (x 0, y ) ta gọi phần tuyến tính ∂f ∂f (x , y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 vi phân toàn phần z = f (x , y ) (x 0, y ) ký hiệu dz (x 0, y ) Vậy: dz (x 0, y ) = ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy , ∂x ∂y 0 hay df (x , y ) = ∂f ∂f (x , y )dx + (x , y )dy ∂x ∂y Ví dụ Error! No text of specified style in document Xét hàm z = x y ta có dz = ∂z ∂z dx + dy = yx y−1dx + x y ln x dy ∂x ∂y Định nghĩa Error! No text of specified style in document 10 Vi phân cấp hai hàm z = f (x , y ) vi phân toàn phần df (x , y ) tức d (df ) kí hiệu d 2z hay d f Bằng cách dựa vào đạo hàm riêng cấp 2, ta công thức d f (x , y ) = ∂2 f ∂2 f ∂2 f + + dx dxdy dy ∂x ∂y ∂x ∂y Áp dụng vi phân tồn phần để tính gần Xét hàm z = f (x , y ) khả vi (x 0, y ) Khi Δx Δy đủ bé ta có cơng thức gần sau Δz = f (x , y ) − f (x 0, y ) ≈ ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 f (x , y ) ≈ f (x 0, y ) + ∂f ∂f (x 0, y )Δx + (x , y )Δy ∂x ∂y 0 Ví dụ Error! No text of specified style in document Tính gần giá trị 1, 023,01 Giải Xét hàm z = x y , x = 1, y = 3, Δx = 0, 02, Δy = 0, 01 Khi 1, 023,01 ≈ + 0, 06 = 1, 06 Đạo hàm hàm hợp Cho z = f (u, v ) với u = u(x , y ), v = v(x , y ) đạo hàm riêng z theo x , y tính theo cơng thức sau ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x tương tự ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Ví dụ Error! No text of specified style in document Tính đạo hàm riêng z theo x , y với z = e u +v , u = a cos x , v = a sin x Giải dz ∂z du ∂z dv = + ∂u2 dx ∂v dx dx 2 u +v =e 2u(−a sin x ) + e u +v 2v(a cos x ) = 2ae u +v (v cos x − u sin x ) 1.4 Cực trị hàm hai biến 1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu Định nghĩa Error! No text of specified style in document 11 M (x 0, y ) gọi điểm cực đại z = f (x , y ) điểm M (x , y ) lân cận M0 ta có f (x 0, y ) ≥ f (x , y ) Trong trường hợp ta nói hàm z = f (x , y ) đạt cực đại M (x 0, y ) Nếu thay chữ “đại” chữ “tiểu” bất đẳng thức f (x 0, y ) ≥ f (x , y ) thay f (x 0, y ) ≤ f (x , y ) M (x 0, y ) gọi điểm cực tiểu z = f (x , y ) Điểm cực đại cực tiểu chưa cần phân biệt gọi chung điểm cực trị hay gọn gọi cực trị Ví dụ Error! No text of specified style in document 10 Cho hàm z = x + (y − 1)2 + Ta có z (0,1) = z (x , y ) ≥ = z (0,1), ∀(x , y ) Vậy (0,1) điểm cực tiểu hàm z Giá trị cực tiểu thu Điểm (2, 3) điểm cực trị hàm z lân cận có điểm khác mà giá trị chúng lớn hơn, nhỏ giá trị z (2, 3) ? 