BOÄ MOÂN TOAÙN TRÖÔØNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XUÂN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ )[.]
BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TOÁN CAO CẤP A2 dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Cuốn sách giảng viên thuộc mơn Tốn biên soạn, sở đề cương mơn học theo tín Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt Nội dung sách phần Đại số tuyến tính Tính gần đúng, giải hầu hết vấn đề trọng yếu mơn học, giúp sinh viên có tảng tốn để tiếp cận mơn học khác chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế Phần lý thuyết trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng Ngoài ra, cịn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau chương có tập để sinh viên rèn luyện Đây tài liệu sử dụng thức trường giúp sinh viên học tập thi kết thúc học phần có hiệu tốt theo chương trình đào tạo tín Trong q trình giảng dạy, giáo trình cập nhật, chỉnh lý để ngày hoàn thiện đầy đủ Do khả có hạn, thời gian ngắn lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên mơn Tốn mong nhận ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc ngồi trường Các ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc xin gửi chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Cơng nghệ Thơng tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN MỤC LỤC PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 2 2 3.1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I SỐ PHỨC TẬP HỢP ANH XẠ TẬP HỢP SỐ THỰC SỐ PHỨC BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I Định nghĩa ma trận II Phân loại ma trận III Các phép toán ma trận IV Các phép biến đổi sơ cấp ma trận ĐỊNH THỨC I Định nghĩa định thức ma trận vng II Tính chất định thức III Khai triển định thức theo hàng cột IV Cách tính định thức phép biến đổi sơ cấp MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I Định nghĩa II Các định lý III Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo HẠNG CỦA MA TRẬN I Định nghĩa II Phương pháp tìm hạng ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính Trang 7 12 14 16 22 23 23 30 37 42 45 49 49 TRƯỜNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 BỘ MÔN TOÁN II Định lí tồn nghiệm Kronecker-Capelli CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Phương pháp Cramer II Phuơng pháp Gauss-Jordan III Hệ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV MỘT SỐ THUẬT TỐN TÍNH GẦN ĐÚNG LÝ THUYẾT SAI SỐ I Số gần sai số II.Sai số tính tốn TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ I.Nghiệm khoảng phân ly nghiệm II.Một số phương pháp xấp xỉ nghiệm TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I.Phương pháp hình thang II Phương pháp Simpson BÀI TẬP CHƯƠNG IV ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 61 65 68 68 75 84 89 92 93 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN CHƯƠNG I SỐ PHỨC Tập R phong phú Nhưng phương trình x2 + = khơng có nghiệm số thực Vì vậy, người ta xây dựng thêm số ,gọi số phức 1.1 TẬP HỢP I Khái niệm tập hợp Khái niệm Tập hợp khái niệm nguyên thủy tốn học, người ta khơng định nghĩa khái niệm tập hợp qua khái niệm khác đơn giản Để kí hiệu tập hợp người ta dùng chữ in: A,B… Một vật, đối tượng nằm tập hợp gọi phần tử tập hợp, thường ký hiệu chữ thường: a,b,c,… Để x phần tử tập