TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MÔN TOÁN 86 PHẦN II THỐNG KÊ TOÁN CHƯƠNG III MẪU NGẪU NHIÊN 3 1 TỔNG THỂ VÀ MẪU I Tổng thể Khi ta nghiên cứu các vấn đề kinh tế – xã hội, cũng như các vấn đề thuộc các lĩ[.]
BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM PHẦN II THỐNG KÊ TOÁN CHƯƠNG III MẪU NGẪU NHIÊN 3.1 TỔNG THỂ VÀ MẪU I Tổng thể Khi ta nghiên cứu vấn đề kinh tế – xã hội, vấn đề thuộc lĩnh vực khác, người ta phải khảo sát dấu hiệu Các dấu hiệu thể nhiều phần tử Tập hợp tất phần tử theo mục đích phạm vi vấn đề nghiên cứu gọi tập hợp hay tổng thể đám đơng Ví dụ: Tổng thể tập hợp sinh viên lớp, dấu hiệu ta khảo sát điểm thi môn Xác suất thống kê Giả sử tổng thể có N phần tử Gọi X* dấu hiệu mà ta khảo sát xi ( i = 1, k ) giá trị X* đo phần tử tổng thể ni ( i = 1, k ) tần số xi ; pi ( i = 1, k ) tần suất xi Ta lập bảng cấu tổng thể theo dấu hiệu X* Giá trị X* x1 x2 … xi … xk Tần suất (pi) p1 p2 … pi … pk * Để phân tích dấu hiệu X người ta tóm tắt bảng số đặc trưng sau Trung bình tổng thể ký hiệu m: k m = ∑ pi xi i =1 Phương sai tổng thể ký hiệu σ2 : k σ = ∑ ( xi − m ) pi i =1 86 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Độ lệch tiêu chuẩn tổng thể ký hiệu BỘ MƠN TỐN σ = σ2 Tỷ lệ tổng thể ký hiệu p Giả sử tổng thể có N phần tử, có M phần tử có tính chất M A Gọi p = tỷ lệ phần tử có tính chất A tổng thể N Ví dụ Một cơng ty có 40 cơng nhân, khảo sát dấu hiệu X suất lao động (số sản phẩm/ đơn vị thời gian) ta bảng số liệu sau Năng suất 50 55 60 65 70 75 Số công nhân 10 12 Nếu ta gọi người có suất lớn 65 người có suất cao tỷ lệ người có suất 22 = 55% cao p = 40 II Mẫu Giả sử tổng thể có N phần tử Khi nghiên cứu số lý do, ta nghiên cứu tất phần tử tập hợp mà lấy tập hợp gồm n phần tử để nghiên cứu Phương pháp gọi phương pháp mẫu.Các lý là: Phải chịu chi phí lớn tiền, thời gian, nhân lực phương tiện, … Có trường hợp điều tra làm phá hủy phần tử điều tra Ví dụ: Kiểm tra chất lượng đồ hộp Có trường hợp khơng xác định hết tồn N phần tử tổng thể Ví dụ Số sinh viên nghiện thuốc ký túc xá Từ tổng thể ta lấy n phần tử để nghiên cứu ta gọi mẫu cỡ n Từ phương pháp tốn học, phân tích nghiên cứu kỹ n phần tử ta đưa kết luận chung cho tồn tổng thể Do mẫu phải đảm bảo tính ngẫu nhiên phản ánh chất tổng thể 87 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MÔN TỐN Có nhiều cách lấy mẫu sau Lấy mẫu ngẫu nhiên Ta đánh số phần tử tổng thể từ đến N Để lấy mẫu n phần tử, ta dùng bảng số ngẫu nhiên dùng cách bốc thăm lấy đủ n phần tử Chọn mẫu giới Là phần tử tổng thể đưa vào mẫu cách khoảng xác định Ví dụ: Trên dây chuyền sản xuất, sau khoảng thời gian t lại lấy phần tử cho vào mẫu Chọn mẫu cách phân lớp (hoặc phân nhóm) Là chia tổng thể thành số lớp theo tiêu chí Sau lấy ngẫu nhiên lớp số phần tử đưa vào mẫu Lấy mẫu tiến hành theo hai phương thức: - Lấy mẫu có hoàn lại từ tổng thể lấy phần tử nghiên cứu, sau lại trả lại phần tử vào tập lấy phần tử nhiên cứu.Như phần tử lấy lần sau trùng với phần tử lần lấy trước đó.Cứ mẫu cỡ n - Lấy mẫu khơng hồn lại từ tổng thể lấy phần tử nghiên cứu, sau lại khơng trả lại phần tử vào tập