BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 PHẦN GIẢI TÍCH KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI B[.]
BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 PHẦN GIẢI TÍCH KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TOÁN CAO CẤP dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Cuốn sách giảng viên thuộc mơn Tốn biên soạn, sở đề cương mơn học theo tín Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt Nội dung sách phần Giải tích giải hầu hết vấn đề trọng yếu môn học, giúp sinh viên có tảng tốn để tiếp cận mơn học khác chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kỹ thuật Phần lý thuyết trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng Ngồi ra, cịn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau chương có tập để sinh viên rèn luyện Đây tài liệu sử dụng thức trường giúp sinh viên học tập thi kết thúc học phần có hiệu tốt theo chương trình đào tạo tín Trong q trình giảng dạy, giáo trình cập nhật, chỉnh lý để ngày hoàn thiện đầy đủ Do khả có hạn, thời gian ngắn lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên mơn Tốn mong nhận ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc ngồi trường Các ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc xin gửi chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN PHẦN GIẢI TÍCH TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN MỤC LỤC PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 GIẢI TÍCH CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM BIẾN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC I Định nghĩa giới hạn dãy số thực II Một số giới hạn CÁC KHÁI NIÊM CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ I Các định nghĩa II Các hàm sơ cấp GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa giới hạn hàm số II Vô bé vô lớn ∞ III Khử dạng vô định ; ∞ - ∞ ; ∞ ; ∞ ∞ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ I Các khái niệm II Điểm gián đoạn BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM I Định nghĩa đạo hàm II Các quy tắc tính đạo hàm III Đạo hàm cấp cao VI PHÂN I Định nghĩa vi phân cấp II Các cơng thức tính vi phân III Vi phân cấp cao CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH I Định nghĩa II Các định lý giá trị trung bình 9 15 23 36 40 42 42 51 55 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 2.4 CƠNG THỨC TAYLOR I Công thức Taylor công thức Maclaurin II Ứng dụng công thức Taylor 2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN I Quy tắc L’Hospital II Tìm cực trị BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Nguyên hàm định nghĩa tích phân bất định II Các phương pháp tính tích phân bất định III Tích phân số hàm sơ cấp 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Định nghĩa tích phân xác định II Cơng thức Newton – Leibnitz III Các phương pháp tính 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG I Trường hợp tính tích phân có cận vơ hạn II Trường hợp tính tích phân có điểm gián đoạn khoảng lấy tích phân BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 KHÁI NIỆM HÀM NHIỀU BIẾN I Định nghĩa hàm nhiều biến II Giới hạn hàm hai biến số III Sự liên tục hàm hai biến số 4.