hợp E, ta viết x ∈ E Để x phần tử không thuộc tập hợp E, ta viết x ∉E x ∉ E Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp trống ( rỗng) kí hiệu ∅ Các phương pháp biểu diễn tập hợp : a Biểu diễn theo kiểu liệt kê: Liệt kê tất phần tử tập hợp dấu ngoặc nhọn, phần tử viết lần BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Ví dụ : {2,3, 4,7} b Biểu diễn theo thuộc tính đặc trưng : Chỉ đặc tính tập hợp Ví dụ : Tập hợp { } A A = x x + 2.x + = Hình 1-1 c Biểu diễn theo giản đồ VENN: Minh họa tập hợp miền phẳng giới hạn đường cong hay đường gấp khúc kín Xem hình 1-1 Quan hệ tập hợp a) Tập : Cho tập hợp E, F Nếu phần tử E phần tử F ta nói E bao hàm F hay E tập F F E Hình 1-2 Kí hiệu E ⊂ F Minh họa hình học xem hình 1-2 b) Tập hợp nhau: Hai tập E F gọi phần tử E phần tử F ngược lại.Kí hiệu : E = F Một số tập hợp thường gặp N : tập hợp số tự nhiên BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Z : tập hợp số nguyên Q : tập hợp số hữu tỉ R : tập hợp số thực II Các phép toán tập hợp Phép hợp : B Hợp tập hợp A B tập hợp phần tử thuộc A thuộc B, A kí hiệu: A ∪ B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B} Hình 1-3 Minh họa hình học xem hình 1-3 Phép giao Giao hai tập hợp A B tập hợp tất phần tử thuộc phần tử chung A B, A B Kíhiệu: A ∩ B= { x x ∈ A ∧ x ∈ B} Minh họa hình học xem hình 1-4 Các tính chất bản: - Tính chất : Tính giao hoán : A∪ B = B∪ A ; - A ∩ B= B ∩ A Tính chất : Tính kết hợp : A ∪ B ∪ C = A ∪ (B ∪ C); A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM - Tính chất : Tính phân bố : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Phép hiệu hai tập hợp Cho tập A B Tập hợp gồm phần tử A không thuộc B gọi hiệu tập A với tập B Ký hiệu A\B= { x : x ∈ A x ∉ B} Minh họa hình học xem hình 1-5 Phần bù Tập hợp A ⊂ B, ta gọi tập B\A tập bù tập A tập B A B Hình 1-5 Ký hiệu CBA Hay A Minh họa hình học xem hình 1-6 B A Hình 1-6 10 A TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN III Khái niệm kí hiệu lơgic Mệnh đề tốn học: khẳng định tốn học sai Để diễn tả lập luận toán học cách thuận lợi người ta sủ dụng kí hiệu logic Các kí hiệu Kí hiệu: A ⇒ B, nghĩa mệnh đề A suy mệnh đề B Kí hiệu : A ⇔ B, nghĩa mệnh đề A suy mệnh đề B ngược lại Hay nói cách khác A B hai mệnh đề tương đương Kí hiệu : = hiểu định nghĩa Kí hiệu ∀ x ∈ A: α nghĩa với x thuộc A mệnh đề α đươc thỏa mãn Kí hiệu ∃ x ∈ A: α nghĩa tồn phần tử x thuộc A mệnh đề α thỏa mãn Kí hiệu x : nghĩa “khơng x ” Ta có : ∀x ∈ E : α ⇔ ∃x ∈ E : α ∀y ∈ E : β ⇔ ∃y ∈ E : β 11 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 1.2 ÁNH XẠ Mở đầu: Ánh xạ khái niệm quan trọng toán học Ánh xạ dùng để khảo sát tính chất, mối quan hệ tập hợp phần tử I.Các định nghĩa Định nghĩa ánh xạ: Anh xạ từ tập E vào tập F luật tương ứng cho với phần tử x∈E có phần tử tương ứng xác định y ∈ F Kí hiệu : f: E F ; E tập nguồn ; F tập đích Phần tử y ứng với x gọi ảnh x qua f kí hiệu y=f(x) hay x y=f(x); x y Tập ảnh : f(E) = { y y = f ( x); x ∈ E} VÍ DỤ : E = F = R; x ∈ R liên hệ với y ∈ R y=x3 ánh R Xác định y=x3 xạ f: R R : xác định y=x2 VÍ DỤ : f: R { } VÍ DỤ : E= x x ∈ R : x ≤ ; F=2 ; x ∈ E liên hệ với y ∈ R theo qui luật y=cung có sin x Là ánh xạ f: E Chẳng hạn x=1/2 ∈ E cung π R + k 2.π 5.π + k 2.