1.4.2 Cách tìm điểm cực trị hàm hai biến Ta có điều kiện cần sau Định lí Error! No text of specified style in document Nếu hàm z = f (x , y ) đạt cực trị M (x 0, y ) khơng tồn hai đạo hàm riêng đạo hàm riêng ∂f ∂f , ∂x ∂y Các điểm (xo , yo ) mà ∂f ∂f (xo , yo ) = (x , y ) = gọi điểm dừng Như để tìm cực ∂x ∂y o o trị hàm hai biến trước hết ta tìm điểm (xo , yo ) mà khơng tồn hai đạo hàm riêng điểm dừng Định lí Error! No text of specified style in document ( Điều kiện đủ) Giả sử M (x 0, y ) điểm dừng z = f (x , y ) M0 hàm z có đạo hàm riêng ∂2z ∂2z ∂2z (x , y ) = A, (x , y ) = B, (x , y ) = C Khi ∂x ∂y 0 ∂x 0 ∂y 0 i) Nếu B − AC < hàm đạt cực trị M0 (đạt cực tiểu A > , đạt cực đại A < ); ii) B − AC > hàm khơng có cực trị M0; iii) B − AC = chưa có kết luận Ví dụ Error! No text of specified style in document 11 Tìm cực trị hàm số f (x , y ) = x + y − 6xy Giải Ta có fx' = 3x − 6y, fy' = 3y − 6x ∀(x , y ) hay hàm số tồn hai đạo hàm riêng Các điểm dừng nghiệm ⎧ ⎪ ⎧3x − 6y = ⎪ ⎪ ⎪y = x ⎪ ⇒⎪ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ y x − = ⎪ ⎪ x= y ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Giải hệ ta hai điểm dừng M (0; 0) M 1(2;2) Xét điểm M (0; 0) : Ta có A = fxx'' (0; 0) = 6x M0 = , B = fxy'' (0; 0) = −6 , C = fyy'' (0; 0) = 6y M0 = B − AC = 36 > nên M0 cực trị Xét điểm M 1(2;2) : Ta có A = fxx'' (2, 2) = 6x C = fyy'' (2, 2) = 6y M1 M1 = 12 , B = fxy'' (2, 2) = −6 , = 12 B − AC = −108 < Mà A = 12 > Do (2, 2) điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu f (2, 2) = + − 24 = −8 1.4.3 Cực trị có điều kiện Bài tốn cực trị có điều kiện tốn tìm cực trị hàm z = f (x , y ) với ràng buộc ϕ(x , y ) = Điều khác với tìm cực trị tự hàm z = f (x , y ) toàn tập xác định thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = Từ điều kiện ϕ(x , y ) = suy y = y(x ) hàm z = f (x , y ) = f (x , y(x )) hàm số biến Ta tìm cực trị hàm biến Trong trường hợp việc rút y = y(x ) phức tạp ta sử dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo bước sau: Bước Lập hàm Lagrange: L(x , y, λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) với λ gọi nhân tử số Lagrange Bước Tìm điểm dừng hàm L, tức giải hệ phương trình: ⎧ ⎪ L'x (x , y, λ) = ⎪ ⎪ ⎪L' (x , y, λ) = ⎨ y ⎪ ⎪ ⎪ L' (x , y, λ) = ⎪ ⎩ λ Bước Xét dấu d 2L = L''xxdx + 2L''xydxdy + L''yydy điểm dừng (x 0, y , λ0 ) - Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) < z max = f (x , y ) - Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) > z = f (x 0, y ) - Nếu d 2L(x 0, y 0, λ0 ) không xác định dấu (x 0, y ) khơng điểm cực trị Để khảo sát dấu d 2L (x 0, y ) ta cần sử dụng điều kiện: ϕ (x , y ) = ⇒ dϕ (x , y ) = hay ϕx' (x , y )dx + ϕy' (x , y )dy = Tại (x , y ) ta ϕx' (x 0, y )dx + ϕy' (x 0, y )dy = Từ đây, ta có dx theo dy ngược lại Thay vào biểu thức d 2L (x , y ) , ta hàm theo dx dy Chú ý toán cực trị có điều kiện, dx dy khơng đồng thời Ví dụ Error! No text of specified style in document 12 Tìm cực trị hàm z = xy với x +y = Giải Ta tìm cực trị hàm z = xy với ràng buộc ϕ(x , y ) = x + y − = Bước L(x , y, λ) = xy + λ(x + y − 2) ⎧ ⎧⎪x = ⎪ L'x = y + λ = ⎪ ⎪⎪ ⎪ ' ⎪ Bước Giải hệ ⎨Ly = x + λ = ⇒ ⎪⎨y = ⇒ L có điểm dừng (1;1; −1) ⎪ ⎪⎪ ⎪ ' ⎪ ⎪⎪λ = −1 = + − = L x y ⎪ λ ⎩ ⎩ Bước L''xx = 0, L''xy = 1, L''yy = ⇒ d 2L = 2dxdy Vì x + y = ⇒ dx + dy = ⇒ dx = −dy Do d 2L = −2dx < Vậy (1;1) hàm số đạt cực đại z max = f (1;1) = 1.4.4 Giá trị lớn bé hàm hai biến Các bước tìm giá trị lớn bé hàm z = f (x , y ) miền đóng: Bước Tìm điểm dừng nằm miền tính giá trị hàm điểm dừng Bước Tìm cực trị với ràng buộc phương trình đường biên Bước Chọn giá trị lớn bé tất giá trị tìm Ví dụ Error! No text of specified style in document 13 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm z = x + y hình trịn C : (x − 1)2 + (y − 1)2 ≤ Giải Hàm z = x + y có điểm dừng (0; 0) nằm C (0; 0) hàm z có giá trị bé z = Từ ràng buộc 10 c) ∫ 2xdy − 3ydx , (C ) tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ A(1;2) , B(3;1), C (2; 5) (C ) 2.11 Áp dụng cơng thức Green tính x y2 a) ∫ (x − y )dx + y dy , (C ) elip + = a b (C ) b) ∫ 2(x 2 + y )dx + (x + y )2 dy , (C ) tam giác LMN với L(1;1), M (2;2), N (1; 3) (C ) c) ∫ −x ydx + xy dy , (C ) vòng tròn x 2 + y = R chạy ngược chiều kim đồng hồ (C ) 2.12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong a) y = x 2, x = y 2, 8xy = b) y = x , x = y c) x = 2r cos t − r cos 2t, y = 2r sin t − r sin 2t M ( π ,π ) 2.13 Tính ∫ (x + y )dx + (x − y )dy O (0,0) a) Theo đường thẳng OM b) Theo đường cong y = x + sin x c) Theo parabol y = x2 π So sánh cho nhận xét kết câu trên? Giải thích? 2.14 Chứng minh biểu thức sau vi phân hàm hai biến f (x , y ) tìm f (x , y ) a) (x − 2xy + 3)dx + (y − 2x 2y + 3)dy xdx (1 − x − y )dy b) + x + y2 x + y2 c) 6xe ydx + (3x + y + 1)e ydy 29 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 3.1 Khái niệm phương trình vi phân Định nghĩa Error! No text of specified style in document Một phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng F (x , y ', , y (n ) ) = 0, F hàm theo biến độc lập x, y đạo hàm y từ cấp đến cấp n, x biến độc lập thuộc miền xác định I Ví dụ Error! No text of specified style in document dy 1) yy '+ 2x = , y ' = 2y + x , y = x + y … phương trình vi phân cấp dx 2) y ''+ xy = , d 2y dy − + = , phương trình dao động lắc đơn… phương dx dx trình vi phân cấp Định nghĩa Error! No text of specified style in document Hàm khả vi y = ϕ(x ) gọi nghiệm phương trình vi phân, thay cho hàm chưa biết phương trình đồng thức Định nghĩa Error! No text of specified style in document Nếu hàm số y = ϕ(x , c) thoả mãn phương trình vi phân gọi nghiệm tổng quát (với c ∈ Rn số) Mọi nghiệm y = ϕ(x , c0 ) nhận từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x , c) ứng với giá trị cụ thể c = c0 gọi nghiệm riêng Tích phân tổng qt phương trình vi phân nghiệm tổng quát dạng φ(x , y, c) = Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Xét phương trình y '' = Ta có y = c1x + c2 nghiệm tổng quát, y = 3x nghiệm riêng ứng với c1 = 3, c2 = 2) Tích phân tổng quát phương trình y ' = 2xy ta nghiệm y + x = cy x −y 3.2 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa Error! No text of specified