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP I Định nghĩa đạo hàm riêng II Vi phân tồn phần cấp III Ứng dụng vi phân tính gần IV Đạo hàm hàm hợp V Đạo hàm hàm ẩn 58 67 70 72 72 87 94 111 114 114 122 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 4.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO I Định nghĩa đạo hàm riêng cấp II Vi phân toàn phần cấp 4.4 CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ I Khái niệm cực trị II Định lý III Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến BÀI TẬP CHƯƠNG IV CHƯƠNG V CHUỖI 5.1 CHUỖI SỐ I Các khái niệm tính chất II.Chuỗi số dương III.Chuỗi có dấu Chuỗi đan dấu Chuỗi có dấu 5.2 CHUỖI HÀM BẤT KỲ 5.3 CHUỖI LŨY THỪA I.Định nghĩa II.Cách tìm bán kính hội tụ III.Khai triển số hàm thành chuỗi lũy thừa 5.4 CHUỖI FOURIER I.Định nghĩa II.Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier BÀI TẬP CHƯƠNG V ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 129 135 140 142 142 162 164 180 193 198 199 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM BIẾN 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC I Định nghĩa giới hạn dãy số thực Các khái niệm a) Dãy số thực: ánh xạ f : → , n dãy số thực, gọi tắt dãy số Ký hiệu: {xn}, (xn) VÍ DỤ x n gọi ⎧ (−1)n 2n + 1⎫ ⎧1 ⎫ xn = ⎨ ⎬ , xn = ⎨ ⎬ , yn = {3n + 1} n2 ⎩n⎭ ⎩ ⎭ Chú ý: Tuỳ thuộc vào công thức xác định dãy mà ánh xạ từ hay * b) Dãy con: Dãy { x n } gọi dãy dãy{xn} k phần tử { x n } phần tử dãy {xn} k (các phần tử dãy trích từ dãy mẹ {xn}) ⎧1⎫ ⎧1⎫ ⎧1 ⎫ ⎬ , ⎨ ⎬ dãy dãy ⎨ ⎬ ⎩ 2n ⎭ ⎩ 3n ⎭ ⎩n ⎭ VÍ DỤ Các dãy ⎨ c) Dãy tăng dãy có xn < xn+1; ∀ n ∈ VÍ DỤ xn = {2 n + 3} dãy tăng d) Dãy giảm dãy có xn > xn+1 ; ∀ n ∈ VÍ DỤ ⎫ xn = ⎧ ⎨ ⎬ dãy giảm ⎩ n + 1⎭ Để kiểm tra dãy số tăng hay giảm có cách: + Cách BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM x n+1 x > dã y tă ng; n+1 < dã y giả m nế u x n > 0∀n xn xn + Cách x n +1 − xn > dã y tă ng; xn +1 − x n < dã y giả m Giới hạn dãy số a) Định nghĩa Số L gọi giới hạn dãy {xn} n dần vô ∀ε > 0; ∃ n0 ∈ : ∀n > n0 xn − L < ε Khi ta nói dãy {xn} hội tụ L viết: n →∞ x n → L n → ∞; hay x n → L ; hay lim xn = L n →∞ * Dãy không tồn giới hạn, tức dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ * Dãy có giới hạn vơ hạn ( ± ∞ ) gọi dãy có giới hạn vơ hạn Ký hiệu: x n → ±∞ n → ∞ hay lim x n = ±∞ n →∞ (−1)n =0 n →∞ 3n2 − VÍ DỤ Chứng minh lim Thật ∀ε > 0, (−1)n 1 1 −0 ( + 5) ⇔ n > ( + 5) 3n − 3n − ε ε ⎡ 1 ⎤ ( + 5) ⎥ + ⎣ ε ⎦ Như ta đặt n0 = ⎢ ta có ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ 10 : ∀ n > n0 x n − < ε BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Tương tự ta có lim = 0; n →∞ n lim(n) = +∞; n →∞ (−1)n = 0; 2n lim( −3n2 ) = −∞ n →∞ lim n →∞ lim n →∞ 2n + 100 = 3n2 b) Định nghĩa (Giới hạn riêng dãy) Mỗi dãy { x n } dãy {xn} có giới hạn giới hạn k gọi giới hạn riêng dãy {xn} VÍ DỤ Dãy xn={(-1)nn}có hai dãy là{2n}và{-(2n+1)} thì{2n} → +∞ n → ∞ {-(2n+1)} → −∞ n → −∞ Khi ±∞ gọi giới hạn riêng dãy cho Chú ý: dãy {xn} có hai dãy dần đến giới hạn khác dãy {xn} khơng tồn giới hạn VÍ DỤ ⎛ ⎡π ⎤⎞ + n π ⎥⎦ ⎟ có ⎦⎣4 ⎠ Dãy xn = sin ⎜ ⎡( −1) + 1⎤ ⎢ ⎝⎣ n ⎛π ⎞ + n 2π ⎟ = x2 n +1 = Các dãy ⎝2 ⎠ dãy là: x2 n = sin ⎜ tương ứng có giới hạn 0, giới hạn giới hạn riêng dãy xn Các tính chất giới hạn dãy ĐỊNH LÝ -Dãy hội tụ giới hạn -Dãy hội tụ giới nội (tức tồn (a,b) chứa tất giá trị dãy xn) ĐỊNH LÝ (tính tuyến tính giới hạn) Cho hai dãy số hội tụ { xn } → a { yn } → b n → ∞ ; a, b ≠ ±∞ 11 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN a) lim ( xn + yn ) = lim xn + lim yn = a + b n →∞ n →∞ b) lim ( Cxn ) = Ca ∀C ∈ n →∞ n →∞ c) lim ( C + xn ) = C + a ∀C ∈ n →∞ d) lim ( xn yn ) = lim xn lim yn = a.b n →∞ n →∞ n →∞ 1 e) lim = = n →∞ x lim xn a n n →∞ f) lim n →∞ 1 ∀xn , yn , a, b ≠ = = yn lim yn b n →∞ i) Nếu xn ≥ yn a ≥ b x a j) lim n = (b ≠ 0) n →∞ y b n ĐỊNH LÝ (giới hạn kẹp) Cho ba dãy số hội tụ { xn } , { yn } , { zn } thỏa mãn xn ≤ yn ≤ zn ∀n ∈ lim xn = lim zn = a lim yn = a n →∞ n →∞ n →∞ Ý nghĩa: Việc tính giới hạn dãy {yn} khó ta phải kẹp ( hay chặn) đầu dãy {yn} dãy {xn};{zn} , mà việc tính giới hạn dãy {xn};{zn} dễ dàng sin n VÍ DỤ Chứng minh lim = n →∞ n Ta có −1 sin n −1 sin n ≤ ≤ mà lim = lim = nên lim = n →∞ n →∞ n →∞ n n n n n n ĐỊNH LÝ Dãy tăng bị chặn hội tụ; Hoặc dãy giảm bị chặn hội tụ VÍ DỤ ⎧⎨ ⎫⎬ → n → ∞ ⎩n⎭ 12 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Định nghĩa (dãy Cauchy) Dãy xn gọi dãy Cauchy với ε >0 cho trước, tìm n0∈ * cho m , n ≥ n0 ta coù x n − x m < ε Bổ đề: Dãy Cauchy dãy giới nội ĐỊNH LÝ Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy Điều kiện cần đủ để dãy số thực hội tụ dãy Cauchy n ⎛ 1⎞ Số e: lim ⎜ + ⎟ = e n →∞ ⎝ n⎠ vaø e = 2,7182818284 Số e có vai trị quan trọng tốn học Ta gọi lôgarit số e lôgarit tự nhiên hay lôgarit Napier logex viết đơn giản lnx Ứng dụng giới hạn số e để tính số tập giới hạn II Một số giới hạn n n ⎛ 1⎞ lim ⎜ + ⎟ = e n →∞ ⎝ n⎠ sin n =0 lim n →∞ n ⎛ 1⎞ 1’ lim ⎜ − ⎟ = n →∞ ⎝ n⎠ e cos n 2’ lim =0 n →∞ n lim n n p = ∀p 3’ lim n a = ∀a > = (α > 0) n →∞ nα lim α = n →∞ ln n =0 n →∞ e n np 5’ lim = ∀p, ∀a > n n →∞ (1 + a ) n →∞ lim n →∞ 4’ lim ln p n = ∀p , ∀ α > n →∞ n →∞ nα Chú ý: không tồn giới hạn lim sin n , lim cos n lim q n = ∀ q < 6’ lim n →∞ n →∞ 13 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Các ví dụ VÍ DỤ 10 Tính lim n n + n →∞ Ta có: ∀n > ⇒ n + < 2n ⇒ < n n + < n 2n ; lim n 2n = lim n n n = ⇒ lim n n + = n →∞ n →∞ n →∞ VÍ DỤ 11 Sử dụng định nghĩa chứng minh giới hạn sau ⎛ 1⎞ ⎛ n ⎞ a) lim ⎜ + ⎟ = b) lim ⎜ ⎟=0 n →∞ n →∞ ⎝ n⎠ ⎝ n +1⎠ VÍ DỤ 12 