lấy phần tử nhiên cứu.Như phần tử lấy lần sau trùng với phần tử lần lấy trước Cứ mẫu cỡ n Theo định lý giới hạn xác suất, người ta chứng minh rằng: số phần tử tổng thể đủ lớn coi hai cách lấy mẫu theo hai phương thức 88 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM 3.2 MƠ HÌNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG THỂ VÀ MẪU I Đại lượng ngẫu nhiên gốc Ta mơ hình hóa dấu hiệu X* đại lượng ngẫu nhiên Thật vậy, lấy ngẫu nhiên từ tổng thể phần tử gọi X giá trị dấu hiệu X* đo phần tử lấy Do giá trị X thay đổi từ phần tử qua phần tử khác tổng thể nên X đại lượng ngẫu nhiên hay cịn gọi đại lượng ngẫu nhiên đám đơng, có phân phối xác suất sau X x1 x2 … xi … xk P p1 P2 … pi … pk Đại lượng X gọi đại lượng ngẫu nhiên gốc Quy luật phân phối xác suất X gọi quy luật phân phối gốc Do đám đông lần ta xét dấu hiệu X, nên đặc trưng đám đông theo dấu hiệu X mang thông tin tổng hợp đám đông Ta có tham số đại lượng ngẫu nhiên gốc k Kì vọng tốn: E ( X ) = ∑ pi xi i =1 Như trung bình tổng thể kì vọng tốn đại lượng ngẫu nhiên X k Phương sai tổng thể: Var ( X ) = ∑ ( xi − E ( X ) ) pi i =1 Như phương sai Var(X) phương sai tổng thể Var(X)= σ2 II Mẫu ngẫu nhiên Từ tổng thể lấy n phần tử Gọi Xi giá trị dấu hiệu X* đo phần tử thứ i ( i = 1, n ) Các đại lượng Xi đại lượng ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với đại lượng X Một mẫu có kích thước n thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối 89 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN xác suất với X, gọi mẫu ngẫu nhiên Kí hiệu WX=(X1, X2, …, Xn) Khi đại lượng Xi nhận giá trị cụ thể xi, ta có mẫu cụ thể kí hiệu wx=(x1, x2,…, xn) Ví dụ Một lớp có 100 sinh viên tổng thể Để nghiên cứu kết điểm thi môn Xác suất thống kê ta lấy mẫu cỡ n=8 chưa có tên sinh viên cụ thể WX=(X1, X2, …, X8) mẫu ngẫu nhiên.Khi lấy ngẫu nhiên tên cụ thể sinh viên lớp ta có mẫu cụ thể Giả sử có điểm wx=(5, 8,3,7,9,6,8,10) Khi nghiên cứu lý thuyết ta xét mẫu tổng qt cịn làm tốn ta xét với mẫu cụ thể Ta nói rằng: xác suất nghiên cứu đám đơng nhờ ta hiểu mẫu, cịn thống kê nghiên cứu mẫu nhờ mà ta hiểu đám đông Phân phối thực nhiệm luật phân phối mẫu xét cho mẫu cụ thể III Sai số quan sát Trong việc lấy mẫu, nhiều nguyên nhân khác nhau, không tránh khỏi sai số số liệu mẫu Vì trước dùng thống kê để phân tích, xử lý ta cần loại bỏ sai số khơng đáng có mẫu cho Giả sử X kết quan sát a giá trị đại lượng quan sát Khi Z = x − a sai số Vì a chưa biết nên Z chưa biết Ta phân loại sai số sau Sai số thô Là sai số vi phạm điều kiện việc lấy mẫu sơ suất người thực hiện, chẳng hạn người kiểm tra cố ý chọn sản phẩm tốt để kiểm tra đánh giá chất lượng, kỹ thuật viên ghi nhầm kết thu Sai số hệ thống Là sai số không điều chỉnh xác dụng cụ khơng thống với cách xác định đại lượng đó, dẫn đến loạt kết quan sát lệch tỷ lệ định 90 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN Sai số ngẫu nhiên Là sai số phát sinh số lớn nguyên nhân mà tác dụng chúng nhỏ đến mức khơng thể tách riêng tính riêng biệt cho nguyên nhân Trong loại sai số trên, sai số thô sai số hệ thống cần phát sớm khử bỏ ngay, sai số ngẫu