style in document Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F (x , y, y ') = dạng giải y ' y ' = f (x , y ) Bài tốn Cauchy tốn tìm đường cong R thoả 30 ⎧⎪y ' = f (x , y ) ⎪ ⎨ ⎪⎪y(x ) = y ⎩ y(x ) = y gọi điều kiện ban đầu Ví dụ Error! No text of specified style in document Giải phương trình y ' = 2x với điều kiện ban đầu y(0) = Giải Ta có nghiệm tổng quát y = x + c Do y(0) = nên c = Vậy tốn Cauchy có nghiệm y = x Nếu hàm f (x , y ) đạo hàm riêng ∂f liên tục lân cận điểm (x 0, y ) nghiệm ∂y tốn Cauchy tồn 3.2.1 Phương trình tách biến Định nghĩa Error! No text of specified style in document Phương trình vi phân tách biên phương trình có dạng y ' = g(x ).h(y ) Thực phép biến đổi dy dy = g(x ).h(y ) ⇔ = g(x )dx ⇔ dx h(y ) dy ∫ h(y ) = ∫ g(x )dx ⇔ H (y ) = G(x ) + c (1) Ngoài nghiệm xác định (1), phương trình tách biến cịn có nghiệm đặc biệt y = y , với y nghiệm số phương trình h(y ) = Ví dụ Error! No text of specified style in document Giải phương trình vi phân 1) y ' = x −1 y 2) (1 + x )dy + ydx = thoả điều kiện ban đầu y(1) = Giải 1) Ta có dy x −1 = ⇔ ydy = (x − 1)dx dx y Tích phân hai vế ta ⎛ 3(x − 1)2 ⎞3 y (x − 1) = + c ⇔ y = ⎜⎜⎜ + 3c ⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 2 31 2) Ta viết lại phương trình dy dx =− y + x2 Tích phân hai vế ta được: ln y = −arctgx + c Mà y(1) = nên ln = −arctg1 + c ⇒ c = π Vậy phương trình có nghiệm riêng ln y = −arctgx + π 3.2.2 Phương trình đẳng cấp Hàm f (x , y ) gọi hàm đẳng cấp bậc m f (tx , ty ) = t m f (x , y ) Định nghĩa Error! No text of specified style in document Phương trình vi phân đẳng cấp phương trình có dạng P (x , y )dx + Q(x , y )dy = P (x , y ), Q(x , y ) hàm đẳng cấp bậc Đặt y = tx Khi phương trình đẳng cấp đưa phương trình tách biến hàm cần tìm t Ví dụ Error! No text of specified style in document Tìm nghiệm riêng phương trình y'= y y π + sin (1) với y(1) = x x Giải Đặt y = tx dy = tdx + xdt Do phương trình (1) tương đương với xdt + tdx = (t + sin t )dx ⇔ xdt = sin tdx ⇔ dt dx = sin t x Tích phân hai vế ta ln tg Do y(1) = t = ln x + ln c ⇔ y = 2xarctg(cx ) π π nên = 2arctgc ⇒ c = Vậy nghiệm riêng phải tìm y = 2xarctgx 2 3.2.3 Phương trình tuyến tính Định nghĩa Error! No text of specified style in document Phương trình vi phân tuyến tính phương trình có dạng 32 y '+ P (x )y = Q(x ) Để giải, trước hết tính tích phân − P (x )dx k (x ) = e ∫ Đặt y = h(x ).k (x ) h(x ) = ∫ Q(x ) dx + c (c số) k (x ) Nghiệm tổng quát cần tìm ⎤ − P (x )dx ⎡ P (x )dx ⎢ ∫ Q(x )e ∫ y =e ∫ dx + c ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ Ví dụ Error! No text of specified style in document Giải phương trình dy 2y − − x cos x = (x > 0) x dx x Giải Ta viết lại phương trình dạng y '− y = x cos x (x > 0) x Đây phương trình tuyến tính với P (x ) = − , Q(x ) = x cos x x Ta có k (x ) = e − ∫ (−x )dx = e ln x = x h(x ) = ∫ x cos x dx + c = x2 ∫ cos dx + c = sin x + c Vậy nghiệm tổng quát phương trình y = x (sin x + c) 3.2.4 Phương trình Bernoulli Định nghĩa Error! No text of specified style in document Phương trình vi phân Bernoulli phương trình có dạng y '+ P (x )y = Q(x )y n (n ≠ 0, n ≠ 1) Để giải, đặt z = y 1−n ta phương trình z '+ P (x )z = Q(x ) 1−m phương trình tuyến tính 33 Ví dụ Error! No text of specified style in document Giải phương trình y '+ y = x 2y Đây x phương trình Bernoulli với P (x ) = ,Q(x ) = x 2, n = x Giải Đặt z = y −3 , ta phương trình z '− 3P (x )z = −3Q(x ) Đây phương trình vi phân tuyến tính k (x ) = x , h(x ) = ln c c Do z = 3x ln x x Suy nghiệm phương trình cho y = z = x 3 ln xc 3.2.5 Phương trình vi phân tồn phần Định nghĩa Error! No text of specified style in document Phương trình vi phân tồn phần phương trình có dạng P (x , y )dx + Q(x , y )dy = 0, ∂P ∂Q = ∂y ∂x Ta nhận thấy vế trái phương trình cho vi phân tồn phần hàm u(x y ) Do viết du = nghiệm tổng quát u = c xác định theo công thức y x u= ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x , y )dy , x0 y0 điểm (x 0, y ) chọn trước cho tích phân vế phải có nghĩa Ví dụ Error! No text of specified style in document Tìm tích phân tổng quát (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = Giải Ta có P (x , y ) = x + y − 1, Q(x , y ) = e y + x ⇒ ∂P ∂Q = =1 ∂y ∂x Do phương trình cho phương trình vi phân tồn phần Tích phân tổng qt theo cơng thức với x = y = ta y x u= ∫ (x + y − 1)dx + ∫ e dy = x y 0 34 + xy − x + e y − Vậy nghiệm tổng quát e y + xy − x + x = c 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa Error! No text of specified style in document 10 Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng a (x )y ''+ a1(x )y '+ a2 (x )y = f (x ), Trong y ', y '' đạo hàm y theo x Hàm a (x ) không hàm 0, hàm a (x ), a1(x ), a2 (x ), b(x ) thường giả sử hàm liên tục Định nghĩa Error! No text of specified style in document 11 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số phương trình có dạng y ''+ ay '+ by = (1) a, b số Phương trình k + ak + b = gọi phương trình đặc trưng (1) Ta xét trường hợp sau Nếu k + ak + b = có hai nghiệm phân biệt k1 ≠ k2 (1) có nghiệm tổng qt cho cơng thức y = c1e k1x + c2e k2x ( c1, c2 số bất kỳ) Nếu k + ak + b = có nghiệm kép k1 = k2 = k (1) có nghiệm tổng qt cho công thức y = c1e kx + c2xe kx ( c1, c2 số bất kỳ) Nếu k + ak + b = có hai nghiệm phức k1,2 = α ± i β (1) có nghiệm tổng quát dạng y = e αx (c1 cos βx + c2 sin βx ) Ví dụ Error! No text of specified style in document Giải phương trình vi phân 1) y ''− 2y '− 3y = 2) y ''+ 6y '+ 9y = 3) y ''− 2y '+ 5y = Giải 1) Phương trình đặc trưng phương trình cho k − 2k − = Nó có hai nghiệm k1 = −1, k2 = Do nghiệm tổng qt phương trình cho 35 y = c1e −x + c2e 3x 2) Phương trình đặc trưng k + 6k + = có nghiệm kép k1 = k2 = −3 Do nghiệm tổng qt phương trình cho