π có sin 1/2 Đơn ánh f:E F gọi đơn ánh f(x) = f(x’) , suy x = x’ Nghĩa phần tử y ∈ F ảnh nhiều phần tử x ∈ E Hay phương trình f(x)=y; y ∈ F với ẩn x có nhiều nghiệm với y 12 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM VÍ DỤ: f : R BỘ MÔN TOÁN R, xác định y=x3 đơn ánh Giải phương trình x2 = y ; y ∈R có nghiệm khác y>0 Tồn ánh f:E F gọi toàn ánh f(E)=F Nghĩa phần tử y∈F ảnh phần tử x∈E Hay phương trình f(x)=y; y∈F có nghiệm với y∈F R, xac định y=x3 tồn ánh cịn f:R R xác VÍ DỤ : f : R định y=x khơng phải tồn ánh phương trình x2=y có nghiệm y ≥ Song ánh E F gọi song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Nghĩa phần tử y∈F ảnh phần tử x∈E Hay phương trình f(x)=y; có nghiệm VÍ DỤ: f : R R, xác định y = 3x + song ánh 5.Anh xạ ngược f: E → F song ánh y ∈ F có phần tử x ∈ E cho f(x)=y Khi ánh xạ từ F → E gọi ánh xạ ngược f.Kí hiệu f -1 Vậy f-1 : F → E ⇒ f(x) = y ⇒ f-1(y) = x ; x∈E; y∈F VÍ DỤ: f: R → R xác định y=x3 ⇒ f-1 : R → R xác định y∈R x= y ∈R II Tích hai ánh xa (ánh xa hợp) g:E → F ; f:F → G ; h: E → G xác định h(x) = f(g(x)) với x thuộc E gọi ánh xạ tích Kí hiệu h = f.g Chú ý : f.g ≠ g.f 13 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 1.3 TẬP HỢP SỐ THỰC I Khái niệm số hữu tỉ – vô tỉ số thực Số hữu tỉ tất số viết dạng tỉ số số ngun kể số khơng VÍ DỤ : 1/3 ; 6/7; 0,18 … Số hữu tỉ viết thành số thập phân hữu hạn vơ hạn tuần hồn VÍ DỤ: = 0, 75 4 = 1,33 Số vơ tỉ Một số viết thành phân số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vơ tỉ VÍ DỤ : π = 3,1415926 ; = 1, 414 Suy : số vô tỉ tỉ số hai số nguyên Số thực số hữu tỉ số vô tỉ hợp lại Ký hiệu R : tập số thực II Các định lí: Định lí : Tập Q đếm Định lí : Tập hợp tất phân số thập phân vô hạn không đếm Hệ : Tập R không đếm III Khoảng số thực Cho a, b, ∈ R, a < b ta định nghĩa 14 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN [a,b] = {x∈ R : a ≤ x ≤ b } (a,b) = {x∈ R : a < x < b } [a,b) = {x∈ R : a ≤ x < b } (a,b] = {x∈ R : a < x ≤ b } Cho x∈ R ε > Ta gọi Bε (x) = (x - ε, x + ε) ε - lân cận điểm x Tập E ∈ R gọi mở ∀x∈E, ∃ε > : Bε (x) ⊂E Với a, b ∈R, a < b, ta có (a, b) tập mở IV Trị tuyệt đối số thực Định nghĩa ⎧a a≥0 a =⎨ −a < ⎩−a Các tính chấ: Tính chất : Nếu x < a ⇔ -a < x < a Tính chất : Nếu x >b ⇔ x > b x< -b Tính chất : a+b ≤ a + b Tính chất : a-b ≤ a − b Tính chất : a.b ≤ a b Tính chất : a b = a b 15 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 1.4 SỐ PHỨC I Định nghĩa số phức 1.Định nghĩa :(Dạng hình họccủa số phức) Số phức cặp số thực (a,b) a∈ R thành phần thứ b∈ R thành phần thứ hai Tập tất số phức kí hiệu C 2.Định nghĩa (Về hai số phức) ∀(a, b) ∈ C ∀(a ', b ') ∈ C : (a,b) = (a’,b’) ⇔ a=a’ ; b=b’ 3.Định nghĩa : Dạng tắc số phức (Dạng đại số số phức) z= a+b.i ; i2 = -1 ; a,b ∈ R a : gọi phần thực ; a= Re (z) b: gọi phần ảo ; b= im(z) i :đơn vị ảo 4.Định nghĩa : Số phức liên hợp z=a+b.i số phức z = a-b.i II Biểu diễn số phức mặt phẳng Cho z= a+b.i Trên mặt phẳng Oxy điểm A(a,b) Nếu b = ⇒ A ∈ Ox ⇒ z = a:số thực Nếu a= ⇒ A ∈ Oy ⇒ z = b.i:số ảo Nối A với O ta OA biểu diễn hình học số phức cho III Dạng đại số số phức Phép cộng trừ 16 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOAÙN Cho Z1 = a1 + i b1 ; Z2 = a2 + i b2 Z1 + Z2 = ( a1 + a2 ) +i ( b1 + b2 ) Z1-Z2 = (a1- a2) + (b1-b2) i Đặc biệt ( a + i.b ) +(a-i.b) = 2.a VÍ DỤ: (3 +2.i) +(5 – 4.i) = (3+5) + (2-4).i=8-2i VÍ DỤ: (3 +2.i) -(5 – 4.i) = (3-5) + (2+4).i.