nhiên khử bỏ lần quan sát Việc khử bỏ sai số thô sai số hệ thống thực tốt ta phát chúng trình thu thập mẫu Người thu nhập mẫu cảm thấy khác thường số liệu đó, tự họ kiểm tra câu trả lời xác dễ tìm Cịn nhà thống kê phát nghi ngờ câu trả lời khó tìm ra, sai số hệ thống Luật phân phối sai số ngẫu nhiên Sau bỏ sai số thơ sai số hệ thống cịn sai số ngẫu nhiên Z=X- a thơng thường Z ∼ N (0, σ ) với σ độ xác dụng cụ đo đạc Ta có b a P ( a < Z < b) = Φ ( ) − Φ ( ) σ σ P( Z < kσ ) = Φ ( k ) − Φ ( −k ) = 2Φ ( k ) Khi k=1 P( Z < σ ) = 2Φ (1) ≈ 0, 68 Khi k=2 P( Z < 2σ ) = 2Φ (2) ≈ 0,95 Khi k=3 P( Z < 3σ ) = 2Φ (3) ≈ 0,9974 suy P( Z > 3σ ) = − 0, 9974 ≈ 0,0026 Xác suất 0,0026 bé, thực tế ta xem sai số ngẫu nhiên không vượt q giới hạn ± 3σ 91 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM 3.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU I Các tham số đặc trưng mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên kí hiệu WX=(X1, X2, …, Xn) Trung bình mẫu ngẫu nhiên n X = ∑ Xi n i =1 Các đại lượng Xi đại lượng ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với đại lượng X nên X đại lượng ngẫu nhiên Giả sử E(X) =a Var(X)= σ E(X i ) = a ; Var(X i ) = σ Ta chứng minh a) Kỳ vọng trung bình mẫu ngẫu nhiên: E( X ) = a b) Phương sai trung bình mẫu ngẫu nhiên: Var(X) = σ2 n Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) ta tính giá trị X ký hiệu x Phương sai mẫu ngẫu nhiên Sx = n Xi − X ∑ n i =1 ( ) Các đại lượng Xi đại lượng ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với đại lượng X nên Sx đại lượng ngẫu nhiên n −1 Kỳ vọng phương sai mẫu ngẫu nhiên E(S ) = σ n Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) ta tính giá trị Sx ký hiệu s 92 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM n ^2 S Phương sai mẫu ngẫu nhiên có hiệu chỉnh S = n −1 Cách khác S = ⎡ n ⎤ X i − n( X ) ⎥ ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ Kỳ vọng phương sai mẫu có hiệu chỉnh E(S2 ) = σ2 Độ lệch chuẩn mẫu ký hiệu S = S Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) ta tính giá trị s Hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên ký hiệu Fn F Giả sử đám đông chia thành loại phần tử: phần tử có tính chất A phần tử khơng có tính chất A Tỉ lệ phần tử có tính chất A đám đông chưa biết Lấy mẫu cỡ n Gọi V số phần tử đánh dấu mẫu W Do mẫu ngẫu v nhiên nên V đại lượng ngẫu nhiên Khi F = gọi n hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên Trên đám đông xét đại lượng ngẫu nhiên X phần tử đám đông đánh dấu phần tử đám đông không đánh dấu Khi p tỷ lệ phần tử đánh dấu đám đơng X có bảng phân phối sau X P q p V = X1 + + X n F = v n = ∑ x i suy hệ số tỷ lệ n n i =1 mẫu ngẫu nhiên F trung bình mẫu ngẫu nhiên X Do nói, hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F trường hợp riêng trung bình mẫu ngẫu nhiên X Kỳ vọng hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F: E(F)= p. Phương sai hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F: D( F ) = pq n 93 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Từ mẫu cỡ n cụ thể ta tính giá trị F ký hiệu Với n A tổng số f= nA n phần tử có tính