Tìm giới hạn n a) ⎞ ⎛ 2n + ⎞ ⎛ = lim ⎜ + lim ⎜ ⎟ ⎟ n →∞ n + ⎝ ⎠ n→∞ ⎝ 2n + ⎠ ( n +1) n n +1 n ( n +1) ⎞ n +1 ⎛⎛ ⎞ = lim ⎜ ⎜ + = e2 = e ⎟ ⎟ n →∞ ⎜ ⎟ n + ⎠ ⎝⎝ ⎠ b) n2 ⎛ n −1⎞ −2 ⎞ ⎛ lim ⎜ = lim ⎜ + ⎟ ⎟ n →∞ n + n →∞ ⎝ n +1⎠ ⎝ ⎠ n +1 −2 n2 −2 n +1 = e −2 VÍ DỤ 13 Tìm giới hạn ⎛ n +5⎞ ⎟ ⎝n −7⎠ 2 n2 a) lim ⎜ n →∞ n2 12 ⎞ ⎛ = lim ⎜ + ⎟ n →∞ ⎝ n −7⎠ ⎛ n +1⎞ ⎞ ⎛ = lim ⎜ + ⎟ ⎟ n →∞ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠ b) lim ⎜ n →∞ 14 n −7 12 n2 12 n −7 n −1 n2 n −1 = e 24 = e2 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 1.2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ THỰC I Các khái niệm hàm số thực Định nghĩa (Định nghĩa hàm số) D , D * ⊆ , ánh xạ f từ D vào D* biến x ∈ D thành y = f(x) ∈ D* gọi hàm số biến số thực (gọi hàm số) D: tập xác định; VÍ DỤ Các hàm số sau: D*: tập giá trị + f: → x +f: y = f ( x) = 3x + π π + f :[− , ] → [−1,1] 2 x sin x +f: → x + a x (0 ≠ a > 1) → x y= 5x − x π π + f :[−1,1] → [− , ] 2 x arcsin x +f: + x → log a x Định nghĩa (Đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số tập điểm (x, f(x)) mặt phẳng toạ độ Oxy, tức G = {(x, f(x))/ x∈ D, f(x) ∈ D*} Nối tất điểm ta đường cong, kí hiệu: (C) Các cách cho hàm số * Cho dạng biểu thức đại số: ví dụ y = f(x) = 4x3 + x2 - 5x +3 * Cho dạng đồ thị: mặt phẳng Oxy cho đừơng cong (C ) từ đường cong ta xác định điểm M(x, y) biểu thức liên hệ y x hàm số cần tìm * Cho hàm số dạng bảng 15 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM X Y = f(x) -3 -2 -1 0 1 …… Hàm cần tìm có biểu thức f(x) = x2 Hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm đơn điệu a) Hàm chẵn ,x Hàm f : D → f ( x ) gọi hàm chẵn ⎧∀x, − x ∈ D ⇔⎨ ⎩ f ( x ) = f (− x ) Đồ thị hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng b) Hàm lẻ f :D→ , x Hàm f ( x ) gọi hàm lẻ ⎧∀x , − x ∈ D ⇔⎨ ⎩ f ( x ) = − f (− x ) Đồ thị hàm lẻ nhận gốc toạ độ O(0,0) làm tâm đối xứng c) Hàm tuần hoàn Hàm f : D → ; x f ( x ) gọi hàm tuần hoàn ⎧ ∃p ∈ + , ∀x ∈ D ⇔⎨ ⎩ f ( x + p) = f ( x ) Số p nhỏ có tính chất gọi chu kỳ hàm số Đồ thị hàm tuần hoàn lặp lại sau chu kỳ VÍ DỤ Hàm sinx, cosx hàm tuần hồn có chu kỳ π Hàm tanx, cotanx hàm tuần hồn có chu kỳ π d) Hàm đơn điệu - Hàm số f : D → ; gọi hàm số tăng D ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) 16 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Dấu “=” xảy số hữu hạn điểm Hàm số tăng cịn gọi hàm số đồng biến, có đồ thị lên từ trái qua phải - Hàm số f : D → gọi hàm số giảm D ∀x1 , x2 ∈ D, x1 < x2 f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) Dấu “=” xảy số hữu hạn điểm Hàm số giảm gọi hàm nghịch biến, có đồ thị xuống từ trái qua phải Hàm số tăng hàm số giảm gọi chung hàm đơn điệu Hàm số nhận giá trị gọi hàm (hay gọi hàm dừng) e) Hàm số hợp Cho hàm số f : X → Y g : Y → Z , hàm hợp f g xác định kí hiệu: go f : X → Y → Z x VÍ DỤ y = f (x) go f : x go f : g( y ) = g( f ( x )) = go f ( x ) f → g → [−1,1] sin ( x + ) x2 + f → g → [−1,1] x x4 + ln ( x + 3) f) Hàm số ngược đồ thị hàm số ngược Nếu hàm số f : X → Y x y = f(x) hàm đơn điệu ứng với phần tử y ∈ Y có phần tử x ∈ X cho y = f(x) Khi hàm số g : Y → X , y x gọi hàm số −1 ngược ánh xạ f, kí hiệu: f Vậy: f −1 (y) = x 17 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM VÍ DỤ a) y = 3x + x b) f: f −1 : → f: → → ⇒ + ⇒ y f −1 : x= y −1 + → y x = log3 y x y=3 - Đồ thị hàm số ngược f −1 (x) đối xứng với đồ thị hàm số f(x) qua tia phân giác thứ VÍ DỤ Đồ thị hàm y = ax y = logax đối xứng qua đường thẳng y = x x Đồ thị hàm y = x2 y = x đối xứng qua đường thẳng y = x h) Hàm bị chặn - Hàm f(x) gọi bị chặn số M tập X ∀x ∈ X f ( x ) ≤ M - Hàm f(x) gọi bị chặn số m tập X ∀x ∈ X f ( x ) ≥ m Hàm bị chặn gọi hàm bị chặn, hay hàm giới nội VÍ DỤ f(x) = sinx bị chặn -1 II Các hàm sơ cấp 1) Các hàm sơ cấp a) Hàm số hằng: y= c ; c số b) Hàm lũy thừa: y= xα ; α số thực Miền xác định hàm phụ thuộc vào α VÍ DỤ Hàm số y=x y= x2 xác định với x Hàm số y= 1/x xác định với x ≠ c) Hàm mũ: y= ax , điều kiện a>0 a ≠ có miền xác định ( −∞, +∞ ) ; miền giá trị ( 0, +∞ ) 18 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Chú ý: y= ex có miền xác định ( −∞, +∞ ) ; miền giá trị ( 0, +∞ ) d) Hàm logarit: y=logax có miền xác định với x>0; miền giá trị ( −∞, +∞ ) Chú ý: y=logex = lnx có miền xác định với x>0; miền giá trị ( −∞, +∞ ) e) Các hàm lượng giác: y= sin x; y= cos x; y= tg x ; y= cotg x f) Các hàm lượng giác ngược + y=arcsinx hàm ngược hàm sinx Hàm y= sin x với −π π ≤x≤ song ánh từ đoạn 2 −π π ≤x≤ lên đoạn [-1,1], có hàm ngược kí hiệu 2 x=arcsiny (nghĩa x số đo cung mà sin y) Với qui ước x đối số, y hàm số hàm ngược hàm y=sinx y= arcsinx có miền xác định đoạn [-1,1] Miền giá trị [- π π , ] Đồ thị hàm đối xứng với hàm y= sin x qua đường phân giác thứ Xem hình 1-7 + y= arccosx hàm ngược hàm cosx Tương tự, hàm y=arccosx có miền xác định [-1,1], miền giá trị [0, π ] hàm ngược hàm y= cos x với ≤ x ≤ π Xem hình 1.8 19 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN y y π π -1 − π x π -1 O x Hình 1-8 Hình 1-7 + y= arctg x , có miền xác định R, miền giá trị (- hàm ngược hàm y= tg x với miền xác định (- π π π π , 2 , ) ) Xem hình 1-9 y y π O π − Hình 1-9 π x π O Hình 1-10 + y= arccotg x , có miền xác định R, miền giá trị (0, π ) hàm ngược hàm y= cotg x với miền xác định (0, π ) Xem hình 1-10 2) Hàm số sơ cấp Các hàm số sơ cấp hàm tạo số hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia phép lấy hàm hợp hàm sơ cấp 20 x ... TỐN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN PHẦN GIẢI TÍCH TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ... Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Cơng Nghệ Thơng Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TOÁN CAO CẤP dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Cuốn...TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu