Hàm nhiều biến
Các định nghĩa
Một hàm hai biến số f được định nghĩa trên tập D×D ⊂ R khi nó ánh xạ mỗi cặp số thực (x, y) thành một phần tử duy nhất z ∈ R Ký hiệu f: D×D → R hay z = f(x, y) Tương tự, hàm ba biến cũng được định nghĩa với u = f(x, y, z).
The domain of a two-variable function \( z = f(x, y) \) is defined as the set of pairs \( (x, y) \) for which the value of \( z \) can be determined This domain is denoted as \( D_f \).
Ví dụ Error! No text of specified style in document 1
1) Miền xác định của hàm
= − − là x 2 +y 2 0 bé tuỳ ý cho trước có thể tìm được δ>0 sao cho khi 0 0 Do đó (2, 2) là điểm cực tiểu của hàm số và giá trị cực tiểu là f(2, 2)= + −8 8 24= −8.
Cực trị có điều kiện
Bài toán cực trị có điều kiện là bài toán tìm cực trị của hàm z = f x y( , ) với ràng buộc
( , )x y 0 ϕ = Điều này khác với tìm cực trị tự do của hàm z = f x y( , ) trên toàn tập xác định thỏa điều kiện ϕ( , )x y = 0
Khi điều kiện ϕ( , )x y =0 cho phép suy ra y =y x( ), hàm z = f x y( , )= f x y x( , ( )) trở thành hàm một biến Để tìm cực trị của hàm một biến, nếu việc rút y =y x( ) gặp khó khăn, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp nhân tử số Lagrange theo các bước cụ thể.
Bước 1 Lập hàm Lagrange: L x y( , , )λ = f x y( , )+λϕ( , )x y với λ gọi là nhân tử số Lagrange
Bước 2 Tìm điểm dừng của hàm L, tức là giải hệ phương trình:
Bước 3 Xét dấu d L 2 =L dx '' xx 2 +2L dxdy '' xy +L dy '' yy 2 tại từng điểm dừng ( , , )x y 0 0 λ 0
- Nếu d L x y 2 ( , , ) 0 0 λ 0 không xác định dấu thì ( , )x y 0 0 không là điểm cực trị Để khảo sát dấu d L x y 2 ( 0, 0 ) đôi khi ta cần sử dụng điều kiện:
Từ đây, chúng ta có thể xác định dx theo dy hoặc ngược lại Khi thay vào biểu thức của dL tại điểm (0, 0), ta sẽ nhận được một hàm theo dx² hoặc dy² Cần lưu ý rằng trong bài toán cực trị có điều kiện, dx và dy không thể đồng thời bằng 0.
Ví dụ Error! No text of specified style in document 12 Tìm cực trị của hàm z =xy với
Ta tìm cực trị của hàm z =xy với ràng buộc ϕ( , )x y = + − =x y 2 0
Bước 3 L '' xx = 0, L '' xy =1, L '' yy = ⇒0 d L 2 =2dxdy
Vì x + = ⇒y 2 dx +dy = ⇒0 dx = −dy Do đó d L 2 = −2dx 2 Đây là phương trình tuyến tính với 2
( ) x cosx cos sin h x dx c dx c x c
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là y =x 2 (sinx +c).
Phương trình Bernoulli
Định nghĩa Error! No text of specified style in document 8 Phương trình vi phân Bernoulli là phương trình có dạng
' ( ) ( ) n y +P x y =Q x y (n ≠ 0,n ≠1) Để giải, đặt z =y 1 − n ta được phương trình mới
Ví dụ Error! No text of specified style in document 7 Giải phương trình ' y 2 4 y x y
+x = Đây là phương trình Bernoulli với
= x = Giải Đặt z =y − 3 , ta được phương trình z' 3 ( )− P x z = −3 ( )Q x Đây là phương trình vi phân tuyến tính và k x( )=x 3 , ( ) 3 lnc h x = x Do đó 3 3 lnc z x
Suy ra nghiệm của phương trình đã cho là
Phương trình vi phân toàn phần
Định nghĩa Error! No text of specified style in document 9 Phương trình vi phân toàn phần là phương trình có dạng
Vế trái của phương trình đã cho là vi phân toàn phần của hàm u(x, y) Do đó, ta có thể viết du = 0, và nghiệm tổng quát của hàm u được xác định theo công thức u = c.