chất A mẫu cỡ n cụ thể Chú ý: Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) Tính giá trị thống kê mẫu * Khi X nhận giá trị xi với số lần ni =1 Ta có x= n ∑ xi ; n i =1 ∧ sx = ( ) n xi − x ; ∑ n i=1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh Tính trực tiếp ⎡ n ⎤ s = xi − n( x ) ⎥ ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ k * Khi X nhận giá trị xi với số lần ni ta có ∑n i =1 k x = ∑ ni xi ; n i =1 ∧ sx i = n ; Thì ( ) k = ∑ nixi2 − x n i=1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh ⎡ k ⎤ ni xi2 − n ( x ) ⎥ Tính trực tiếp s = ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ II Cách tính đặc trưng mẫu 1.Trường hợp X nhận giá trị xi với số lần ni mẫu cỡ n nhỏ Ví dụ Điều tra suất lúa diện tích 100ha trồng lúa vùng, ta thu bảng số liệu sau 94 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Năng suất(tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích (ha) 10 20 30 15 10 10 Tính giá trị trung bình phương sai mẫu hiệu chỉnh suất lúa BÀI GIẢI Ta lập bảng tính sau: xi ni xi ni xi2 ni 41 10 410 16.810 44 20 880 38.720 45 30 1.350 60.750 46 15 690 31.740 48 10 480 23.040 52 10 520 27.040 54 270 14.580 Tổng n = 100 4.600 212.680 Từ kết tính bảng ta có: Năng suất trung bình x = k 4600 xi ni = = 46 (tạ/ha) ∑ n i =1 100 Phương sai suất sx = () k ∑ xi ni − x n i =1 = 212680 − ( 46 ) = 10,8 100 Phương sai mẫu hiệu chỉnh S = n ^2 100 S = 10,8 = 10,9 n −1 100 − Cách khác ⎡ k ⎤ ⎡⎣ 212680 − 100.(46)2 ⎤⎦ ≈ 10,9 s = ni xi2 − n( x )2 ⎥ = ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ 99 95 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM 2.Trường hợp X nhận giá trị xi với số lần ni cỡ mẫu n lớn Khi ta chia thành k khoảng Ta đếm giá trị rơi vào khoảng thứ i ni Ví dụ Cho bảng số liệu sau xi – xi+1 ni xi – xi+1 ni – 12 143 44 – 52 12 – 20 75 52 – 60 20 – 28 53 60 – 68 28 – 36 27 68 – 76 36 – 44 14 76 – 80 Tính giá trị trung bình mẫu phương sai mẫu BÀI GIẢI x + xi Đặt x io = i +1 , ta lập bảng tính tốn sau 0 ni ( xi )2 xi – xi+1 ni xi – 12 143 1144 9152 12 – 20 75 16 1200 19.200 20 – 28 53 24 1272 30.528 28 – 36 27 32 864 27.648 36 – 44 14 40 560 22.400 44 – 52 48 432 20.736 52 – 60 56 280 15.680 60 – 68 64 256 16.384 68 – 76 72 216 15.552 76 – 80 78 234 18.252 Tổng n = 336 6458 195.532 96 ni xi BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM k n i x i0 = 19,22 ∑ n i =1 Trung bình mẫu x= Phương sai mẫu k s = ∑ ( xi ) ni − x n i =1 () x Phương sai mẫu hiệu chỉnh S = = 211,93 ⎡ k ⎤ ni ( xi0 ) − n( x) ⎥ = 213 ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ Cách khác Nếu số liệu lớn sử dụng cơng thức đổi biến cho đơn giản Chọn x0 xi ứng với max ni h độ rộng khoảng x io − x o x i +1 + x i o ; ui = ; xi = h Ta tính lại ví dụ phương pháp đổi biến Ta chọn xo = (ứng với max ni = 143 ); ui = xio − xo xio − = h h = Lập bảng tính sau xi –xi+1 x io ni ui ni ui ni ui2 – 12 12 – 20 20 – 28 28 – 36 36 – 44 44 – 52 52 – 60 60 – 68 68 – 76 76 – 80 Tổng 16 24 32 40 48 56 64 72 78 143 75 53 27 14 3 n=336 8,75 75 106 81 56 45 30 28 24 26,25 471,25 75 212 243 224 225 180 196 192 229,6875 1776,6875 97 