Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp 2 Trường Đại học Thương MạiCHƯƠNG 1 HÀM NHIỀU BIẾN VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊI. Hàm 2 biến1. Định nghĩaVí dụ:2. Tập xác định của hàm 2 biếnĐịnh nghĩa: là tập hợp các điểm (x,y) sao cho hàm số cónghĩa.Ví dụ: Tìm tập xác định và biểu diễn hình học TXĐ củahàm số sauII. Đạo hàm riêng của hàm 2 biến1. ĐHR cấp 1: Nhận xét: trong thực hành, muốn tính ĐHR cấp 1 theo biến x thì coi y là hằng số và đạo hàm như đốivới hàm 1 biến. Tương tự, tính ĐHR theo y thì coi x là hằng số.2. ĐHR cấp 2:Nhận xét: f(x,y) là hàm 2 biến và các ĐHR cấp 1 của nócũng là những hàm 2 biến, Vì thế, chúng lại có thể có cácĐHR. Khi đó ta xác định các ĐHR cấp 2 của f như sau:III. Ứng dụng để tính gần đúng giá trị biểu thứcBài toán: Giả sử ta cần tính giá trị của hàm 2 biến f tạimột điểm (x,y) nhưng không tính đúng được. Ta lại biếtgiá trị của f tại điểm (x0,y0) rất gần (x,y). Khi đó ta cócông thức tính gần đúng sau:IV. Ứng dụng để tìm cực trị hàm 2 biến1. Cực trị tự doĐịnh nghĩa: Ta nói hàm
HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP CHƯƠNG HÀM NHIỀU BIẾN VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ I Hàm biến Định nghĩa Ví dụ: Tập xác định hàm biến Định nghĩa: tập hợp điểm (x,y) cho hàm số có nghĩa Ví dụ: Tìm tập xác định biểu diễn hình học TXĐ hàm số sau II Đạo hàm riêng hàm biến ĐHR cấp 1: Nhận xét: thực hành, muốn tính ĐHR cấp theo biến x coi y số đạo hàm hàm biến Tương tự, tính ĐHR theo y coi x số ĐHR cấp 2: Nhận xét: f(x,y) hàm biến ĐHR cấp hàm biến, Vì thế, chúng lại có ĐHR Khi ta xác định ĐHR cấp f sau: III Ứng dụng để tính gần giá trị biểu thức Bài tốn: Giả sử ta cần tính giá trị hàm biến f điểm (x,y) khơng tính Ta lại biết giá trị f điểm (x0,y0) gần (x,y) Khi ta có cơng thức tính gần sau: IV Ứng dụng để tìm cực trị hàm biến Cực trị tự Định nghĩa: Ta nói hàm 𝑓(𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) điểm 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 ) tồn lân cận M cho hàm số ln xác định BĐT 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) (tương ứng 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ≤ 𝑓(𝑥, 𝑦)) thỏa mãn Cực đại cực tiểu gọi chung cực trị Ví dụ: Giải PTSP sau: 𝑥 𝑛 + + 𝑛𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 + − 3𝑛 𝑥 𝑛 = b Giải phương trình khơng 𝑥 𝑛 + − 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 (3) NTQ PTSPTT tương ứng: 𝑛−1 𝑥 𝑛 = 𝐶 Π𝑖=0 𝑎(𝑖) Phương pháp biến thiên số Coi 𝐶 = 𝐶(𝑛) thì: 𝑛−1 𝑥 𝑛 = 𝐶(𝑛) 𝑎(𝑖) 𝑖=0 𝑛 𝑥 𝑛 + = 𝐶(𝑛 + 1) 𝑎(𝑖) 𝑖=0 Thay 𝑥 𝑛 , 𝑥(𝑛 + 1) vào (3) ta được: 𝑛 𝐶 𝑛+1 𝑛−1 𝑎(𝑖) − 𝑎 𝑛 𝐶 𝑛 𝑖=0 ⟺𝐶 𝑛+1 −𝐶 𝑛 = 𝑎(𝑖) = 𝑓(𝑛) 𝑖=0 𝑓(𝑛) 𝑛 𝑖=0 𝑎(𝑖) Thay n 0, 1, 2, …, n-1 𝑓(0) 𝐶 −𝐶 = 𝑎(0) 𝐶 −𝐶 = 𝑓(1) 𝑎 𝑎(1) 𝐶 𝑛 −𝐶 𝑛−1 = 𝑓(𝑛−1) 𝑛 −1 𝑖=0 𝑎(𝑖) Cộng vế với vế thu được: 𝑛−1 𝐶 𝑛 −𝐶 = 𝑖=0 𝑓(𝑖) 𝑎 𝑎 … 𝑎(𝑖) 𝑛−1 ⟺𝐶 𝑛 =𝐶 + 𝑖=0 𝑓(𝑖) 𝑎 𝑎 … 𝑎(𝑖) Lấy 𝐷 = 𝐶(0) ta có: 𝑛−1 𝐶 𝑛 =𝐷+ 𝑖=0 𝑓(𝑖) 𝑎 𝑎 … 𝑎(𝑖) Khi nghiệm tổng quát phương trình (3) là: 𝑛−1 𝑥 𝑛 =[𝐷+ 𝑖=0 𝑓 𝑖 ] 𝑎 𝑎 …𝑎 𝑖 𝑛−1 𝑎(𝑗) 𝑗 =0 Chú ý:Nếu 𝑎(𝑛) ≠ 𝑛0 xét hàm số tập {𝑛0 , 𝑛0 + 1, …} chọn 𝐶 = 𝐶(𝑛0 ) Ví dụ: Giải phương trình sai phân a) 𝑥 𝑛 + = 𝑛 + 𝑥 𝑛 + 𝑛 + ! 𝑛 b) 𝑥 𝑛 + − 𝑥 𝑛 = 𝑛 +2𝑛 CHÚ Ý Khi sử dụng phương pháp biến thiên số thường dẫn đến phương trình tuyến tính cấp để tìm 𝐶 𝑛 dạng 𝐶 𝑛+1 −𝐶 𝑛 =𝑔 𝑛 Trường hợp đơn giản ta thường thay giá trị cho 𝑛 cộng theo vế Khi tổng vế phải phức tạp ta để kết cơng thức tính tổng Trong trường hợp 𝑔 𝑛 viết dạng 𝑔 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑃𝑚 𝑛 𝑔 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑃𝑚 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝛽 ± 𝑄𝑘 𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝛽 tìm 𝐶 𝑛 cách giải phương Ví dụ: Giải phương trình sai phân sau a.𝑥 𝑛 + − 3𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 b 𝑥 𝑛 + − 3𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑛 𝑛+1 𝑛2 −2n + 2𝑛 n + III PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI HỆ SỐ HẰNG Định nghĩa • Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số phương trình có dạng: 𝑥 𝑛 + + 𝑝𝑥 𝑛 + + 𝑞𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑛 (1) p, q số, 𝑞 ≠ • Nếu 𝑓 𝑛 ≡ 0, (1) trở thành phương trình tuyến tính (PTTN) 𝑥 𝑛 + + 𝑝𝑥 𝑛 + + 𝑞𝑥 𝑛 = (2) Phương pháp giải: Pp chọn Bước 1: Giải PT (2) tìm nghiệm tổng quát 𝑥(𝑛) Bước 2: Tìm nghiệm riêng 𝑥(𝑛) Khi nghiệm (1) là: 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑛 + 𝑥(𝑛) Giải PT 𝑥 𝑛 + + 𝑝𝑥 𝑛 + + 𝑞𝑥 𝑛 = Phương trình đặc trưng: 𝑘 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = (*) Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thực phân biệt 𝑘1 , 𝑘2 : 𝑥(𝑛) = 𝐶1 𝑘1𝑛 + 𝐶2 𝑘2𝑛 Nếu phương trình (*) có nghiệm kép 𝑘1 = 𝑘2 = 𝑘 : 𝑥(𝑛) = 𝐶1 𝑘 𝑛 + 𝐶2 𝑛𝑘 𝑛 Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phức 𝑘1,2 = 𝛼 ± 𝑖 𝛽 = 𝑟(cos 𝜑 ± 𝑖 sin 𝜑) 𝑥(𝑛) = 𝑟 𝑛 (C1 cos 𝑛𝜑 + C2 sin 𝑛𝜑) Tìm nghiệm riêng PT khơng Trường hợp 1: 𝑓 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑃𝑚 (𝑛) • Nếu 𝛼 khơng nghiệm PTĐT, ta tìm nghiệm 𝑥(𝑛) dạng: 𝑥 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑄𝑚 (𝑛) • Nếu 𝛼 nghiệm đơn PTĐT, ta tìm nghiệm 𝑥 (𝑛) dạng: 𝑥 𝑛 = 𝑛𝛼 𝑛 𝑄𝑚 (𝑛) • Nếu 𝛼 nghiệm kép PTĐT, ta tìm nghiệm 𝑥(𝑛) dạng: 𝑥 𝑛 = 𝑛2 𝛼 𝑛 𝑄𝑚 (𝑛) Trường hợp 2: 𝑓 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑃𝑚 𝑛 cos 𝑛𝛽 + 𝑄𝑙 (𝑛) sin 𝑛𝛽 , 𝛽 ≠ • Nếu 𝛼 cos 𝛽 ± 𝑖 sin 𝛽 khơng nghiệm phuơng trình đặc trưng thì: 𝑥 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑀h 𝑛 cos 𝑛𝛽 + 𝑁ℎ 𝑛 sin 𝑛𝛽 ℎ = max{𝑚, 𝑙} • Nếu 𝛼 cos 𝛽 ± 𝑖 sin 𝛽 nghiệm phuơng trình đặc trưng thì: 𝑥 𝑛 = 𝑛𝛼 𝑛 𝑀h 𝑛 cos 𝑛𝛽 + 𝑁ℎ 𝑛 sin 𝑛𝛽 ℎ = max{𝑚, 𝑙} Ví dụ: Giải phương trình sau: 𝑛𝜋 a 𝑥 𝑛 + − 5𝑥 𝑛 + + 6𝑥 𝑛 = cos b 𝑥 𝑛 + − 3𝑥 𝑛 + + 2𝑥 𝑛 = 3𝑛+1 (𝑛 − 1) 𝑛𝜋 𝑛 c 𝑥 𝑛 + − 2𝑥 𝑛 + + 4𝑥 𝑛 = cos