=-2+6i VÍ DỤ: (3 +2.i) +(3 -2.i) = 2.3=6 Phép nhân số phức: Cho Z1 = a1 + i b1 ; Z2 = a2 + i b2 Z1.Z2 = (a1.a2 – b1.b2) +(b1.a2+a1.b2).i Đặc biệt : ( a+ i.b ).(a-i.b) = a2+b2 VÍ DỤ: (3 +2.i) (5 – 4.i) = (3.5-2(-4) )+ (2.5+3.(-4)).i=23-2i VÍ DỤ: (3 +2.i) (3 – 2.i) = 9+ 4=13 Phép chia số phức Z1 a1 + i.b1 ( a1 + i.b1 ) ( a2 − i.b2 ) a1.a2 − b1.b2 a2 b1 + a1.b2 = = = + i Z a2 + i.b2 a22 + b22 a22 + b22 a22 + b22 + 3.i (2 + 3.i )(4 + 5.i) 22 VÍ DỤ: = = = − + i − 5.i (4 − 5.i )(4 + 5.i ) 41 41 4.Phép lũy thừa: zn = z.z z.z n lan VÍ DỤ TỔNG QT : Tính S= (2.i + 1) − (1 − i )3 (3 + 2.i )3 − (2 + i ) BÀI GIẢI 17 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Khai triển, rút gọn, nhân liên hợp, ta được: S= −1 + 6.i 264 − 30i 44 i = = − −12 + 42.i 1908 318 318 Phép khai bậc n: n z =ε εn = z IV Dạng lượng giác số phức Định nghĩa : Cho z= a + i.b Gọi r ≥ ϕ tọa độ cực A(a,b) trục Ox Oy r gọi la môđun số z; ϕ gọi acgumen z Kí hiệu: z = a + i.b ϕ = Arg (a +i.b) ⇒ a= r cos ϕ ; b = r.sin ϕ Vậy dạng lượng giác số phức z = r ( cos ϕ + i.sin ϕ ) Ngược lại r = a + b ; tg ϕ = b/a Chú ý: tg ϕ = b/a có góc ϕ ta chọn góc ϕ cho sin ϕ dấu với b VÍ DỤ Viết số sau dạng lượng giác: Z= 1+i Ta có: r = 12 + 12 = tg ϕ = 1/1 =1 chọn ϕ = π /4 b=1>0 Vậy dạng lượng giác số phức Z = 1+ i Z= (cos π +i.sin π ) VÍ DỤ tương tự : = (cos 0+i.sin0); -1 =1 (cos π +i.sin π ) 18 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM -i =1 (cos 3.π 3.π π π +i.sin ); i =1 (cos +i.sin ) 2 2 2.Các phép toán Cho Z1= r1.(cos ϕ 1+i.sin ϕ 1); Z2= r2.(cos ϕ 2+i.sin ϕ 2) a)Phép nhân Z1.Z2 = r1.r2.[cos( ϕ 1+ ϕ 2) +i.sin( ϕ 1+ ϕ 2)] Đặc biệt : Z1.Z1 = r12[cos2 ϕ +i.sin2 ϕ 1] VÍ DỤ Cho Z1= (cos π Z1.Z2 = 1[cos( Z1.Z1 = +i.sin π + π ) Z2 =1 (cos 3.π 3.π +i.sin ) 2 3.π π 3.π )+i sin( + )] 2 [cos(2 π )+i sin(2 π )] b) Phép chia Z1 r1 = [cos( ϕ 1- ϕ 2) +i.sin( ϕ 1- ϕ 2)] Z r2 Đặc biệt: 1 = [cos(- ϕ 1) +i.sin(- ϕ 1)] Z1 r1 VÍ DỤ Cho Z1= (cos π +i.sin π ) Z2 =1 (cos 3.π 3.π +i.sin ) 2 Z1 π 3.π π 3.π [cos( = ) +i.sin( )] Z2 4 19 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 1 π π [cos(- ) +i.sin(- )] = Z1 4 c) Phép lũy thừa Cho Z= r (cos ϕ +i.sin ϕ ) Zn= rn (cos n ϕ +i.sin.n ϕ ) VÍ DỤ Cho Z= (cos Z3 = π +i.sin π ) ( ) (cos π4 +i.sin.3 π4 ) Công thức Moivre: Từ Zn= rn (cos ϕ +i.sin ϕ )n Và Zn= rn (cos n ϕ +i.sin.n ϕ ) ta có : (cos ϕ +i.sin ϕ )n = cos n ϕ +i.sin n ϕ Công thức với n ∈ Z VÍ DỤ π π⎞ π π ⎛ ⎜ cos + i sin ⎟ = cos + sin 4⎠ 4 ⎝ d) Phép khai : n z =ε ε n = z Giả sử : Z= r.(cos ϕ +i.sin ϕ ) ε = (cos θ +i.sin θ ) ⇒ ρ n(cos θ +i.sin θ )n = r.(cos ϕ +i.sin ϕ ) n ⇒ ρ (cosn θ +i.sinn θ ) = r.(cos ϕ +i.sin ϕ ) ⎡ρ = n r ⎡ρ n = r ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢θ = ϕ + 2.k π ⎣ n.θ = ϕ + 2.k π ⎢⎣ n Vậy : 20 ... mơn TỐN Trường Cao đẳng Cơng nghệ Thông tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN MỤC... g.f 13 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 1.3 TẬP HỢP SỐ THỰC I Khái niệm số hữu tỉ – vô tỉ số thực Số hữu tỉ tất số viết dạng tỉ số số nguyên kể số không VÍ DỤ : 1/3 ; 6/7; 0,18 … Số hữu... b = a b 15 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 1.4 SỐ PHỨC I Định nghĩa số phức 1.Định nghĩa :(Dạng hình họccủa số phức) Số phức cặp số thực (a,b) a∈ R thành phần thứ b∈ R thành phần thứ hai