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM k với u = ∑ n i u i ; n i =1 BỘ MƠN TỐN x = h.u + x o ; ⎡1 k 2⎤ n ^2 2 S S = h ⎢ ∑ niui − u ⎥ ; S = n −1 ⎢⎣ n i =1 ⎥⎦ () Ta có u = k 471, 25 =1,4025, x = h.u + x o = niui = ∑ n i =1 336 19,22 ⎡1 k 2⎤ s = h ⎢ ∑ n i u i2 − u ⎥ = 211,93 ; S = 213 ⎢⎣ n i =1 ⎥⎦ () III Luật số lớn định lý giới hạn trung tâm Hội tụ theo xác suất Cho dãy đại lượng ngẫu nhiên (Xn) đại lượng ngẫu nhiên X Chúng ta nói Xn hội tụ X theo xác suất, ký hiệu P Xn ⎯ ⎯→ X , với ε > , xác suất biến cố ( X n − X ≥ ε ) hội tụ n → ∞ Nghĩa lim P ( X n − X ≥ ε ) = n →∞ Hội tụ với xác suất Cho dãy đại lượng ngẫu nhiên (Xn) đại lượng ngẫu nhiên X Chúng ta nói Xn hội tụ X với xác suất (còn gọi hội tụ hầu chắn), ký hiệu P( X n → X ) = , biến cố ( X n → X ) biến cố chắn Nếu Xn hội tụ X hầu chắn Xn hội tụ theo xác suất X Định lý Bernoulli Xét phép thử T, gọi p xác suất biến cố A xuất sau lần thực phép thử T Thực phép thử n lần độc lập, gọi Xn số lần biến cố A xuất X Khi tần suất Vn = n A (là dãy đại lượng ngẫu n nhiên) hội tụ theo xác suất xác suất p biến cố A, n → ∞ , nghĩa là: lim P v n − p ≥ ε = n →∞ 98 ( ) BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Định lý Lindeberg - Levy Giả sử X , X , … dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối với đại lượng ngẫu nhiên X, với kỳ vọng μ phương sai σ Gọi X n trung bình cộng n đại lượng ngẫu nhiên dãy nói trên, nghĩa X + X2 + + Xn Xn = n Ta có X n dãy đại lượng ngẫu nhiên X − E(Xn ) Ký hiệu X*n = n đại lượng ngẫu nhiên trung tâm Var(X n ) chuẩn hóa X n Khi với x cố định, P ⎜⎛ X*n < x ⎟⎞ → 2π ⎝ ⎠ x −t2 ∫ e dt n → ∞ −∞ * n Từ suy ra, với n lớn, xem X có phân phối chuẩn tắc 2⎞ ⎛ N(0,1) X n có phân phối chuẩn N ⎜ μ, σ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ Định lý Lindeberg – Levy sở lý luận sau Người ta chứng minh 1) X n → μ n → ∞ 2) ^2 Sn → σ2 , S2n → σ2 n → ∞ 3) Fn → p n → ∞ Do đến chương ước lượng người ta dùng: - X để ước lượng μ - S2 để ước lượng σ F để ước lượng p Luật phân phối xác suất đặc trưng mẫu ngẫu nhiên Bổ đề Cho đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, … độc lập, có phân phối với đại lượng ngẫu nhiên X Giả sử E(X) = μ Var(X)= σ 99 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ( ) 2 n n n S Đặt X = ∑ X i ; S = ∑ X i − X ;S2 = n i =1 n i =1 n −1 Chúng ta có X S độc lập Khi 2⎞ ⎛ X ~ N ⎜ μ, σ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ (X − μ) nS ~ χ n2−1 (phân phối χ (n − 1) bậc tự do) σ n ~Tn-1 (phân phối Student (n-1) bậc tự do) S Từ bổ đề này, định lý Lindeberg – Levy ta suy Từ suy a) Nếu X có phân phối chuẩn N( μ , σ ) thì ( ⎛ σ2 ⎞ X − μ X ∼ N ⎜ a, ⎟ ; ⎜ n ⎟ σ ⎝ ⎠ ) n (X − μ) ∼ N(0,1) ; S n ∼ Tn −1 b) Nếu X có phân phối n lớn ( ) X−μ n ⎛ σ2 ⎞ ~ N(0,1) X ∼ N ⎜ μ, ⎟ ; σ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ c) Hệ số tỷ lệ F ~ B(n,p) , n lớn ( F − p) n ~ N(0,1) F ~ N(p, pq ); pq n Có thể xem F trường hợp riêng X X có phân phối 0-1, pq Do n lớn F có phân phối chuẩn F ~ N(p, ) n Trong thực tế, n > 30 xem n lớn nên áp dụng quy tắc Trong trường hợp khơng biết σ thay σ s2, s2 phương sai mẫu có hiệu chỉnh lấy