Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần Giải tích cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ bản về hàm số; giới hạn của hàm số; hàm số liên tục; đạo hàm của hàm số; đạo hàm cấp cao; vi phân của hàm số; ứng dụng của đạo hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!
Tốn cao cấp - Phần Giải tích Bài Hàm biến số Nguyễn Phương Bộ mơn Tốn kinh tế Đại học Ngân hàng TPHCM Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 30 tháng 11 năm 2022 NỘI DUNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC 29 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 35 ĐẠO HÀM CẤP CAO 49 VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 50 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Tìm giới hạn hàm có dang vơ định Cơng thức Taylor - Maclaurin Sự biến thiên hàm số Cực trị hàm số 57 57 62 72 73 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Giá trị biên tế (Marginal quantity) Độ co dãn (Elasticity) Tối ưu kinh tế 80 80 84 87 C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y (ký hiệu f : X → Y ) phép tương ứng liên kết với phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y , phần tử y gọi ảnh phần tử x, ký hiệu y = f (x) f: X x → → Y y = f (x) f x X gọi tập hợp nguồn Y gọi tập hợp đích y gọi ảnh x qua f f (x) C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Với y ∈ Y , tập X gồm phần tử có ảnh qua ánh xạ f y, gọi ảnh ngược (tạo ảnh) phần tử y qua f , ký hiệu f −1 (y) f −1 (y) = {x ∈ X|f (x) = y} Với tập A ⊂ X, tập Y gồm phần tử ảnh x ∈ A qua ánh xạ f gọi ảnh tập A ký hiệu f (A) f (A) = {f (x)|x ∈ A} Với tập B ⊂ Y , tập X gồm phần tử x có ảnh f (x) ∈ B gọi ảnh ngược (tạo ảnh) tập B ký hiệu f −1 (B) f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Định nghĩa 1.2 Cho D ⊆ R Ánh xạ f : D −→ R x −→ y = f (x) gọi hàm số biến - Miền xác định: ? - Miền giá trị: ? C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Ví dụ 1.1 Cho hàm số f (x) = x3 + x2 Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1) Ví dụ 1.2 - Hàm cung: QS = f (P ) = cP + d - Hàm cầu: QD = f (P ) = aP + b GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Ví dụ 2.1 Xét hàm số f (x) = x2 − x + cho giá trị x gần GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa 2.1 Cho f : D −→ R xác định y = f (x), x có giá trị gần a ta viết lim f (x) = L, x→a ta đọc "giới hạn f (x) L x tiến a" làm cho giá trị f (x) gần tùy ý với L (gần với L muốn) cách hạn chế x đủ gần với a (ở hai phía a) khơng a Nếu khơng có số L vậy, ta nói giới hạn f (x) x tiến a không tồn 10 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM cực tiểu địa phương /toàn cục y = f (x) cực đại địa phương cực tiểu địa phương 74 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Định lý 7.5 (Định lí Fermat - Điều kiện cần cực trị) Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a; b) Nếu f (x) đạt cực trị x0 ∈ (a; b) có đạo hàm x0 f ′ (x0 ) = Định nghĩa 7.4 Điểm tới hạn hàm số điểm thuộc hai loại sau: i) Điểm mà đạo hàm hàm số (gọi điểm dừng) ii) Điểm mà hàm số liên tục khơng có đạo hàm Ví dụ 7.9 Tìm điểm tới hạn hàm số √ a) y = x2 b) y = x (x − 1) 75 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Định lý 7.6 (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất) Giả sử x0 điểm tới hạn hàm số f (x) hàm số có đạo hàm khoảng (x0 − δ, x0 ), (x0 , x0 + δ) với δ > Khi đó: i) Nếu đạo hàm f ′ (x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) qua x0 f (x) đạt cực đại x0 ii) Nếu đạo hàm f ′ (x) đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) qua x0 f (x) đạt cực tiểu x0 iii) Nếu đạo hàm f ′ (x) khơng đổi dấu qua x0 x0 khơng điểm cực trị f (x) Ví dụ 7.10 Tìm cực trị hàm số sau: √ a) y = x2 b) y = x (x − 1) 76 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Lời giải Ta có Hàm số f (x) liên tục R f ′ (x) = 3x(x − 2) x=0 x=2 f ′ (x) = ⇐⇒ 3x(x − 2) = ⇐⇒ f ′′ (x) = 6x − Với x = : f ′′ (0) = −6 < Với x = : f ′′ (2) = > Hàm số f (x) đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = 78 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Giá trị lớn nhỏ hàm số y = f (x) miền [a, b] Kiểm tra tính liên tục hàm f (x) [a, b] Giả sử x1 , , xn ∈ [a, b] nghiệm f ′ (x) = Tính f (a), f (x1 ), , f (xn ), f (b) Kết luận: f (x) = f (a), f (x1 ), , f (xn ), f (b) [a,b] max f (x) = max f (a), f (x1 ), , f (xn ), f (b) [a,b] Ví dụ 7.12 Tìm GTLN GTNN hàm số sau: f (x) = 2x3 + 3x2 − đoạn [−1/2, 1] √ f (x) = − x2 78 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Ví dụ 7.13 Tìm GTLN GTNN hàm số sau: f (x) = x3 − 3x2 + 1, −1 ⩽ x ⩽ Lời giải Ta có Hàm số f (x) liên tục −1 ⩽ x ⩽ x = ∈ [−1, 2] f ′ (x) = ⇐⇒ 3x(x − 2) = ⇐⇒ x=2∈ / [−1, 2] f (−1) = −3, f (0) = f (1) = −1 Suy fmin = min{f (−1), f (0), f (1)} = −3 fmax = max{f (−1), f (0), f (1)} = 79 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Đạo hàm đại lượng đo tốc độ thay đổi Tốc độ thay đổi trung bình y theo x (trong khoảng từ x0 đến x0 + ∆x) ∆y ∆x Tốc độ thay đổi tức thời (tốc độ thay đổi) y theo x x0 y ′ (x0 ) = lim ∆x→0 Khi ∆x nhỏ ∆y ∆x ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim ∆x ∆x→0 ∆x ≈ y ′ (x0 ) Do đó, ∆y ≈ y ′ (x0 ).∆x Nếu x thay đổi lượng ∆x y thay đổi lượng xấp xỉ y ′ (x0 ) lần lượng thay đổi x Đặc biệt, x thay đổi lượng ∆x = x0 y thay đổi lượng xấp xỉ y ′ (x0 ) 80 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.1 Cho hàm số y = f (x) Giá trị biên tế y theo x x0 , kí hiệu Mx y(x0 ), lượng thay đổi tuyệt đối biến phụ thuộc y biến độc lập x thay đổi đơn vị ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f ′ (x0 )∆x ∆x nhỏ, ∆y lượng thay đổi tuyệt đối y, ∆x lượng thay đổi tuyệt đối x Khi ∆ = 1, giá trị biên tế tính xấp xĩ đạo hàm y theo x, tức Mx y(x0 ) ≈ f ′ (x0 ) 81 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.2 Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu M Q, đại lượng đo thay đổi sản lượng lao động hay vốn tăng thêm đơn vị √ Ví dụ 8.1 Hàm sản xuất doanh nghiệp Q = f (L) = L Tìm M Q L = 100 5 ′ M Q = (Q)L = √ ⇒ M Q(100) = √ = 0, 25 100 L Định nghĩa 8.3 Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu M C(Q), đại lượng đo thay đổi chi phí C Q tăng thêm đơn vị Ví dụ 8.2 Hàm chi phí sản xuất sản phẩm T C = 0, 0001Q3 − 0, 02Q2 + 5Q + 100 Tìm M C Q = 50 ′ M C = (T C)Q = 0, 0003Q − 0, 04Q + M C = 3, 75 82 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.4 Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu M R, đại lượng đo thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị Ví dụ 8.3 Một sản phẩm thị trường có hàm cầu Q = 1000 − 14P Tìm M R P = 30 P = 40 Hàm doanh thu: T R = P Q = P (1000 − 14P ) = 1000P − 14P , M R = (T R)P = 1000 − 28P ⇒ M R(30) = 160; M R(40) = −120 Hàm lợi nhuận: π = T R − T C = P Q − (F C + V C) Định nghĩa 8.5 Lợi nhuận biên đại lượng đo thay đổi lợi nhuận giá tăng thêm đơn vị hay sản lượng tăng thêm đơn vị Ví dụ 8.4 Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thơng tin có sau: - Hàm cầu P = 600 − 2Q - Hàm chi phí T C = 0, 2Q2 + 28Q + 200 