y = (c1 + xc2 )e −3x 3) Phương trình đặc trưng k − 2k + = có hai nghiệm phức k1,2 = ± 2i Do nghiệm tổng quát phương trình cho y = e x (c1 cos 2x + c2 sin 2x ) Định nghĩa Error! No text of specified style in document 12 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số khơng phương trình có dạng y ''+ ay '+ by = f (x ), (2) f (x ) hàm số cho trước không đồng Định lí Error! No text of specified style in document Giả sử yR nghiệm riêng phương trình khơng (2) yTQ nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (1), nghiệm tổng quát (2) y = yTQ + yR Ví dụ Error! No text of specified style in document 10 Giải phương trình y ''+ y − 2y = −4x Giải Nghiệm tổng quát phương trình y ''+ y − 2y = y = c1e −2x + c2e x Và nghiệm riêng phương trình y ''+ y − 2y = −4x yk = 2x + Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho y = c1e −2x + c2e x + 2x + Sau dây số phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình khơng Trường hợp tổng quát ta dùng phương pháp biến thiên số Tuy nhiên phạm vi chương trình ta xét trường hợp f (x ) có dạng đặc biệt : 36 Trường hợp : f (x ) = Pn (x ) eax , Pn (x ) đa thức bậc n Tìm yr có dạng : yr = x s eax Qn (x ) , đó: s = , α khơng nghiệm PT đặc trưng s = , α nghiệm đơn PT đặc trưng s = , α nghiệm kép PT đặc trưng Qn (x ) đa thức bậc Pn (x ) với hệ số cần tìm Để tìm hệ số này, thay yr vào phương trình (1) ( ) Trường hợp 2: f (x ) = eax Pn (x ) cos βx + Qm (x ) sin βx Ta tìm yr có dạng : ( ) yr = x s eax Rk (x ) cos βx + S k (x ) sin βx Trong đó, s = , α + i β không nghiệm PT đặc trưng s = , α + i β nghiệm đơn PT đặc trưng Rk , S k đa thức bậc k = max {m, n } với hệ số cần tìm Để tìm hệ số này, thay yr vào phương trình (1) yr" + pyr' + qyr = f (x ) , sin x cos x độc lập tuyến tính nên hệ số tương ứng Ví dụ Error! No text of specified style in document 11 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân 1) y ''+ 3y '+ 2y = x 2) y ''− 2y '+ y = cos x Giải 1) Ta thấy f (x ) = x nên yR có dạng tổng quát y = Ax + Bx + C Do y ' = 2Ax + B, y '' = 2A Thay vào phương trình cho ta tìm A = , B = − , C = 2 Nên yR = x − x+ 2 Phương trình tương ứng y ''+ 3y '+ 2y = có nghiệm tổng quát y = c1e −2x + c2e −x Do nghiệm tổng quát phương trình cho y = c1e −2x + c2e −x + x − x + 2 2) Ta có yR có dạng tổng quát y = A cos x + B sin x y ' = −A sin x + B cos x 37 y '' = −A cos x − B sin x Thay vào phương trình cho ta A = 0, B = − Vậy yk = − sin x Kết hợp với nghiệm tổng quát phương trình y = e x (c1 + c2x ) ta có nghiệm tổng quát cần tìm y = − sin x + e x (c1 + c2x ) Định lí Error! No text of specified style in document Nếu y1, y2 hai ngiệm hai phương trình y ''+ ay '+ b = f1(x ), y ''+ ay '+ b = f2 (x ) hàm y = αy1 + βy2 nghiệm phương trình: y ''+ ay '+ b = α f1(x ) + β f2 (x ) Ví dụ Error! No text of specified style in document 12 Giải phương trình vi phân y ''+ 4y = 10e x + 16x Giải Phương trình y ''+ 4y = e x có nghiệm riêng y1 = e x Phương trình y ''+ 4y = x có nghiệm riêng y2 = x − Vậy phương trình y ''+ 4y = 10e x + 16x có nghiệm riêng yk = 2e x + 4x − Chú ý: Khi dùng phương pháp hệ số bất định, vấn đề đặt hàm f (x ) nghiệm phương trình tương ứng ta khơng thể tìm hệ số dạng tổng quát Chẳng hạn, phương trình y ''+ 2y '− 3y = e x có dạng tổng quát hàm f (x ) = e x y = Ae x , f (x ) = e x nghiệm phương trình nên ta có = e x Vậy không xác định hệ số A 3.4 Hai dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai giảm cấp Dạng y '' = f (x , y ') Đặt y ' = p ta có y '' = p ' Khi phương trình cho trở thành phương trình vi phân cấp một: p ' = f (x , p) 38 p hàm x Giải phương trình ta nghiệm p = p(x , c1 ) từ y ' = p ta có nghiệm tổng qt phương trình cho y= ∫ p(x, c )dx + c Ví dụ Error! No text of specified style in document 13 Giải phương trình y ''+ y' =x x Giải Đặt y ' = p y '' = p ' ta phương trình vi phân tuyến tính cấp p '+ p=x x Ta có k (x ) = e − ∫ dx x = h(x ) = x ∫ xdx +c = x ∫ x3 x dx + c = + c Vậy x2 c x3 p = ( + c) = + x x Do y = ∫ pdx + c = ∫ x2 c x3 + c ln x + c1 ( + )dx = x Dạng y '' = f (y, y ') Đặt y ' = p , với p hàm y Khi y '' = dp dp dy = = pp ' pp ' = f (y, p) dx dy dx Tích phân hai vế, ta p = p(y, c1 ) Suy ta viết lại dy = dx suy p(y, c1 ) ∫ dy = p(y, c1 ) Đây phương trình tách biến, nên dx dy = x + c2 p(y, c1 ) Ví dụ Error! No text of specified style in document 14 Giải phương trình 2yy ''+ (y ')2 = Giải Đặt y ' = p ⇒ y '' = pp ' thay vào phương trình cho ta được: 2ypp '+ p = ⇒ c dp dy =− ⇒ ln p = ln p 2y y Vậy ta có: p= ⎛3 ⎞3 c1 dy 23 ⇒ = ⇒ ydy = c1dx ⇒ y = c1x + c2 ⇒ y = ⎜⎜ (c1x + c2 )⎟⎟⎟ ⎜⎝ dx ⎠⎟ y y c1 39 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.1 Giải phương trình vi phân a) ln cos y dx + xtgy dy = b) x + y 2dx + y + x 2dy = c) x dy 1−y + y dx 1−x =0 3.2 Giải phương trình vi phân a) y '+ sin(x + y ) = sin(x − y ) b) yy ' = − 2x cos y c) xyy ' = − x 3.3 Giải phương trình vi phân a) yy ' + e y = 0, y(1) = x b) (1 + e 2x )y 2dx = e xdx , y(0) = c) dx dy + = 0, y(1) = x (y − 1) y(x + 2) 3.4 Giải phương trình vi phân a) (x + y )dx + (x − y )dy = x y b) x sin( )y '+ x = y sin( ) y x c) y ' = y y + cos( ) x x 3.5 Giải phương trình vi phân a) (x − 3y )dx + 2xydy = 0, y(2) = y π b) xy '− y = xtg ( ), y(1) = x 40 c) y ' = + y y + ( )2, y(1) = x x 3.6 Giải phương trình vi phân b) y '+ 2xy = xe −x a) xy '− y = x cos x d) y ' cos x + y = − sin x 3.7 Giải phương trình vi phân a) (1 + x )y '+ y = arctgx b) y '− y = cos2 (ln tg x2 ) sin x c) dy y − =x dx x 3.8 Giải phương trình vi phân a) y '+ n y = n , y(1) = x x b) y ' − x + y = arcsin x , y(1) = c) y '− y = x ln x , y(e) = 0, 5e x ln x 3.9 Giải phương trình vi phân a) y '− y − − x = 0, y(0) = 1−x2 b) dy y + = −xy dx x c) 2xy 3.10 Giải phương trình vi phân a) (1 + e x )yy ' = e x , y(0) = b) xdy − ydx = x + y dx c) y '+ 3ytg 3x = sin 6x , y(0) = 3.11 Giải phương trình vi phân a) y ''− 5y '+ 6y = b) y ''− 2y '+ 2y = 3.12 Giải phương trình vi phân a) y ''− y ' = b) y ''+ ky = c) 3.13 Giải phương trình vi phân a) y ''− 5y + 4y = 0, y(0) = 5, y '(0) = b) y ''+ 2y ' = 0, y(0) = 1, y '(0) = c) y ''+ π 2y = 0, y(0) = 0, y(1) = 41 y '− y =3 y '' c) y = y ''+ y ' dy − y2 + x = dx 3.14 Giải phương trình vi phân a) y ''− 4y '+ 4y = x b) y ''− y + y = x + c) y ''+ 2y '+ y = e 2x 3.15 Giải phương trình vi phân a) y ''+ y = cos x c) y ''+ y '− 6y = xe 2x b) y ''+ y '− 2y = sin x 3.16 Giải phương trình vi phân a) y ''− 2y '+ 5y = e x cos 2x b) y ''− 7y '+ 12y = −e 4x c) y ''− 2y '− 8y = e x − cos 2x 3.17 Giải phương trình vi phân a) y ''− 2y '− 10y = sin 3x + e x b) y ''− 4y '+ 4y = 2e 2x + x c) y ''− 3y ' = x + cos x 3.18 Giải phương trình vi phân a) y '' = x b) y '' = − 2y c) y '' = − (y ')2 3.19 Giải phương trình vi phân a) (1 + x )y ''+ (y ')2 + = b) y '[1 + (y ')] = y '' c) x 2y ''+ xy ' = 3.20 Giải phương trình vi phân a) yy '' = y 2y '+ (y ')2 b) yy '− y '(1 + y ') = 42 c) (x + 1)y ''− (x + 2)y '+ x + = MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 Hàm nhiều biến 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Giới hạn hàm hai biến 1.1.3 Tính liên tục hàm hai biến 1.2 Đạo hàm riêng 1.2.1 Đạo hàm riêng cấp 1.2.2 Đạo hàm riêng cấp cao 1.3 Vi phân 1.3.1 Vi phân toàn phần 1.4 Cực trị hàm hai biến 1.4.1 Điểm cực đại, điểm cực tiểu 1.4.2 Cách tìm điểm cực trị hàm hai biến 1.4.3 Cực trị có điều kiện 1.4.4 Giá trị lớn bé hàm hai biến 10 CHƯƠNG TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 15 2.1 Tích phân kép 15 2.1.1 Các định nghĩa 15 2.1.2 Các tính chất tích phân kép 16 2.1.3 Đổi biến tích phân kép 17 2.1.4 Ứng dụng tích phân kép 20 2.2 Tích phân đường 21 2.2.1 Tích phân đường loại 21 2.2.2 Tích phân đường loại 22 2.2.3 Công thức Green 24 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 30 3.1 Khái niệm phương trình vi phân 30 3.2 Phương trình vi phân cấp 30 3.2.1 Phương trình tách biến 31 3.2.2 Phương trình đẳng cấp 32 3.2.3 Phương trình tuyến tính 32 3.2.4 Phương trình Bernoulli 33 3.2.5 Phương trình vi phân tồn phần 34 3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 35 3.4 Hai dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai giảm cấp 38 43 ... fyy'' (2, 2) = 6y M1 M1 = 12 , B = fxy'' (2, 2) = −6 , = 12 B − AC = −108 < Mà A = 12 > Do (2, 2) điểm cực tiểu hàm số giá trị cực tiểu f (2, 2) = + − 24 = −8 1.4.3 Cực trị có điều kiện Bài. .. 2. 2 Tích phân đường 21 2. 2.1 Tích phân đường loại 21 2. 2 .2 Tích phân đường loại 22 2. 2.3 Công thức Green 24 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ... 30 3 .2 Phương trình vi phân cấp 30 3 .2. 1 Phương trình tách biến 31 3 .2. 2 Phương trình đẳng cấp 32 3 .2. 3 Phương trình tuyến tính 32 3 .2. 4 Phương