( , ) ( , )0 x y x y u = ∫ P x y dx +∫ Q x y dy , trong đó điểm ( , )x y 0 0 chọn trước bất kỳ sao cho tích phân ở vế phải có nghĩa
Ví dụ Error! No text of specified style in document 8 Tìm tích phân tổng quát của
Do đó phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần Tích phân tổng quát theo công thức với x 0 =y 0 =0 ta được
Vậy nghiệm tổng quát là
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Định nghĩa Error! No text of specified style in document 10 Phương trình vi phân tuyến tính cấp
2 là phương trình có dạng
Trong đó y y', '' là các đạo hàm của ytheo x Hàm a x 0 ( ) không là hàm hằng 0, các hàm
0( ), 1( ), 2( ), ( ) a x a x a x b x thường được giả sử là các hàm liên tục Định nghĩa Error! No text of specified style in document 11 Phương trình vi phân tuyến tính cấp
2 hệ số hằng thuần nhất là phương trình có dạng
'' ' 0 y +ay +by = (1) trong đó a, b là các hằng số
Phương trình k 2 +ak + =b 0 được gọi là phương trình đặc trưng của (1) Ta xét các trường hợp sau
Nếu k 2 +ak+ =b 0 có hai nghiệm phân biệt k 1 ≠k 2 thì (1) có nghiệm tổng quát cho bởi công thức
1 2 k x k x y =c e +c e (c c 1 , 2 là những hằng số bất kỳ)
Nếu k 2 +ak+ =b 0 có nghiệm kép k 1 =k 2 =k thì (1) có nghiệm tổng quát cho bởi công thức
1 2 kx kx y =c e +c xe (c c 1 , 2 là những hằng số bất kỳ)
Nếu k 2 +ak+ =b 0 có hai nghiệm phức k 1,2 = ±α iβ thì (1) có nghiệm tổng quát dạng
Ví dụ Error! No text of specified style in document 9 Giải các phương trình vi phân
1) Phương trình đặc trưng của phương trình đã cho là k 2 −2k− =3 0 Nó có hai nghiệm
1, 3 k = − k = Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
2) Phương trình đặc trưng k 2 +6k + =9 0 có nghiệm kép k 1 =k 2 = −3 Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
3) Phương trình đặc trưng k 2 −2k + =5 0 có hai nghiệm phức k 1,2 = ±1 2i Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
( 1cos 2 2sin 2 ) y =e c x x +c x Định nghĩa Error! No text of specified style in document 12 Phương trình vi phân tuyến tính cấp
2 hệ số hằng không thuần nhất là phương trình có dạng
Giả sử y R là nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất y + ay + by = f(x), trong đó f(x) là hàm số không đồng nhất bằng 0 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng sẽ được ký hiệu là y TQ Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2) có thể được xác định dựa trên các nghiệm đã biết.
Ví dụ Error! No text of specified style in document 10 Giải phương trình y''+ −y 2y = −4x Giải
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y''+ −y 2y =0 là y 0 =c e 1 − 2 x +c e 2 x Và một nghiệm riêng của phương trình y''+ −y 2y = −4x là y k =2x +1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
Phương trình không thuần nhất có thể được giải bằng nhiều phương pháp, trong đó phương pháp biến thiên hằng số là một phương pháp tổng quát Tuy nhiên, trong phạm vi chương trình này, chúng ta chỉ xem xét trường hợp đặc biệt của hàm f(x).
Trường hợp 1 : f x ( )=P x e n ( ) ax , P x n ( ) là đa thức bậc n Tìm y r có dạng : y r =x e Q x s ax n ( ), trong đó:
0 s = , nếu α không là nghiệm của PT đặc trưng
1 s = , nếu α là nghiệm đơn của PT đặc trưng
2 s = , nếu α là nghiệm kép của PT đặc trưng n ( )
Q x là đa thức cùng bậc P x n ( ) với các hệ số cần tìm Để tìm các hệ số này, thay y r vào phương trình ( ) 1
Trường hợp 2: f x ( ) = e ax ( P x n ( ) cos β x + Q x m ( ) sin β x ) Ta tìm y r có dạng :
0 s = , nếu α+iβ không là nghiệm của PT đặc trưng
1 s = , nếu α+iβ là nghiệm đơn của PT đặc trưng k , k
R S là 2 đa thức bậc k = max { m n , }với các hệ số cần tìm Để tìm các hệ số này, thay y r vào phương trình ( ) 1
" ' r r r y +py +qy = f x , vì sinx và cosx độc lập tuyến tính nên các hệ số tương ứng bằng nhau
Ví dụ Error! No text of specified style in document 11 Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân
1) Ta thấy f x( )=x 2 nên y R có dạng tổng quát là y =Ax 2 +Bx +C Do đó
' 2 , '' 2 y = Ax +B y = A Thay vào phương trình đã cho ta tìm được 1 3 7
Phương trình thuần nhất tương ứng y'' 3 ' 2+ y + y = 0 có nghiệm tổng quát là
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
'' cos sin y = −A x −B x Thay vào phương trình đã cho ta được 1
Kết hợp với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y 0 =e c x ( 1 +c x 2 ) ta có nghiệm tổng quát cần tìm là
2 y = − x +e c x +c x Định lí Error! No text of specified style in document 2 Nếu y y 1 , 2 lần lượt là hai ngiệm của hai phương trình
'' ' ( ), '' ' ( ) y +ay + =b f x y +ay + =b f x thì hàm y = αy 1 +βy 2 là nghiệm của phương trình:
Ví dụ Error! No text of specified style in document 12 Giải phương trình vi phân
Phương trình y'' 4+ y =e x có một nghiệm riêng là 1 1
5 y = e x Phương trình y'' 4+ y =x 2 có một nghiệm riêng là 2 1 2 1
Vậy phương trình y'' 4+ y e x +16x 2 có một nghiệm riêng là y k =2e x +4x 2 −2
Khi áp dụng phương pháp hệ số bất định, cần lưu ý rằng nếu hàm f(x) là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, việc xác định hệ số trong dạng tổng quát sẽ gặp khó khăn Ví dụ, với phương trình y'' + 2y' + 3y = e^x, dạng tổng quát của hàm f(x) = e^x là y = Ae^x Tuy nhiên, vì f(x) = e^x là một nghiệm của phương trình thuần nhất, ta có 0 = e^x, dẫn đến việc không thể xác định hệ số A.