Tìm M π sản lượng Q = 150 83 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.6 Cho hàm số y = f (x) Hệ số co dãn y theo x, kí hiệu εyx , ∆y/y εyx = ∆x/x ∆y/y lượng thay đổi tương đối y, ∆x/x lượng thay đổi tương đối x Ý nghĩa: Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) y x thay đổi 1% Khi ∆x nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế tính xấp xĩ đạo hàm y theo x, tức dy/y x εyx ≈ = f ′ (x) dx/x y 84 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.7 Độ co dãn cầu theo giá, kí hiệu ED , đại lượng đo thay đổi tương đối (%) lượng cầu giá tăng 1% ED = ∆QD /QD % lượng thay đổi lượng cầu ∆QD P = = ∆P/P ∆P QD % lượng thay đổi giá ED ≈ f ′ (P ) P với QD = f (P ) QD Trong trường hợp hàm cầu, QD = f (P ) = aP + b với a < 0, b > 0, ED = a P QD Ví dụ 8.5 Hàm cầu sản phẩm QD = f (P ) = 30 − 4P − P Hệ số co dãn cầu theo giá ED = f ′ (P ) QPD = (−4 − 2P ) QPD Tại mức giá P = 3, ta có: ED = (−4 − 6) 39 = −3, 33 Điều có nghĩa là: mức giá P = 3, tăng giá lên 1% lượng cầu 85 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Định nghĩa 8.8 Độ co dãn cung theo giá, kí hiệu ES , đại lượng đo thay đổi tương đối (%) lượng cung giá tăng 1% ES = ∆QS /QS % lượng thay đổi lượng cung ∆QS P = = ∆P/P ∆P QS % lượng thay đổi giá ES ≈ f ′ (P ) P với QS = f (P ) QS Trong trường hợp hàm cầu, QS = f (P ) = cP + d với c > 0, d > 0, ES = c P QS Ví dụ 8.6 Hàm cung sản phẩm QS = f (P ) = 100P − 100P Hệ số co dãn cầu theo giá ED = f ′ (P ) QPS = 100P −5 100.0,9 Tại mức giá P = 0, 9, ta có: ED = 100.0,9−5 = 1, 06 Điều có nghĩa là: mức giá P = 0, 9, tăng giá lên 1% lượng 86 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Các toán kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa hàm mục tiêu y = f (x), tức chọn x để y đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ Lợi nhuận tối đa Lợi nhuận π = T R − T C đạt giá trị cực đại Ví dụ 8.7 Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thơng tin có sau: - Hàm cầu P = 600 − 2Q - Hàm chi phí T C = 0, 2Q2 + 28Q + 200 a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, giá bán lợi nhuận đạt bao nhiêu? b) Nếu đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ sản lượng giá bán để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi lợi nhuận bao nhiêu? 87 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Bài tốn tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao Giá sử doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại hàng hóa, biết hàm cầu doanh nghiệp mặt hàng QD = D(P ), hàm tổng chi phí C = C(Q) Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Ví dụ 8.8 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại hàng hóa với QD = 656 − P hàm chi phí C(Q) = Q3 − 77Q2 + 1000Q + 100 Tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao 87 ... = ĐẠO HÀM CẤP CAO Định nghĩa 5.1 - Nếu hàm số f (x) có đạo hàm x ta nói f (x) có đạo hàm cấp x Kí hiệu f ′ (x) - Đạo hàm (nếu có) đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp f (x) x Kí hiệu f ′′ (x) - Tương tự,... biến - Miền xác định: ? - Miền giá trị: ? C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ Ví dụ 1.1 Cho hàm số f (x) = x3 + x2 Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1) Ví dụ 1.2 - Hàm cung: QS = f (P ) = cP + d - Hàm... hợp X vào tập hợp Y (ký hiệu f : X → Y ) phép tương ứng liên kết với phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y , phần tử y gọi ảnh phần tử x, ký hiệu y = f (x) f: X x → → Y y = f (x) f x X gọi tập hợp