mẫu có kích thước n đủ lớn 100 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BÀI TẬP CHƯƠNG III 3.1 Đo đường kính chi tiết máy máy tiện tự động sản xuất, ta ghi nhận số liệu sau xi 12,00 12,05 12,10 12,15 12,20 12,25 12,30 12,35 12,40 ni 10 Với ni số trường hợp tính theo giá trị X (mm) Tính trung bình mẫu x độ lệch chuẩn sx mẫu Đáp số: n = 53 ; trung bình x = 12, 2066 ; độ lệch sx = 0,1029 3.2 Đem cân số trái xoài vừa thu hoạch, ta kết sau xi (gam) 200-210 210-220 220-230 230-240 240-250 Số trái:ni 12 17 20 18 15 Tính trung bình mẫu x độ lệch chuẩn sx mẫu Đáp số: n = 82; x = 225, 8537; sx = 13, 2592 3.3 Người ta đo ion Na + số người ghi nhận lại kết sau: 129; 132; 140; 141; 138; 143; 133; 137; 140; 143; 138; 140; Tính trung bình mẫu x độ lệch chuẩn sx mẫu Đáp số: n = 12; x = 137, 8333; sx = 4, 4073; s2x = 19, 4242 3.4 Ở cửa hàng bán xăng dầu, theo dõi nhu cầu mặt hàng xăng số ngày, ta có kết bảng sau Số bán (lít) Số ngày Số bán (lít) Số ngày 20 – 30 70 – 80 25 30 – 40 80 – 90 17 40 – 50 30 90 – 100 50 – 60 45 >100 60 – 70 20 Tính trung bình mẫu x độ lệch chuẩn sx mẫu 101 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Đáp số: n = 161; x = 62, 5776; sx = 17, 9156 3.5 Khảo sát thu nhập X (triệu đồng/tháng) số người, ta có bảng số liệu sau: Thu nhập Số người 0–4 4–8 12 – 12 20 12 – 16 30 16 – 20 16 20 – 24 10 Tính trung bình mẫu x độ lệch chuẩn sx mẫu Đáp số: n = 96; x = 12, 667; sx = 5, 587 3.6 Cân thử 100 trái nơng trường, ta có kết sau Trọng lượng (g) 35 – 55 55 – 75 75 – 95 95 – 115 Số trái 10 25 35 Trọng lượng (g) 115 – 135 135 – 155 155 – 175 Số trái 20 Tính trung bình mẫu x độ lệch chuẩn sx mẫu Đáp số: n = 100; x = 101, 2; sx = 22, 9013 3.7 Đo lượng cholesterol (đơn vị mg%) cho số người, ta X(mg%) Số người 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 a) Tính trung bình mẫu độ lệch chuẩn mẫu b) Một mẫu thứ nhì Y có 30 người cho y =180 mg% , s y =16 mg% Nhập hai mẫu lại, tính trung bình độ lệch chuẩn mẫu nhập 102 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN CHƯƠNG IV ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên X đặc trưng cho tổng thể như: kì vọng, phương sai, tỷ lệ … sử dụng nhiều phân tích kinh tế-xã hội lĩnh vực khoa học kỹ thuật Nhưng số đặc trưng thường chưa biết Vì vấn đề đặt ta ước lượng chúng phương pháp mẫu Cho đại lượng ngẫu nhiên X biết chưa biết quy luật phân phối xác suất gọi θ tham số đại lượng ngẫu nhiên X Hãy ước lượng θ phương pháp mẫu Có phương pháp ước lượng θ: - Dùng số để ước lượng tham số θ ta gọi ước lượng điểm - Chỉ θ rơi vào khoảng (g1, g2) ta gọi phương pháp ước lượng khoảng Ta xét phương pháp, phương pháp xuất phát từ sở hợp lý để tìm ước lượng θ chứng minh chặt chẽ 4.1 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM Các đặc trưng số đại lượng ngẫu nhiên X đặc trưng cho tổng thể thông thường chưa biết, ta ước lượng chúng phương pháp mẫu Từ mẫu ta tính số dùng số để ước lượng tham số cần tìm Ta gọi ước lượng điểm I Phương pháp hàm ước lượng Mô tả phương pháp Gọi θ tham số đại lượng ngẫu nhiên X Từ X lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n : WX=(X1, X2, …, Xn) Chọn G=f(X1, X2, …, Xn) G hàm đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, …, Xn nên G đại lượng ngẫu nhiên G gọi hàm ước lượng θ Trong thực tế 103 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ta thường chọn hàm ước lượng sau: - Ước lượng điểm cho trung bình đám đơng Người ta thường chọn n G= X = ∑ Xi n i =1 - Ước lượng điểm cho phương sai đám đông Người ta thường chọn G= S = ⎡ n ⎤ X i − n( X ) ⎥ ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ - Ước lượng điểm cho tỷ lệ đám đông chọn tỷ lệ mẫu f Các tiêu chuẩn lựa chọn hàm ước lượng Ta thấy có vơ số cách chọn dạng hàm f làm hàm ước lượng θ Vì cần có tiêu chuẩn để đánh giá chất lượng ước lượng Từ lựa chọn hàm ước lượng tốt theo nghĩa Sau số tiêu chuẩn a) Ước lượng không chệch G ước lượng không chệch θ E(G)= θ Ý nghĩa: (G - θ ) sai số ước lượng, mà theo tính chất kỳ vọng ta có: E (G-θ )= E(G) - E(θ)= θ−θ =0 Như ước lượng không chệch ước lượng có sai số trung bình khơng Tức giá trị G khơng bị lệch phía, dùng G để ước lượng θ khơng mắc phải sai số hệ thống Chú ý: G ước lượng khơng chệch θ khơng có nghĩa giá trị G trùng khít với θ mà có nghĩa là: trung bình giá trị G θ, giá trị G sai khác nhiều so với θ Trong thưc tế người ta thường chọn sau * Ước lượng điểm cho trung bình đám đơng n G= X = ∑ Xi E(X) = a n i =1 Nên dùng trung bình mẫu X ước lượng khơng chệch cho trung bình đám đơng 104 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM *Ước lượng điểm cho phương sai đám đông G= S = ⎡ n ⎤ X i − n( X ) ⎥ E ( S ) = σ ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ Nên dùng phương sai mẫu có hiệu chỉnh s2 ước lượng khơng chệch cho phương sai đám đông * Ước lượng điểm cho tỷ lệ đám đơng E(f)=p nên dùng tỷ lệ mẫu f ước lượng không chệch cho tỷ lệ đám đơng Ví dụ Cân thử 100 trái nơng trường, ta có kết sau Trọng lượng (g) 35 – 55 55 – 75 75 – 95 95 – 115 Số trái 10 25 35 Trọng lượng (g) 115 – 135 135 – 155 155 – 175 Số trái 20 a) Tìm ước lượng khơng chệch cho trọng lượng trung bình trái nơng trường b) Tìm ước lượng khơng chệch cho đại lượng biểu thị độ đồng trái nông trường c) Nếu xem trái có trọng lượng khơng q 95g trái loại II Tìm ước lượng khơng chệch cho tỷ lệ trái loại II nông trường BÀI GIẢI x= s2 = k 10120 nixi = = 101,2 ∑ n i =1 100 2⎞ ⎛ k xi ni − n x ⎟ = (1080700 − 100(101, 2) ) ∑ ⎜ n − ⎝ i =1 ⎠ 99 () s = 571,2727 ⇒ s2 ≈ 23,9013 a) Theo đề toán ước lượng điểm cho trung bình đám đơng Ta biết trung bình mẫu ước lượng không chệch cho 105 ... ni ( xi )2 xi – xi+1 ni xi – 12 143 1144 91 52 12 – 20 75 16 120 0 19 .20 0 20 – 28 53 24 127 2 30. 528 28 – 36 27 32 864 27 .648 36 – 44 14 40 560 22 .400 44 – 52 48 4 32 20.736 52 – 60 56 28 0 15.680... ui2 – 12 12 – 20 20 – 28 28 – 36 36 – 44 44 – 52 52 – 60 60 – 68 68 – 76 76 – 80 Tổng 16 24 32 40 48 56 64 72 78 143 75 53 27 14 3 n=336 8,75 75 106 81 56 45 30 28 24 26 ,25 471 ,25 75 21 2 24 3 22 4... ta kết sau xi (gam) 20 0 -21 0 21 0 -22 0 22 0 -23 0 23 0 -24 0 24 0 -25 0 Số trái:ni 12 17 20 18 15 Tính trung bình mẫu x độ lệch chuẩn sx mẫu Đáp số: n = 82; x = 22 5, 8537; sx = 13, 25 92 3.3 Người ta đo ion