Hai dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai giảm cấp được
Phương trình vi phân dạng y'' = f(x, y') có thể được chuyển đổi bằng cách đặt y' = p, dẫn đến y'' = p' Khi đó, phương trình trở thành phương trình vi phân cấp một: p' = f(x, p), trong đó p là hàm của x Giải phương trình này, ta tìm được nghiệm p = p(x, c1) Do đó, từ y' = p, ta có nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
Ví dụ Error! No text of specified style in document 13 Giải phương trình '
+ x Giải Đặt y'= p thì y'' = p' ta được phương trình vi phân tuyến tính cấp một 1
Dạng y'' = f y y( , ') Đặt y'= p, với p là hàm của y Khi đó '' dp dp dy ' y pp dx dy dx
Tích phân hai vế, ta được p = p y c( , ) 1 Suy ra dy ( , ) 1 p y c dx = Đây là phương trình tách biến, nên ta viết lại
Ví dụ Error! No text of specified style in document 14 Giải phương trình 2yy'' ( ')+ y 2 = 0
Giải Đặt y'= ⇒p y'' = pp' thay vào phương trình đã cho ta được:
3.1 Giải phương trình vi phân a) ln cosy dx +xtgy dy = 0 b)x 1+y dx 2 +y 1+x dy 2 = 0 c) 2 2 0
3.2 Giải phương trình vi phân a)y' sin(+ x +y)=sin(x −y) b) 2
3.3 Giải phương trình vi phân a) '
3.4 Giải phương trình vi phân a) (x +y dx) +(x −y dy) = 0 b) sin( ) 'x sin( )y x y x y y + = x c) ' y cos( )y y = x + x
3.5 Giải phương trình vi phân a) (x 2 −3 )y dx 2 +2xydy =0, (2)y =1 b) ' ( ), (1)
= + + 3.6 Giải phương trình vi phân a) xy'− =y x 2 cosx b) y' 2+ xy =xe − x 2 d) y' cosx + = −y 1 sinx
3.7 Giải phương trình vi phân a) (1+x y 2 ) '+ =y arctgx b) ' cos (ln 2 2 ) sin y x y tg
3.8 Giải phương trình vi phân a) 1
− = 3.9 Giải phương trình vi phân a) ' 2 1 0, (0) 0
− x − − = − b) dy y 2 dx +x = −xy c) 2 dy 2 0 xy y x dx − + 3.10 Giải phương trình vi phân a) (1+e yy x ) '=e y x , (0)=1 b) xdy−ydx = x 2 +y dx 2 c) y' 3+ ytg x3 = sin 6 , (0)x y = 1 3
3.11 Giải phương trình vi phân a) y'' 5 ' 6− y + y = 0 b) y'' 2 ' 2− y + y =0 c) y =y''+y'
3.12 Giải phương trình vi phân a) y''−y'= 0 b) y''+ky = 0 c) '
− 3.13 Giải phương trình vi phân a) y'' 5− y +4y = 0, (0)y = 5, '(0)y = 8 b) y'' 2 '+ y = 0, (0)y =1, '(0)y =0 c) y''+π 2 y = 0, (0)y = 0, (1)y = 0
3.14 Giải phương trình vi phân a) y'' 4 ' 4− y + y = x 2 b) y''− + =y y x 3 +6 c) y'' 2 '+ y + =y e 2 x
3.15 Giải phương trình vi phân a) y''+ =y cosx b) y''+ −y' 2y = 8 sinx c) y''+ −y' 6y =xe 2 x
3.16 Giải phương trình vi phân a) y'' 2 ' 5− y + y =e x cos 2x b) y'' 7 ' 12− y + y = −e 4 x c) y'' 2 ' 8− y − y =e x −8 cos 2x
3.17 Giải phương trình vi phân a)y'' 2 ' 10− y − y =sin 3x +e x b) '' 4 ' 4 2 2
3.18 Giải phương trình vi phân a) 1
3.19 Giải phương trình vi phân a) (1+x y 2 ) '' ( ')+ y 2 + =1 0 b) y'[1 ( ')]+ y =y'' c) x y 2 ''+xy'=1
3.20 Giải phương trình vi phân a) yy'' =y y 2 ' ( ')+ y 2 b) yy'−y'(1+y')= 0 c) (x +1) '' (y − x +2) 'y + + =x 2 0
